TRABAJO PRÁCTICO: PARÁBOLA
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- María Victoria Olivera Hidalgo
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1 TRABAJO PRÁCTICO: PARÁBOLA Arco Gateway El Arco Gateway en enero de 2008 Edificio Estilo Expresionismo estructural Coste 13 millones de dólares (en 1963) Localización Monumento a la Expansión Nacional de Jefferson San Luis, Misuri, Estados Unidos Uso(s) Monumento conmemorativo, turismo Coordenadas N OCoordenadas: N O (mapa) Construcción Inicio 12 de febrero de 1963 Construcción Término 25 de mayo de 1965 Dimensiones Otras dimensiones 192 metros de ancho Altura máxima 192 metros Arquitecto(s) Eero Saarinen, Saarinen and Associates Ingeniero estructural Hannskarl Bandel 1
2 Partiendo de la base de suponer que el arco es parabólico, y sabiendo que los ejes cartesianos se graduaron en escala 1unidad/1m se pide determinar: 1- Determinar la ecuación de la parábola ( graficada (azul) en un sistema de coordenadas cartesianas. 2- Dar la ecuación de su recta directriz y las coordenadas del foco. 3- Determinar la ecuación de la recta que es eje de simetría de la parábola. 4- Determinar la longitud del segmento TU que representa una parte de la estructura soporte que se utilizara en la construcción del arco. 5- Determinar analíticamente la altura (respecto del nivel de piso representado por el eje de abscisas) a la que se encuentra el foco de la parábola (azul). 6- Definir la ecuación analítica de la parábola coloreada de rojo en la fotografía sabiendo que su vértice se encuentra a 6m de aquel que corresponde a la parábola exterior coloreada de azul. Ambas poseen el mismo foco y comparten el eje de simetría. Por otra parte, sabemos que a nivel 0,00 la distancia entre los puntos de intersección de las parábolas con el eje de abscisas (Ej: ZF 1 es de 29,19m) Ver detalles del gráfico. 7- Determinar la superficie limitada por las dos parábolas y el eje de abscisas. 8- Comparar las distancias del vértice al foco en cada parábola y enunciar una conclusión referida a las ramas de la parábola en general(referida al sentido y apertura de las ramas). 9- Las secciones cónicas son curvas planas o superficies planas? Justificar. 2
3 Detalles del gráfico 3
4 DESARROLLO Y RESPUESTAS PARABOLA 1- La ecuación de la parábola graficada (azul) en un sistema de coordenadas cartesianas Por ser a eje vertical la ecuación que corresponde es: (x-h) 2 = 4p(y-k) (x-56) 2 = 4p(y-192) busco un punto perteneciente a la parábola tal como el Z Z(40; 180º) en cartesianas sería Z( -40;0) luego: (-40-56) 2 = 4p(0-192) despejo p p=-12 por lo tanto la ecuación resulta: (x-56) 2 = 4(-12)(y-192) 2-La ecuación de su recta directriz y las coordenadas del foco La ecuación de la recta directriz será: y= 204 Las coordenadas del foco: (56;180) 3-La ecuación de la recta que es eje de simetría parábola de la La ecuación de la recta será: x= Determinar la longitud del segmento TU que representa una parte de la estructura soporte que se utilizara en la construcción del arco. Conocemos las coordenadas polares de U (180.88; 56,13º) X U = COS 56,13º= Y U = SEN 56,13º= Y T = SEN 56,13º= ya que están a la misma altura respecto del nivel de piso. Sabemos que los puntos T y U equidistan del eje de simetría, luego: 4
5 m-56m x2= 89,6126m 5- Determinar analíticamente la altura (respecto del nivel de piso representado por el eje de abscisas) a la que se encuentra el foco de la parábola (azul). El parámetro p tiene un valor de -12, por lo que las coordenadas del foco de la parábola serán: (56; ) es decir: Foco (56; 180) lo que implica que el foco se encuentra a 180m de altura respecto del nivel (0;0) representado por el eje de abscisas. 6- Determinar la ecuación analítica de la parábola coloreada de rojo en la fotografía sabiendo que su vértice se encuentra a 6m de aquel que corresponde a la parábola exterior coloreada de azul. Ambas poseen el mismo foco y comparten el eje de simetría. Por otra parte, sabemos que a nivel 0,00 la distancia entre los puntos de intersección de las parábolas con el eje de abscisas (Ej: ZF 1 es de 29,19m) Ver detalles del gráfico. El análisis comienza encontrando la ecuación de la parábola desde el punto de vista geométrico: (x-56) 2 = 4p(y-186) busco un punto perteneciente a la parábola, distinto del vértice. Elijo el punto F 1 (- 10,81; 0) y reemplazo en l ecuación de la parábola: ( ) 2 = 4p(0-186) despejo p p= ( ) 2 /4(-186)= - 6 Construyo la ecuación: (x-56) 2 = 4(- 6)(y-186) Resuelvo el cuadrado del binomio y obtengo la forma analítica: X 2 2X(56)+56 2 = - 24y agrupo y resuelvo: X 2 2X (56) =-24y (X 2 2X (56) )/(- 24)= y DONDE a = (1/4p)=1/(4 x(-6))=- 0,4 X 2 / (- 24) 2X (56)/(-24) )/(- 24)= y X 2 / (- 24) 2X (56)/(-24) )/(- 24)= y 5
6 - 0,04X X = y Forma analítica de la ecuación de la parábola 7-Determinar la superficie limitada por las dos parábolas y el eje de abscisas. Segmento de parábola mayor= 192mx192mx(2/3)=24.576m 2 Segm. de parábola menor= (192m 2x29.19m)x (192m- 6m)x(2/3)= ,88 m 2 Diferencia= m ,88 m 2 = 8.007,12 m 2 8- Compare las distancias del vértice al foco en cada parábola y enuncie una conclusión referida a las ramas de la parábola en general. Al disminuir la distancia ente el vértice y el foco las ramas se aproximan al eje de simetría de la parábola. 9- Las secciones cónicas son curvas planas o superficies planas? Justifique. Son curvas ya que se originan de la intersección entre un plano y una superficie en el espacio. 6
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