Fórmulas explícitas para los coeficientes de los métodos de Laplace y Saddle Point

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1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Mateática Aplicada Ciudad Real, -5 septiebre 9 (pp. 9) Fórulas explícitas para los coeficientes de los étodos de Laplace y Saddle Point Jose L.Lopez, Pedro J.Pagola, Dpto. de Ingeniería Mateática e Inforática, Universidad Pública de Navarra, 36-Paplona. E-ail: jl.lopez@unavarra.es, pedro.pagola@unavarra.es. Palabras clave: Desarrollo asintótico de integrales, étodo de Laplace, étodo Saddle Point Resuen La ayoría de los libros estándar de texto acerca de aproxiaciones asintóticas de integrales no dan las fórulas explícitas para los coeficientes de los étodos de Laplace y saddle point. En estos étodos, esos coeficientes se presentan coo los coeficientes de Taylor de una función definida en una fora iplícita y entonces, el cálculo de los coeficientes no es explícito. No obstante, podeos extraer de la literatura fórulas ás o enos explícitas para esos coeficientes: el étodo de Perron [Perron, 97[]] ofrece un cálculo explícito en térinos de derivadas de una función explícita; en [de Bruijn, 95 [5]] podeos encontrar una fórula siilar para el étodo de Laplace que utiliza derivadas de una función explícita. La contribución ás reciente es [Wojdylo, 6[9]], que va ás lejos y calcula esas derivadas por edio de una recurrencia,tabién para el étodo de Laplace. En este trabajo re-derivaos esas tres fórulas en una deostración unificada de anera que de hecho, son solo distintos puntos de vista de la isa fórula. Por otra parte, nuestra derivación es uy siple y la utilizaos para obtener fórulas explícitas siilares para los coeficientes del étodo del saddle point tabién cuando este étodo se reforula convenienteente.. Introducción Considereos integrales de la fora F (x) := b a e xf(t) g(t)dt, donde (a, b) es un intervalo real (finito ó infinito), x es un paráetro positivo y grande y f(t) y g(t) satisfacen ciertas condiciones de integrabilidad (ver [[], Chap., Sec. ] para ás detalles). Subdividiendo el intervalo de integración entre el ínio y el áxio de f(t), y cabiando el signo de t cuando sea necesario, podeos asuir, sin pérdida de generalidad, que f(t) tiene solo un ínio en [a, b] y este se alcanza en t = a. Más aún, haciendo una traslacion en la variable

2 Jose L.Lopez, Pedro J.Pagola de integración podeos asuir, sin pérdida de generalidad, que a = y considerar únicaente integrales de la fora F (x) := c e xf(t) g(t)dt, () con c > y f(t) teniendo solo un ínio en [, c] que se alcanza en t =. Supongaos tabién que, cuando t [[], Chap., Sec. ], f(t) a t, g(t) b t +α, () con α >. Supongaos tabién que el desarrollo de f(t) puede ser derivado térino a térino. Bajo estas condiciones se puede obtener un desarrollo asintótico copleto de la siguiente fora [[], Chap., Sec. ]. Haciendo en () el cabio de variable t u definido por f(t) f() = u: F (x) = e xf() f(c) f() xu g(t(u)) e f du. (3) (t(u)) La función h(u) := g(t(u))/f (t(u)) tiene desarrollo de Taylor en u = de la fora h(u) c n u (n+α )/, (4) donde los coeficientes c n son funciones de a n y b n y es el índice del prier coeficiente no nulo en el desarrollo () de f a parte del priero;es decir: a = f(), a = a =... = a = y a. Entonces podeos aplicar el Lea de Watson en la integral (3). Reeplazando (4) en la parte derecha de (3) e intercabiando sua por integral [[], Chap., Theore ]: ( ) n + α F (x) e xf() c n, x. (5) x (n+α)/ Podeos observar que en el étodo estándar de Laplace, el cálculo analítico de la sucesión asintótica Φ n (x) es uy sencilla: gaas por potencias inversas de x. Sin ebargo, libros tradicionales sobre asintótica coo por ejeplo [] ó [] no aportan fórulas generales ni explícitas para los coeficientes c n, solo indicaciones para obtener los prieros térinos ó indicaciones de coo calcularlos para ejeplos de integrales concretas. Aún así podeos encontrar en la literatura fórulas ás o enos explícitas para los coeficientes c n. Uno de ellos, la fórula de Dingle [[], pag. 9] da los c n en térinos de una integral de Cauchy cuando f(t) y t α g(t) son analíticos en t =. Otra fórula un poco as elavorada que se puede deducir de la fórula de Dingle es la fórula de Perron [], [[], Chap., Sec. 5], que da los coeficientes c n en térinos de las derivadas de t n+α (f(t) f()) (n+α)/ en t =. Tabién está la fórula de De Bruijn [[5], Chap.4, Sec. 4], que da los coeficientes c n en térinos de las derivadas de cierta función de dos variables relacionada con f(t). Capbell, Fröan y Walles vuelven a descubrir la fórula de Perron expresando las derivadas de t n+α (f(t) ()) (n+α)/ en t = ediante una recurrencia explícita que iplica a los coeficientes de Taylor de f y g en t = [3]. La contribución ás reciente es la que da Wojdylo en [9], que utiliza la fórula de Faá di Bruno para deostrar que la recurrencia de Capbell, Fröan y Walles se puede escribir en térinos de polinoios de Bell. En la sección siguiente daos una deostración unificada y siple de las fórulas de Perron, de Bruijn y Capbell,Fröan y Walles y Wojdylo para el étodo de Laplace deostrando que, de hecho, estas fórulas son diferentes puntos de vista de la isa fórula. En la sección 3 deostraos que esta derivación se puede exportar al étodo Saddle Point cuando este étodo se reforula convenienteente, dando tabién fórulas algebráicas explícitas para los coeficientes de este étodo.

3 Fórulas explícitas étodos de Laplace y Saddle Point. Una fórula explícita para los coeficientes del étodo de Laplace Sea a el prier coeficiente que no se anula en el desarrollo de f(t) en t = distinto de a = f(). Sea a p el siguiente coeficiente que no se anula, esto es: a + =... = a p = y a p. La clave para deducir las 3 forulas anteriores para los coeficientes de Laplace es la siguiente factorización del integrando de (). Definaos Entonces, donde f p (t) := f(t) f() a t t p c F (x) =e xf() e axt e xtp f p(t) g(t)dt e xf() a n+p t n as t. (6) e axt h(x, t)dt = e xf() x / h(x, t) := e xtp f p(t) g(t) = e x[f(t) f() at] g(t). e at h(x, x / t)dt, Las integrales de la parte derecha del síbolo en (7) difieren de la integral de la izquierda en terinos exponencialente despreciables... Fórula de De Bruijn Si f(t) tiene un desarrollo asintótico en t = (), entonces su función exponencial y la función h(x, t) tienen tabién un desarrollo asintótico en t = : con e x[f(t) f()] d n (x)t n, A n (x) = n/ x n! a j= h(x, t) (7) A n (x)t n+α, (8) d j (x)b n j. (9) Los coeficientes A n (x) son polinoios en x de grado al enos n/p (ver [7] para as detalles) y entonces, si α (n) son los coeficientes de estos polinoios, esto es: α (n) = d! dx A n(x) n, =,,,...,. () x= p teneos que h(x, x / t) n/p Introduciendo esto en la últia integral de (7) encontraos: y por lo tanto, de (5), F (x) e xf() c n = ( ) n+α n/p n/(p ) α (n) x (n+α )/ t n+α, ( ) α (n) n + α x (n+α)/ a (n+α)/ α (n+) a (n+α)/+ 3 ( ) n + α +, ()

4 Jose L.Lopez, Pedro J.Pagola con α (n) dado en (). La fórula de De Bruijn [[5], Chap. 4, Sec. 4] es un caso particular de esta para =, p = 3 y α =... Fórula de Perron con Denoteos u = x / t, entonces la función h(x, x / t) queda A n (t) = h(x, u) = e t u p f p(u) g(u) A n (t)u n+α, () n C (t )b n, C (t ) = d! du [ ] e t u p f p(u). (3) u= Introduciendo estas fórulas en la ultia integral de (7) encontraos la ecuacion (5) con n c n = ( b ) n d n+α! du t n+α e [a+up f p(u)]t dt = n b n! y usando la definición de f p (u): c n = n d [ a du + u p f p (u) ] (n+α)/ b n! d du [ ] (n+α)/ f(u) f() u u=. u= Esta es la fórula de Perron [[], Chap., Sec. 5], una fora as elaborada y explícita que la fórula de Dingle [[], pag. 9]: c n = g(z)dz πi [f(z) f()], (n+α)/ donde es una circunferencia alrededor del punto z = orientada positivaente y f(z) y z α g(z) son analíticas en z =..3. Fórula de Capbell, Fröan, Walles y Wojdylo De la definición (6) de la función f p (u) teneos que u p f p (u) n=p a n+ u n = ã n u n as u, donde heos definido ã n = for n < p y ã n = a n+ para n p. De este desarrollo obteneos n e t u p f p(u) C n (t )u n, donde, para n =,,,..., C n (t ) = ( t ) B n, (4)! y B n, son los polinoios de Bell de segundo orden [[4], p. 9]: para n =,,,...,B, =, B n+, = y, para n : B n, = n j= n= u= ã n j B j,. (5) 4

5 Fórulas explícitas étodos de Laplace y Saddle Point De este odo, la función h(x, u) tiene el desarrollo dado en () con A n (t) dado en (3) y C n (t ) satisfaciendo (4). Introduciendo esto en la últia integral de (7) podeos obtener (5) con c n = ( ) n+α n b n e at C (t )t n+α dt = ( ) n+α n b n s= ( ) s a (n+α)/+s ( ) (6) B,s n + α s! + s y donde los B,s se pueden obtener de la recurrencia (5). Esta es la fórula de Capbell, Fröan, Walles y Wojdylo. 3. Una fórula explícita para los coeficientes del étodo Saddle Point Considereos ahora integrales de la fora F (x) := e xf(z) g(z)dz, (7) C donde C es un caino acotado ó no acotado en el plano coplejo, x es un paráetro positivo grande y f(z) y g(z) son funciones analíticas en un doinio del plano coplejo que contiene el caino C. El étodo estándar Saddle Point nos dice que la contribución principal a la integral (7) viene de los entornos de los saddle points relevantes de f(z) (puntos donde f (z) = y Re(f(z)) es ínia) [[], Chap., Sec.4]. Se puede entonces obtener un desarrollo asintótico aplicando el étodo estándar Saddle Point explicado en [[], Cap., Sec. 4]. Adeás del problea de inversión originado por un cabio de variables (coo en el étodo Laplace), este étodo tiene otra dificultad técnica: la coplicación que en la ayoria de los casos tiene el cálculo del caino steepest descent de la función f. Esta dificultad se puede evitar en el étodo de Perron pero hay que pagar el precio de introducir hipótesis técnicas algo as exigentes sobre las funciones f y g. Pero, coo se deuestra en [6], sea f la función que sea, siepre podeos toar una trayectoria uy siple y universal coo caino steepest descent (una línea recta que pasa por el saddle point) sin falta de introducir hipótesis adicionales. En [6], esa idea se ha utilizado para obtener un desarrollo de F (x) diferente al desarrollo estándar que nos da el étodo Saddle Point. En esta sección, utilizaos esa idea con un propósito diferente: cobinaos esta idea con la fórula explícita de Wojdylo descrita en la sección anterior para re-derivar el étodo estándar Saddle Point de una anera diferente, utilizando una trayectoria steepest descent uy sencilla. Esta derivación nos ha peritido obtener una fórula algebraica cerrada explícita para los coeficientes del desarrollo. Deforaos el caino C en un nuevo caino de integración que pase a través de todos los saddle points relevantes. Subdividiendo este caino en caso de que fuese necesario y después de hacer un cabio de variables, podeos asuir, sin perder generalidad, que el punto z = pertenece a ese nuevo caino y que f(z) tiene un solo saddle point relevante en z =. Si z = es un saddle point de orden con, entonces f () = f () = = f ( ) () = y f () () =! a e iφ, con a := f () () )! (f, φ := ph () (), φ < π. Al igual que en el étodo de Laplace, separaos la función de fase f(z) en dos térinos: f(z) = f (z) + z p f p (z), f (z) := f() + a e iφ z 5

6 Jose L.Lopez, Pedro J.Pagola y f p (z) := f(z) f (z) z p = f (p) () + f (p+) () p! (p + )! z +... El núero entero es el orden de la priera derivada de f(z) que no se anula en z = y p es el orden de la siguiente derivada que no se anula. Coo está explicado en [6], el étodo estándar Saddle Point puede ser siplificado considerando el caino steepest descent del polinoio f (z) en vez del caino steepest descent de la función de fase copleta f(z), habitualente ucho as coplicado. Los cainos steepest descent de f (z) son aquellos cainos en el plano coplejo que satisfacen I(f (z)) = I(f ()) = y z = es un ínio de R(f(z)) en. Son siples seirectas partiendo de z = (ver Fig. a), { := z C, z = re iθ, θ = π φ }, r, =,,,...,. (8) (a) (b) Figure. (a) Cainos steepest descent de f (z) partiendo de el saddle point z = con = 3 y φ =. (b) Dibujo típico de los diversos cainos considerados en el texto en torno del saddle point z = de la función de fase f(z) con = y φ = π/ (N = y M =, θ = π/4, θ = 5π/4): el caino original C, el caino steepest descent de la función f (z) y el nuevo caino de integración = ε. Deforaos el caino de integración original C en el siguiente caino [6]. Considereos el disco de convergencia D R () de la serie de Taylor de f(z) y g(z) en z = (ver Fig. b). Buscaos las dos seirectas infinitas as apropiadas N y M de acuerdo con el caino original C (ver [6] ó el ejeplo siguiente). Cortaos las seirectas N y M en los puntos Re iθ N y Re iθ M respectivaente y unios estas porciones finitas dando lugar a un nuevo caino que denotareos (ver Fig. b): := { z C, z = re iθ N, r R } { z C, z = re iθ M, r R } =[, Re iθ N ] [, Re iθ M ] N M. Considereos la deforación C, con := ε y ε un caino unido a por sus extreos Re iθ N y Re iθ M (ver Fig. b). Debeos entonces encontrar un caino ε de la siguiente fora: (i) podaos deforar C (coo en el étodo Saddle Point estándar), y (ii) la contribucion de ε a la integral F (x), ε e xf(z) g(z)dz, sea despreciable (exponencialente enor) frente a la contribución de, e xf(z) g(z)dz. Entonces, F (x) = e xf(z) g(z)dz e xf(z) g(z)dz e xf(z) g(z)dz. (9) N M 6

7 Fórulas explícitas étodos de Laplace y Saddle Point La integral sobre N M difiere de la integral sobre (= a la integral sobre el caino original C) en térinos exponencialente uy pequeños. La clave para deducir estas fórulas explicitas para los coeficientes del étodo Saddle Point es la isa que la utilizada en la seccion anterior para el étodo de Laplace, la factorización del integrando F (x) en (9) de la fora: F (x) e xf() iφ z e xzp f p(z) g(z)dz = e xf() N M e xae N e xae iφ z e xzp f p(z) g(z)dz + e M xf() e xae iφ z e xzp f p(z) g(z)dz. En el caino N teneos z = re iθ N y en el caino M teneos z = re iθ M, con r y θ s := [(s + )π φ]/ para s = N, M. Los valores concretos de N y M (con N, M < ) dependen del caino original del proble que esteos tratando (ver el ejeplo a continuacion). En cualquier caso, sobre N M teneos que a e iφ z = a r and then donde, for s = N, M, () F (x) e iθ N I N (x) e iθ M I M (x), () I s (x) := e xf() e xar e xrp e ipθs f p(re iθs ) g(re iθs )dr. La integral I s (x) puede ser escrita de la fora I s (x) = e xf() e xat e fp(t) g(t)dt, xtp con f p (t) := e ipθs f p (te iθs ) y g(t) := g(te iθs ). De la sección teneos que I s (x) e xf() ( ) n + α cn (s) x, (n+α)/ donde los coeficientes de Laplace c n (s) se pueden calcular de una de las tres foras explicadas en la sección (recoendaos la fórula de Wojdylo). Por lo tanto, la integral F (x) dada en (7) tiene el desarrollo ( ) n + α F (x) e xf() C n x, con C (n+α)/ n = e iθ N c n (N) e iθ M c n (M) () y c n (s) son los coeficientes de Laplace para la integral I s (x). 4. Ejeplo: la función de Bessel Vaos a considerar la siguiente representación integral de la función de Bessel [[], p.58], J x (ν) = e ν sinh(t) xt dt con el caino C dado en Fig.. πi C Definiendo el paráetro β ediante la relación ν = βx, la integral anterior se puede expresar de la fora: J x (βx) = πi +πi πi e x f(t) g(t) dt with f(t) = t β sinh(t), g(t) =. (3) 7

8 Jose L.Lopez, Pedro J.Pagola Toeos x y β positivos con β fijo y x grande y positivo. La función f(t) es analítica en todo el t plano coplejo. Los saddle points de f(t) son puntos que cuplen β cosh(t) =. En la región π < I(t) < π, hay dos saddle points reales si < β <, dos saddle points iaginarios puros si β > y solo un saddle point en t = si β =. Vaos a exponer con detalle solo el prier caso. Los otros dos casos se pueden ver en [8]. Cuando < β <, los saddle points de la función de fase f(t) son las dos soluciones relaes (una positiva y otra negativa) de β cosh(t) =. De las dos soluciones, la positiva es la relevante: ( t = cosh + ) β (/β) = ln. β Despues de la traslación de variables t = t + z, la integral (3) se puede escribir de fora estándar (7) con f(z) = t + z β sinh(t + z) y g(z) =. En el saddle point z = de f(z) teneos f() = cosh (/β) β, f () = β and f (). Figure. Los cainos C, = ε, con, involucrados en la aproxiación con el étodo Saddle Point de la función de Bessel. Con la notación de la sección anterior, teneos =, p = 3, φ =, α =, N = y M = (ver Fig.).En particular, f (z) = cosh (/β) + β z β y f 3 (z) = f(z) f (z). El caino steepest descent de la función f (z) a través de z = es una recta vertical que pasa por z = (N = y M = ): = {z C z = ±ir, r }. Toaos entonces coo caino una porción de conteniendo el saddle point z = : = {z C z = ir, r [ π, π]}. Elegios ε coo las dos seirectas horizontales uniendo los extreos de con el infinito: ε = {z C z = r ± iπ, r [, ]} (ver Fig.). Entonces, el caino considerado en la Sección 3 es la unión de estos dos cainos: = ε. Está claro entonces que el caino C puede ser deforado al caino y entonces: Más aún, sobre ε teneos que ε e xf(z) g(z)dz = i sin(πz) J x (βx) = πi e xf(z) g(z)dz. e x(β sinh(z+t)+z+t) dz = O (e ) x[ cosh (/β) + β ] 8

9 Fórulas explícitas étodos de Laplace y Saddle Point y sobre wteneos Entonces e xf(z) g(z)dz = O ( e x[ cosh (/β) β ] x ). J x (βx) e xf(z) g(z)dz e xf(z) g(z)dz. πi πi De () y usando la fórula de Wojdylo (4) y (5): con c n = y, para j =,, J x (βx) ex( β cosh (/β) ) 4π ( β B j, =, Bj n, =, Bj n,s = ) n+ n n =s s= - n+ s (j+)π i (n+ ) e (n + )! Asi, los prieros térinos del desarrollo asintótico J x (βx) ex( β cosh (/β) ) πx β Agradeciientos ( ) n + c n x, (n+)/ ( ) s (B β n,s + Bn,s) [ ] β ( + ( ) +n ) ( β + ) B j,s. { 3β + 4( β ) 3/ x + 8β4 + 3β + 4 5( β ) 3 x β β β 6 447x 3 ( β ) 9/ ( )} + O x 3. The Governent of Navarra (REF. 8-3) is acnowledged by its financial support. Referencias [] O. Perron, Über die näherungsweise Berechnung von Funtionen groβber Zahlen. Sitzungsber. Bayr. Aad. Wissensch. (Münch. Ber.) (97) 9-9. [] R. B. Dingle, Asyptotic expansions: their derivation and interpretation, Acadeic Press, New Yor, 973. [3] J. A. Capbell, P. O. Fröan and E. Walles, Explicit series forulae for the evaluation of integrals by the ethod of steepest descent, Stud. Appl. Math., 77 (987) 5-7. [4] J. Riordan, Cobinatorial Identities, John Wiley & Sons, New Yor, (968). [5] N. G. de Bruijn, Asyptotic Methods in Analysis, Dover Pub., New Yor, (95). [6] J.L. López, P. Pagola and E. Pérez Sinusía, A siplification of the saddle point ethod. Application to the Airy and Hanel functions. To be published in J. Math. Anal. Appl. [7] J.L. López, P. Pagola and E. Pérez Sinusía, A siplification of Laplace s ethod: Applications to the gaa function and Gauss hypergeoetric function. To be published in J. Approx. Theor. [8] J.L. López and P. Pagola, Explicit forulas for the coefficients of the ethods of Laplace and saddle point. Subitted. [9] J. Wojdylo, Coputing the coefficients in Laplace s ethod, SIAM Rev., 48() (6) [] R. Wong, Asyptotic Approxiations of Integrals, Acadeic Press, New Yor, (989). [] F. W. J. Olver, Asyptotis and Special Functions, Acadeic Press, New Yor, (974). 9