BLOQUE 3: TRIGONOMETRÍA. Resolución de triángulos. Funciones y formas trigonométricas.

Transcripción

1 BLOQUE : TRIGONOMETRÍA Reslución de triánguls Funcines y frmas trignmétricas. 4

2 . RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Recrdams las raznes trignmétricas (sen, csen, tangente) de un ángul agud, α, definidas a través de un triángul rectángul cnstruid sbre él: catet puest sen α hiptenusa c b catet cntigu a cs α hiptenusa b senα catet puest c tg α cs α catet cntigu a sec α csecα ct gα csα senα tgα Entre ellas se dan además las siguientes relacines fundamentales: sen α + cs α senα,csα senα tg α cs α tg α + sec α + ctg α csec α. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Cm pdems ver en la circunferencia gnimétrica, el sign de las raznes trignmétricas depende del cuadrante en el que se encuentren: sen cs Tg I cuadrante π rad 0 / II cuadrante π rad 0-0 III cuadrante π rad - 0 / 70 IV cuadrante πrad

3 . RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS Las siguientes relacines sn muy útiles y muy fáciles de visualizar: ÁNGULOS OPUEST TOS: α y - α sen( α ) senα cs( α ) csα tg( α ) tgα ÁNGULOS SUPLEM MENTARIOS: α y 80 - α sen(80 cs(80 tg(80 α ) senα α ) csα α ) tgα ÁNGULOS QUE DI IFIEREN EN 80 : α y α + 80 sen( α + 80 cs( α + 80 tg( α + 80 ) senα ) csα ) tgα 45

4 ÁNGULOS COMPL LEMENTARIOS: α y 90 -α sen(90 cs(90 tg(90 α ) csα α ) senα csα α ) senα tgα ÁNGULOS QUE DI IFIEREN EN 90 : α y α + 90 sen(90 tg(90 + α) csα cs(90 + α) senα csα + α) senα tg α.4 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Reslver un triángul es determinar un más elements descncids a partir de ls elements (lads y ánguls) cncids. En un triángul rectángul tenems que tener en cuenta las relacines entre sus lads y ánguls y que además siempre cncems un de sus ánguls, el rect. Elements cncids CASO I: Ds lads CASO II: Un lad y un ángul Cóm se calculan ls demás El tercer lad se puede calcular mediante el terema de Pitágras El ángul que frman ds lads cncids se determina a partir de la razón trignmétrica que ls relacina Otr lad se calcula mediante la razón trignmétrica que l relacina cn el lad y cn el ángul cncids. El tr ángul agud es el cmplementari del que cncems. 46

5 .5 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALQUIERA Para reslver un triángul que n es rectángul tenems ds pcines: Descmpner dich triángul en ds triánguls rectánguls gracias a una de sus alturas Utilizar ls teremas del sen y el csen para calcular ls elements descncids. TEOREMA DEL SENO: ) ) ) En un triángul cualquiera de lads a, b c, y de ánguls A, B, C, se cumplen las siguientes igualdades: a sena b senb c senc TEOREMA DEL COSENO: En un triángul cualquiera de lads a, b c, y de ánguls ) ) ) A, B, C, se cumplen las siguientes igualdades: a b + c bccs Aˆ Análgamente: c a + b ) abcsc b a + c accsbˆ Elements cncids CASO I: Ds ánguls y un lad CASO II: Ds lads y un ángul puest a un de ells CASO III: Ls tres lads CASO IV: Ds lads y el ángul que frman Cóm se calculan ls demás Cn el terema del sen pdems calcular el tr lad Cn el terema del sen pdems calcular tr ángul Cn el terema del csen calculams el tr lad Cn el terema del csen calculams cualquier ángul Cn el terema del csen calcularems el tr lad y, después, cn el terema del sen, determinarems cualquiera de ls ánguls. 47

6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Pasa a grads ls siguientes ánguls expresads en radianes: a ) π 6 π b ) c ) π 5 d ) π. Pasa a radianes ls siguientes ánguls expresads en grads: a) 5º b) 45º c) 40º d) 0º. Expresa en grads y en radianes el ángul que frman las manecillas del relj a las hras y 0 minuts. 4. Cuánts grads gira la tierra en hras y 0 minuts? 5. Ls catets de un triángul rectángul ABC miden : b 4m y c m. Calcula las raznes trignmétricas del ángul agud mayr. 6. Halla tdas las raznes trignmétricas de 0º, 45º y 60º. 7. Halla, cmparand cn ánguls cncids (sin calculadra), las raznes trignmétricas de: a) 0º b) 0º c) 00º d) 5º e) 0º f) 50º g) 40º h) -60º i) -5º j) 5º k) 5º l) 4440º π 9π 6π m) rad n) rad ñ) rad Calcula tds ls valres del ángul en cada un de ls cass siguientes: a) sen x b) cs x c) tg x d) cs x e) csecx f) tg x 0 9. Halla el rest de raznes trignmétricas del ángul cn ls dats que se dan: a. csα,α II cuadrante 5 e. 4 π tg α, π < α < b. 4 sen α, 90 º <α < 80º 5 f. sen α ; tgα >0 5 π c. ctα 0 8, < α < π g. tg α, sen α > csα ec α ; 80 º <α < 900º d. cs 0. A 0 m de la chimenea de una fábrica se ve la cima de ésta baj un ángul de 68º. Calcula la altura de la chimenea. 48

7 . Desde la trreta de un far, que está a 50 m sbre el nivel del mar, se ve un barc bajand el tedlit 40º. A qué distancia del far se encuentra el barc?. Calcula ls ánguls de un rmb de perímetr 0 cm y de diagnal mayr 8 cm.. Halla la lngitud del lad de un pentágn regular inscrit en una circunferencia de 0 cm de radi. Y si estuviera circunscrit? 4. La altura sbre el lad desigual de un triángul isósceles mide cm y el ángul desigual del triángul es de 0º. Halla sus trs ds ánguls, perímetr y área. 5. Un triángul equiláter tiene de perímetr 0 cm. Calcula su altura y su área. 6. Un aertaxi vuela a 400 km/h si n hay vient. En un vuel hacia el Este, cn un vient Sur de 60 km/h, cuál es la dirección de vuel? 7. El lad desigual de un triángul isósceles mide 50 cm y ls ánguls iguales miden, cada un, 40º. Determina el perímetr, tercer ángul y área de ese triángul. 8. Calcula el perímetr de un ctógn regular inscrit en una circunferencia de 6 cm de radi. 9. Calcula el lad de un decágn regular circunscrit a una circunferencia de 0 cm de radi. 0. Una circunferencia tiene 4 cm de radi. Calcula la lngitud de la cuerda crrespndiente a un ángul central de 68º.. Calcula la lngitud de la smbra de un árbl de 8 m de altura, cuand ls rays slares frman cn el suel un ángul de º.. Una escalera de 6 50 m de lngitud se apya en una pared, frmand cn ella un ángul de 8º. Calcula la altura que alcanza.. Para subir cn una carretilla un desnivel de 50 m de altura, se clca un tablón de apy. Calcula la lngitud mínima que debe tener dich tablón, si se desea que su inclinación n supere ls 5º. 4. Desde un determinad punt situad en el suel se bserva una trre baj un ángul de º. Si ns apartams 0 m más de la base de la trre, el ángul de visión es de 5º. Qué altura tiene la trre? A qué distancia de la trre se encuentra el primer punt de bservación? 5. Cn bjet de determinar la altura de una mntaña situada en las prximidades de la csta, se lanza una visual desde un barc, bteniéndse un ángul de elevación de 6º 7. Después de que el barc recrre una distancia de km en dirección a la mntaña, se lanza una segunda visual, bteniéndse un ángul de 9º4. Cuál es, en metrs, la altura de la mntaña? 49

8 6. Desde un punt A se trazan ds tangentes a una circunferencia de radi 0 cm. Se sabe que la distancia del centr de la circunferencia al punt A es de 5 cm. Calcula el ángul que frman las tangentes. 7. Una cnstrucción en frma de pirámide cuadrangular mide 40 m de altura, y su base, 50 m de lad. Halla el ángul de inclinación de sus caras laterales respect del suel. 8. Desde un punt A al pie de una clina, una persna camina 00 m, subiend una pendiente de 4 º, y a cntinuación, recrre 00 m en la misma dirección pr una pendiente de º hasta alcanzar la cima de la clina. Calcula la altura de la clina, la distancia en línea recta desde A a la cima de la clina, y el ángul de elevación de la misma bservad desde A. 9. Un avión vuela en línea hrizntal hacia el Este. Desde un punt situad en el suel, al Sur del avión, se ve a éste baj un ángul de 45º. Cuand el avión ha vlad 000 m, desde ese punt se le ve cn un ángul de elevación de 0º. Cuál es la altura de vuel? 0. Desde un avión que vuela a 950 m de altura se bserva un helicópter que está a 00 m de altura, baj un ángul de depresión de 8º. A qué distancia se encuentran ambs?. En una circunferencia de 7 cm de radi trazams una cuerda de 9 cm. Qué ángul central abarca dicha cuerda?. Halla la lngitud de una cuerda crrespndiente a un ángul central de 40º en una circunferencia de 0 cm de radi.. Resuelve ls siguientes triánguls: a. c5 cm, A60º, B40º b. a0 cm, b cm, c4 cm c. a m, b m, c6 m d. a7 m, b m, C50º e. A0º, a cm, b8 cm f. A0º, a cm, b6 cm g. A0º, a cm, b4 cm i. b7 cm, c0 cm, A40º j. a7cm, b0 cm, c6 cm k. a0 m, b40 m, A40º l. a5 m, b0 m, c40 m m. A55º, B7º, a m n. a6 cm, b4 cm, Aº. a6 5 m, b7 m, A57º h. b cm, c7 cm, C40º 4. Ds barcs salen del mism puert cn rumbs que difieren en un ángul de 5º. Supniend que han navegad en línea recta, si un ha recrrid 00 Km y el tr 0 Km, cuál es la distancia que ls separa? 5. Una persna debe ir de A a C brdeand un camp cultivad. De A a B hay 50 m y de B a C hay 70 m; el ángul B mide º 40. Cuánts metrs mens recrrería si siguiese el camin rect de A a C? 50

9 6. Calcula ls lads y ánguls de un paralelgram cuyas diagnales, de 6 m y 8 m, se crtan en un ángul de 50º. 7. Estams a un lad de una autpista y querems saber la distancia entre ds punts A y B que están al tr lad. Ns situams en un punt P y marcams tr, Q, a 400 m. Desde P y Q medims, cn el tedlit, ls siguientes ánguls: APB6º, BPQ º, AQP4º y BQP80º. Halla la distanciaa entre A y B. 8. La resultante de ds fuerzas cncurrentes vale 40 kg, y frma cn cada una de ellas, ánguls de 45 º y 0 º. Calcula el valr de dichas fuerzas. 9. Resuelve el triángul en el que se cncen: a 0 cm, b 5 cm y C 60º 40. Un futblista ve la prtería baj un ángul de 60º y está a 5 m y 8 m de ls pstes. Cuál es el anch de la prtería? Cuál es el área del triángul frmad? 4. Las manecillas de un gran relj miden, 50 cm la hraria y 70 cm la minutera. Averigua el ángul que frman a las 8 hras, y la distancia entre sus extrems. 4. Un de ls lads de un triángul es dble que el tr, y el ángul cmprendid mide 60º. Halla ls trs ds ánguls. 4. Ls lads de un triángul miden x, x y 5x cm. Calcula el ángul α puest al lad median. Interpreta el resultad. 44. Halla raznadamente (cmparand cn ánguls cncids del primer cuadrante): a. cs0 º csec0º tg5º b. ( cs0 º cs60º : tg 60º tg0º ) ( ) c. sen0 º tg 00º cs50º ctg 40º 6 RECUERDA: π x grads x rad π rad n rad n grads π sen cs tg

10 AUTOEVALUACIÓN. De un triángul rectángul ABC cncems la hiptenusa a cm y el catet c 7cm. Determina sus ánguls aguds.. Expresa cn un ángul del primer cuadrante las raznes trignmétricas de ls siguientes ánguls: 54, 07, 8, Si senα4/5 y α > 90, calcula sin determinar el ángul α: a. csα b. tgα c. sen(80 + α) d. cs(90 + α) e. tg(80 - α) f. sen(90 + α) 4. Si tgα -,5, indica α cn ayuda de la calculadra, exprésal cm un ángul del interval [0, 60 ) y btén su sen y su csen. 5. Calcula el área del triángul ABC 6. En l alt de un edifici en cnstrucción hay una grúa de 4m. Desde un punt del suel se ve el punt más alt de la grúa baj un ángul de 50 cn respect a la hrizntal y el punt más alt del edifici baj un ángul de 40 cn la hrizntal. Calcula la altura del edifici. 7. Resuelve el triángul ABC en ests cass: a. c 9cm b. a 5 cm a cm 48 b cm 0 8. Ds amigs están en una playa a 50 m de distancia en un mism plan vertical que una cmeta que se encuentra vland entre ls ds. En un mment dad, un la ve cn un ángul de elevación de 50 y el tr cn un ángul de 8. Qué distancia hay de cada un de ells a la cmeta? 9. Ls lads de un paralelgram miden 8 cm y cm y frman un ángul de 5. Calcula la lngitud de la diagnal mayr. 5

11 FUNCIONES Y FORMAS TRIGONOMÉTRICAS.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS O CIRCULARES A las funcines ysenx, ycsx e y tgx se les llama funcines trignmétricas funcines circulares. Se trata de funcines periódicas en un interval de lngitud π, puest que ls ánguls están relacinads de la siguiente frma: α α + k π (α y α en radianes y k Z), bien, α α + 60 k (α y α en grads y k Z) π La función y tgx n está definida en ls punts de la frma x + kπ, dnde k Z..7 FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO SUMA: sen cs tg ( α + β ) ( α + β ) ( α + β ) senα.cs β + csα. senβ csα.cs β senα. senβ tgα + tgβ tgα. tgβ RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA RESTA DE DOS ÁNGULOS sen cs tg ( α β ) ( α β ) ( α β ) senα.cs β csα. senβ csα.cs β + senα. senβ tgα tgβ + tgα. tgβ 5

12 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE: sen cs tg ( α ) ( α ) ( α ) senα.csα cs α sen α tgα tg α RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD α sen ± α cs ± α tg ± csα + csα SUMAS Y DIFERENCIAS DE SENOS Y COSENOS csα + csα A + B A B sena + senb sen cs A + B A B sena senb cs sen A + B A B cs A + cs B cs cs A + B A B cs A cs B sen sen.8 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Las ecuacines trignmétricas sn aquellas en las que aparecen funcines trignmétricas actuand sbre un ángul incógnita que, cm en tdas las ecuacines, hay que despejar. Salv que se pida expresamente, el valr de la incógnita puede darse indistintamente en grads en radianes. Las slucines que se btengan deben ser cmprbadas sbre la ecuación inicial, pues es frecuente que se btengan slucines extrañas (valr que se btiene en el prces de reslución per que n verifica la ecuación) 54

13 . Simplifica las siguientes expresines : a) ( ) ( ) EJERCICIOS Y PROBLEMAS senx + cs x + senx cs x b) sen x + csx c) csx cs x 4 x 4 x d) cs sen senx g) + cs x. Cmprueba las siguientes identidades : e) h) senx sen x cs x + cs x f) i) cs x senx ct g x + ct g x a) tg x + ctg x sec x csec x b) sec x cs x tg x sen x c) tg α sen α tg α sen α d) ct g α cs α ct g α cs α csα + senα ct gα + tgα e) f) secα senα csα ct gα tgα g) sec x csec x sec x + csec x h) ( α β ) ( α β ) β α cs. Resuelve las siguientes ecuacines trignmétricas : + cs cs sen a) sen x + 0 b) cs x sen x 0 c) tg x sen x d) tg x cs x e) 5 sen x + cs x 4 f) cs x - sen x sen x g) sen x senx 0 h) cs x + sen x i) sen x cs x 6 sen x j) cs x sen x k) cs x + cs x 0 l) cs x + csx cs x 0 m) sec x ctg x n) ct g x csecx ) + tgx tg x p) cs x + 6 cs x q) sen x - cs x r) ctg x 4 tg x s) 5 sec x 4 cs x 8 t) sen 4 x cs 4 x 55

14 π. Expresa en grads: rad, 4 AUTOEVALUACIÓN 5π rad, rad.. Expresa en radianes y da el resultad en función de π : 60, 5 y 0.. En una circunferencia de 6 cm de diámetr dibujams un ángul de rad. Qué lngitud tendrá el arc crrespndiente? 4. Ascia a esta gráfica una de las siguientes expresines y di cual es su perid: a).y csx b) y csx c) y csx Cmpleta ests punts para que pertenezcan a la gráfica: 5 π 4π, y π Si csα 4 y α <π, determina: a) sen α c) tg α π b)cs (π +α ) d)sen( α 6 ) 6. Demuestra cada una de estas igualdades: a) tg tgα tg α α sen + sen sen sen b) ( α β ) ( α β ) α β 7. Resuelve: π a) cs x cs + x b ) tgx cs x senx 56

15 8. Simplifica: sen60 + sen0 a) cs60 + cs0 sen α b) + α tg csα EJERCICIOS DE REPASO BLOQUE (TRIGONOMETRÍA). En el triángul ABC, rectángul en A, cncems tgb,5 y b 6cm. Calcula ls lads y ls ánguls del triángul.. Calcula el perímetr del cuadriláter ABCD inscrit en una circunferencia de 6 cm de radi. Clcams un cable sbre un mástil que l sujeta cm muestra la figura. Cuánt miden el mástil y el cable? 4. Justifica si existe algún ángul α tal que tgα y senα 5. Las diagnales de un paralelgram miden 6 y 8 cm y frman un ángul de 48. Calcula el perímetr y el área del paralelgram. 6. Busca en cada cas un ángul del primer cuadrante que tenga una razón trignmétrica igual que el ángul dad y di cual es esa razón: a) 97 c) -00 b) 5 d) π 5 57

16 7. Si tgα y csα > 0, calcula: a) cs α π b) sen α 8. Ascia a cada gráfica su fórmula crrespndiente: α c) sen π d) tg +α 4 a) y tgx b) y senx c) y cs π x π d) y sen + x Demuestra que: cs x sen x cs x 0. Resuelve: a) + csx senx b) senx + seny x y cs. Calcula el área y las lngitudes de ls lads y de la tra diagnal:. Calcula la altura de QR cn ls dats de la figura: 58

17 . Calcula la altura del árbl QR cn ls dats de la figura: 4. Explica si las siguientes igualdades referidas a un triángul ABC, rectángul en A sn verdaderas falsas: a) a b sena g) a b cs C b) c a. csb c) c b tgc d) b a. senc h) i) b c tgb sen B c a e) tgb. tgc j) senb. csc f) c. tgb b senb k) cs C g ) senb csc 0 59

18 AUTOEVALUACIÓN. Si A, B y C sn ls tres ánguls de un triángul, demstrar que se cumple la igualdad: cs ( A C) csb csa csc. Tres punts A, B y C están situads sbre un plan de md que ls segments AB y BC miden 6 y 9 unidades, respectivamente, y la amplitud del ángul determinad pr ells es de 50. Calcular la distancia entre ls punts A y C.. Sabiend que sen α y que α es un ángul del segund cuadrante, calcular de frma 5 raznada (sin hallar el ángul) ls valres de: a) sen α b) α tg π c) sen α + 4. a) Calcular tds ls ánguls x que verifican la ecuación: cs x sen x b) Reslver este sistema de ecuacines, halland las slucines cmprendidas entre 0 y π radianes. π x y senx+ cs y 60

19 AUTOEVALUACIÓN 4. Hallar la medida del lad desigual de un triángul isósceles, sabiend que sus lads iguales miden 40 cm y que la amplitud de sus ánguls iguales es de 0.. Siend A, B y C ls ánguls de un triángul, demstrar que: tga+ tgb + tgc tga tgb tgc. Sea α un ángul del cuart cuadrante tal que (sin hallar el ángul) ls valres de: a. tg α cs α 5. Calcular de frma raznada b. α sen π c. cs α 6 4. a) Calcular tds ls ánguls x que verifican la ecuación: tg x + tgx b) Reslver el siguiente sistema de ecuacines, halland las slucines cmprendidas entre 0 y 60. senx + cs y 5senx cs y 6

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