Derivada de una función

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1 CAPITULO Derivada de una función Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (

2 Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 984. Edición LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chacón, Marianela Abarca, Lisseth Angulo y Walter Mora. Edición y composición final: Evelyn Agüero. Gráficos: Walter Mora, Marieth Villalobos, Evelyn Agüero. Comentarios y correcciones: escribir a wmora@yahoo.com.m

3 Contents. Derivada de una función Introducción La derivada de una función Notaciones para la derivada de una función Continuidad y derivabilidad Teoremas sobre derivadas Derivada de una función compuesta (Regla de la cadena) Diferenciales. Interpretación geométrica Derivadas de orden superior Derivada de la función logarítmica Derivada de la función eponencial Derivadas de la funciones trigonométricas Derivadas de las funciones inversas Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas Funciones paramétricas Funciones implícitas y su derivada Teorema de Rolle (o teorema sobre las raíces de la derivada) Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange) Teorema de Gauchy del valor medio (o etensión del teorema del valor medio para derivadas) 7..9 Regla de L Hôpital

4 4 Capítulo : Derivadas. Derivada de una función.. Introducción El problema de la tangente Muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden transferirse o hacerse depender de un problema básico que ha sido de interés para los matemáticos desde los griegos (alrededor de a.deJ.C). Es éste el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto específico a ella. Este problema fue resuelto por métodos especiales en un gran número de ejemplos aislados aún en la temprana historia de las matemáticas. Por ejemplo, es bastante fácil resolver el problema si la curva es un círculo, y todo estudiante ha visto esta solución en su geometría de secundaria. Sin embargo, no fue si no hasta el tiempo de Isacc Newton (64 77) y de Gottfried Wilhelm Leibniz (646 76) que se dio un método general sistemático para obtener la solución. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invención del cálculo. Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco interés a los no matemáticos, el hecho es que las ténicas desarrolladas para resolver el problema son la mera columna vertebral de gran parte de la ciencia y la tecnología actuales. Por ejemplo, la dirección del movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante se define en términos de la dirección de la recta tangente a la trayectoria de movimiento. Las órbitas de los planetas al rededor del sol y las de los satélites artificiales alrededor de la Tierra, se estudian esencialmente comenzando con la información sobre la recta tangente a la trayectoria del movimiento. Un tipo diferente de problemas es el de estudiar la descomposición de una sustancia radioactiva tal como el radio cuando se conoce que la razón de descomposición en cada instante es proporcional a la cantidad de radio presente. La clave de este problema así como la del problema del movimiento, está en un análisis de lo que queremos designar con la palabra razón. Como pronto veremos, este concepto está tan íntimamente relacionado con la pendiente de la recta tangente a una curva, que la formulación matemática abstracta de un problema sobre razones es indistinguible de la formulación del problema de la tangente. Empezamos con el problema de la tangente no solo por su importancia histórica y práctica, sino también porque la intuición geométrica del lector contribuirá a hacer concreta la que, de otro modo, sería una noción abstracta (Britton, 968, 33). Definición Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva. En la siguiente figura se ha representado gráficamente una recta L secante a una curva: Figura.: Recta secante a una curva

5 Introducción 5 Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta. Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación y = f(), donde f es una función continua. 0 Figura.: Gráfica de f() Se desea trazar la recta tangente en un punto P ( o, y o ) dado de la curva. Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos P ( o, y o ) y Q(, y) de la curva. La pendiente de esta secante, denotada m S está dada por: m s = y y o o = f() f( o) o Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje X, y como θ es ese ángulo para la recta secante, entonces: m S = tan θ = f() f( o) 0 Supongamos que eiste una recta tangente a la curva en P ( o, y o ). Sea PT dicha recta. Mantenemos ahora el punto P fijo y hacemos que el punto Q se aproime a P, a lo largo de la curva. Cuando esto sucede, la inclinación θ de la recta secante se aproima a la inclinación de α de la recta tangente, lo que puede escribirse como Q P θ = α. En igual forma, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, es decir, tan θ = tan α. Q P Además, cuando Q tiende hacia P, la abscisa tiende hacia o por lo que tan θ = tan α puede escribirse Q P como tan θ = tan α. o Luego o tan θ o f() f( 0 ) o = tan α. Si denotamos por m t ( o ) la pendiente de la recta tangente a la curva en P ( o, y o ), entonces m t ( o ) = f() f( 0 ). o o Definición

6 6 Capítulo : Derivadas La pendiente de la recta tangente a la curva con ecuación y = f() en el punto ( o, y o ), denotada m t ( o ) es f() f( o ) igual al, siempre que este límite eista. o o Ejemplo Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación f() = 3, en el punto (, ). La ecuación de la recta tangente es: y = m + b. pendiente en (, ). Utilizando la definición anterior vamos a averiguar la Solución Así: f() f() m T () 3 ( ) 3 + ( )( ) ( ) = Luego m T () =, por lo que y = + b. = () + b de donde b =. Para averiguar b, sustituimos el punto (, ) como sigue: Por tanto, la ecuación de la recta tangente es y =. La representación gráfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente: Figura.3: Recta tangente a f() = 3, en el punto (, ) Definición 3 Se dice que la recta normal a una curva en el punto P ( o, y o ), es la línea que pasa por P y es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Además, recuerde que dos líneas no verticales son perpendiculares entre sí, si y

7 Introducción 7 solo si sus pendientes tienen valores recíprocos negativos. Si m T es la pendiente de la recta tangente y m N la de la recta normal, entonces: m N = m T (m T.m N = ) Figura.4: Recta normal y tangente Ejemplo Determinar la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación f() = 4, > 0, en el punto (, ). Solución Como m N = m T, averiguamos primero la pendiente de la recta tangente. Así: m T () f() f() 4 4 = = = = ( ) 4 ( ) ( ) ( ) = = Como m T () =, entonces m N () =.

8 8 Capítulo : Derivadas La ecuación de la recta normal es: y = + b. Sustituyendo en la ecuación anterior =, y = se obtiene b = 0. Por tanto, la ecuación de la recta normal es y =. La representación gráfica de la curva y la recta normal es la siguiente: Figura.5: Recta normal a f() = 4 en (,) La ecuación de la recta tangente es y = + 4. Ejercicios. Determinar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación f() = 5, en el punto (, 3). Ejemplo 3. Determinar la ecuaciónde la recta tangente a la parábola con ecuación y =, y que es paralela a la recta con ecuación y = 4. Solución Recuerde que si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales. Note que en este caso no nos indican el punto de tangencia en la curva. Como la recta tangente es paralela a la recta de ecuación y = 4, entonces m T ( o ) = 4. Calculemos m T ( o ): m T ( o ) o f() f( o ) o o o o o ( o )( + o ) o

9 Introducción 9 o ( + o ) = o + o = o Como m T ( o ) = o se tiene que o = 4 y por tanto o =. Si o = entonces y o = = 4. El punto de tangencia es P (, 4). La ecuación de la recta tangente es: y = 4 + b. Sustituimos (, 4) y se obtiene que b = 4. Entonces la ecuación de la recta tangente es y = 4 4. La representación gráfica es la siguiente: Figura.6: Recta tangente a y = paralela a y = 4 Estudiaremos ahora un segundo problema que involucra un límite similar al utilizado al determinar pendiente de una recta tangente a una curva. Dicho problema es el de determinar la velocidad de una partícula en un instante de tiempo t o. Recibe el nombre de movimiento rectilíneo el efectuado por una partícula a lo largo de una línea recta. Sea s la función con ecuación s(t) = t +, que describe la distancia dirigida de la partícula a un punto fijo O, en cualquier tiempo t, (s se mide en metros y t en segundos). Cuando t = 0, la partícula se encuentra a metro de O y cuando t = 3 segundos la partícula está a 0 metros de O, como se representa a continuación: La velocidad promedio de la partícula es la razón del cambio en la distancia dirigida desde un punto fijo, al cambio en el tiempo. En este caso, en el lapso de tres segundos, la velocidad media, denotada v med, está dada por v med = = 3 metros por segundo

10 0 Capítulo : Derivadas Figura.7: Movimiento rectilíneo de una partícula Note que la velocidad promedio de la partícula no es constante, y que además ésta no proporciona información específica referente al movimiento de la partícula en cualquier instante determinado. Para el movimiento anterior, la velocidad media desde t = 3 segundos hasta otro tiempo t cualquiera, está dada por: v med = s(t) s(3) t 3 = s(t) 0 t 3 Si quisiéramos determinar la velocidad al final de 3 segundos, es decir la velocidad instantánea cuando t = 3 no podríamos averiguarla con la fórmula anterior, pues si se sustituye t = 3 el denominador se hace cero. Sin embargo, cuanto más corto sea el intervalo de t a t = 3 seg, la velocidad promedio estará más cerca de lo que intuitivamente se consideraría como la velocidad instantánea en t = 3seg. Surge así la siguiente definición sobre la velocidad instantánea: Definición 4 Si una partícula se mueve sobre una línea recta de tal forma que su distancia dirigida s, a un punto fijo de la recta está dada en función del tiempo por la ecuación s = s(t), entonces la velocidad en cualquier instante t es: v(t ) t t s(t) s(t ) t t, siempre que este límite eista Utilizando la definición anterior, se puede averiguar la velocidad en el instante t = 3 seg, de la siguiente forma: v(3) t 3 s(t) s(3) t 3 t 3 t + 0 t 3 t 3 t 9 t 3 (t 3)(t + 3) t 3 t 3 (t + 3) = 6 t 3 Luego, la velocidad cuando t = 3 seg es de 6 metros por segundo. La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa, según la partícula se mueva a lo largo de la recta en dirección positiva o negativa; es cero cuando la partícula está en reposo.

11 Introducción La rapidez de la partícula en un instante de tiempo t, se define como v(t ), siendo simplemente la magnitud de la velocidad, es decir, su valor absoluto, por lo que será siempre positiva o nula. La aceleración es una medida de la variación de la velocidad. La aceleración es cero si una partícula se mueve sobre una recta con velocidad constante. Si la velocidad v de la partícula está dada por la ecuación v = v(t), donde t es el tiempo, entonces la aceleración en el instante t = t, se define como el límite de la aceleración media de la siguiente forma: a(t ) t t v(t) v(t ) t t Observe la semejanza con la definición de velocidad instantánea como límite de la velocidad media. Ejemplo 4. La ecuación s(t) = t + t describe el movimiento de una partícula sobre una recta. La distancia al origen está en metros y t está en segundos. Calcular la velocidad cuando t = 3 seg. Solución Se debe determinar la velocidad instantánea cuando t = 3 seg v(3) t 3 s(t) s(3) t 3 t 3 t + t 5 t 3 t 3 (t 3)(t + 5) t 3 t 3 (t + 5) = 8 metros por segundo. Así, cuando t = 3 seg, la velocidad de la partícula es de 8 metros por segundo.. Una partícula P se mueve en línea recta de acuerdo con la ecuación s(t) = 5t 3t, donde s, en metros, es la distancia al punto de partida en el tiempo t, (en segundos). Determinar la distancia de P al punto de partida cuando la velocidad es nula. Solución Debemos averiguar primero la velocidad de la partícula en cualquier instante t o. v(t o ) t to s(t) s(t o ) t t o t to 5t 3t (5t o 3t o) t t o t to 5t 5t o 3t + 3t o t t o

12 Capítulo : Derivadas t to 5(t t o ) 3(t t o) t t o t to 5(t t o ) 3(t t o )(t + t o ) t t o t to (t t o )(5 3t 3t o ) t t o t to (5 3t 3t o ) = 5 6t o = 5 6t o metros por segundo. Ahora averiguaremos el valor de t o para el que la velocidad se hace cero: v(t o ) = 0 5 t o = 0 t o = 5 segundos Por último, calculemos la distancia que ha recorrido la partícula al cabo de t o = 5 segundos. s ( ) 5 = 5 ( ) 5 3 ( ) 5 = 75 = 8, 75 metros. 4 Ejercicio Dos partículas p y p parten de un mismo punto en una recta y se mueven a lo largo de ella según las ecuaciones s (t) = t 4t, y, s (t) = 3t t, donde s y s están en metros, y t en segundos. a. En qué tiempos tendrán las dos partículas la misma velocidad? b. Determine las velocidades de las partículas en los tiempos en que están en la misma posición sobre la recta... La derivada de una función En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se obtuvo como resultado dos límites: f() f( o ) f(t) f(t o ) m T ( o ), v(t o ) o o t to t t o Ambos límites tienen básicamente la misma forma y son casos específicos de un tipo especial de límite que se define a continuación. Definición Sea f una función real definida en un intervalo I R. Sea o I La derivada de f en el punto o, denotada f ( o ), es el o f() f( o ) o si este límite eiste.

13 La derivada de una función 3 Note que, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la curva con ecuación y = f() en el punto ( o, f( o )), es precisamente la derivada de f evaluada en o. También, si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ecuación de movimiento s = f(t), puede observarse que v(t ) en la definición de velocidad instantánea de la partícula en t, es la derivada de f respecto a t, evaluada en t. Si en la definición de derivada se sustituye o por h, entonces h 0 cuando o y = o + h. Luego f f( o + h) f( o ) (), si este límite eiste. La función f es derivable en o si f ( o ) eiste. h 0 h Si f () eiste para cada en un intervalo I, (I R), se dice que la función f es derivable en I; se escribe f f( + h) f() (). h 0 h Ejemplo Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:. f() = 5 3 Se debe calcular el h 0 f( + h) f() h La epresión f( + h) indica que la función f debe evaluarse en ( + h). Así, f( + h) = 5( + h) 3. Luego: f () h 0 f( + h) f() h h 0 5( + h) 3 (5 3) h h h h 5h h 0 h f () h 0 5 = 5 Por tanto, si f() = 5 3 entonces f () = 5.. f() = 3, 0 En este caso f( + h) = Luego: f () h 0 f( + h) f() h 3 ( + h)

14 4 Capítulo : Derivadas h 0 3 (+h) 3 h h 0 3 3( + h) h ( + h) h h 3h h ( + h) h 0 3h( + h) h ( + h) h 0 3( + h) ( + h) = 6 = 6 3 Si f() = 3 entonces f () = g(u) = (u + ) En este caso g(u + h) = [(u + h) + ] Luego: g (u) h 0 g(u + h) g(u) h h 0 [(u + h) + ] (u + ) h h 0 [(u + h) + + (u + )][(u + h) + (u + )] h h 0 (u + h + + u + )(u + h + u ) h h 0 (4u + h + )(h) h h 0 (4u + h + ) g (u) = (4u ) = 8u + 4 Si g(u) = (u + ) entonces g (u) = 8u + 4. Ejercicios Determine, utilizando la definición de derivada, la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:. f(t) = t +, t >

15 Notaciones para la derivada de una función 5. f() = g(y) = 3y y +, y..3 Notaciones para la derivada de una función Si f es una función derivable en un intervalo I, (I R), el proceso por medio del cual se obtiene f (), da origen a una nueva función que recibe el nombre de función derivada. El dominio de f () está formado por todos los números del dominio de f para los que eista f (). Por ejemplo, si f() = con 0 entonces f () = está definida únicamente para > 0. Si y = f(), con f una función derivable, entonces la derivada de f puede denotarse por: a.) D f() que se lee: derivada de f() respecto a. b.) D y que se lee: derivada de y respecto a. c.) y que se lee: y prima...4 Continuidad y derivabilidad En el capítulo anterior se estudiaron las condiciones para que una función fuera continua en un punto. También se determinó la continuidad en un intervalo, que puede asociarse con la representación gráfica de una curva que no tiene brincos o saltos bruscos. Vamos ahora a relacionar la continuidad con la derivabilidad de una función f en un punto o, por medio del siguiente teorema. Teorema Si una función f es derivable en un punto o, entonces f es continua en o. Prueba: Al final del capítulo. El recíproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una función sea continua en un punto no implica que sea derivable en él. Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos conocer las siguientes definiciones sobre derivadas laterales. Definición Si f es una función continua definida en = o, entonces:

16 6 Capítulo : Derivadas. La derivada por la derecha, que se denota f +( o ), se define por la igualdad: f +( o ) + o siempre que el límite eista.. La derivada por la izquierda, denotada f ( o ), se define por la igualdad: f ( o ) siempre que el límite eista. o f() f( o ) o, f() f( o ) o, Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que f ( o ) eiste si y solo si eisten las derivadas laterales y ambas son iguales. Así: f ( o ) eiste f +( o ) = f ( o ) Ejemplo. Consideremos la función f definida por: f() = Vamos a determinar si f es continua en y si f () eiste. { + si < + 3 si Para lo primero tenemos que: a. f() eiste pues f() = + 3 = b. Como f() + + ( + 3) =, y f() ( + ) = entonces f() =. + Luego f es continua en = pues f() = f(). Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales. a. f +() + f() f() b. f () f() f() ( ) =. + =. Como f +() f () entonces f () no eiste. Luego, se ha comprobado que aunque f es continua en = se tiene que f no es derivable en =. La representación gráfica de la función es la siguiente: Figura.8: Función no derivable en =

17 Continuidad y derivabilidad 7 Note que en = la gráfica de f tiene un pico, siendo precisamente en = donde no es derivable la función.. Sea f la función con ecuación: f() = { si > 0 si 0 Determinemos si f (0) eiste y si f es continua en = 0. Calculemos las derivadas laterales: a. f +(0) f() f(0) = b. f (0) f() f(0) = 0 Luego f +(0) f (0) por lo que f no es derivable en = 0. 0 = Probemos ahora si f es continua en = 0: a. f(0) eiste pues f(0) = 0; f(0) = 0 = 0 = 0. b. f() = 0 y f() = 0. 0 Entonces f es continua pero no es derivable en = 0. La representación gráfica de la función es la siguiente: Figura.9: Función continua pero no derivable en = 0 Note que la gráfica tiene una tangente vertical en (0, 0). El hecho de que f no sea derivable en cero, está relacionado con el hecho de que una recta vertical no tiene pendiente.

18 8 Capítulo : Derivadas { 3. Sea f la función con ecuación:f() = 4 si < si Determinemos si esta función es continua y derivable en =. Se tiene que f() eiste pues f() = = 0 = 0. Como f() + = 0 y f() + ( 4) = 0 Entonces f() eiste y además f() = f(), por lo que f es una función continua en =. Estudiemos ahora las derivadas laterales: a. f +() + f() f() = + + b. f () f() f() 4 0 ( )( + ) ( + ) = 4 Como f +() f () entonces f () no eiste. Nuevamente, aunque una función sea continua en un punto esto no garantiza que sea derivable en él. La representación gráfica de esta función es la siguiente: Figura.0: Gráfica de f() Note que nuevamente la recta tangente a la curva en = es una línea vertical. Ejercicios Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

19 si < 0. f() = si 0 o = 0 Teoremas sobre derivadas 9. f() = 3, o = 3 a. Determine si f es continua en o. b. Halle f +( o ) y f ( o ). c. Determine si f es derivable en o. d. Haga la representación gráfica...5 Teoremas sobre derivadas Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas. Teorema La derivada de una función constante es cero. Prueba: Ejercicio para el estudiante. Ejemplo. Si f() = 8 entonces f () = 0.. Si f() = 5 entonces f () = Si f() = 4 5+ entonces f () = 0. Teorema Si f() = entonces f es derivable sobre R y D f() = D =. Prueba: Ejercicio para el estudiante. Ejemplo. D y y =. D n n = 3. D t t =

20 0 Capítulo : Derivadas Teorema 3 Si f() = n con n Q y pertenece al conjunto A en el que n está bien definida, entonces f es derivable en A y D n = n n. Prueba: Al final del capítulo. Ejemplo 3. Si f() = entonces f () = = =.. Si f() = 5 entonces f () = 5 5 = D ( 3 ) = 3 3 = D ( 5 ) = D 5 = 5 6. ( ) ) 5. D = D ( = =. ) 6. D ( 3 = 3 3 = 3 3 ) 7. D ( 4 = 4 4 = ) ( ) = D D ( 4 3 Teorema = Si la función f es derivable sobre un intervalo K y c es un número real, entonces la función g para la que g() = c f() es derivable sobre K, además D [c f()] = c D f(). Prueba: Ejercicio para el estudiante utilizando la definición de derivada de una función. Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Ejemplo 4. Si f() = 5 entonces f () = 5 D = 5 = 5.. Si f() = 3 entonces f () = D 3 = (3 ) = 6. ( ) 3. D = 7 7 D = 7 = 7. ( ) 5 4. D 4 3 = = D z ( z 3 7 ) ( ) 3 = 7 z 0 7 = 6 7 z 0 7.

21 Teoremas sobre derivadas Teorema 5 Si f y g son dos funciones derivables sobre un intervalo K, entonces la función h = f + g es derivable sobre K y además D [f() + g()] = D f() + D g(), para K. Prueba: Al final del capítulo. Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones. También: D [f () + f () + f 3 () f n ()] = D f () + D f () + D f 3 () D f n () donde f, f,..., f n son funciones derivables sobre un intervalo K. Ejemplo 5. D [ ] = D 3 + D 7 = D [ 7 + ] = D 7 + D = D 7 + D = 7 5 = D [ ] = D 3 + D 3 + D 5 = = Si f y g son funciones derivables sobre un intervalo K entonces la función f g es derivable sobre K, y además para cualquier K se tiene que D [f() g()] = D f() D g(). Ejemplo 6. D [5 5] = D 5 D 5 = 0 0 = 0. [ 3. D + ] = D [3 + ] = Teorema 6 Si f y g son funciones derivables sobre un intervalo K entonces la función H = f g es derivable sobre K, y además para cualquier K se tiene que D [f() g()] = f()d g() + g()d f(). Prueba: Al final del capítulo. Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera. Ejemplo 7

22 Capítulo : Derivadas. D [ 3 ( + )] = 3 D ( + ) + ( + )D 3 = 3 (4 + ) + ( + ) D [( )( + )] = ( )D ( + ) + ( + )D ( ) = ( ) ( ) + + ( + )( 0 + 0). 3. D [(a 3 b + c)(5 3 + k)], con a, b, c, k constantes. = (a 3 b + c)d (5 3 + k) + (5 3 + k)d (a 3 b + c) = (a 3 b + c)( k) + (5 3 + k)(3a b). Teorema 7 Si f y g son dos funciones derivables y si g() 0 sobre un intervalo K entonces la función h = f es derivable ( ) g f() sobre K, y además para cualquier K y se tiene que D = g()d f() f()d g() g() [g()] Prueba: Al final del capítulo. Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador. Ejemplo 8 ( 5 ) +. D = (3 + 4 )D (5 + ) (5 + )D ( ) [ ] = (3 + 4 )(0 + 0) (5 + )(3 + 8) [ ] = [ ] = [ ] con 0, 4

23 Derivada de una función compuesta 3 ( ) + 5. D 4 + = (4 + )D ( + 5) ( + 5)D (4 + ) [4 + ] = ( (4 + ) ) ( + 5)(8) [4 + ] = + 8( + 5) (4 + ) = + 8( + 5 ) (4 + ) = 6 40 (4 + ) con > 0 ( ) ( 3 ( ) ) D 3 = ( 3 ) = ( 3 ) = ( 3 ) = 4 3 3( 3 ) con 8..6 Derivada de una función compuesta (Regla de la cadena) Si consideramos las ecuaciones y = u 3, u = entonces puede escribirse y como y = (5 + 8) 3. En igual forma, si y = u, u = entonces puede epresarse y como y = En general, si y = f(u), u = g() entonces y = f(g()). Las ecuaciones anteriores dan en forma eplícita las siguientes funciones: f = {(u, y)/ y = f(u)} g = {(, u)/ u = g()} h = {(, y)/ y = f(g())}

24 4 Capítulo : Derivadas La función h para la cual h = f(g()) recibe el nombre de función compuesta y se escribe h = (fog)() = f(g()). Observe que los elementos del dominio de h son los que pertenecen al dominio de la función g, tales que g() pertenezca al dominio de f. Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama: Figura.: Dominio de una función compuesta Otros ejemplos de funciones compuestas son:. h() = = f(g()) donde f() = 3 y g() = 6 4. h() = e 3 + = f(g()) donde f() = e y g() = 3 + Determinaremos ahora la derivada de una función compuesta. Teorema Si la función g = {(, y)/ y = g()} es derivable sobre un intervalo S y si la función f = {(u, y)/ y = f(u)} es derivable sobre un intervalo S tal que S = {g()/ S }, entonces la función compuesta f(g) = {(, y)/ y = f(g())} es derivable sobre S y D [f(g())] = f (g()) g (), para S. Esta fórmula recibe el nombre de Regla de la Cadena. Demostración: Al final del capítulo. Ejemplo. D [f(3 + )] = f (3 + ) D (3 + ) = f (3 + ) 6. D [f( )] = f ( ) 3. D [f con > 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ] = f D = f

25 Derivada de una función compuesta 5 Corolario: Si la función g = {(, u)/ u = g()} es derivable sobre un intervalo S y si [g()] p y [g()] p están definidas para S con S S, (p Q), entonces la función g k = {(, y)/ y = [g()] p } es derivable sobre S y además D [g() p ] = p(g()) p D g(), para S. Este teorema es una aplicación inmediata de la regla de la cadena en la forma D y = D u y D u con y = u p, u = g() y D u y = p u p. Ejemplo. D (5 + 3) 4 En este caso u = por lo que D [(5 + 3) 4 ] = 4(5 + 3) 3 D (5 + 3) = 4(5 + 3) 3 5 = 0(5 + 3) 3. D [( ) ] = ( ) 3 D ( ) = ( ) 3 ( 3 + 0) 3. D = D (5 + 4) = (5 + 4) (0 + 0) = D = D ( ) 4 = 4 ( ) 3 4 ( )

26 6 Capítulo : Derivadas = 4 ( ) 3 5. D = ( ( ) ) Ejercicios: Determine la derivada de las funciones con ecuaciones:.) f() = ) f() = Diferenciales. Interpretación geométrica Incrementos Estudiaremos este punto antes de definir el diferencial y dar su interpretación geométrica. f( + h) f() Al dar la definición de la derivada de una función f como el, se utilizó h para señalar un h 0 h número distinto de cero tal que + h pertenece al dominio de f. Gráficamente se tiene la representación de f y la recta tangente: Figura.: Gráfica de f() y la recta tangente

27 Diferenciales 7 Puede decirse que h es la diferencia entre las abscisas de dos puntos de la gráfica de f. el nombre de incremento de y se denota por. Esta diferencia recibe Para una función f, dada al sustituir h por en la epresión de donde f () = 0 f( + ) f(). f( + h) f() h, se obtiene f( + ) f() Si y = f() entonces el incremento en y correspondiente al incremento de, que se denota por y, está dado por f( + ) f(). Así, y es el cambio en y debido al cambio en. La razón y f( + ) f() = para el intervalo [, + ]. recibe el nombre de razón promedio de cambio de f o de y, respecto a, y La derivada: D y 0 f( + ) f() 0 simplemente razón de cambio de y o de f respecto a. recibe el nombre de razón instantánea de cambio o Ejemplo. Si y = + hallar y en términos de y. i. Determinar y para: a. =, = 0. b. = 0, = 0.0 Solución: y = f( + f()) = ( + ) + ( + ) = ( + + ( ) ) + = ( ) = (4 + ) a. Para =, = 0. se tiene que: y = (4 + 0.)0. = 0.4 Puede decirse que eiste un incremento de 0.4 en las ordenadas debido a un incremento de 0. en las abscisas. b. Para = 0 y = 0.0 se tiene que: y = ( )0.0 = 4.00

28 8 Capítulo : Derivadas ii. Hallar la razón promedio de cambio de y respecto a para el intervalo [,.5] y para el intervalo [,.0]. Solución: La razón promedio de cambio de y respecto a está dada por: y f( + ) f() = = (4 + ) y = 4 + de donde En el intervalo [,.5] se tiene y y = 8 + (0.5) = 9 y el intervalo [,.0] se obtiene = 8 + (0.0) = 8.0 iii. Hallar la razón de cambio de y respecto a. Determinar el valor de esta razón en y en 4. Solución: La razón de cambio de y respecto a está dada por: y 0 (4 + ) = 4 0 En esta razón instantánea es 8 y en 4 toma el valor de.. Demostrar que la razón de cambio del volumen de una esfera con respecto a su radio, es igual al área de la superficie de la esfera. Solución: El volumen de una esfera de radio r es V = 4 3 πr3 La razón de cambio del volumen con respecto al radio está dado por: V r 0 r V (r + r) V (r) r 0 r 4 3 π(r + r)3 4 3 πr3 r 0 r 4 r 0 3 π r3 + 3r r + 3r( r) + ( r) 3 r 3 r 4 r 0 3 π r(3r + 3r r + ( r) ) r 4 r 0 3 π [3r + 3r r + ( r) ]

29 Diferenciales 9 = 4 3 π(3r ) = 4πr epresión que corresponde precisamente al área de la superficie de la esfera. Diferenciales Sea f una función definida por y = f(), derivable sobre un intervalo S. Sea diferente de cero tal que + pertenece al dominio de f y el punto ( +, f( + )) esté en la gráfica de f como se muestra en la siguiente figura: Figura.3: Gráfica de f() Sabemos de la definición de derivada que: f () = f( + ) f() 0 si el límite eiste luego: ( ) y 0 f () ( ) y 0 f () = f () f () = 0 0 de donde para cualquier ε > 0 eiste δ > 0 tal que y f () < ε siempre que 0 < < δ o sea, y f () < ε siempre que 0 < < δ. Lo anterior significa que f () puede hacerse tan pequeño como se quiera, tomando suficientemente pequeño. Luego, f () es tan buena aproimación para el incremento y como se desee, tomando suficientemente pequeño. Definición

30 30 Capítulo : Derivadas Si f es una función tal que f () eiste sobre un intervalo S y si es cualquier número distinto de cero, la diferencia de f con respecto a es igual f () multiplicada por. Esta diferencial se denota por d f() de tal forma que d f() = f (). Ejemplo Si f() = 4 + entonces d f() = 8. Consideremos ahora una función compuesta compuesta h = f(g) donde y = f() = g(t) siendo t la variable independiente final y la variable intermedia. Luego y = h(t). Aplicando la definición anterior tanto a y como a se obtiene: d t y = h (t) t, d t = g (t) t. Utilizando la regla de la cadena para derivar h respecto a t se obtiene que h (t) = f ()g (t). Luego d t y = h (t) t = f ()g (t) t = f ()d t, fórmula que se escribe usualmente dy = f ()d, y que se lee como la diferencial de y es igual a la derivada de y con respecto a, multiplicada por la diferencial de donde dy, d son diferenciales con respecto a la misma variable. Definición Si una función f está definida por y = f() entonces la diferencial de, que se denota d, está dada por d = donde es la variable independiente final, y además, la diferencial y es siempre: dy = f ()d. En la figura anterior es fácil observar que dy es una mejor aproimación de y conforme se hace cada vez más pequeña. Ejemplo 3. Determinar y, dy, y dy para y = 3, = ; = 0.03 Solución: Consideremos f() = y = 3. Calculemos primero el incremento: y = f( + ) f() = ( + ) 3( + ) ( 3) = y = + + ( ) = y = + ( ) 3 = y = ( + 3) Para =, = 0.03; y = ( )(0.03) de donde y = Ahora calculemos la diferencial dy: dy = f ()d = ( 3)d

31 Diferenciales 3 Luego para =, = 0.03 se tiene que dy = ( 3)(0.03) = 0.03 Por último y dy = = Utilizando diferenciales, calcular aproimadamente el valor de 3. Solución: Tomemos f() = y = 3, = 5, d = = 3. Nos interesa determinar una aproimación a y + y para = 5 y d = 3. Para ello calculamos el diferencial de y : dy = f ()d = 3 3 d; sustituyendo por 5 y d por 3 se obtiene que: 3 dy = 3 3 (5) = = 3 (5) 3 = = 5 = 0.04 Luego dy = 0.04, y = 5 = 3 5 Así aproimamos y + y para = 5, d = = 3 con y + dy = = 4.96 Luego 3 = El lado de un cuadrado es igual a 5 cm. Hallar el incremento aproimado de su área si el lado aumenta 0.0 cm. Solución: Sea A() = y = donde es el lado del cuadrado, A denota su área. Se desea determinar cuánto aumenta el área cuando la longitud del lado pasa de 5 cm a 5.0 cm. Calculemos la diferencial de área: Así: da = f ()d = d, donde = 5 y d = 0.0 Luego: da = 0(0.0) = 0. y aproimamos A + A para = 5, d = 0.0 con A + da = de donde A + da = 5.0, área del nuevo cuadrado. El incremento del área es de 0. cm. 4. Al calentar una esfera de radio R = 9 cm, su volumen aumentó 3.4π cm 3. Hallar el alargamiento del radio de la esfera. Solución:

32 3 Capítulo : Derivadas Sea f(r) = y = 4 3 πr3 la ecuación para el volumen de la esfera. En este caso conocemos la diferencial del volumen de la esfera que está dada por dv = 3.4π cm 3. Debemos averiguar la diferencial o el incremento del radio, es decir d = (dr = R) Como dv = f ()dr = 4πR dr; dv = 3.4π; cm 3 y R = 9 cm entonces: 3.4π cm 3 = 4π(9 cm) dr y por tanto dr = 0. cm. El radio de la esfera se alargó 0. cm. Ejercicios. Resuelva los problemas siguientes:. Hallar el valor aproimado de (99).. Sea u = f() y v = g(), donde f y g son funciones derivables sobre un dominio común. Eprese la diferencial del producto uv en términos de las diferenciales de u y v. 3. Un paralelepípedo rectangular de 0cm de altura tiene por base un cuadrado cuyo lado es igual a 0cm. Cuánto aumentará el volumen del paralelepípedo si el lado de la base se alarga 0.0cm? 4. De cada cara de un bloque cúbico de madera se saca una capa de 0.3cm de espesor. Si el bloque tenía originalmente 7cm de arista, aproimadamente cuánto va a decrecer el volumen a causa del proceso? Nota: A partir de la notación diferencial se tiene que dy = f ()d por lo que se puede dividir por d obteniéndose por tanto que f () = dy d. El usar el cociente de diferenciales para denotar la derivada de f se debe a Leibniz y se utiliza a veces al denotar las derivadas de orden superior...8 Derivadas de orden superior Si f es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como: f = {(, y)/ y = D f()} para en el dominio M de f. f ( + h) f () Si para algunos valores M eiste el se dice que eiste la segunda derivada de la h 0 h función f que se denota por f () o Df(), que equivale a D [D f()]. O sea, la segunda derivada de la función f se obtiene derivando la primera derivada de la función. Ejemplo

33 Derivadas de orden superior 33. Si f() = entonces: f () = y f () = Si g() = + 3 entonces: g () = ( )( + 3) ( + 3) ( ) = 3 ( ) y derivando nuevamente g () = ( ) ( ) ( 3)( ) ( ) 4 = ( )[( )( ) ( 3)] ( ) 4 Por tanto g () = 8 ( ) 3 Similarmente podemos decir que la derivada de D f() respecto a es la tercera derivada de f respecto a que se denota D 3 f() o f (). La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada D 4 f() y así podríamos continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de f que se denota por D n f() o f (n) (). Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n. Ejemplo. Determinar g () si g() = + + 3, donde D g = R. Solución: Obtenemos primero g () g () = Luego: ( + ) g () = ( + + 3) (+) ++3 y se tiene que: g () = ( + + 3) Determinar f () si f() = Solución:

34 34 Capítulo : Derivadas Se tiene que: f () = f () = Por último: f () = Si y = determinar D n y. En este caso debemos dar una forma general para la derivada de orden n, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas que calculemos. Así: y = y = 4 3 = ( ) y = = 3 3 ( 3 ) y iv = = 5 4 ( 4 ) y v = = 05 5 ( 5 ) y n = ( )n (n 3) n (n ) para n. Ejercicios.. Obtener D n uw si w = + u. Una aplicación de la segunda derivada Anteriormente hemos estudiado que si s = s(t) nos indica la distancia de una partícula al origen en un tiempo t, entonces D t s(t) es la velocidad en el tiempo t. Al calcular la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular D t v(t) se obtiene la aceleración instantánea en el tiempo t. Si denotamos esta aceleración por a(t) se tiene que a(t) = Dt s(t), es decir, la

35 Derivadas de orden superior 35 aceleración es la segunda derivada de la distancia respecto al tiempo. Ejemplo 3 Sea s = 3 con t 0, la ecuación que determina la distancia en el tiempo t (en segundos) de una partícula + t al origen en un movimiento rectilíneo. Determinar el tiempo, la distancia, y la velocidad en cada instante en que la aceleración es nula. Solución: Si s = 3 entonces la velocidad v está dada por: + t v(t) = 64t ( + t ) = s (t) y la aceleración es a = 9t 768 ( + t ) 3 = v (t) Averiguemos el tiempo en que la aceleración se hace cero: a(t) = 0 9t 768 = 0 t = 4 t = Luego, la distancia recorrida cuando t = es s = metros y la velocidad en t = es v = m/seg. Ejemplo 4 Si y = f() es la ecuación de una curva, se sabe que f () determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en un punto (, y). Se tiene que Dy es la razón de cambio de la pendiente de la recta tangente respecto a. Más adelante utilizaremos la segunda derivada de una función para determinar los etremos relativos de una función y para determinar la concavidad de la gráfica de una función. Ejemplo 5. Determinar la pendiente de la recta tangente en cada punto de la gráfica de la curva con ecuación y = , en los que la razón de cambio de la pendiente es cero. Solución: Se tiene que y = da la pendiente de la recta tangente a la curva. Además y = determina la razón de cambio de la pendiente. Debemos averiguar los valores de en los que esta razón de cambio es cero; Entonces y = 0 6( )( + ) = 0 = ó = Luego, cuando = la pendiente es y = es cero. ( ) = 0 y cuando = la pendiente y también

36 36 Capítulo : Derivadas. Determinar la razón de cambio de la pendiente en (3, 7) para la curva con ecuación y = ( 3) 3. Solución: La razón de cambio de la pendiente está dada por la segunda derivada de la función, así: D y = D (D y) = D [6( 3) ] = ( 3) = 4( 3) En el punto con coordenadas (3, 7) la razón de cambio de la pendiente es: 4( 3 3) = 4(6 3) = 7 Luego D y = 7 en (3, 7)...9 Derivada de la función logarítmica Vamos a estudiar la derivada de la función f definida por f() = log a, donde R + y a R + tal que 0 < a < ó a > Teorema Si a > 0 y a, y si > 0, entonces la función log a = {(, y)/ y = log a, ]0, + [} es derivable sobre su dominio ]0, + [ y D log a = log a e, > 0. Demostración: Al final del capítulo. Ejemplo. D log = log e. D log = log e Teorema Sea a > 0 y a, si la función g = {(, u)/ u = g()} es derivable y g() 0 sobre un conjunto M, entonces la función F definida por F () = log a g(), M, es derivable sobre M y D log a u = F () = log a u = u (log a e)d u, M. Demostración: Al final del capítulo. Ejemplo. D log 3 (5 + ) = 5 + log 3 e(0) = log 3 e

37 Derivada de la función logarítmica 37. D log = log e ( ) + 3. D log = + +3 = log 5 e 3 ( + )( + 3) = log e, > ( + )() ( + 3) log 5 e, > En particular si la base de los logaritmos es e entonces el log e se denota por ln, y:. D ln = log e e = =, es decir D ln =. Si g() es una función derivable con g() 0 entonces: D ln g() = g() D (g()) Ejemplo 3. D ln 5 = 5 D (5) = 5 5 =. D ln( + + ) = = + + D ( + + ) ( ) , >. 3. D ln = D [ln ] = [ln ] D ln = ln = ln 4. D ln 4 ( + 5) = D [ln( + 5)] 4 = 4[ln( + 5)] 3 = 8 ln3 ( + 5) () R. 5. D [ln(3 + ) 4] = = 3 +, > 3. ( ) 6. D ln( + ) = D ( [ln( + )] ) = [ln( + )] +

38 38 Capítulo : Derivadas = ( + ) ln ( + ) Ejercicios.. Si ln 50 = 3.9 calcule, utilizando diferenciales, un valor aproimado a tres decimales de ln(50.4)...0 Derivada de la función eponencial La función eponencial de base a, con a > 0 y a, tiene como dominio R y como ámbito ]0, + [. En el teorema siguiente se dará la derivada de la función eponencial. Teorema D a = a ln a Prueba: Al final del capítulo. Ejemplo. D = ln. D 4 = 4 ln 4 3. D ( ) = 4. D ( 3 4) = ( ) ln = ln ( ) 3 ln Observe que si la base de la función eponencial es e, entonces D e = e ln e = e de donde D e = e. Teorema Si a > 0, con a, y si g = {(, y)/ y = g()} es derivable sobre M entonces la función compuesta f() = a g() es derivable sobre M y D a g() = a g() ln a D g(), para M. Prueba: Ejercicio al estudiante. Igual que el caso anterior, si la base de la función eponencial es e, entonces D e g() = e g() ln e D g() de donde D e g() = e g() D g().

39 Derivadas de la funciones trigonométricas 39 Ejemplo. D 5 = D 5 D 5 = 5 (ln ) 5 = 5( 5 ln ). D 3 ( +) = D 3 ( +) D ( + ) = 3 ( +) (ln 3)( + ) 3. D 4 = 4 ln 4 = 4 ln 4 4. D e = e D () = e 5. D e 5+ = 5e 5+ Ejercicios. I Determine la derivada de cada una de la funciones siguientes:. f() = π 4. g() = 3 e 3. h(t) = t3 e t + t ( ) 5 e 4. h() = ln + 5 e 3 ( 5. f() = + e 3) ln( + ) II. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación y = 3 e tal que sea paralela a la recta con ecuación + y =.. Determinar la ecuación de la recta tangente trazada a la curva con ecuación y = e en el punto de su interseción con el eje Y. 3. La dependencia entre la cantidad de sustancia obtenida en cierta reacción química y el tiempo t de reacción se epresa por la ecuación = A( e kt ). Determinar la velocidad de reacción... Derivadas de la funciones trigonométricas A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.. D sen = cos Prueba: Al final del capítulo.

40 40 Capítulo : Derivadas Utilizando esta como guía, junto con el teorema sobre derivada de un cociente de funciones, se pueden realizar las respectivas demostraciones sobre las derivadas de las funciones trigonométricas. En general, aplicando la regla de la cadena para funciones compuestas, se cumple que D [seng()] = cos g() D g(). Ejemplo a. D [sen 6] = cos 6 D 6 = 6 cos 6 b. D sen 3 = cos 3 D 3 = cos c. D [sen e 4 ] = cos e 4 D e 4 = cos e 4 e 4 4 = 4e 4 cos e 4 d. D (sen 4 ) = D [(sen ) 4 ] = 4(sen ) 3 cos = 4 sen 3 cos Ejercicios. Determine la primera derivada de cada una de las funciones con ecuaciones: a. f() = sen( ) ( ) b. g() = sen ln c. h() = sen (3). D cos = sen Prueba: Ejercicio para el estudiante. En general, si u = g() aplicando la regla de la cadena se tiene que D [cos u] = sen u D u Ejemplo a. D [cos(8 3 )] = sen(8 3 D (8 3 ) = 4 sen(8 3 )) ( )) 3 b. D (cos e = D [cos(3 e )] = sen(3 e ) (3 e ) = 3 e sen(3 e ) c. D (cos 3 ) = D [(cos ) 3 ] = 3(cos ) ( sen ) = 3 cos sen Ejercicios. Determine f () si: a. f() = cos 5

41 Derivadas de la funciones trigonométricas 4 ( ) 3 + b. f() = cos c. f() = ] cos, nπ, n + [ π, n Z d. f() = 4 cos 3 3. D tan = sec, con (n + ) π, n Z Prueba: Ejercicio para el estudiante. En general, su u = g() entonces aplicando la regla de la cadena se obtiene que D tan u = sec u D u. Ejemplo 3 a. D tan ( ) ( ) ( ) ( ) = sec D = sec b. D tan(ln ) = sec (ln )D ln = sec (ln ), > 0 c. D tan = tan sec = sec tan ( ) = sec ( ), 0 Ejercicios. Determine f () si a. f() = e tan b. f() = 3 tan c. f() = tan 3 () 4. D [cot ] = csc, π n, n Z Prueba: Ejercicio para el estudiante. Si u = f(), aplicando la derivada para la composición de funciones se obtiene que D (cot u) = csc u D u. Ejemplo 4 a. D (cot 5) = csc 5 5 = 5 csc 5 b. D (cot 3 5) = D [(cot 5) 3 ] = 3(cot 5) csc 5 5 ( ) c. D = ( csc ) cot (cot ) = csc (cot )

42 4 Capítulo : Derivadas Ejercicios. Determine f () si a. f() = cot(5 ) b. f() = 3 cot c. f() = cot(5 + 5 ln ) 5. D (sec ) = sec tan, (n + ) π, n Z Prueba: Ejercicio para el estudiante. Si u = g(), aplicando la regla de la cadena se obtiene que D (sec u) = sec u tan u D u. Ejemplo 5 a. D [sec( )] = sec( ) tan( )D ( ) = 4 sec( ) tan( ) b. D (e sec ) = e sec sec tan ( ) ( ) ( ) ( ) c. D sec = sec tan D = sec ( ) tan ( ) 0 Ejercicios. Determine f () si ( ) 4 a. f() = sec b. f() = sec 3 + c. f() = 3 sec 4 6. D [csc ] = csc cot, nπ, n Z. Prueba: Ejercicio para el estudiante Si u = g(), aplicando la regla de la cadena se obtiene que D (csc u) = csc u cot u D u. Ejemplo 6 a. D [csc( + )] = csc( + ) cot( + ) D ( + ) = csc( + ) cot( + ) b. D [csc( )] = csc cot D = csc cot ln = ln csc cot c. D ln (csc ) = ( csc cot ) = cot csc

43 Derivadas de las funciones inversas 43 Ejercicios. Determine f () si csc a. f() = e b. f() = 3 csc ( ) c. f() = cot, +.. Derivadas de las funciones inversas Previo al estudio de las funciones trigonométricas inversas, es necesario determinar la derivada de la función inversa de una función dada. Para ello consideremos el siguiente teorema. Teorema Sea f una función estrictamente creciente y continua en un intervalo [a, b] y g la función inversa de f. Si f () eiste y es diferente de cero para ]a, b[, entonces la función derivada g (y) también eiste y no es nula en el correspondiente y donde y = f(). Además se tiene que g (y) = f (), o sea D yg(y) = D f(). Note que si y = f() entonces = g(y) corresponde a f (y), y D y f (y) = D y Demostración: Al final del capítulo Ejemplo Consideremos la función definida por: f : ]0, + [ ] 3, + [, f() = y = 3 Esta función posee función inversa definida por: g : ] 3, + [ ]0, + [, g(y) = y + 3 Se tiene que g (y) = Como y + 3 y = + 3 entonces g (y) = g () = D ( 3) = f () Note que: = = pues ]0, + [ = =

44 44 Capítulo : Derivadas Ejemplo Sea y = f() = 3 la ecuación de una función definida en R tal que g(y) = 3 y =, o sea f () = 3. Se tiene que g (y) = 3 3 y, y como y = 3 entonces g (y) = 3 3 ( 3 ) = 3 3 = 6 3 = f () Así: D y = D y El teorema anterior será de gran utilidad cuando determinemos las derivadas de las funciones trigonométricas inversas...3 Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas Conviene recordar que: a. Si una función es continua y estrictamente creciente (o decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (o decreciente). b. Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es uno a uno. De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación. Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función. Función seno inverso Al considerar la gráfica de la función seno: Figura.4: Gráfica de la función seno Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:

45 Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas 45 [ π, π ] [ 3π,, 5π ] [ 5π,, 3π ], etc, la función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podría [ escogerse alguno de ellos para definir π la función inversa de la función seno. Usualmente se toma el intervalo, π ]. Luego, se define la función seno como: { [ π F = (, y) tal que y = sen, con, π ] } y [, ] [ π La función F así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo, π ], por lo que eiste una única función, definida en el intervalo [, ], llamada función seno inverso. Esta función, denotada arcsen, se define como sigue: [ π f : [, ], π [ π Se tiene entonces que y = arcsen = sen y, y, π Luego, arcsen(r) con r [, ], es el único número t ], f() = arcsen ]. [ π, π ] para el cual sen t = r. Ejemplo a. arcsen 0 = 0 pues sen 0 = 0. ( ) b. arcsen = π ( π ) 4 pues sen = 4 c. arcsen d. arcsen ( ) = π 3 ( ) 3 pues sen = π 6 pues sen π 6 = 3 ( ) π = 3 La representanción gráfica de la función seno y de la función arcoseno es la siguiente: Figura.5: Gráfica de la función seno y arcoseno

46 46 Capítulo : Derivadas Derivada de la función seno inverso Como y = arcsen = sen y, una función inversa se tiene que: para y [ π, π ], [, ], aplicando el teorema de la derivada de D (arcsen ) = D y sen y = cos y Como cos y + sen y =, y cos y 0 para y = sen y. [ π, π ] entonces cos y = sen y = pues Luego: D (arcsen ) = para ], [ En general D (arcsen f()) = f (), f() ], [. [f()] Ejemplo. D (arcsen 5 ) =. D (arcsen ) = (5 ) D (5 0 ) =, < D ( ) = ( ), ]0, [ 3. D (arcsen ) 3 = 3(arcsen ) = 3 arcsen, ], [ Ejercicios. Determine D h() si: ( ) a. h() = arcsen + b. h() = arcsen( + 3) Función coseno inverso Como en la función seno, la función coseno es continua y estrictamente creciente en varios intervalos por ejemplo: [ π, π], [0, π], [π, 3π], etc, por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea función inversa. Sea entonces la función F tal que: F = {(, y) tal que y = cos, con [0, π], y [, ]} La función F así definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo [0, π], por lo que posee función inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o función coseno inverso), y se denota arccos. Se define de la siguiente forma: f : [, ] [0, π], f() = arccos