Ecuaciones diferenciales de orden superior
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- Juan Manuel Miranda Lara
- hace 6 años
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1 CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 4.4 E lineales homogéneas con coeficientes constantes E homogéneas con coeficientes constantes de orden El ojetivo de esta sección es determinar la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden ay 00 C y 0 C cy 0I donde a 0,, c son constantes. Una solución y.x/ de esta E es una función que satisface lo siguiente: el resultado de c-veces la función y.x/, más -veces su primera derivada y 0.x/, más a-veces su segunda derivada y 00.x/, es igual a cero. Para que esto suceda la función y.x/ y sus derivadas deen tener la misma forma, lo que quiere decir que las funciones y.x/; y 0.x/ & y 00.x/ deen diferir entre ellas cuando mucho un factor constante. Una función que cumple con este requisito es la función exponencial y e rx, con r constante. En efecto: y e rx y 0 re rx y 00 r e rx : Supongamos pues que las soluciones de ay 00 C y 0 C cy 0 son de la forma y e rx, con r constante. Ahora, y e rx es solución si ya que e rx > 0 para cada x R. ay 00 C y 0 C cy 0 ar e rx C re rx C ce rx 0 Concretando: y e rx es solución de la ecuación diferencial si y sólo, si r es solución de la ecuación algeraica 1. canek.azc.uam.mx: 3/ 9/ 010.ar C r C c/e rx 0 ar C r C c 0; ay 00 C y 0 C cy 0; 4.1 ar C r C c 0: 4. 1
2 Ecuaciones diferenciales ordinarias Las soluciones de esta ecuación cuadrática están dadas por la conocida fórmula r p 4ac ; a y la naturaleza de dichas soluciones depende del signo del discriminante A la ecuación algeraica 4. la denominamos la ecuación característica o ien la ecuación auxiliar de la E 4.1. Y al polinomio p.r/ ar C r C c le llamaremos el polinomio característico o ien el polinomio auxiliar de la ecuación diferencial. Existen tres posiilidades para el discriminante 4ac. 4ac. Veamos qué sucede en cada caso. Caso 1. 4ac > 0. Se tienen dos soluciones reales 4ac > 0 p 4ac R r R: r 1 C p 4ac a & r p 4ac a ; las cuales son diferentes.r 1 r /. Conociendo estas raíces del polinomio auxiliar, podemos factorizar este polinomio como sigue: p.r/ a.r r 1 /.r r /: Estas raíces reales diferentes generan un par de funciones exponenciales reales, que son soluciones de la ecuación diferencial r r 1! y 1 e rx e r 1x : r r! y e rx e r x : Otenidas éstas, deemos preguntarnos si y 1 e r 1x & y e r x forman un conjunto fundamental de soluciones para la E ay 00 C y 0 C cy 0. Para responder a esta cuestión calculamos el wronskiano de y 1 & y : W.y 1 ; y / y 1 y y1 0 y 0 e r 1x r 1 e r 1x r e r 1xCr x e r x r e r x r 1 e r 1xCr x.r r 1 /e.r 1Cr /x : eido a que e.r 1Cr /x > 0 para cada x R y para r r 1 0, por ser r 1 r, se tiene que W.y 1 ; y / 0 en todo R. Luego, y 1 e r 1x & y e r x forman un conjunto fundamental de soluciones, por lo que la solución general de la ecuación diferencial, en este caso, es y c 1 y 1 C c y c 1 e r 1x C c e r x :
3 4.4 E lineales homogéneas con coeficientes constantes 3 Ejemplo Otener la solución general de la E y 00 5y 0 C 6y 0: Proponiendo y e rx como solución de la E, se otiene la ecuación auxiliar r 5r C 6 0, Por lo tanto, la solución general es r 5 1 r 1 3 r y 1 e 3x I y e x : y c 1 e 3x C c e x : Es decir, la solución general de la E es el plano generado por las funciones y 1 e 3x & y 1 e x, las cuales forman un conjunto fundamental de soluciones. Caso. 4ac 0. 4ac 0 p 4ac 0 r p 4ac a Se tiene sólo una solución real r 1, de multiplicidad dos, la cual genera una función exponencial a real y 1 e r1x e a x, que es solución de la ecuación diferencial. Conociendo esta raíz de multiplicidad, factorizamos el polinomio auxiliar como sigue: p.r/ a.r r 1 / : Por la necesidad de tener dos soluciones reales linealmente independientes de la ecuación diferencial, aplicamos el método de reducción de orden para otener otra solución y. Proponiendo y ue y 0 u 0 e y 00 u 00 u 00 a x : a x C ue a u 0 e a u 0 a x a x C a u 0 a u 0 C 4a u u 0 a u e e Ahora ien, y es solución de ay 00 C y 0 C cy 0, si ay 00 C y 0 C cy 0 a u 00 a u 0 C 4a u e au 00 u 0 C 4a u C u 0 au 00 C 4ac C 4a a x C u 0 a u C cu a u e e u 0 au 00 C a x a u e a x u 00 a x C cue a x I a a x 0 au 00 C u C 4ac 4a au 00 0, ya que 4ac 0 u 00 0, ya que a 0: Pero u 00 0 u 0 c 1 u c 1 x C c, con c 1 & c constantes. e esta familia de funciones elegimos una función: c 1 1 & c 0 u x: a u 0 C 4a u a x 0 4a e a : a x : a C c 0 u 0 au 00 4ac u 0 4a
4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias Entonces podemos tomar para la segunda solución: y ue a x xe a x : Y deido a que la solución y uy 1 forma con y 1 un conjunto fundamental de soluciones, se puede afirmar que la solución general de la ecuación diferencial es y c 1 y 1 C c y c 1 e rx C c xe rx.c 1 C c x/e rx, con r a : Ejemplo 4.4. Otener la solución general de la E 4y 00 1y 0 C 9y 0: Proponiendo y e rx como solución de la E, se otiene la ecuación característica 4r 1r C 9 0; de donde resulta: r r 3 y 1 e 3 x : Entonces, otra solución es y xe 3 x. Por lo tanto, la solución general es y c 1 e 3 x C c xe 3 x y.c 1 C c x/e 3 x : Caso 3. 4ac < 0. 4ac < 0 p 4ac R r R: Ahora, las soluciones no son reales, sino que son números complejos dados de la siguiente manera 4ac < 0. 4ac/ 4ac > 0 p 4ac R r p 4ac. 1/.4ac / a a r a p p 4ac 1 iˇ; a p 1 p 4ac a donde a R, i p 1 & ˇ Se tienen dos soluciones complejas: p 4ac a R. r 1 C iˇ & r iˇ: Conociendo estas raíces complejas del polinomio auxiliar, podemos factorizar este polinomio como sigue: p.r/ a.r r 1 /.r r /: Estas raíces generan un par de funciones exponenciales complejas, que son soluciones de la ecuación diferencial r r 1! y 1 e r 1x e. Ciˇ/x : r r! y e r x e. iˇ/x :
5 4.4 E lineales homogéneas con coeficientes constantes 5 A partir de este par de funciones complejas, generamos un par de soluciones reales. Para ello se utiliza la fórmula de Euler, la cual asegura que para R, Considerando esta fórmula y las identidades se otiene que Es decir, e i cos C i sen : cos. / cos & sen. / sen : e i e i. / cos. / C i sen. / cos i sen : e i cos i sen : Utilizando estas fórmulas para e i & e i con ˇx, se tiene que y 1 e. Ciˇ/x e xciˇx e x e iˇx e x.cos ˇx C i sen ˇx/I y e. iˇ/x e x iˇx e x e iˇx e x.cos ˇx i sen ˇx/: Y deido a que y 1 & y son soluciones de la ecuación diferencial ay 00 C y 0 C cy 0, tamién lo son y 1 C y e x. cos ˇx C 0/ e x cos ˇxI y 1 y e x.0 C i sen ˇx/ ie x sen ˇx: Así tamién, son soluciones de la misma ecuación diferencial las siguientes funciones: 1 1.y 1 C y / e x cos ˇxI 1 i.y 1 y / e x sen ˇx: Éstas son funciones reales y constituyen una pareja de soluciones para la E. Forman 1 e x cos ˇx & e x sen ˇx un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial ay 00 C y 0 C cy 0? Para responder esto calculamos el wronskiano de 1 & : W. 1 ; / e x.cos ˇx/Œ e x sen ˇx C ˇe x cos ˇx e x.sen ˇx/Œ e x cos ˇx ˇe x sen ˇx e x Œ cos ˇx sen ˇx C ˇ cos ˇx e x Œˇ.cos ˇx C sen ˇx/ ˇe x W. 1 ; / ˇe x, donde ˇ 4ac a Entonces, para cada x R, 0: W. 1 ; / ˇe x 0; sen ˇx cos ˇx C ˇ sen ˇx por lo cual se puede afirmar que las funciones reales 1 e x cos ˇx & e x sen ˇx forman un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial. Por lo tanto, la solución general de ay 00 C y 0 C cy 0, en este caso, es y c 1 1 C c c 1 e x cos ˇx C c e x sen ˇx y e x.c 1 cos ˇx C c sen ˇx/I donde, ˇ son la parte real e imaginaria de las raíces r iˇ.
6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo Otener la solución general de la ecuación diferencial y 00 C 4y 0 C 13y 0: Proponiendo y e rx como solución de la E, se otiene la ecuación auxiliar: r C 4r C 13 0; r 4 p 36 3i raíces complejas : Entonces, la solución general es y e x.c 1 cos 3x C c sen 3x/: Oserve que la ecuación característica ar C r C c 0, de la E ay 00 C y 0 C cy 0, se otiene asociando las derivadas y.n/ con la potencias r n en la forma y.n/! r n : Como y.0/ y, asociamos y.0/ y! 1 r 0 : Ejemplo Otener la solución general de la ecuación diferencial y 00 3y 0 C y 0: Proponiendo y e rx como solución de la E, se otiene la ecuación característica r 3r C 0; Entonces, la solución general de la E es r r1 r 1 y1 e x I y e 1 x : y c 1 e x C c e 1 x : Ejemplo Otener la solución general de la ecuación diferencial y 00 C y 0 C y 0: Proponiendo y e rx como solución de la E, se otiene la ecuación auxiliar r C r C 1 0; r 0 r 1 r 1 y 1 e x : Entonces, la raíz 1 es de multiplicidad ; necesitamos otra solución: ésta es y xe x. Por lo tanto, la solución general de la E es y c 1 e x C c xe x y.c 1 C c x/e x :
7 4.4 E lineales homogéneas con coeficientes constantes 7 Ejemplo Otener la solución general de la ecuación diferencial y 00 C y 0 C y 0: Proponiendo y e rx como solución de la E, se otiene la ecuación característica r 1 p 3 Entonces la solución general de la E es r C r C 1 0; y e 1 x c 1 cos 1 p 3 i raíces complejas : p p 3 3 x C c sen x : Ejemplo Otener la solución general de la ecuación diferencial y 00 C 4y 0: Proponiendo y e rx, se otiene la ecuación auxiliar r C 4 0; Entonces la solución general es r p 4 0 i raíces complejas : y e 0x.c 1 cos x C c sen x/ y c 1 cos x C c sen x: Ejemplo Otener la solución general del PVI: 9y 00 y 0; con y.0/ 1 & y 0.0/ 3 : Proponiendo y e rx como solución de la E, se otiene la ecuación característica 9r 1 0; r 1 1 r r 1 3 y 1 e 1 3 x I y e 1 3 x : Entonces, la solución general de la E es erivando esta solución general, se otiene y c 1 e 1 3 x C c e 1 3 x : y c 1e 1 3 x 1 3 c e 1 3 x :
8 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias Usando las condiciones iniciales y.0/ c 1 C c 1I y 0.0/ 1 3 c c 3 : La solución del sistema anterior, de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, es c 1 3 & c 1 : Por lo tanto, la solución del PVI, es la función y 3 e 1 3 x 1 e 1 3 x : Ejemplo Otener la solución general de la ecuación diferencial y 00 5y 0 0: Proponiendo y e rx como solución de la E, se otiene la ecuación auxiliar r 5r 0; r 1 0 r 5 y 1 e 0x 1I y e 5x : Entonces la solución general de la E es y c 1 C c e 5x : Ejemplo Otener la solución general de la ecuación diferencial y 00 C w y 0; con w constante. Proponiendo y e rx, se otiene la ecuación característica r C w 0; r p w wi 0 wi raíces complejas : Por lo tanto la solución general es y e 0x.c 1 sen wx C c cos wx/ y c 1 sen wx C c cos wx: La solución general del ejemplo anterior puede expresarse así: y A sen.wx C /; con A & constantes : Para otener la última expresión se efectúa el desarrollo siguiente: Se tiene: y c 1 sen wx C c cos wx:
9 4.4 E lineales homogéneas con coeficientes constantes 9 Se quiere: y A sen.wx C / A.sen wx cos C sen cos wx/.a cos / sen wx C.A sen / cos wx: Igualando la expresión que se quiere con la que se tiene se llega a:.a cos / sen wx C.A sen / cos wx c 1 sen wx C c cos wx: Igualdad que se cumple si A cos c 1 A cos c1 A sen c A sen c : Sumando las últimas igualdades: A.cos C sen / c 1 C c A c 1 C c A c 1 C c : e A cos c 1, se tiene: cos c 1 A c 1. c 1 C c e A sen c, se tiene: sen c A c. c 1 C c Resumiendo, la solución general de la E y 00 C w y 0 es Que puede expresarse como onde y c 1 sen wx C c cos wx: y A sen.wx C /: A c1 C c : c 1 cos : c 1 C c sen c : c 1 C c A es denominada amplitud y es denominado ángulo de fase. Ejercicios E lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden. Soluciones en la página 11 Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes. 1. y 00 5y 0 C 6y 0.. y 00 C y y 00 4y 0 C y y 00 C y 0 3y y 00 C y y 00 6y 0 C y y 00 y 0 y y 00 y 0 C y y 00 C 4y 0 C 5y y 00 y 0. Resolver los siguientes PVI. 11. y 00 C 16y 0; con y.0/ & y 0.0/. 1. y 00 C y 0 y 0; con y.0/ 0 & y 0.0/ y 00 6y 0 C 9y 0; con y.0/ 0 & y 0.0/.
10 10 Ecuaciones diferenciales ordinarias 14. y 00 C 4y 0 C 5y 0; con y.0/ 1 & y 0.0/ y 00 C 4y 0 C 3y 0; con y.0/ & y 0.0/ 0.
11 4.4 E lineales homogéneas con coeficientes constantes 11 Ejercicios E lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden. Página 9 1. y c 1 e x C c e 3x.. y c 1 cos x C c sen x. 3. y.c 1 C c x/e x. 4. y c 1 e 3x C c e x. 5. y c 1 cos x C c sen x. 6. y.c 1 C c x/e x y c 1 e x 3 C c e x. 8. y e x.c 1 cos x C c sen x/. 9. y e x.c 1 cos x C c sen x/. 10. y c 1 e x C c e x. 11. y cos 4x 1. y 1 3.ex e x /. 13. y xe 3x. 1 sen 4x. 14. y e x.cos x C sen x/. 15. y 3e x e 3x.
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