CUADERNO DE ACTIVIDADES

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1 CUADERNO DE ACTIVIDADES MATEMÁTICAS º E.S.O. opc. B I.E.S. FERNANDO DE MENA DPTO. DE MATEMÁTICAS CURSO 0-0 Profesor: Alfonso González López Alumno/a:

2 TEMA : NÚMEROS REALES EJERCICIOS Ejercicios libro: pág. 8: ; pág. : (epresar fracciones como decimales y clasificarlos). Ordenar de menor a mayor los siguientes números, pasándolos previamente a común denominador: a) b) c) a) Representar en la recta real los siguientes números racionales: b) A la vista de lo anterior, ordenarlos de menor a mayor. c) Utilizar la calculadora para comprobar el resultado anterior. d) Construir,,,,, 8 y 0 sobre la recta real, utilizando regla y compás, y aplicando el teorema de Pitágoras (se recomienda utilizar, también, papel milimetrado), y comprobar el resultado con la calculadora. Ejercicios libro: pág. 0: ; pág. : (representar raíces) 9 -. Hallar una fracción comprendida entre las dos siguientes. Comprobar el resultado con la calculadora: a) y b) y c) y d) y e) y RECORDAR: REGLA PRÁCTICA PARA AVERIGUAR SI UNA FRACCIÓN IRREDUCIBLE CONDUCE A UN DECIMAL EXACTO O PERIÓDICO (sin necesidad de efectuar la división): " Si los únicos divisores primos del denominador de una fracción irreducible de n os enteros son el y/o el, entonces su epresión decimal será necesariamente eacta; en caso contrario, será periódica". Utilizando la regla anterior, indicar si las siguientes fracciones conducen a un decimal eacto o periódico. Comprobar el resultado haciendo la división directamente ( sin usar la calculadora!): a) (Soluc: E, E, E, P, P, P, E, P, P, E, P) b) 0 9 (Soluc: E, E, E, E, P, P, P, P, P). Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales. Comprobar el resultado con la calculadora: a) 0, (Soluc: /) b) 0, (Soluc: /) c) 0, (Soluc: /0) d) 0, (Soluc: /) e) 0, (Soluc: /90) f) 0, (Soluc: /9900) g), (Soluc: 9/8) h) 0, (Soluc: /) i) 0, (Soluc: /900) j),8 (Soluc: 0/90) k), (Soluc: /0) Página

3 l), (Soluc: /0) m), 0 (Soluc: 08/99) n), (Soluc: /0) o), 0 (Soluc: 0/9900) p), (Soluc: 09/900) Ejercicios libro: pág. 8: ; pág. : 8 (hallar la fracción generatriz). Razonar por qué no cabe considerar el período 9, es decir, no tiene sentido indicar 0, 9 o 0,09. Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene idéntico resultado: º Operando directamente en forma decimal (a partir del i, utilizar la calculadora) º Pasando previamente a fracción generatriz y operando a continuación las fracciones resultantes. a) 0, + 0, (Soluc: ) b) 0, 0, (Soluc: 9/0 0,8 ) c), +,8 (Soluc:,9) d) 0, 0, (Soluc: / 0,0 ) e), +,0 (Soluc: /90, ) f) 0, + 0, (Soluc: /0,) g), (Soluc: 9/9 0, ) h),89,8 (Soluc: 0/9, ) i) 8 -, (Soluc: /9, ) j), 0,0 + 0, (Soluc: 9/90 0, ) : k) 0, 0,0 + 0, l),, +, (Soluc: /,) (Soluc: /,9 ) m),,8 +, : 0, (Soluc: ) n),9 + 0,(0, + 0,) (Soluc: /8,) o), (Soluc: /, ) p) 0,8 0,8:0, (Soluc: -/0-0, ) q),08, 0,:0, (Soluc: /,8) r) 0, +,8 0, (Soluc: /, ) s) 0, 0, +, (Soluc: 9/,8 ) Ejercicios libro: pág. : 8. Separar los siguientes números en racionales o irracionales, indicando, de la forma más conveniente en cada caso, el porqué: π, ,, 8 (Soluc: Q; I; I; Q; Q; Q; Q; I; Q; Q; Q; I), Indicar cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números (IN, Ζ, Q o Ι); en caso de ser Q o Ι, razonar el porqué: π 0,00-0,, Señalar cuáles de los siguientes números son racionales o irracionales, indicando el porqué: a), b) 0, d) 0,89... e), c), f), Ejercicios libro: pág. 9: ; pág. : g) 0, (Soluc: Q; I; Q; I; Q; I; Q) Página 8

4 . Rellenar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo): REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA [-,] { IR/ - } [-,) { IR/ < } - { IR/ <} 8 (0, ) 9-0 (-,) { R/ 0} [/, ) { IR/ -< } { IR/ <} { IR/ } [-,] 8 { IR/ <-} 9-0 (-,-)U(, ) (-,)U(, ) { IR/ } Página 9

5 REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA [-,] - Ejercicios libro: pág. : y 8; pág. : 8, 9, 0 (se da la def. matemática); (se da la repres. gráfica); (se da el intervalo). Verdadero o falso? Razonar la respuesta: a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero. c) Todo número entero es racional. d) Siempre que multiplicamos dos números racionales obtenemos otro racional. e) Siempre que multiplicamos dos números irracionales obtenemos otro irracional. f) Entre dos números reales eiste siempre un racional. g) " " " " " " " irracional.. Hallar la U e de los siguientes intervalos, dibujándolos previamente: a) A[-,) B(,) b) C(-,] D(,] c) E(0,] F(, ) d) G(-,0] H(-, ) e) I[-,-) J(,/] f) K(-,0) L[0, ) g) M(,) N(,9] h) O[-,-) P(,] i) Q(-,) R(,] j) S[-,) T(0, ) U[,] Serías capaz de hacer la U e sin dibujar previamente los intervalos?. Qué otro nombre recibe el intervalo [0, )? Y (-,0]?. A qué equivale IR + U IR -? Y IR + IR -? ERRORES:. Completar la siguiente tabla (Sígase en el primer ejemplo). Cuál es, de todas ellas, la mejor aproimación de π? Aproimación de π Antiguo Egipto (>800 a.c.) Arquímedes (s. III a.c.) Ptolomeo (s. II d.c.) 0 China (s. V d.c.) Aproimación decimal (a la cienmillonésima) Error absoluto ε a Error relativo ε r,098 0,0890 0,000 Página 0

6 Algún día se podrá encontrar una fracción de enteros eactamente igual a π? Ejercicios libro: pág. : y ; pág. :, 8 y 9. Como muy bien sabemos, los números π o son irracionales, es decir, no pueden ser epresados de manera eacta como un cociente de números enteros; ahora bien, los matemáticos babilonios, egipcios y griegos manejaban aproimaciones bastante precisas, como por ejemplo: π (Ptolomeo) + π (desconocido) +, y mejor : + (Arquímedes) 80 Comprobar la precisión de dichas aproimaciones e indicar el error cometido. 8. El sabio griego Eratóstenes (siglo III a.c.) fue capaz de obtener un valor del radio de la Tierra de 8 km. Hallar el error cometido, teniendo en cuenta que el valor real es 8 km. (Soluc:, %) 9. CURIOSIDAD MATEMÁTICA: Comprobar, con la calculadora, la validez de la siguiente serie, debida al matemático alemán Leibniz (s. XVII-XVIII): π CURIOSIDAD MATEMÁTICA: Comprobar la siguiente fórmula, llamada Método de la fracción continua infinita, debida al matemático italiano Cataldi (s. XVI-XVII): Ejercicios libro: pág. :,, y (teoría) Página

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8 EJERCICIOS DE FRACCIONES HOJA Resolver las siguientes operaciones con fracciones, simplificando en todo momento los pasos intermedios y el resultado:. (Soluc: /). (Soluc: 0). (Soluc: -). -. (Soluc: -/) (Soluc: ). (Soluc: /0). (Soluc: /0) 8. (Soluc: /) 9. (Soluc: /) 0. (Soluc: 0). (Soluc: -/). (Soluc: -). (Soluc: -8/). (Soluc: /). (Soluc: 9/0). (Soluc: -/) Página

9 . 8 (Soluc: /) 8. 8 (Soluc: /) 9. (Soluc: -/) 0. (Soluc: /). 9 : 8 9 : (Soluc: -/). 9 : : 8 (Soluc: /9). 0 : 9 (Soluc: /). 9 : 8 (Soluc: /). (Soluc: -/) CURIOSIDAD MATEMÁTICA: El matemático italiano Leonardo de Pisa (ª mitad s. XIII), más conocido como Fibonacci, fue el primero en utilizar la notación actual para fracciones, es decir, dos números superpuestos con una barra horizontal entre medias. Página

10 EJERCICIOS DE FRACCIONES HOJA Resolver las siguientes operaciones con fracciones, simplificando en todo momento los pasos intermedios y el resultado:. (Soluc: /). : (Soluc: /0). 0 : (Soluc: 9/0). : (Soluc: /). 8 : (Soluc: -9/80). 9 : - : 8. : 0 (Soluc: /9) (Soluc: 9/0) 8. (Soluc: -/0) Página

11 9. (Soluc: -9/0) 0. 0 (Soluc: 9/0) (Soluc: -). 9 (Soluc: 9/). : (Soluc: /). (Soluc: 9/). : 8 :. : 8 (Soluc: /0) (Soluc: /) Página

12 EJERCICIOS DE FRACCIONES HOJA Resolver las siguientes fracciones de términos racionales, simplificando en todo momento los pasos intermedios y el resultado:. (Soluc: /). (Soluc: /). : (Soluc: /). : (Soluc: -9/). : (Soluc: /). (Soluc: 9/). (Soluc: -/98) 8. : (Soluc: -/0) 9. : 9 : (Soluc: /) Página

13 0. : : (Soluc: -/9). : : (Soluc: 8/0). (Soluc: 89/). (Soluc: -9/0). : (Soluc: 0/). 8 : : 8 - (Soluc: 9/). 9 (Soluc: /). : : (Soluc: /) Página 8

14 8 EJERCICIOS DE FRACCIONES HOJA Resolver las siguientes fracciones de términos racionales, simplificando en todo momento los pasos intermedios y el resultado:. : 8 : 8 (Soluc: -8/). 9 : 9 (Soluc: /). : : : (Soluc: -/89). : : : (Soluc: 8/). (Soluc: 8/) Página 9

15 . : (Soluc: /). (Soluc: 9/9) : 8 9 : (Soluc: 08/99) 9. : 8 (Soluc: -/80) : : (Soluc: 9/). (Soluc: /). : 9 : 8 9 (Soluc: /) Página 0

16 (Soluc: -/8). : : : (Soluc: 8/). : (Soluc: -/). : - : (Soluc: /). : 0 0 : (Soluc: 0/) 8. : : (Soluc: /) Página

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18 POTENCIAS EJERCICIOS RECORDAR: a m a a m n m ( a ) a b a n n n a (a b) n a mn a mn a a b n n m+ n n b n a a 0 - n a b n a - n b a n También es importante saber que: algo ( base negativa ) par (- ) ( base negativa ) impar (- ) par impar + (Añade estas fórmulas al formulario que realizarás a lo largo del curso). Calcular las siguientes potencias de eponente natural (sin usar calculadora): ( ) (-) 0 (-) (-) - (-) - 9 (-9) 9 (-9) (-) (-) (-) 0 (0,). Calcular las siguientes potencias de eponente entero (sin usar calculadora), dejando el resultado en forma entera o fraccionaria: (-) - (-) -0 (-) Página

19 . Calcular las siguientes potencias de base fraccionaria, dejando el resultado en forma fraccionaria: 0, Pasar a forma de potencia de base entera lo más simple posible: 0 cienmilésim a millonésima milésima trillón billón millón 0,00 0,0 0, Pasar a potencia única de base racional, y simplificar el resultado: ( ) ( ) ( ) ( ) : (-) (-) ) ( (-) (-) (-) (-) (-) - - Página

20 . Calcular y simplificar: a) - b) (- ) c) - d) (- ) e) - f) - g) - h) - i) j) ( ) k) (- ) l) (- ) m) - n) ( ) (Soluc: /) - o) ( ) (Soluc: ) - (Soluc: /) p) ( ) [ ] q) ( ) r) ( ) - (Soluc: /) - [ ] - (Soluc: ) s) (Soluc: /) - t) (Soluc: /8) u) (Soluc: /9) v) (Soluc:.9/09) - w) (Soluc: 8/) 9. Calcular, aplicando las propiedades de las potencias, y simplificando en todo momento: a) b) ( ) 8 (Soluc: /0) (Soluc: 0000/8) c) (Soluc: -900) d) ( ) Soluc : - Página

21 e) (Soluc:8/) f) a a - a (Soluc: a ) g) ( ) 0 (Soluc: 8) h) ) ( (Soluc:800000) i) (Soluc: 8 / 0 ) j) ) ( ) ( (Soluc: /) k) - (Soluc: ) l) 8 (Soluc :/) m) ( ) 8 (Soluc: /8) n) 9 (Soluc: ) o) 9 (Soluc: /0) p) 0 (Soluc: 0 / 0 ) q) -8 - : (Soluc: (/) ) r) : : 0 9 (Soluc: / ) s) (Soluc: -9) Página

22 8. Idem: a) b) 0 c) 8 d) 0 8 e) f) (Soluc: ) (Soluc: ) (Soluc: ) (Soluc: ) (Soluc: 9 ) (Soluc: /) 8 08 g) 8 ( : ) h) ( ) : - (Soluc: 9) (Soluc: ) i) ( ) (Soluc: /) ( ) j) 00 8 (Soluc: ) : ( ) k) : : ( ) (Soluc: / ) 8 ( ) l) (Soluc: 9/) m) 8 9 ( ) (Soluc: ) ( ) ( ) ( ) n) 8( ) ( ) (Soluc: ) Página

23 o) ( a b ) ( ab) a Soluc : b - p) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 9 ( ) (Soluc: 9/) q) ( y) ( y ) ( y) ( ) ( y) (Soluc: - /y ) r) ( ) ( 8) ( ) [( 9) )] [( ) ] (Soluc: 8/) s) ( 0 yz) ( y y Soluc : t) ( ) ( ) [( ) ] 9 ( ) (Soluc: -) Ejercicios libro: pág. : 9 9. Calcular el valor de las siguientes epresiones, aplicando en todo momento las propiedades de las potencias ( no vale calcular el valor de las potencias de eponente elevado!). En la mayor parte de los casos, bastará con sacar como factor común la mayor potencia posible. Fíjate en el er ejemplo: a) ( ) (9 ) 8 8 b) c) d) e) (Soluc: /) (Soluc: ) (Soluc: /) (Soluc: /) Página 8

24 f) (Soluc: ) g) 0 9 (Soluc: /) 0. Calcular, aplicando las propiedades de las potencias, y simplificando en todo momento: a) 8 8 (Soluc: /) b) ( ) ( ) ( ) (Soluc: -) c) (-) - (Soluc: /) d) (Soluc: ) e) ( ) (Soluc: ) Página 9

25 f) (Soluc: ) g) ( ) ( ) : (Soluc: /) h) 8 (Soluc: /) i) 0 8 : Soluc j) 9 (Soluc: ) k) ( ) ( ) (Soluc: -9/8) Página 0

26 l) ( ) ( ) (Soluc: ) m) (Soluc: /) n) ( ) ( ) ( ) o) ) ( ) ( 8 ) ( (Soluc: ) p) 8 8 : Soluc. OPERACIONES MIXTAS: Calcular, aplicando, siempre que sea posible, las propiedades de las potencias, y simplificando en todo momento. Cuando no sea ya posible aplicar las propiedades de las potencias, debido a la eistencia de una suma o resta, pasar la potencia a número y operar: a) ( ) ( ) + 0 (Soluc: ) Página

27 CONSECUENCIA: Hay que aplicar las propiedades de las potencias siempre que se pueda; cuando ello no sea posible (normalmente porque hay sumas y/o restas) se pasa la potencia a número y se opera. b) [ ] + + ) ( ) ( ) ( (Soluc: -/9) c) [ ] + - ) ( (Soluc: -) d) + + ) ( (Soluc: -/) e) ( ) [ ] ( ) (Soluc: /9) f) 9 (Soluc: -08/8) Página

28 g) ( ) + : (Soluc: ) h) ( ) ( ) (Soluc: ) i) 0 ) ( (Soluc: ) j) ( ) - ) ( (Soluc: -/) NOTACIÓN CIENTÍFICA:. Escribir en notación científica los siguientes números: a) b) c) 0, d) 0, e) f) 0,00000 g) -898, h) 0, i) 9 mil moléculas j) k) millones l) 0 millardos $ l), n) billones kg o) 0, p) 0 q) r) 0,000 s) t) -, (NOTA: Un millardo son mil millones, un billón son mil millardos, es decir, un millón de millones, etc...) Ejercicios libro: pág. 8: y ; pág. : y (pasar a notación científica) pág. : (pasar a notación estándar) Página

29 . Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas (y comprobar que se obtiene el mismo resultado): - Sin calculadora, aplicando sólo las propiedades de las potencias. - Utilizando la calculadora científica. a), 0 +, 0 b), 0-8 +, 0-8 c), 0 +, 0 d), 0 9 +, 0 e), 0 8 -, 0 8 f), 0 -, 0 g), , 0 - h) ( 0 9 ) (, 0 ) i) 9 8, 0 0 -, j) ( )( ) k) ( 0 ) 8 l) (, 0 +, 0 ) 0 m), n) (0, 0-0 ) 0 - Ejercicios libro: pág. 9: ; pág. : a (operar en notación científica) pág. 9: ; pág. : 8 y 9 (operar con calculadora). La estrella más cercana a nuestro sistema solar es α-centauri, que está a una distancia de tan sólo, años luz. Epresar, en km, esta distancia en notación científica. (Dato: velocidad de la luz: km/s) Cuánto tardaría en llegar una nave espacial viajando a 0 Km/s? (Soluc:,08 0 km). Calcular el volumen aproimado (en m ) de la Tierra, tomando como valor medio de su radio 8 km, dando el resultado en notación científica con dos cifras decimales. ( Volumen de la esfera : π r ) (Soluc:, 0 m ). Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro, con un diámetro de unas millonésimas de m y unas millonésimas de altura. Hallar su volumen en notación científica. (Soluc:,9 0-8 m ). En una balanza de precisión pesamos cien granos de arroz, obteniendo un valor de 0,0000 kg. Cuántos granos hay en 000 ton de arroz? Utilícese notación científica. (Soluc:, 0 gr) 8. La luz del sol tarda 8 minutos y 0 segundos en llegar a la Tierra. Calcular la distancia Tierra-Sol. (Soluc:, 0 8 km) Ejercicios libro: pág. : 0 a 9. Rellenar la siguiente tabla para una calculadora de 0 dígitos en notación entera y 0+ dígitos en notación científica: SIN NOTACIÓN CIENTÍFICA CON NOTACIÓN CIENTÍFICA Nº MÁXIMO que puede representar Nº MÍNIMO (positivo) que puede representar Página

30 EJERCICIOS DE RAÍCES º ESO RECORDAR: Definición de raíz n-ésima: n a Equivalencia con una potencia de eponente fraccionario: n m Simplificación de radicales/índice común: Propiedades de las raíces: m/n n n a b a b n n n n a b a a n n p m p b m n n m ( a ) a m n a n n n Introducir/etraer factores: a a m n a n m. Calcular mentalmente, sin usar calculadora: , 0,09 0,008 0, Calcular mentalmente, sin usar calculadora: , 0,0 0,00-0,. Calcular, aplicando la definición de raíz (no vale con calculadora): a) 8 pq ( ) 8 b) 8 c) d) e) 8 f) g) h) 8 i) j) 8 k) l) 0, 0 m) 0, n), o), Página

31 . Hallar el valor de k en cada caso: a) k (Soluc: k8) k b) (Soluc: k) c) k (Soluc: k/) k d),, (Soluc: k) POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO:. Utilizar la calculadora para hallar, con tres cifras decimales bien aproimadas: a) 8, 8 b) 9 c) d) 0 e) f) 0 g) h) i) j) 8 k). Hallar con cuatro cifras decimales bien aproimadas, razonando el error cometido.. Pasar a forma de raíz las siguientes potencias, y a continuación calcular (no vale utilizar la calculadora): a) / b) / c) / d) 8 / e) / f) 8 / g) 8 -/ h) -/ Ejercicios libro: pág. : (pasar a raíz); pág. : 0; pág. : (pasar a potencia de eponente fraccionario) RADICALES EQUIVALENTES. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: 8. Simplificar los siguientes radicales, y comprobar el resultado con la calculadora cuando proceda: / a) / b) 8 c) 9 d) 0 e) 8 f) 9 g) 8 8 h) 9 i) 8 j) 0 k) a b l) 0 a b m) n) o) 0 a 8 p) y 8 z q) ( ) y Ejercicios libro: pág. : ; pág. : 8 Página

32 9. Decir si los siguientes radicales son equivalentes (y comprobar después con la calculadora): a),,, 8 (Soluc: NO) b) 9,, 8, (Soluc: SÍ) c),, 8, 8 Ejercicios libro: pág. : ; pág. : 0. Reducir los siguientes radicales a índice común y ordenarlos de menor a mayor (y comprobar el resultado con la calculadora): a),, d),, b),, e),,,, c),, 9 f),, Página

33 g) y i) 0 y 8 h) y 9 0 Ejercicios libro: pág. : ; pág. : OPERACIONES CON RADICALES:. Multiplicar los siguientes radicales de igual índice, y simplificar cuando sea posible: a) 8 b) c) 9 d) 8 e) f) g) 0 h) i) ( Sol : ). Multiplicar los siguientes radicales de distinto índice, reduciendo previamente a índice común, y simplificar: a) 0 b) 8 ( Sol : ) c) 8 ( Sol : ) d) 9 ( Sol : ) e) ( Sol : ) f) a a 9 ( Sol : a ) g) 8 ( Sol : ) h) 8 a 8 ( Sol : ) a Página 8

34 . Simplificar, aplicando convenientemente las propiedades de las raíces: a) i) ( Sol : ) b) 8 j) c) 8 9 k) d) e) f) l) m) ( Sol : / ) ( Sol : -/ ) g) h) 9 ( Sol : /) ( Sol : /) n) + ( Sol : ). Cómo podríamos comprobar rápidamente que (Sol: multiplicando en cruz)? (no vale calculadora). Operar los siguientes radicales de distinto índice, reduciendo previamente a índice común: 8 a) b) 9 ( Sol : ) c) Sol : d) 8 ( Sol : ) e) ( Sol : ) Página 9

35 f) 9 ( Sol : 9 ) g) ( Sol : 0 8 ) h) ab ab ( Sol : ab ) i) a b c ab c Sol : a bc j) a a ( Sol : ) a k) 000 ( Sol : -0) l) ( Sol : ) m) Sol : n) ( Sol : ) o) 8 p) q) ( Sol : ) ( Sol : ) ( Sol : ) abc a b c r) a b c ( Sol : ab ) c Ejercicios libro: pág. : 8 Página 0

36 . Simplificar: a) ( ) / a a a a b) ( ab ) c) ( ) ( Sol : ab ) ( Sol : ) d) ( ) ( ) ( Sol : ) e) ( ) ( ) ( Sol : ) f) ( ) ( ) ( Sol : ) g) ( ) ( ) ( ) Sol : h) ( ) i) ( Sol : ) ( Sol : 8 ) j) ( Sol : ) k) 8 ( Sol : ) l) ( Sol : ) m) ( Sol : ) n) 8 o) ( ) ( Sol : ) 9 ( Sol : ) Página

37 p) ( ) q) ( ) ( 8 ) ( ) r) a ( a ) ( a) a ( Sol : ) ( Sol : ) ( Sol : a ) s) ( ) ( ) 8 9 ( Sol : 9). Introducir convenientemente factores y simplificar: a) 8 b) c) ( Sol : ) d) e) ( Sol : / ) f) g) ( Sol : ) h) i) c ab ac Sol : ab b j) k) a c a ( Sol : ac ) l) ( Sol : ) Página

38 m) n) ( Sol : ) 8 ( Sol : ) o) p) ( Sol : ) q) ( Sol : ) r) ( Sol : ) s) ( Sol : ) t) 8 ( Sol : ) u) ( ) 8 9 v) 8 ( Sol : 9) ( Sol : ) w) ( ) ( Sol : ) ) y y ( Sol : ) /y Página

39 y) ( ) a a b a b z) ( ) Sol : a8 b ( Sol : ) α) ( ) Sol : β) ab 8ab a b ( Sol : ab) Ejercicios libro: pág. : ; pág. : 8 (sencillos); pág. : 9; pág. : 0 (más elaborados) 8. Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene el mismo resultado: operando, teniendo en cuenta las propiedades de las raíces pasando a potencia de eponente fraccionario, y aplicando a continuación las propiedades de las potencias. a) Sol : a b) a a Sol : a Página

40 a a c) a a ( Sol : a ) d) ( Sol : 8 ) 9. Etraer factores y simplificar cuando proceda: a) 8 b) 8 c) 98 d) q) 9 r) 99 ( Sol : ) ( Sol : ) e) 0 f) g) 8 h) i) 00 j) k) l) 8 m) n) 08 s) t) 00 0 u) ( Sol : ) ( Sol : ) ( Sol : ) v) 9 ( Sol : ) w), ( Sol :,8) ) 9 ( Sol : ) y) ( Sol : ) o) z) 8a b ( Sol : ) Sol : b a b p) 80 ( Sol : ) α) 8a b c ( Sol : ab b ) c Página

41 β) ( Sol : ) γ) ϑ) ( Sol : / ) δ) 8 y Sol : y y ι) + ( Sol : / ) ε) κ) 0 ( Sol : / ) ( Sol : 0 ) ζ) 9 ( Sol : /) λ) 8 Sol : η) a a Sol : Ejercicios libro: pág. : ; pág. : 9 y a, b, c, d, e, h 0. Sumar los siguientes radicales, reduciéndolos previamente a radicales semejantes (Fíjate en el er ejemplo): a) FACTORIZAMOS RADICANDOS EXTRAEMOS FACTORES SUMAMOS RADICALES SEMEJANTES b) (Soluc: ) c) + 8 (Soluc: ) d) - (Soluc: - ) e) 9 (Soluc: - ) f) 0 + (Soluc: + ) Página

42 g) (Soluc: 8 ) h) 8 (Soluc: ) i) (Soluc: - ) j) + 0 (Soluc: 0 ) k) (Soluc: ) l) 0 + (Soluc: ) m) (Soluc: ) n) (Soluc: + ) o) + (Soluc: ) p) + 8 (Soluc: 8 ) q) + 8 (Soluc: ) r) (Soluc: ) s) 0 (Soluc: ) t) 0a 8a (Soluc: a ) u) + 00 (Soluc: ) Página

43 v) + 9 (Soluc: ) w) (Soluc: ) ) (Soluc: ) y) (Soluc: ) z) (Soluc: ) α) (Soluc: ) β) (Soluc: + ) Ejercicios libro: pág. : ; pág. : f, g RECORDAR LAS IGUALDADES NOTABLES: (A + B) A + AB + B (A B) A AB + B (A + B)(A B) A B. Calcular, dando el resultado lo más simplificado posible: a) ( ) b) ( ) (Soluc: 8) (Soluc: ) Página 8

44 c) ( + ) d) ( + ) e) ( ) f) ( + )( ) g) ( + )( ) h) ( + )( 8 ) (Soluc: + ) (Soluc: + ) (Soluc: ) (Soluc: ) (Soluc: ) (Soluc: - - ) i) ( )( + ) (Soluc: - + ) j) (Soluc: ) k) 8 8 (Soluc: ) l) (Soluc: 8 ) m) (Soluc: 90 ) n) ( ) o) ( + ) p) ( ) q) ( + )( ) r) ( + ) s) ( ) t) ( + ) (Soluc: ) (Soluc: ) (Soluc: 8 0 ) (Soluc: ) (Soluc: 8 + ) (Soluc: 8 ) (Soluc: + 0 ) Página 9

45 u) ( + ) v) ( + )( ) w) ( ) ) ( ) (Soluc: 0 + ) (Soluc: -) (Soluc: - ) (Soluc: - ) y) ( + )( ) (Soluc: - ) z) ( ) (Soluc: 0 - ) α) ( )( + ) (Soluc: - + ) β) ( 8 + )( 8 ) (Soluc: ) γ) ( )( + ) (Soluc: -0) δ) ( )( + ) (Soluc: ) ε) ( )( + ) (Soluc: + ) ζ) ( 8 )( 8 ) (Soluc: -) η) ( + ) + ( ) (Soluc: ) Página 0

46 θ) ( + ) ( ) ι) ( 8 + )( 8 ) (Soluc: ) κ) ( ) (Soluc: 0 ) λ) ( + )( ) RACIONALIZACIÓN:. Racionalizar denominadores, y simplificar: a) (Soluc: ) b) (Soluc: ) c) (Soluc: ) d) (Soluc: ) e) (Soluc: ) f) - (Soluc: - ) g) + (Soluc: + ) h) (Soluc: ) i) (Soluc: ) 9 Página

47 j) (Soluc: ) k) 8 (Soluc: ) l) (Soluc: ) m) (Soluc: ) n) + (Soluc: + ) o) (Soluc: ) p) (Soluc: ) q) (Soluc: ) r) ( + ) + s) ( ) (Soluc: + ) (Soluc: ) t) (Soluc: 9 ) u) - (Soluc: 8 ) v) (Soluc: ) 9 Página

48 w) + 0 (Soluc: ) 0 ) (Soluc: ) y) 0 (Soluc: ) Ejercicios libro: pág. :. Racionalizar denominadores, y simplificar: a) (Soluc: ) b) 9 (Soluc: ) c) 8 8 (Soluc: ) d) 0 (Soluc: ) e) (Soluc: ) f) 0 8 (Soluc: 8 ) g) (Soluc: 0 9 ) h) 9 (Soluc: ) i) (Soluc: ) j) 9 (Soluc: 0 ) Página

49 k) (Soluc: 0 8 ) l) (Soluc: ) m) (Soluc: ) n) + (Soluc: + ). Racionalizar denominadores, y simplificar: a) + (Soluc: ) b) 9 (Soluc: ) c) ( + ) (Soluc: + ) d) ( + ) + (Soluc: ) e) + (Soluc: + ) f) + (Soluc: + ) g) + (Soluc: + ) Página

50 h) + (Soluc: ) i) (Soluc: + ) j) + (Soluc: ) k) + (Soluc: + ) l) + (Soluc: ) m) 8 (Soluc: + ) n) (Soluc: + ) o) + (Soluc: - ) p) + (Soluc: + ) q) + (Soluc: ) r) (Soluc: /) Página

51 s) - (Soluc: + ) t) + 8 (Soluc: + ) u) + (Soluc: + ) v) (Soluc: + ) w) - (Soluc: - + ) ) y) - (Soluc: + ) z) 8 + (Soluc: ) α) (Soluc: + ) β) 9 + ( ) (Soluc: 8 + ) 9 Página

52 + γ) (Soluc: + ) δ) + (Soluc: ) ε) + + (Soluc: ) 9 9 ζ) (Soluc: ) Ejercicios libro: pág. : (epresión binomial radical en el denom.); pág. : 0; pág. : y (los tres casos). V o F? Razonar algebraicamente la respuesta: a) / + + / b) / + / (Soluc: F) (Soluc: F) c) + + (Soluc: V) d) / / e) + + (Soluc: F) (Soluc: V) f) + + (Soluc: V) g) ( + ) + h) (Soluc: F) (Soluc: F) Página

53 Página 8

54 Página 9

55

56 8 EJERCICIOS de ECUACIONES y SISTEMAS de er y o GRADO. Resolver las siguientes ecuaciones de er grado y comprobar la solución: a) [-(+)] -0+0 (Soluc: -) b) -[-(-)] (Soluc: 9) c) [-(-)]-(-) (Soluc: -/) d) +(-)[-(-)] (Soluc: 9) e) (-)-(-)- (Soluc: se verifica IR, pues es una identidad) f) +[-(-)][-(-)]+ (Soluc: /8) g) -+[+(+)]0- (Soluc: -/) h) 8-[+(-)] (Soluc: se trata de una identidad) Ejercicios libro: pág. : a; pág. : 9 a, b; 0. Resolver las siguientes ecuaciones de er grado con denominadores y comprobar la solución: a) b) - (Soluc: 9) (Soluc: /9) c) + 8 (Soluc: ) - d) e) ( ) ( ) (Soluc: /) (Soluc: ) - f) (Soluc: ) g) h) i) j) + (Soluc: /9) (Soluc: ) (Soluc: Se trata de una identidad) + (Soluc: ) - k) + (Soluc: -0) l) + 8 (Soluc: /) 9 Página

57 m) + - (Soluc: -) n) o) p) ( ) + + (Soluc: Se trata de una identidad) ( ) ( ) + (Soluc: -8) (Soluc: 0) q) ( ) ( ) (Soluc: 0) r) + s) (Soluc: -/) (Soluc: 8/) t) ( -) (Soluc: ) u) + 9 v) w) Ejercicios libro: pág. : b, c, d; pág. : 9 c, d, e. Resolver los siguientes SS.EE.LL (cada uno de los tres primeros apartados por los tres métodos habituales, y el resto por reducción), clasificarlos y comprobar la solución: a) b) c) d) e) f) + y (Soluc:, y) y y (Soluc:, y-) + y y 9 + y + y 0 y y - + y ( - ) + y (y -) + (Soluc:, y-) (Soluc: y) (Soluc: /,y0/) (Soluc: /, y9/) g) + y (Sol: soluc ; incompatible) - y h) i) j) k) l) + y (Sol: soluc.; comp.indtdo.) + 9y ( - ) (y ) + (y - ) ( ) + (Soluc:, y) y 9 (Sol: soluc.; comp. indtdo.) - + y 8 y 9 (Sol: soluc ; incompatible) y ( - ) y + (y - ) + 9 ( - ) y + m) (y -) - (Soluc:, y) (Sol: /,y9/) Página

58 n) o) p) + y y + + ( -) (y ) + ( + ) (y + ) - y + z + y z 9 + y + z (Sol: -/,y0/) (Soluc:, y) (Soluc:, y-; z) q) + y z 0 y + z + y + z 9 (Soluc:, y-; z) + y + z r) z (Soluc: -, y0; z) y + z Ejercicios libro: pág. : ; pág. : y (tipo º ESO); pág. : a 9 (nivel intermedio). Inventar, razonadamente, un SS.EE.LL. con soluciones, y-. Inventar, razonadamente, un SS.EE.LL. sin solución. ECUACIÓN DE º GRADO:. Dadas las siguientes ecuaciones de º grado, se pide: i) Resolverlas mediante la fórmula general de la ecuación de º grado. ii) Comprobar las soluciones obtenidas. iii) Factorizar cada ecuación y comprobar dicha factorización. iv) Comprobar las relaciones de Cardano-Vieta. a) -+0 b) -+0 c) --0 d) e) ++0 f) -+0 g) -+90 h) --0 i) -+0 j) +-0. Escribir una ecuación de º grado que tenga por soluciones: a), - (Soluc: +-0) b) -, - (Soluc: +8+0) c), - (Soluc: +-0) d) -/, (Soluc: --0) e) -, 9 (Soluc: +-0) f) /, -/ (Soluc: 0 --0) g) doble (Soluc: -+90) h) -, -/8 (Soluc: 8 ++0) i) ± (Soluc: -0) j) ± (Soluc: -0) j) / doble (Soluc: -0+0) l) ± (Soluc: -+0) m), - (Soluc: +-00) n) /0, - (Soluc: 0 +-0) 8. Escribir en cada caso la ecuación de º grado que tenga por soluciones y - y tal que: a) el coeficiente de sea (Soluc: --00) b) el coeficiente de sea 9 (Soluc: ) c) el término independiente sea - (Soluc: / -/-0) d) el coeficiente de sea (Soluc: --00) 9. Un alumno indica en un eamen que las soluciones de ++0 son y. Utilizar las relaciones de Cardano-Vieta para razonar que ello es imposible. Página

59 0. Inventar, razonadamente, una ecuación de º grado: a) Que tenga dos soluciones. b) Que tenga una solución. c) Que no tenga solución.. Hallar el valor de los coeficientes b y c en la ecuación +b+c0 sabiendo que sus soluciones son y - (Soluc: b, c-0). Calcular el valor del coeficiente b en la ecuación +b+0 sabiendo que una de sus soluciones es Cuál es la otra solución? (Soluc: b-; /). Calcular el valor de a y b para que la ecuación a +b-0 tenga por soluciones y - (Soluc: a/, b-/). Para qué valores de a la ecuación -++a0 tiene solución única? (Soluc: a-). TEORÍA: Justificar la validez de la siguiente fórmula, utilizada por los matemáticos árabes medievales para resolver la ecuación de º grado +cb: b ± b c. Hallar el discriminante de cada ecuación y, sin resolverlas, indicar su número de soluciones: a) -+0 (Soluc: soluc ) b) -+0 (Soluc: soluc) c) --0 (Soluc: soluc) d) ++0 (Soluc: soluc ). Determinar para qué valores de m la ecuación -+m0: a) Tiene dos soluciones distintas. (Soluc: m</8) b) Tiene una solución. (Soluc: m/8) c) No tiene solución. (Soluc: m>/8) 8. Determinar para qué valores de b la ecuación -b+0: a) Tiene dos soluciones distintas. (Soluc: b<-0 o b>0) b) Tiene una solución. (Soluc: b±0) c) No tiene solución. (Soluc: -0< b<0) 9. TEORÍA: a) Qué es el discriminante de una ecuación de º grado? Qué indica? Sin llegar a resolverla, cómo podemos saber de antemano que la ecuación ++ carece de soluciones? b) Inventar una ecuación de º grado con raíces / y, y cuyo coeficiente cuadrático sea c) Sin resolver y sin sustituir, cómo podemos asegurar que las soluciones de son y -0? d) Calcular el valor del coeficiente b en la ecuación +b+0 sabiendo que una de las soluciones es. Sin necesidad de resolver, cuál es la otra solución? Ejercicios libro: pág. :, y 8; pág. :, y 0 0. Resolver las siguientes ecuaciones de º grado incompletas: a) -0 (Soluc: 0, ) b) -0 (Soluc: 0, ) c) -80 (Sol: ±) d) +0 (Soluc: 0, -/) e) (Soluc: 0, ) f) +0 (Soluc: 0, -) g) -0 (Sol: ±/) h) - +0 (Soluc: 0, ) i) -00 (Soluc: 0, 0) j) 9-0 (Sol: ±/) Página

60 k) -0 (Soluc: 0, /) l) (+)0 (Soluc: 0, -) m) +0 (Soluc: soluc ) n) -90 (Sol: ±/) o) - 0 (Sol: ±/) p) -80 (Sol: ±) q) - -0 (Soluc: 0, -) Ejercicio libro: pág. :. Resolver las siguientes ecuaciones de º grado completas y comprobar siempre las soluciones: a) --80 (Soluc:, -) b) ++0 (Soluc: / soluc ) c) --0 (Soluc:, -/) d) +-80 (Soluc: ± ) e) +-0 (Soluc: /, -) f) ++0 (Soluc: -) g) -+0 (Soluc:, ) h) ++0 (Soluc: -, -) i) ++0 (Soluc: / soluc ) j) --0 (Soluc: ± ) k) --0 (Soluc:, -/) l) -+0 (Soluc: ) m) +a-a 0 (Soluc: a, -a/) n) --0 (Soluc: /, -/) o) --0 (Soluc: ± / ) p) (Soluc: 8, ) q) --0 (Soluc: /, -/) r) -a-a 0 (Soluc: a, -a/) s) --0 (Soluc:, -/) t) (Soluc:, ) u) + 0 (Sol: / ; ) v) ++0 (Soluc: -/, -) w) 0 (Sol: ; / ) ) +9-0 (Soluc:, -) y) 0 (Soluc:, -) z) 0, -0,-80 (Soluc:, -0) α) +-0 (Soluc:, -) β) 8-8,-8,80 (Soluc:,8, -) a ab ab γ) 0 (Soluc: -b/, b) δ) +8+0 (Soluc: -/, -/) ε) ++0 (Soluc: -/, -) ζ) ++0 (Soluc: -, -) η) +-0 (Soluc:, -) θ) ++00 (Soluc: -, -8) ι) --00 (Soluc: 0, -) κ) +-80 (Soluc:, -) λ) -+0 (Soluc:, /) µ) -0+ (Soluc:, ) ν) -+0 (Soluc:, /) ξ) +0-0 (Soluc:, -) ο) -+0 (Soluc:, /) π) (Soluc:, /) Ejercicios libro: pág. : a,b; pág. : a y. Resolver las siguientes ecuaciones de todo tipo, operando convenientemente en cada caso -para así pasarlas a la forma general de º grado-, y comprobar el resultado: a) ++- (Sol:, -/) b) (+) (Sol: /, -/) c) (-) (Sol:, -/) d) (-) -0 (Sol:, -/) e) (+) 8- ± 9 (Sol: ) f) (-) -(-)8 (Sol: 8, -) g) (-) + +(+)(-) (Sol:, -) h) (-) (+)(-)+(+) (Sol:, ) i) ( ) ( 0) (Sol: ±9) j) + ( ) 0 (Sol: 9, -/) k) - (Sol: /, - ) l) ( )( ) 0 (Sol:, ) m) (-)(-)0 (Sol: /, ) n) ( )( ) (Sol: -, ) o) ( -)(-)(+)0 (Sol: ±; ±) Página

61 p) 0 + (Sol: ±) q) - + (Sol: -8, -) r) (Soluc: /) s) ( + )( ) ( ) ( ) (Sol: -8, ) t) (Sol:, -) u) + 0 (Sol: 0, -/) v) + 0 (Sol:, -) w) + + (Sol: -/, -) ) - -0 (Sol: 0, /, -/) y) + (Sol: ±) z) ( +) (Sol: ±) α) ( ) (Sol:, 9/) β) (-) 0 (Sol: ) γ) (+) 0 (Sol: -) δ) 8 0 (Sol: 0, 0 ) ε) 0 (Sol: soluc ) ζ) ( ) (+ ) ( -)( + ) (Sol:, /) η) + + (Sol: -, -) θ) ( + )( ) ( ) + (Sol:, -) Ejercicios libro: pág. : c,d y ; pág. : b,c,d, y (sin denominadores); pág. : a; pág. : 8a,b,c y 9a,c (con denominadores). Resolver las siguientes ecuaciones factorizadas o factorizables y comprobar: a) ( -)( +)(-)0 (Sol: ±, ) b) ( -)(+)(-)0 (Sol: 0, ;, -/) c) ( -)(- +-)( +)0 (Sol: ±) d) - 0 (Sol: 0, ±) e) (Sol: 0, ; - ) f) ( +)( -)(-)0 (Sol: 0, ; ) g) + -0 (Sol: 0, ; -) h) (-)( -8)( +)0 (Sol: ±,, 0, -) i) (+)(-)( -+)0 (Sol:, ) Ejercicios libro: pág. : y. Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas y comprobar las soluciones obtenidas: a) - +0 (Soluc: ±, ±) b) - -0 (Soluc: ±) c) + +0 (Soluc: soluc ) d) - +0 (Soluc: ±, ±) e) - +0 (Soluc: ±, ± ) f) (Soluc: ±) g) + +0 (Soluc: soluc ) h) (Soluc: ±, ±) i) - +0 (Soluc: ±/, ±/) j) - -0 (Soluc: ±9) k) - +0 (Soluc: ±, ±) l) (Soluc: ± ) m) (Soluc:, -) n) -0 (Soluc: ±) o) +0 (Soluc: soluc ) p) - 0 (Soluc: 0, ±) q) -0 (Soluc: ±) r) ( +)( -)+ 0 (Soluc: ±) s) (+ )(- ) (Soluc: ±) t) ( +)( -)(-) +(+) (Sol: ±) u) ( +) ( -)( +) ( -)-8 (Sol: ±, ± ) v) ( -) (+)(-)+ (Soluc: ±) w) ( +) ( -)+ (Soluc: ±) ) (+)(-) -(-)(+) - (Sol: ±, ± ) y) (+)(-)(-) +(+) (Soluc: ±) Página

62 z) 0 ( + )( ) (Soluc: ±) ( + ) - ( + )( - ) ζ) ( + ) + (Sol: ± ) α) ( + )( + )( + 8) 0 (Sol: -, ± ) β) 8 9 (Sol: ±, ±) γ) 9 (Sol: 0; ±) δ) ( + ) + (Soluc: ±) ε) ( + )( ) ( + )( ) (Sol: ±) η) ( + ) ( + )( ) + (Sol: ±) θ) ( + )( ) ( - )( + ) (Soluc: ±) ( )( + ) ( + )( ) ι) (Sol: ±,± ) ( + )( ) ( - ) ( ) κ) (Sol: ±/,±) Ejercicios libro: pág. : 9; pág. : (sencillas); pág. : y (con paréntesis y algún denominador). Resolver las siguientes ecuaciones irracionales y comprobar la solución: a) + 0 (Sol: ) b) (Sol: ) c) 9 + ( soluc ) d) + 0 (Sol: 0) e) (Sol: ) f) (Sol:,8) g) - (Sol: 0) h) + + (Sol: ) i) (Sol: ) j) + + (Sol: ; ) k) (Sol: ; 8) l) (Sol: 0) m) + + (Sol: ) n) + 8 (Sol: ; ) o) + (Sol: ) p) (Sol: ) q) + (Sol: ) r) + + (Sol: ) s) 0 (Sol: /) t) 9( ) + ( - ) + ( soluc ) u) (Sol: ; /) v) - - (Sol: ) w) -+ (Sol: ) ) + + (Sol: ) y) + + (Sol: ) z) (Sol: ) α) + + (Sol: ) β) + + (Sol: ; -) γ) + (Sol: ) δ) (Sol: ) ε) + 0 (Sol: ) ζ) + + (Sol: /9) η) (Sol: ) θ) 8 (Sol: 9) ι) + (Sol: ) κ) + + (Sol: ±) λ) (Sol: -; ) µ) + (Sol: ) ν) + (Sol: ; ) Ejercicios libro: pág. : ; pág. : 0 y (sencillas); pág. y ss.: y (con radicales) Página

63 . Por qué es imprescindible comprobar la validez de las posibles soluciones de una ecuación irracional? Indicar algún ejemplo.. Resolver las siguientes ecuaciones con la en el denominador, y comprobar la solución obtenida (NOTA: Con un * se señalan aquellos apartados en los que resulta crucial efectuar la comprobación): a) b) () () c) d) e) f) * g) h) i) ( 0; -) (-) (±) - + ( ) ( ) - (-/) (-) + ( 8; -) ( ; /) j) + (± ) k) + ± l) (+ ) + ( ; /) (- ) m) + ( ; -/) n) + () - + o) p) ( ; -) + + ( ; -8/) q) + + * r) s) + + ( soluc. ) () + ( ; -) + t) + + u) v) w) - + ( 0; ) ( -; -/) + ( ; -/) ( soluc. ) ) + ( ; -) Ejercicios libro: pág. : b; pág. : 8d, 9 b,d,e,f 8. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales, y comprobar la solución: a) b) c) d) e) - y y - y - y + y y + y y 0 8 (,y ; -,y -) (,y ; -,y -) ( / soluc ) (,y ; -,y ;,y -; -,y -) - y ( -,y ;,y /) y - f) g) - - y - y - - y + y + y + 0 (/, y) (,y ; -,y ) h) y (, y 0,; ( ) (y + 0,) -0, y -0,) i) j) - y + y + y + y y (,y ;,y ) ( y ; - y -,y ; -,y -) Página 8

64 k) y 0 ( 0, y 0;, y ) - y 0 t) + y + y (, y ;, y -) l) - y 0 + y (, y) u) y + y 0 m) - - y ( -, y ;, y -) + y v) + y y n) - - y ( soluc + y / ) w) y y 0 (, y ; -, y -) o) - y - y (, y) ) y y p) - y y ( 9, y -;, y ) y) + y y q) y (, y ; -8/, y -9/) y z) y (, y 0; -, y -) y r) + y + y (, y -;, y 0) α) y a ay ( a, y a ) s) + y - y (, y ; -, y -) Ejercicios libro: pág. 9: 8; pág. : 0 y (sencillas); pág. : y (más nivel) PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO: 9. Hallar dos números positivos consecutivos cuyo producto sea 80 (Soluc: 9 y 0) 0. Calcular un número positivo sabiendo que su triple más el doble de su cuadrado es 9 (Soluc: ). Hallar en cada caso el valor de para que los rectángulos tengan el área que se indica: a) b) Área cm + Área cm + / (Soluc:, cm) (Soluc: cm). Juan ha leído ya la quinta parte de un libro. Cuando lea 90 páginas más, todavía le quedará la mitad del libro. Cuántas páginas tiene el libro? Cuántas páginas lleva leídas? (Soluc: 00 págs.; 0 págs.). Paloma vendió los dos quintos de una colección de cómics que tenía y luego compró 00 más. Tras esto tenía el mismo número que si hubiese comprado desde el principio 0 cómics. Cuántos cómics tenía Paloma al principio? (Soluc: 0 cómics). En un teto matemático babilónico que se conserva en una tablilla en el Museo Británico de Londres se lee: Restamos al área de un cuadrado su lado y obtenemos 80. Hallar el lado de dicho cuadrado. (Soluc: 0). Un campo está plantado con un total de 0 árboles, entre olivos y almendros. Si el doble de almendros son 0 menos que el total de los olivos, cuántos almendros habrá? Y cuántos olivos? (Soluc: 80 almendros y 0 olivos) Página 9

65 . El perímetro de un solar rectangular mide 0 m. Si su ancho es la tercera parte de su largo, cuánto miden los lados del solar? (Soluc: m de largo y m de ancho). En una granja viven la mitad de gallinas que de conejos. Si en total podemos contar 0 patas, cuántos conejos y gallinas pueblan la granja? (Soluc: gallinas y conejos) 8. Para vallar una finca rectangular de 0 m se han utilizado 0 m de cerca. Calcular las dimensiones de la cerca. (Soluc: 0 m) 9. Un automovilista que se detiene a repostar observa que para llegar a su destino todavía le queda el triple de lo que ya ha recorrido. Además, se da cuenta de que, si recorre 0 km más, estará justo en la mitad del trayecto. Cuántos km ha recorrido y cuál es la longitud del viaje? (Soluc: 0 km; 0 km) 0. Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro es cm y su diagonal cm. (Soluc: cm cm). Según una noticia publicada en la prensa, una determinada ciudad fue visitada en 00 por dos millones de turistas, lo cual supuso un 0 % más que en 008. Cuál fue la afluencia de turistas en este último año? (Soluc:, millones). Calcular los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que son tres números consecutivos. (Soluc:, y ). Un triángulo rectángulo tiene de perímetro m y la longitud de un cateto es igual a tres cuartos de la del otro. Halla cuánto miden sus catetos. (Ayuda: Llamar a un cateto e y a la hipotenusa, y plantear un sistema). (Soluc: m y 8 m). Un padre tiene el doble de edad que su hijo. Hace años, tenía el triple. Hallar la edad de ambos. (Soluc: 8 y años). Un depósito de agua tiene forma de ortoedro cuya altura es 0 m y su capacidad 000 m. Hallar el lado de la base sabiendo que es cuadrada. (Soluc:0 m). Problema del bambú (teto indio del siglo IX): Un bambú que mide 0 codos y que se eleva sobre un terreno plano se rompe en un punto por la fuerza del viento, de forma que la punta se queda ahora colgando a codos del suelo. A qué altura se ha roto? (Soluc: codos). Calcular el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide m. (Soluc:,8 m ) 8. Se tiene un lote de baldosas cuadradas. Si se forma con ellas un cuadrado de baldosas por lado sobran, y si se toman + baldosas por lado faltan 0. Hallar las baldosas del lote. (Soluc: baldosas) 9. Juan pierde los /8 de las canicas que tenía, con lo cual le quedan 0. Cuántas canicas tenía al principio? (Soluc: canicas) 0. En una clase el 0% son chicos. Además, se sabe que hay chicas menos que chicos. Cuántas chicas y chicos hay? (Soluc: chicos y 9 chicas). Un padre tiene 9 años y su hijo. Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la edad del hijo? (Soluc: Dentro de 8 años). Un frutero vende en un día las dos quintas partes de una partida de naranjas. Además, se le estropean 8 kg, de forma que al final le quedan la mitad de naranjas que tenía al comenzar la jornada. Cuántos kg tenía al principio? (Soluc: 80 kg) Página 0

66 . Un grupo de amigos celebra una comida cuyo coste total asciende a 0. Uno de ellos hace notar que, si fueran cuatro más, hubieran pagado menos por persona. Cuántos amigos son y cuánto paga cada uno? (Soluc: 8 amigos; ). Un grupo de personas se encuentra en una sala de multicines. La mitad se dirige a la sala A, la tercera parte opta por la sala B y una pareja decide ir a la cafetería. Cuántas personas componían el grupo? (Soluc: personas). Una persona caritativa ha dado a tres pobres respectivamente un tercio, un cuarto y un quinto de lo que tenía, y aún le queda Cuánto dinero tenía? (Soluc: 0 ). Nada se sabe de la vida del matemático griego Diofanto (siglo III d.c.), ecepto su edad al morir. Ésta se sabe por una cuestión planteada en una colección de problemas del siglo V o VI, que reza así: La juventud de Diofanto duró / de su vida se dejó barba después de / más. Después de / de su vida se casó. Cinco años después tuvo un hijo. Éste vivió eactamente la mitad de tiempo que su padre, y Diofanto murió cuatro años después. Hallar la edad de Diofanto. (Soluc: 8 años). Preguntada una persona por su edad contestó: Sumad al producto del número de años que tenía hace años por el de los que tendré dentro de años y os resultará un número igual al cuadrado de la edad que tengo hoy. Hallar la edad de la persona en el momento actual. (Soluc: se verifica para cualquier edad) 8. Si el lado de un cuadrado aumenta cm, su área aumenta 8 cm Cuáles son las dimensiones del cuadrado menor? (Soluc: Se trata de un cuadrado de lado cm) 9. Calcular la base y la altura de un rectángulo, sabiendo que su área es cm y su perímetro 0 cm. (Soluc: 8 cm) 0. En una papelería venden el paquete de bolígrafos a un precio total de. Si el precio de un bolígrafo subiera 0,0, para mantener ese precio total del paquete cada uno debería tener bolígrafos menos. Cuál es el precio de un bolígrafo y cuántos trae cada paquete? (Ayuda: llamar al nº de bolígrafos que trae el paquete e y al precio de cada bolígrafo, y plantear un sistema) Comprobar que la solución obtenida verifica las condiciones del enunciado. (Soluc: cada bolígrafo cuesta 0 cent., y el paquete tiene ). Javier tiene años más que su hija Nuria. Dentro de ocho años, la edad de Javier doblará la de Nuria. Cuántos años tiene cada uno? (Soluc: Javier, años, y Nuria, 9). Un grupo de estudiantes alquila un piso por el que tienen que pagar 0 al mes. Uno de ellos hace cuentas y observa que si fueran dos estudiantes más, cada uno tendría que pagar menos. Cuántos estudiantes han alquilado el piso? Cuánto paga cada uno? (Ayuda: llamar al nº de estudiantes e y a lo que paga cada uno, y plantear un sistema) Comprobar que la solución obtenida verifica las condiciones del enunciado. (Soluc: estudiantes a 8 cada uno). Con dos tipos de barniz, de,0 /kg y de,0 /kg, queremos obtener un barniz de, /kg. Cuántos kilogramos tenemos que poner de cada clase para obtener 0 kg de la mezcla? (Ayuda: plantear un sistema de ecuaciones de primer grado) (Soluc: 8 kg del barniz de,0 y kg del de,0). Dos árboles de m y 0 m de altura están a una distancia de m. En la copa de cada uno hay una lechuza al acecho. De repente, aparece entre ellos un ratoncillo, y ambas lechuzas se lanzan a su captura a la misma velocidad, llegando simultáneamente al lugar de la presa. A qué distancia de cada árbol apareció el ratón? (Ayuda: Si se lanzan a la misma velocidad, recorren el mismo espacio, pues llegan a la vez; aplicar el teorema de Pitágoras, y plantear un SS.EE. de º grado) (Soluc: a m del árbol de 0 m) Página

67 . Un almacenista de fruta compra un determinado número de cajas de fruta por un total de 00. Si hubiera comprado 0 cajas más y cada caja le hubiera salido por menos, entonces habría pagado 0. Cuántas cajas compró y cuánto costó cada caja?. Calcular dos números positivos sabiendo que su cociente es / y su producto (Soluc: y 8). Un rectángulo tiene 00 cm de área y su diagonal mide cm. Cuánto miden sus lados? (Soluc: 0 cm y cm) 8. Un frutero ha comprado manzanas por valor de. Si el kilo de manzanas costara 0,80 menos, podría comprar 8 kg más. Calcular el precio de las manzanas y la cantidad que compró. (Ayuda: plantear un SS.EE. de º grado) (Soluc: 0 kg a,80 /kg) 9. Un especulador compra una parcela de terreno por 800. Si el m hubiera costado menos, por el mismo dinero habría podido comprar una parcela 00 m mayor. Cuál es la superficie de la parcela que ha comprado? Cuánto cuesta el m? (Soluc: 00 m ; 8 ) 0. El área de un triángulo rectángulo es 0 m y la hipotenusa mide m. Cuáles son las longitudes de los catetos? (Soluc: m y m). Calcular dos números naturales impares consecutivos cuyo producto sea 9 (Soluc: y ). Si multiplicamos la tercera parte de cierto número por sus tres quintas partes, obtenemos 0. Cuál es ese número? (Soluc: ). Varios amigos alquilan un local por 800. Si hubieran sido tres más, habría pagado cada uno 0 menos. Cuántos amigos son? (Ayuda: llamar al nº de amigos e y a lo que paga cada uno) (Soluc: amigos). Uno de los lados de un rectángulo es doble que el otro y el área mide 0 m. Calcular las dimensiones del rectángulo. (Soluc: m). Un campo rectangular de ha de superficie tiene un perímetro de 0 hm. Calcular, en metros, su longitud y su anchura. ( ha00 a; a00 m ) (Soluc: 00 m 00 m). Las diagonales de un rombo están en la relación de a. El área es de 08 cm. Calcular la longitud de las diagonales y el lado del rombo. (Soluc: d cm; D8 cm; l 0,8 cm). El diámetro de la base de un cilindro es igual a su altura. El área total es 9, m. Calcular sus dimensiones. (Soluc: dh m) 8. Calcular la velocidad y el tiempo que ha invertido un ciclista en recorrer una etapa de 0 km sabiendo que, si hubiera ido 0 km/h más deprisa, habría tardado una hora menos. (Soluc: v0 km/h; t h) 9. En un terreno rectangular de lados m y 80 m se quieren plantar árboles formando una cuadrícula regular. Cuál será el lado de esa cuadrícula? (Ayuda: En el lado menor, por ejemplo, hay / cuadrículas, y un árbol más que el número de cuadrículas) (Soluc: m) Página

68 80. Un padre tiene 0 años más que su hijo. Dentro de años duplicará su edad. Hallar la edad de ambos. (Soluc: y ) 8. Al aumentar en cm la arista de un cubo su volumen aumenta en cm. Cuánto mide la arista? (Ayuda: plantear una ecuación de er grado) (Soluc: 9 cm) 8. Dos tinajas tienen la misma cantidad de vino. Si se pasan litros de una a otra, ésta contiene ahora el triple que la primera Cuántos litros de vino había en cada tinaja al principio? (Soluc: l) 8. Un padre, preocupado por motivar a su hijo en Matemáticas, se compromete a darle por problema bien hecho, mientras que, si está mal, el hijo le devolverá 0,. Después de realizar 0 problemas, el hijo ganó 0. Cuántos problemas resolvió correctamente? (Ayuda: Plantear un SS.EE. de er grado) (Soluc: 0 problemas) 8. Juan compra cierto número de botes de conserva por. Observa que, si cada bote costara menos, podría haber comprado un bote más con la misma cantidad de dinero. Cuántos botes compró y a qué precio? (Soluc: botes a 8 cada uno) 8. Un ranchero decide repartir una manada de caballos entre sus hijos e hijas. Antes del reparto se enfada con los dos únicos varones, que se quedan sin caballos. Así, cada hija recibe 9 cabezas más. Cuántas hijas tiene el ranchero? (Soluc. hijas) Ejercicios libro: pág. : a 9 Página

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84 EJERCICIOS de POLINOMIOS. Calcular el valor numérico del polinomio P() para el valor de indicado: a) P() +, para b) P() +, para - (Soluc: a) ; b) 0; c) 8; d) -) Ejercicios libro: pág. : ; pág. : c) P() ++, para d) P() - --, para -. En cada caso, hallar k para el valor numérico indicado: a) P() --k, siendo P() c) P() + k, siendo P(-)8 (Soluc: k -) (Soluc: k -0) b) P() k, siendo P(-) d) P() 8 + k, siendo P(/) (Soluc: k -9) (Soluc: k0/). Sumar convenientemente monomios semejantes: a) + + f) yz + yz + yz yz b) + g) ab a b ab ab + a b c) y y + y d) y + y y + 8y h) y + y + y y e) y y + y y + y y (Soluc: a) ; b) - ; c) y; d) 0; e) y + y+y ; f) yz; g) 9 ab - a b ; h) y + y) Ejercicios libro: pág. 0: a; pág. : a. Dados P() y Q() , hallar P()+Q() y P()-Q() (Soluc: ; ). Dados P() + -+, Q() -+ y R() -+, hallar: a) P()+Q()+R() (Soluc: + -+) b) P()-Q()-R() (Soluc: - +-) c) P()+Q()-R() (Soluc: ). Efectuar los siguientes productos en los que intervienen monomios, dando el resultado simplificado: ( Soluc : - ) a) ( ) b) ( 0 c) y ( z ) Soluc : ) ( d) ab ab ( a b) Soluc : -0 yz ) Soluc : a b ) ( ( Soluc : ) e) ( + + ) Página 89

85 8 ( Soluc : ) f) ( + + ) ( ) g) + ( Soluc : 8 h) ab a + a b + aba b Ejercicios libro: pág. : b y 0 ( ) Soluc : a b - a b + 8a b + a b ). Etraer el máimo factor común posible: a) -+ (Soluc: ( +-)) b) y + y - y (Soluc: y( y+y -)) c) -y-y -0 yz (Soluc: y(--y-0z)) d) -+ + (Soluc: ( +-)) e) ab -a b+8a b (Soluc: ab(b-a +a b )) f) + -8 (Soluc: ( +-)) g) y - yz+9y z (Soluc: y( y-z+y z )) h) -(-) + (-) (Soluc: (-)(+)) Ejercicios libro: pág. : 8 8. Efectuar los siguientes productos: a) ( +-) (8 -+) (Soluc: ) b) ( - +-) ( - +) (Soluc: ) c) ( - +) ( - +-) (Soluc: ) d) (ab +a b+ab) (ab-ab ) (Soluc: a b +a b -a b -a b ) e) ( ) ( -+) (Soluc: ) f) ( y -y) (y+) (Soluc: y -8y) g) 0 (-+y-) + (0-) (0-y) (Soluc: y) h) ( -+/) (+) (Soluc: - -/+) i) ( +/+/) (-) (Soluc: - /-0/-0) j) ( ++) (-/) (Soluc: + -) 9. Efectuar las siguientes operaciones combinadas: a) ( ++/) ( -) + 8+/ (Soluc: ) b) ( + /-+) ( +) ( +) (Soluc: + + +) c) ( -+) ( -/+) + / (Soluc: ) d) -/+/ + ( -/-/) ( +) (Soluc: ) Página 90

86 0. Dados los polinomios del ejercicio, hallar: a) [R()] b) P()-Q() R() c) P() [Q()+R()] d) P() Q() R() (Soluc: a) ; b) ; c) d) ) Ejercicios libro: pág. : 8 y 9; pág. : y 8. Desarrollar, aplicando las igualdades notables: a) (+) b) (-) c) (+) (-) d) (+) e) (-) f) (+) (-) g) ( +) (Soluc: m) h) ( -) i) ( -) ( +) j) ( +) k) ( -) l) (--) m) ; n) 9 a - a + ; o) n) a o) + p) + q) r) a a + + ; p) ; q) 9 s) + ; t) 9; u) ) Ejercicios libro: pág. : 0a,b; pág. : ; pág. :, y s) t) + u) ; r) a - ; 9. Operar y simplificar: a) (+) +(-)(+) b) (-) -(+)(-) c) (+)(-+)-(+) d) (-+) -(+) -(+)(-) e) -+(-)(+)-(- ) f) (-) -(- -) -(-+ )( +) Ejercicios libro: pág. : (Soluc: a) +-; b) -+; c) --0; d) - -+; e) ; f) ). El matemático griego Pitágoras conocía las dos siguientes posibles formas de construir un triángulo rectángulo con sus tres lados de longitud entera, llamadas ternas pitagóricas, sin más que dar valores a n IN: n - A n + n+ B n +n+ n n +n Por su parte, Euclides conocía la siguiente fórmula general, que engloba a las dos anteriores: m -n C m +n (m,n IN, m>n) mn

87 Finalmente, he aquí otras dos ternas pitagóricas de autor desconocido: n+ D n+ n E n + n+ n (n IN, impar) Demostrar la veracidad de estas fórmulas. Generar algunos casos concretos.. Demostrar que (a +b ) (c +d )(ac-bd) +(ad+bc). Desarrollar, aplicando el triángulo de Tartaglia: a) ( + ) b) ( + ) c) ( + y) d) ( + ) e) ( + ) f) + g) + h) (a b) i) ( ) j) ( ) k) ( ) l) ( y) m) ( ) n) o) ( ) p) q) ( ) r) s) (- ) t) ( ) Ejercicio libro: pág. : 0c (Sol: a) ; b) ; c) + 0 y+0 8 y +0 y +80 y +9 y +9y ; d) ; e) ; f) + ++/ +/ ; g) + /+ /+ /+/+/; h) a -a b+0a b - 0a b +ab -b ; i) -9 +-; j) ; k) ; l) 9-9 y+80 y -0 y +0 y -y +y ; m) ; n) - /+ /- /+/-/; p) - /+8 /-8/+/8 r) /-9 /+ /- /+ /-9+9). Efectuar los siguientes cocientes en los que intervienen monomios, dando el resultado simplificado: a) 8 b) - c) d) 8 e) - 9 y f) y g) - 9a b c ab c 9 + h) i) + 8 j) 9 k) 8 + l) (-8 yz ):(yz ) a(a b) + a b m) a b n) y ( y) y (Soluc: h) -+; i) -+; j) 8 /+/+9/0; k) /-/+/; l) - ; m) -a ; n) y /) Página 9

88 . Efectuar los siguientes cocientes, indicando claramente el cociente C() y el resto R(), y comprobar el resultado mediante la regla Dd C+R: a) (Soluc: C() -+; R()+) b) (Soluc: C() ++; División eacta) c) (Soluc: C() +-; División eacta) d) (Soluc: C()+; R()+) e) (Soluc: C() - ++; División eacta) f) (Soluc: C()+; R()--) g) (Soluc: C()-; R() --) h) + (Soluc: C(); R()-) i) (Soluc: C() +8-; R() -+) j) 8 + (Soluc: C() - + -; R()) k) (Soluc: C() -+; R-) l) (Soluc: C() ; R()-) m) (Soluc: C() - ++; División eacta) n) (Soluc: C() + -+; R()-) o) (Soluc: C() -+; R()--) p) (Soluc: C() + --8; R()-+) q) (Soluc: C()+; R()--) r) (Soluc: C() -+; R()-) s) (Soluc: C() + --; R()) t) (Soluc: C(); R()9 ++8) u) (Soluc: C() ++/; R()8+/) v) (Soluc: C() +/+/; R()/+/) w) (Soluc: C() + /-/-9/8; R()/8-/) ) (Soluc: C() +/+8/9; R()-9/9) y) (Soluc: C() +/-/; R()-/+/) z) (Soluc: C() +/+8/9; R()/9-8/9) α) (Soluc: C() +/-/8; R()/8-/) β) (Soluc: C() + /-+; R()-) γ) (Soluc: C() --/+; R()/) δ) (Soluc: C() --/-/; R()-/+/) ε) - (Soluc: C() +; R()) ζ) (Soluc: C() +/+; R()-/+) Ejercicios libro: pág. : ; pág. : 9 Página 9

89 8. Inventar una división de polinomios cuyo cociente sea C() -+, el resto sea R()- y el dividendo un polinomio de º grado. 9. Efectuar las siguientes divisiones mediante la regla de Ruffini, indicando claramente el cociente C() y el resto R(), y comprobar el resultado: a) (Soluc: C() - ++; División eacta) b) (Soluc: C() -+; R-) c) (Soluc: C() + +0+; R) d) (Soluc: C() ; R-) e) (Soluc: C() + ++8; R) f) (Soluc: C() - +8-; R0) g) (Soluc: C()0-0+0; R-) h) - -/+ + (Soluc: C() -+/; División eacta) i) - /-0/-0 - (Soluc: C() +/+/; División eacta) j) - /+ 9 /++ + Soluc :C() ; R() k) (Soluc: C() ++; R) l) (Soluc: C() ++; R) m) (Soluc: C() +; División eacta) n) (Soluc: C() - +-8; R) o) (Soluc: C() - +-; División eacta) p) + - (Soluc: C() ; R) q) + - -/ (Soluc: C() ++; División eacta) r) / (Soluc: C() ++; División eacta) s) (Soluc: C() - +-; R) t) (Soluc: C() ++; División eacta) (Ayuda: Dividir entre ambos términos) u) a -a +a + -a (Soluc: C()a -a ; R) Ejercicios libro: pág. : ; pág. : 9 RECORDAR: TEOREMA DEL RESTO: "El resto de la división de P() por -a coincide con el valor numérico P(a)" Ejemplo: Al efectuar la división de P() +- entre - se obtiene resto cero, como cabía esperar, puesto que P()0 Utilidad: El th. del resto permite predecir, sin necesidad de efectuar la división, si se trata de una división eacta. 0. Comprobar el teorema del resto mediante las divisiones anteriores.. Dado P() --, comprobar si es divisible por + o por - mediante el teorema del resto. Comprobar a continuación efectuando la división Cuál es el otro factor por el que es divisible? (Soluc: SÍ; NO; -) Página 9

90 . Determinar, aplicando el teorema del resto, el valor de a para que el resto de la división + +a sea -; comprobar, a continuación, el resultado obtenido haciendo la división. (Soluc: a-). Averiguar, sin efectuar la división, cuáles de las siguientes divisiones son eactas: a) (Soluc: NO) b) (Soluc: SÍ) c) - - (Soluc: SÍ) d) (Soluc: NO). Hallar, de dos formas distintas, el valor de m en cada caso para que las siguientes divisiones sean eactas: a) +8 ++m + (Soluc: m-8) b) -0 +m+ - (Soluc: m-) c) +m (Soluc: m-) d) m (Soluc: m) e) +-m + (Soluc: m-) f) - +m - (Soluc: m) g) + +m+ - (Soluc: m-/) h) - +m -0 + (Soluc: m) RECORDAR: TEOREMA DEL FACTOR: "P() es divisible por -a (o dicho de otra forma, P() contiene el factor -a) si se cumple que P(a)0" Ejemplo: Dado P() +-, como P()0, podemos asegurar que P() es divisible por - De hecho, puede comprobarse que al factorizarlo se obtiene +-(-)(+) (Nótese que el th. del factor es a la división polinómica lo que los criterios de divisibilidad eran a la división numérica). Comprobar, sin efectuar la división, que es eacta. (Soluc: Al hacer P(-), sale 0). Comprobar que -- es divisible por - sin efectuar la división. Comprobar el resultado obtenido haciendo la división. Por qué otro factor es divisible? (Soluc: P()(-)(+)). Estudiar si P() +- es divisible por + y/o por -, sin efectuar la división. Comprobar el resultado obtenido haciendo la división. Por qué otro factor es divisible? (Soluc: divisible por + pero no por -) 8. Estudiar si P() - es divisible por - sin efectuar la división (Comprobar el resultado obtenido haciendo la división). (Soluc: Sí es divisible) 9. Sin necesidad de efectuar la división, podemos asegurar que el polinomio P() es divisible por -? Por qué? 0. TEORÍA: Razonar, mediante ejemplos, que el teorema del factor viene a ser a la división polinómica lo que los criterios de divisibilidad eran a la división numérica FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS:. Dados los siguientes polinomios cuadráticos se pide: i) Obtener sus raíces y comprobarlas. ii) A partir de las raíces anteriores, factorizarlos. iii) Comprobar dicha factorización. a) -+ b) --8 c) -+9 d) +- e) ++ f) -+ Página 9

91 . Dados los siguientes polinomios se pide: i) Obtener sus raíces por Ruffini. ii) Comprobar dichas raíces sustituyéndolas en P() iii) Factorizar P() a partir de sus raíces y comprobar dicha factorización: a) P() - ++ (Soluc: -,,) b) P() (Soluc: -,,,) c) P() + -+ (Soluc: doble,-) d) P() - + (Soluc: -doble,doble) e) P() (Soluc: ±,-/,/). Sabiendo que una de sus raíces es /, factorizar P() Dadas las siguientes ecuaciones polinómicas se pide: i) Resolverlas por Ruffini. ii) Comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación. iii) A partir de sus raíces, factorizar el polinomio y comprobar dicha factorización. a) (Soluc:,,) b) (Soluc: -,-,) c) (Soluc: -, ±, ) d) (Soluc: -, doble, ) e) (Soluc: carece de raíces ε Q) f) (Soluc: -,,/) g) (Soluc: ±,±,) h) - +0 (Soluc: ±,±) (También se puede hacer por ecuación bicuadrada) i) (Soluc: -,-,0,) j) (Soluc:, ±, -) k) (Soluc: ) l) (Soluc: ±,) m) (Soluc: 0,,,) n) (Soluc: -,-,/,/) o) (Soluc: -,-,) p) (Soluc: - doble,) q) (Soluc: triple). Dados los siguientes polinomios, se pide: i) Obtener sus raíces por Ruffini. ii) Comprobar dichas raíces sustituyéndolas en P() iii) Factorizar P() a partir de sus raíces y comprobar dicha factorización. a) P() (Soluc: -,-) b) P() (Soluc: -,/,/) c) P() (Soluc: -,) d) P() (Soluc:,,±) e) P() (Soluc:,) f) P() - + (También se puede hacer por ecuación bicuadrada) g) P() - - (También se puede hacer por ecuación bicuadrada) h) P() (Soluc: -,) i) P() - +- (Soluc:,-) j) P() (Soluc: - doble,,) Página 9

92 k) P() - +- (Soluc: ±,/,/) l) P() (Soluc: 0, ) m) P() (Soluc: ) n) P() (Soluc: ±) o) P() (Soluc: carece de raíces ε Q) p) P() (Soluc:, doble,-) q) P() (Soluc:, -, /, -/) r) P() (Soluc: ±,- doble) Ejercicios libro: pág. : 9; pág. : y CONSECUENCIA: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA: "Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales". Resolver la ecuación, sabiendo que una de sus raíces es / (Soluc: ±/, /). Resolver la ecuación (Sol: ) 8. Serías capaz de resolver la ecuación? Aunque es un poco complicada para este curso, puedes resolverla con los conocimientos ya adquiridos: tendrás que aplicar binomio de Newton y Ruffini (Sol: ) 9. Resolver: a) - y (Soluc:, y) b) y - y y (Soluc: ; y) 0. Inventar una ecuación polinómica que tenga únicamente por soluciones -, y. Inventar, de dos formas distintas, una ecuación polinómica que tenga únicamente como raíces y Ejercicios libro: pág. : 8, 0 y. Determinar el polinomio de grado que verifica: P(-)P()P(-)0 y P(-)8. Un polinomio de grado, cuántas raíces puede tener como mínimo? Razonar la respuesta. (Soluc: raíz) Página 9

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94 IGUALDADES NOTABLES EJERCICIOS (A + B) (A B) A A (A + B)(A B) A + AB + B AB + B B Desarrollar las siguientes epresiones utilizando la identidad notable correspondiente, y simplificar. Obsérvense los primeros ejemplos:. ( + ) ( ) + +. ( + )( ). ( + ) (Soluc: ++). ( ) (Soluc: - +9). ( + )( ) (Soluc: -). ( + ) (Soluc: + +9 ) 8. ( ) (Soluc: - 8+ ) 9. ( + )( ) (Soluc: - ) 0. ( a + ) (Soluc: a +8a+ ). ( a ) (Soluc: a - a+). ( a + )(a ) (Soluc: a - 9). ( + ) (Soluc: ). ( ) (Soluc: ). ( + )( ) (Soluc: -) Página 99

95 . ( + ) (Soluc: ). ( ) (Soluc: - 0+) 8. ( + )( ) (Soluc: 9 - ) 9. ( b + ) (Soluc: b + b + ) 0. ( b ) (Soluc: b - 0b + 9 ). ( b + )(b ) (Soluc: b -). ( a + ) (Soluc: a + 0a + ). ( a ) (Soluc: a - 0a + ). ( a + )(a ) (Soluc: a - ). ( y ) + (Soluc: y + 8y + ). ( y ) (Soluc: y - y + 9 ). ( y + )(y ) (Soluc: y - 9 ) 8. ( + ) (Soluc: 9 ++ ) 9. ( ) (Soluc: 9 - +) 0. ( + )( ) (Soluc: 9 - ). ( b ) + (Soluc: b +0b +). ( ) (Soluc: -+). ( + )( ) (Soluc: - 9 ). Carlos, un alumno de º de ESO, indica lo siguiente en un eamen: ( + ) + Razonar que se trata de un grave error. Cuál sería la epresión correcta? Página 00

96 FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS. Utilizando identidades notables, desarrollar las siguientes epresiones: a) (+) b) (-) c) (+)(-) d) (+) e) (-) f) (+) (-) g) (a+) h) (a-b) i) (-) j) (+) (-) k) (-+) l) (--) m) ( + )( ) n) ( + ) o) ( ++). a) Razonar por qué (A-B) y (B-A) dan el mismo resultado. b) Ídem con (A+B) y (-A-B). Averiguar de qué epresiones notables proceden los siguientes polinomios (Fíjate en el er ejemplo): a) ++(+) b) -+ c) - d) ++9 e) -8+ f) - g) 9- h) +a+a i) ++ j) -a k) a -b l) - m) +0+ n) - o) -9 p) a -a+ q) - r) ++ s) -+9 t) - u) - Ejercicios libro: pág. : ; pág. : y ; pág. : (pasar a identidad notable); pág. : (más elaborado). Utilizar identidades notables para simplificar las siguientes fracciones algebraicas: a) + - Soluc : + f) y y Soluc : - + y b) Soluc : + g) + Soluc : + - c) + + Soluc : - h) Soluc : d) - Soluc : i) a + a - a Soluc : a + a e) + a + a + a Soluc : m + ma m j) a a - Soluc : a + a + a + RECORDAR: TEOREMA DEL FACTOR: "P() es divisible por -a (o dicho de otra forma, P() contiene el factor -a) si se cumple que P(a)0" Ejemplo: Dado P() +-, como P()0, podemos asegurar que P() es divisible por - De hecho, puede comprobarse que al factorizarlo se obtiene +-(-)(+) Página 0

97 . Utilizar el teorema del factor para simplificar, siempre que sea posible, las siguientes fracciones algebraicas: a) b) - + Soluc : + Soluc : + - h) i) + + ( Soluc : irreducible ) Soluc : c) + + Soluc : + j) Soluc : d) e) + Soluc : ( Soluc : irreducible ) f) + - ( Soluc : -) + g) Soluc : + + k) + Soluc : + l) a a + a + Soluc : a + a Ejercicio libro: pág. 8: 0. Averiguar, factorizando previamente numerador y denominador, si es posible simplificar las siguientes fracciones algebraicas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Soluc : Soluc : ( Soluc : irreducible ) Soluc : Soluc : ( Soluc : irreducible ) Soluc : ( Soluc : -) + - Soluc : ( Soluc : irreducible ) k) l) m) n) o) p) q) r) s) + - Soluc : Soluc : Soluc : Soluc : Soluc : - Soluc : Soluc : Soluc : Soluc : - -. Efectuar las siguientes sumas y restas reduciendo previamente a común denominador y dando el resultado simplificado (NOTA: Con un * se indican aquellos casos en los que, al final del proceso de sumas y restas de F.A., se obtiene una epresión que se puede simplificar): a) Soluc : - 8 b) + Soluc : Página 0

98 c) d) Soluc : Soluc : r) * s) a + b ab a b a b ( + ) ( ) a + b Soluc : a - b Soluc : + + e) Soluc : * t) Soluc : + - f) + + Soluc : + * u) Soluc : + - * g) + v) Soluc : + Soluc : h) * w) + + y - + Soluc : - y Soluc : + + y ) i) Sol : Soluc : y) Soluc : j) Soluc : - z) Soluc : - k) Soluc : α) Soluc : l) Soluc : β) Soluc : m) Soluc : + - * γ) Soluc : + n) Soluc : δ) Soluc : ( ) ( + ) o) + y y - y - y + + y + Soluc : y y - y ε) p) y y z - z + Soluc : y yz z Soluc : q) + + Soluc : Ejercicios libro: pág. : 8 a 8. Efectuar los siguientes productos y cocientes, dando el resultado simplificado: a) b) c) d) e) : Soluc : - Soluc : Soluc : Soluc : Soluc : f) g) h) + + Soluc : ( Soluc : ) a + a + a a + a + y 9 + z i) j) - a ( Soluc : - a + a ) ( Soluc : + y + z ) ( Soluc : / ) Página 0

99 k) A ( B) + A ( Soluc : A/B ) B l) Soluc : a m) a Ejercicios libro: pág. :, y ( Soluc : a - ) 9. Efectuar las siguientes operaciones combinadas con F.A. y simplificar: a) b) c) d) a + b a+ b a+ b a b ab ab y y y : + y y y Soluc : Soluc : Soluc : - a - b + y Soluc : - y Ejercicios libro: pág. 9: ; pág. :, y 0. Demostrar que: a) a b c a c a d b d b a + b a b ( ) ( ) b) a b Página 0

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106 EJERCICIOS DE INECUACIONES REPASO DE DESIGUALDADES:. Dadas las siguientes desigualdades, indicar si son V o F utilizando la recta real. Caso de ser inecuaciones, indicar además la solución mediante la recta IR y mediante intervalos: a) >- b) <- c) d) < e) f) >0 g) - h) <8. Razonar, operando, que la desigualdad es falsa. Comprobarlo con la calculadora. 9. Dada la inecuación >, estudiar si los siguientes números pueden ser solución: -, 0,,,,, /. Indicar, a continuación, su solución general. INECUACIONES DE er GRADO:. Dada la inecuación +>+ se pide, por este orden: a) Comprobar si son posibles las soluciones, 0, - b) Resolverla y dibujar en la recta real la solución.. Resolver las siguientes inecuaciones simples: a) d) - - b) -> e) 0 c) -9 f) - g) 0-0 (Sol: -) h) -<- (Sol: <) i) - (Sol: -) j) <- (Sol: -) k) -<- (Sol: ) l) - - (Sol: ). Resolver las siguientes inecuaciones y representar la solución en la recta real: a) + (Sol: ) b) - 8 (Sol: ) c) + (Sol: ) d) +<+ (Sol: <) e) - - (Sol: 8/) f) - - (Sol: ) g) +<- (Sol: <-/) h) ->- (Sol: >/) i) -<+ (Sol: <) j) -<-+ (Sol: <) k) +9>+ (Sol: <) l) (-)+(-) - (Sol: ) m) (+)+<(+)+ (Sol: / soluc.) n) (-)-(+)<-+ (Sol: IR) o) (-)> ++ (Sol: <-/) p) (+)(+)<(-)(+) (Sol: <-) q) (+)+(-)>(+) (Sol: >/) Ejercicios libro: pág. 0: a,b; pág. 8: 8, 0,. Resolver las siguientes inecuaciones, quitando previamente los denominadores: a) - < (Sol: <) b) + > (Sol: >) c) < (Sol: </8) d) + + > (Sol: <) e) > (Sol: >) Página

107 f) + > + (Sol: <) g) + 8 < (Sol: <9/) h) < (Sol: >9) i) > 0 8 (Sol: >09/0) j) < 0 (Sol: >) k) < + (Sol: <) l) + + > + (Sol: / soluc.) m) - > (Sol: <8) n) o) 8 + (Sol: ) + > (Sol: <) Ejercicios libro: pág. 0: c,d,e,f; pág. 8: 9 INECUACIONES DE º GRADO: 8. Resolver las siguientes inecuaciones y representar la solución en la recta real: a) [Sol: (-,]U[, )] b) --<0 [Sol: (-,)] c) -+>0 [Sol: (-,)U(, )] d) [Sol: [-,]] e) [Sol: (-,]U[/, )] f) -+<0 [Sol: (,)] g) -+ 0 [Sol: IR] h) ->0 [Sol: (-,0)U(, )] i) - 0 [Sol: (-,-]U[, )] j) -+>0 [Sol: IR-{}] k) [Sol: IR] l) -+<0 [Sol: / soluc.] m) -+ 0 [Sol: ] n) --<0 [Sol: (-/,/)] o) -9+8<0 [Sol: (,)] p) -+<0 [Sol: / soluc.] q) -+ 0 [Sol: / soluc.] r) +8+<0 [Sol: (-,-)] s) [Sol: [-,-]] t) [Sol: [,]] v) (+)(-)>0 [Sol: (-,-)U(, )] w) (-)(-)<0 [Sol: (,)] ) (-8)(+)>0 [Sol: (-,-)U(, )] y) (-)>0 [Sol: (-,0)U(, )] z) <9 [Sol: (-,)] α) 9 ->0 [Sol: (-,-/)U(/, )] β) ++<0 [ / soluc.] γ) -+<0 δ) - ++>0 ε) ζ) - ++<0 η) -+>0 [Sol: (-,)U(, )] θ) -<0 [Sol: (0,/)] ι) + 0 κ) -8>0 λ) ++ 0 µ) [Sol: IR] Ejercicios libro: pág. : ; pág. 9: 8 y 9 u) [Sol: (-,-]U[, )] 9. Resolver las siguientes inecuaciones de º grado reduciéndolas previamente a la forma general: a) (+)->+ [Sol: (-,-)U(, )] b) (-) -(+) + -+ [Sol: [-/,]] Página

108 c) ( +)-(+)( -)>- [Sol: >-] d) (-) [Sol: [,]] e) (+9)+9<0 [ 9 9 Sol : - -,- + f) -(+)+ 0 [Sol: [-,]] g) (-) + (+)(-) [Sol: IR] h) (+)+(+)(-)>(+) +- [Sol: (-,-)U(, )] i) (+)(-)+>(+)- [Sol: (-,-)U(/, )] j) (+)(-) (+) +(+)(-) [Sol: [-,]] k) (+)(-) (-) +0 [Sol: -] l) (-) + >(+)(-)- [Sol: (-,)] m) ( + )( ) ( ) < + ( ) [ Sol : -, U, n) (+)(+) (+)(-)+ [Sol: [-,-]] ] ] o) ( + )( ) ( + ) 9 ( - 8) - 8 [Sol: [-,/]] p) ( - ) ( + )( - ) < [Sol: (-,)] q) ( + )( ) + ( ) ( ) [Sol: ] r) ( + )( ) ( ) ( ) [Sol: (-,-8]U[, )] s) ( - ) + ( + )( ) + < + [Sol: (0,)] t) ( - )( + ) ( ) [Sol: (-,-]U[, )] u) ( + )( ) + ( - ) + + [Sol: [-,0]] v) ( + )( ) ( + )( ) + + [Sol: (-,-]U[, )] w) ( ) + ( + )( ) [Sol: (-,-/]U[, )] ) ( + )( ) ( + )( ) [Sol: (-,-)U(, )] Ejercicios libro: pág. : ; pág. 9:, 0 y (sin denominadores); pág. 9: (más elaborados) 0. Por qué no se puede hacer lo siguiente:? Cuál sería la forma correcta de proceder? Página

109 INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO >:. Resolver las siguientes inecuaciones aplicando el método más apropiado en cada caso: a) [Sol: [-,]U[, )] b) - -<0 [Sol: (-,-)U(0,)] c) [Sol: [-,]U[, )] d) ->0 [Sol: (-,-)U(, )] e) ( + )( ) ( - )( + ) < [Sol: (-,-)U(, )] f) [Sol: (-,-]] g) -- 0 [Sol: [-,-]U[, )] Ejercicios libro: pág. : b; pág. 9:, y 8 INECUACIONES FACTORIZADAS:. Resolver las siguientes inecuaciones aplicando el método más apropiado en cada caso: a) ( --) ( +9)>0 [Sol: (-,-)U(, )] b) ( +-) (+)<0 [Sol: (-,-)U(-,)] c) (+8) ( -) ( -+) 0 [Sol: [-,-]U[0,]] d) (-) 0 [Sol: (-,]] e) (-) 0 [Sol: (-,0)U(0,)] g) (-) (+) 0 [Sol: [-,-]U[/, )] h) (-) (+) ( +)>0 [Sol: (-,-)U(, )] i) (+) (-) >0 j) (-) ( +) 0 Ejercicios libro: pág. 9: y f) (+) (-)<0 [Sol: (-,-)U(-,)] SISTEMAS DE INECUACIONES DE er GRADO:. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones de er grado con una incógnita, indicando la solución de dos formas distintas: mediante intervalos, y representando en la recta real: a) [Sol: [-,-]] j) < + [ / soluc.] b) < + < + [Sol: (/,/)] k) [Sol: ] c) [ / soluc.] l) + + < + [Sol: [,)] d) e) f) g) h) i) < 9 + < + 8 < > 8 < + < + + > + + [Sol: [/,)] [Sol: (, )] [ / soluc.] [Sol: (-,]] [Sol: [-,)] [Sol: (,]] m) + n) o) p) q) r) ( ) ( ) + > < < - - ( ) ( + ) [( - ) - + ] < [Sol: [-,]] [Sol: IR] [ / soluc.] [Sol: (-,-)] [Sol: [9/,]] [Sol: [/,9/)] Página

110 s) t) u) v) w) ) ( ) ( + ) ( + )( ) - ( - ) 0 > + - > - + ( + ) ( + ) > ( + ) < ( ) ( + ) > + + > ( ) ( ) > + ( - ) y) ( + ) + + ( + ) ( + ) - < ( + ) - [Sol: [/, )] [Sol: (,0)] [Sol: (-,]] [Sol: [, )] [ / soluc.] [Sol: (8/, )] [Sol: [-,/)] z) α) β) 0 + > + + < + 0 ( + ) + + < [ / soluc.] [Sol: (-0,9]] [Sol: [-,)] Ejercicios libro: pág. 8: y (sin denominadores); pág. : ; pág. 8: (con denominadores) (*) γ) (*) δ) ( ) + ( + )(- ) > ( + )(-) [Sol: [/, )] ( ) < [Sol: [,)] ( + ) ( + ) - Ejercicios libro: pág. : (no lineales. Considerar el sistema < + Cómo podemos saber, sin resolverlo, si - y son solución? + 8 < [Sol: SÍ; NO]. Resolver las siguientes inecuaciones con cocientes: a) > 0 [Sol: (-,)U(, )] b) + [Sol: (-,-)U[, )] 8 c) [Sol: [-,)] d) [Sol: (,/]] e) + < [Sol: (,0)] f) < 0 [Sol: (-,-)] + g) 0 h) + > i) + j) + k) > + l) + [Sol: (-,)] [Sol: (-,-/)U(/, )] [Sol: (-,)U[, )] [Sol: [-,)] [Sol: (-,-)U(-,0)] [Sol: (-,-]U(, )] Ejercicios libro: pág. : a,b,c; pág. 80: 9 y (sencillos); pág. : d,e,f; pág. 80: 0. Por qué no se puede hacer > 0 > 0? Cómo se resuelve correctamente? NOTA: Las inecuaciones de er grado con dos incógnitas y los sistemas de inecuaciones de er grado con dos incógnitas los resolveremos gráficamente al final del curso, cuando veamos el tema de rectas. Página

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116 80 EJERCICIOS de TRIGONOMETRÍA GRADOS Y RADIANES:. Pasar los siguientes ángulos a radianes: a) 0º b) º c) 0º d) 90º e) 80º f) 0º g) 0º h) º i) º j) º (Sol: a) π/ rad; b) π/ rad; c) π/ rad; d) π/ rad; e) π rad; f) π/ rad; g) π rad; h) π/ rad; i) π/ rad; j) π/ rad). Pasar los siguientes ángulos, epresados en radianes, a grados seagesimales: a) π/ rad b) π/ rad c) π/ rad d) π/ rad e) π/ rad f) π/0 rad g) 0, rad h) rad (Sol: a) 0º; b) º; c) 0º; d) º; e) 0º; f) 8º; g) º ' ''; h) º ' ''). Completar en el cuaderno la siguiente tabla: Grados 0º 0º 0º º Radianes π/9 rad π/ rad π/ rad DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: NOTA: Los ejercicios, y se realizarán en casa, con transportador de ángulos, regla y papel milimetrado.. C En el triángulo rectángulo de la figura medir sus lados, en mm, y hallar sen B, cos B y tg B. Medir a continuación B con el transportador de ángulos y comprobar con la calculadora lo obtenido antes (usar decimales). B A B''. B B' Comprobar en la figura adjunta que el sen α sólo depende del ángulo y no del triángulo (usar decimales). O α A A' A''. Utilizando el transportador de ángulos, dibujar sobre papel milimetrado un triángulo rectángulo que tenga un ángulo de 0º, y medir a continuación sus lados para obtener sen 0º, cos 0º y tg 0º; comparar finalmente los valores obtenidos con los que proporciona la calculadora (usar decimales). Ejercicio libro: pág. 8: Página

117 . Utilizar la calculadora para obtener, con cuatro decimales bien aproimados, las siguientes razones trigonométricas: a) sen º b) cos 0º c) tg º ' d) sen º ' '' e) cos 8º ' '' f) sec º g) cosec º h) tg º 0' i) ctg º j) tg 90º Ejercicios libro: pág. : ; pág. 8: 8 8. Hallar α en los siguientes casos, utilizando la calculadora solamente cuando sea estrictamente necesario: a) sen α0,8 b) tg α c) cos α / d) sen α/ e) cos α, f) tg α, g) sen α h) cos α i) sen α0 j) cos α0 k) ctg α / l) sec α m) cosec α / Ejercicios libro: pág. 8: 9 y 0 9. Cuando una señal de tráfico indica que la pendiente de una carretera es p. ej. del 0 %, quiere decir que por cada 00 m de trayecto horizontal la carretera asciende 0 m. Comprobar que la pendiente de una carretera coincide entonces con la tangente del ángulo de inclinación α. Cuánto vale tg α en ese ejemplo? (Soluc: tg α0,) 0 m 00 m 0. Supongamos que ascendemos por una carretera de montaña cuya pendiente media es del % durante 0 km. Cuánto hemos ganado en altitud? (Soluc: 98 m). TEORÍA: Puede ser el seno o el coseno de un ángulo mayor que? Y la tangente? Hay alguna restricción para la secante o cosecante? (Soluc: NO; SÍ; siempre son mayores que ). TEORÍA: Puede eistir un ángulo tal que su tangente y su coseno sean iguales? Razonar la respuesta. (Soluc: NO) Ejercicios libro: pág. 8:, y RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:. a) Comprobar la relación fundamental con 0º, º y 0º (sin utilizar decimales ni calculadora) b) Comprobar, mediante calculadora, la relación fundamental para º. Comprobar la relación + tgα / cos α con 0º, º y 0º (sin utilizar decimales ni calculadora). De un ángulo agudo se sabe que su seno es /. Mediante identidades trigonométricas, hallar sus restantes razones. (Soluc: cos α/; tg α/ ). Sabiendo que cos α 0,, hallar sus restantes razones: a) mediante identidades trigonométricas; b) mediante calculadora. (Soluc: sen α /, cos α ) Página

118 . De un ángulo agudo se sabe que su tangente vale. Mediante identidades trigonométricas, hallar sus restantes razones. (Soluc: sen α /; cos α / ) 8. Dado un ángulo agudo α, encontrar, aplicando identidades trigonométricas, las restantes razones, sabiendo que: a) sen α/ b) cos α/ c) tg α/ d) ctg α / e) sec α f) sen α/ g) cos α/ h) tg α/ (Soluc: a) cos α /, tg α /; b) sen α 9 /, tg α 9 /; c) sen α/, cos α/; d) sen α 0 /, cos α /, tg α /; e) sen α /, cos α /, tg α; f) cos α /, tg α /; g) sen α /, tg α ; h) sen α/, cos α/) Ejercicios libro: pág. 9: y ; pág. 8: a 0 9. Dado un ángulo agudo α tal que ctg α, se pide: a) Hallar, aplicando identidades trigonométricas, sen α, cos α y tg α (resultados racionalizados) (Soluc: sen α /, cos α /, tg α /) b) Obtener, mediante calculadora, de qué α se trata. (Soluc: α º ) 0. Dado un ángulo α tal que cosec α, se pide: a) Hallar, aplicando identidades trigonométricas, sen α, cos α y tg α (resultados racionalizados) b) Obtener, sin calculadora, de qué α se trata. (Soluc: sen α /, cos α/, tg α ; α0º). a) Dado cos α, obtener, mediante las correspondientes fórmulas trigonométricas, sen α y tg α, dando los resultados simplificados y racionalizados (no se puede utilizar decimales). b) Averiguar, mediante calculadora, de qué ángulo α se trata, eplicando el resultado.. a) Dada tg α, obtener, mediante las correspondientes fórmulas trigonométricas, sen α, cos α y ctg α (Dar los resultados simplificados y racionalizados; no se puede utilizar decimales) (Soluc: sen α /, cos α /, ctg α /) b) Averiguar razonadamente, mediante calculadora, α (Soluc: α 0º ). Dado un ángulo agudo α tal que sec α, se pide: a) Hallar, aplicando identidades trigonométricas, sen α, cos α y tg α (resultados racionalizados) (Soluc: sen α /, cos α /, tg α /) b) Obtener, mediante calculadora, de qué α se trata. (Soluc: α º 8 ). Dada ctg α, hallar sen α, cos α y tg α mediante identidades trigonométricas y sin utilizar decimales. Cuánto vale α? (Soluc: sen α /, cos α /, tg α/; α º ). a) Dada sec α, hallar, mediante identidades trigonométricas, sen α, cos α y tg α (No vale utilizar decimales) b) De qué ángulo α se trata? (Soluc: sen α /, cos α /, tg α; αº). a) Puede eistir un ángulo tal que sen α / y cos α /? (no vale calculadora) b) Ídem para tg α/ y cos α/ Ejercicios libro: pág. 8: a Página

119 . a) Dado un ángulo α tal que ctg α, obtener, mediante fórmulas trigonométricas, sen α, cos α y tg α b) Obtener, sin calculadora, α (Soluc: sen α/, cos α /, tg α /; α0º) RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: 8. Resolver los siguientes triángulos, rectángulos en A, aplicando, siempre que sea posible relaciones trigonométricas ( no el teorema de Pitágoras!); hallar también su área: a) a0 m, Bº (Soluc: Cº; b,0 m; c 8, m; S ABC, m ) b) b,8 cm, Bº (Soluc: C8º; a 8, cm; c 8,8 cm; S ABC,0 cm ) c) a, m, b,8 m (Soluc: B º ; C º 8 ; c,90 m; S ABC 09,99 m ) d) b8 mm, c mm (Soluc: B º 8 ; C º ; a0 mm; S ABC mm ) e) c, dam, Cº (Soluc: B9º; a 8,9 dam; b,0 dam; S ABC, dam ) f) a8 km, b km (Soluc: B 8º'; C º '; c,0 km; S ABC,8 km ) g) a m, c m (Soluc: B º'8 ; C º' ; b m; S ABC0 m ) h) c dm, Bº ' (Soluc: C º9'; a,99 dm; b 9, dm; S ABC 8,90 dm ) i) a, cm, C8º 0' (Soluc: Bº0 ; b 8, cm; c 9, cm; S ABC 9, cm ) j) a m, Cº (Soluc: Bº; b, m; c,0 m) k) b, Cº (Soluc: Bº; a,9; c,) l) a mm, b mm (Soluc: B º'8''; C º'''; c9 mm; S ABC mm ) m) b m, c8 m (Soluc: B º'''; C 8º '; a,0 m) n) b cm, c cm (Soluc: B º; C 8º ; a, cm) o) b m, c m (Soluc: B º'''; C º'''; a 8, m; S ABC90 m ) p) Bº, a cm (Soluc: Cº; b, cm; c, cm) q) b cm, B80º (Soluc: C0º; a, cm; c 0,9 cm) r) a8 cm, Cº (Soluc: B8º; b,9 cm; c,9 cm; S ABC,0 cm ) Ejercicios libro: pág. : 9; pág. : 8 9. Resolver, sin calculadora, un triángulo de datos: A90º, b, c (Soluc: a, B0º, C0º) 0. Hallar el valor del lado en los siguientes triángulos rectángulos: a) b) c) 0 º 0º 0 0º (Soluc:,) (Soluc: ) (Soluc:,). Resolver un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide cm y uno de sus catetos cm. Hallar su área. (Soluc: 9º 8, 0º,,8 cm; S, cm ). Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son y cm. Hallar sus restantes elementos y calcular su área. (Soluc: cm; º 8, º, S 0 cm ). CUESTIÓN TEÓRICA: Probar que si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 0º, entonces la hipotenusa es igual al doble del cateto menor. Página

120 . En el triángulo rectángulo de la figura, calcular los elementos desconocidos y obtener su área: cm 0º. Hallar las incógnitas en los siguientes triángulos (no utilizar calculadora sino raíces, dando además el resultado racionalizado): a) α b) c) 0º α 0º α y y d) α (Soluc: a) α0º, ; b) α0º,, y ; c) αº, d) α º'8''; 0,). Ídem, pero con calculadora: α 9 (Soluc: α º 8 ;,) 0 Ejercicios libro: pág. 8 y ss.:,,,, y. CUESTIÓN TEÓRICA: Cuando el gran sabio griego Tales de Mileto viajó a Egipto, le fue preguntado cuál podría ser la altura de la pirámide de Keops, por supuesto desconocida y jamás medida. Tales refleionó unos segundos y contestó así: «Me echaré sobre la arena y determinaré la longitud de mi cuerpo. Después, me pondré en un etremo de esta línea que mide mi longitud y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante, la sombra de la pirámide ha de medir tantos pasos como su altura». Justificar la genial respuesta del gran sabio. 8. CUESTIÓN TEÓRICA: a) Demostrar que el lado del cuadrado inscrito (ver figura) en una circunferencia de radio r mide r. r r Página

121 b) Demostrar que el lado del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia (ver figura) de radio r mide r. 9. CUESTIÓN TEÓRICA: Si un rectángulo tiene mayor perímetro que otro, necesariamente tendrá mayor área? Indicar ejemplos. (Soluc: no necesariamente) r r RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: 0. α º h α cm En el triángulo de la figura hallar: a) α y (Soluc: α º 0';, cm) b) h y área (Soluc: h, cm; S 0, cm ). 0 cm 0º β h 0 cm α En el triángulo isósceles de la figura, hallar razonadamente: a) α y β b) altura h c) base d) área (Soluc: α0º, β0º, h 9, cm,,8 cm; S, cm ). Dado el triángulo isósceles de la figura, hallar: α a) El ángulo desigual α h b) Los lados iguales 0º 0º c) La altura h m d) El área del triángulo. (Soluc: α0º,, m, h, m; S, m ). b 0º m a En el triángulo de la figura, calcular: A, b, m, n, a y. Hallar su área. (Soluc: A0º, b, m, m,89 m, n 8, m, a0 m,, m; S 8,8 m ) A m n 0º B. Dado el triángulo de la figura se pide: α y a) Hallar α, h,, y, z m h b) Calcular su área. (Soluc: α 0º, h,9m,,0m, y,8m, 0º 0º z,m; S,m ) z Página

122 . TEORÍA: Cuántas alturas tiene un triángulo? Dibujar un triángulo acutángulo, y trazar sus tres alturas. Qué ocurre si el triángulo es obtusángulo? A. a) Resolver el triángulo de la figura derecha es decir, hallar A, a y c, trazando para ello previamente la altura correspondiente al lado a. b) Hallar su área. (Soluc: A º, a 0,m, c,0m, S,m ) b m C 0º a c º B C b a0 cm. En el triángulo de la figura izquierda hallar C, b y c, trazando para ello previamente una altura. Hallar también su área. A 0º c 0º B (Soluc: C 0º, b,cm, c,cm, S 0,98cm ) 8. En el triángulo de la figura, se pide: a) Hallar h,, y, α y β b) Calcular su área. Ejercicios libro: pág. : ; pág. 9: 8 a m 0º α h y 0 m β PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO: 9. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 0 cm y cada uno de los ángulos iguales mide º. Resolver el triángulo y calcular su área. (Soluc: α0º,, cm; S, cm ) 0. 0 cm Si el radio de un pentágono regular mide 0 cm, cuánto mide el lado? Cuál es su área? (Soluc:, cm y, cm respectivamente). Calcular el valor de la apotema de un decágono regular de lado 0 cm. Cuál es su área? Comprobar que se verifica la fórmula Sp a/, donde p es el perímetro y a la apotema.. Calcular el área de un decágono regular y de un octógono regular, ambos de cm de lado. Cuál es mayor?. Determinar la superficie de un heágono regular inscrito en un círculo de 9 cm de radio.. Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 0º. Si la altura de la escalera, estando abierta, es de metros, qué longitud deberá tener cada brazo? (Soluc:, m) m Página

123 . Un niño está haciendo volar su cometa. Ha soltado ya la totalidad del hilo, m, y observa que el ángulo que forma la cuerda con el suelo es aproimadamente º. A qué altura se encuentra la cometa? (Soluc:, m). Calcular la altura de una torre sabiendo que su sombra mide m cuando los rayos del sol forman 0º con el suelo. (Soluc:,9 m). Desde lo alto de un faro colocado a 0 m sobre el nivel del mar se ve un barco formando un ángulo de º con la horizontal. A qué distancia de la costa se halla el barco? (Soluc: 8 m) 8. Un avión vuela a 0 m de altura, observando el piloto que el ángulo de depresión del aeropuerto próimo es de º. Qué distancia respecto a la vertical le separa del mismo en ese instante? (Soluc: 0 m) 9. Una tienda de campaña tiene forma cónica. La parte central tiene una altura de m y está sujeta en el suelo con dos cables de m de longitud. Calcular: a) El ángulo que forman los cables con el suelo. b) La distancia entre los dos puntos de anclaje (Sin aplicar el teorema de Pitágoras). (Soluc: 9º 8' '';, m) 0. En un tramo de carretera la pendiente es del %. Cuánto asciende un ciclista que recorra un kilómetro? (Soluc: 0 m). Una escalera de bomberos de 0 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de º y si se apoya sobre la otra forma un ángulo de 0º. Hallar la anchura de la calle. Qué altura se alcanza sobre cada fachada? (Soluc: anchura, m;,0 y m respectivamente). Si las puntas de un compás, abierto, distan, cm y cada rama mide, cm, qué ángulo forman? (Soluc: º '). Una escalera de metros está apoyada contra la pared. Cuál será su inclinación si su base dista metros de la pared? (Soluc: 0º). De un triángulo rectángulo se sabe que un ángulo agudo mide º y uno de sus catetos cm. Cuánto mide el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo? (Soluc: cm,,0 cm, º). Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden y 8 cm. (Soluc: º ' y º '). La base de un triángulo isósceles mide cm y los ángulos en la base º. Calcular los lados iguales, la altura y el área. (Soluc:, cm,, cm y, cm ) h. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, qué ángulo forman los rayos del sol con el suelo? (Soluc: º ') 0 m º 0º 8. En la figura de la izquierda, hallar la altura del acantilado,, y la del faro, h. (Sol: 8,8 y, m, respectivamente) Página 8

124 9. En la figura adjunta aparecee un faro situado bajo un promontorio. Hallar la altura, h, de éste último. (Ayuda: Aplicar el teorema de Pitágoras dos veces) (Sol: m) 0. Un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo mediante dos cables de acero, en dos puntos que distan 0m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cable con el suelo es de º. Hallar la altura del globo y la longitud del cable más etenso. (Ayuda: Trazar la altura correspondiente al lado del cable más etenso). (Soluc:,80m; 9,m) Método de doble observación: :. Desde un punto del suelo situado a m de la base de un pedestal se ve la parte superior de éste bajo un ángulo de 0º, mientras que la parte superior de la estatua que descansa sobre él se ve bajo un ángulo de º (ver figura). Hallar la altura del pedestal y de la estatua. (Soluc:,89 m y, m respectivamente) h m º 0º. Queremos conocer el ancho de un río y la altura de un árbol inaccesible que está en la orilla opuesta. Para ello nos situamos en la orilla del río y vemos la copa del árbol bajo un ángulo de º. A continuación retrocedemos m y vemos ahora el árbol bajo un ángulo de º. Hallar el ancho del río y la altura del árbol. (Soluc:,8 m y 0, m respectivamente). Considerar el triángulo de datos: a0 m, B0º, Cº. Resolverlo, trazando previamente la altura correspondiente al lado a, y hallar su área. (Ayuda: Plantear un sistema de ecuaciones) (Soluc: A 0º, b,8 m, c, m, S 8, m ) 0º º m. Una antena está sujeta al suelo por dos cables de acero, como indica la figura. Calcular la altura de la antena y la longitud de los dos cables. (Soluc: 9,88 m, 9, m,,9 m respectivamente). Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 0º con la horizontal. Si nos acercamos m hacia el pie de la torre, este ángulo se hace de 0º. Hallar la altura de la torre. (Soluc:,9 m). Desde un barco se ve la cima de un acantilado bajo un ángulo de 0º respecto a la horizontal. Al alejarse 00 m, el ángulo disminuye a 0º. Hallar la altura del acantilado. (Soluc:,0 m). Dos edificios gemelos distan 0 m. Desde un punto que está entre los dos vemos que las visuales a los puntos más altos forman con la horizontal ángulos de º y 0º respectivamente. Hallar la altura de ambos edificios. A qué distancia estamos de cada edificio? (Soluc:,9 m,, m y 98, m respectivamente) Página 9

125 8. Calcular la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde un barco se toman las siguientes medidas: º) El ángulo que forma la visual hacia la luz con el horizonte es de º º) Nos alejamos 00 m y el ángulo que forma ahora dicha visual es de 0º (Soluc:, m) 9. Para hallar la altura a la que está situado un globo, Rosa se coloca en un punto B y Carlos en un punto A, a m de ella, de tal forma que los puntos A, B y C están alineados. Si los ángulos α y β miden º y 0º respectivamente, a qué altura se encuentra el globo? (Soluc:,08 m) A α B β C 80. Sobre un acantilado de m de altura un observador divisa dos embarcaciones, bajo ángulos de 0º y 0º respecto a la vertical. Hallar la distancia que las separa. (Soluc:,9 m) Ejercicios libro: pág. : y ; pág. 0 y ss.: a 0 0º 0º m DIFERENCIA ENTRE ÁREA Y SUPERFICIE: La superficie es el conjunto de infinitos puntos contenidos dentro de una línea cerrada; el área es la medida de esa superficie: La superficie de un cubo tiene, cm de área. La palabra superficie describe también el borde de un objeto tridimensional, es decir, algo que se puede tocar: La superficie de una esfera. Página 0

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128 9 EJERCICIOS DE FUNCIONES. Dada f (), se pide: a) Razonar que se trata de una función. b) Calcular f(), f(), f(0), f(-9), f(/), f() y f( ) c) Hallar la antiimagen de, de y de -. Ídem para f()+ d) Razonar cuál es su Dom(f) e Im(f). Cuáles de estas representaciones corresponden a la gráfica de una función? (Razonar la respuesta): a) b) c) d) Ejercicios libro: pág. 8: ; pág. 9:. Cuál es el Dom(f) e Im(f) de cada una de estas funciones?: a) b) c) - - Ejercicios libro: pág. 88: ; pág. 9:. Dada f (), se pide: a) Representarla gráficamente. b) Razonar, a la vista de la gráfica, cuál es su Dom(f) e Im(f). Para cada una de las funciones que figuran a continuación se pide: i) Tabla de valores apropiada y representación gráfica. ii) Dom(f) e Im(f) a la vista de la gráfica. iii) lim f() y limf() - a) f()+ b) f() -+ vértice? c) f() d) f() e) f() f) f() 9 g) f() asíntotas? + h) f() asíntotas? lim f() y lim f()? i) + f() asíntotas? lim f() y lim f()? - + Ejercicios libro: pág. 8: ; pág. 8: ; pág. 9:, y (relación entre tabla y gráfica); pág. 08: ; pág. : y (hipérbolas); pág. : ; pág. : y (funciones con radicales) Página

129 . Sin necesidad de representarlas, hallar analíticamente el Dom(f) de las siguientes funciones: a) 8 f() + b) f() --8 c) f() - d) f() e) f() + f) f() + g) f() + h) f() i) f() j) f() 9 k) f() + 8 l) f() + + m) f() n) + f() ( - ) o) - f() p) f() - q) f() + r) f() + + s) f() + + t) f() + + Ejercicios libro: pág. 88: ; pág. 9 y ss.: 0 a (Soluc: a) IR-[-}; b) IR-{-,}; c) IR-{0,}; d) IR; e) IR; f) [-, ); g) (-, ); h) [/, ); i) (-,); j) (-,]U[, ); k) (-,-]U[, ); l) (-,-]U[-, ); m) (-,0]U(, ); n) IR-{/}; o) IR-{,}; p) (, ); q) IR; r) IR-{-}; s) IR; t) IR) 8. A la vista de sus gráficas, indicar la continuidad, posible simetría, intervalos de crecimiento y posibles M y m de las funciones del ejercicio Ejercicios libro: pág. 89: ; pág. 9: (continuidad); pág. 90: 8; pág. 9: y (crecimiento); pág. 9: 0; pág. 98: 9, 0 y (simetría); pág. 9: y ; pág. 99:, y (límites) 9. Hallar los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones; con esa única información, hacer además la gráfica de las señaladas con (G): (G) a) y (G) b) f() + c) f() + + d) f() e) y + f) f() + g) f() + h) + y + i) y j) f() + k) y + 9 (G) l) f() + m) + y + n) f() o) f() (Soluc: a) (,0),(0,-); b) (-,0),(,0),(0,-); c) (0,); d) (0,0),(,0); e) (-,0),(,0),(0,-); f) (-,0),(0,); g) (0,); h) (-,0),(0,); i) (,0),(-,0),(0,); j) (-,0),(,0); k) (0,); l) (,0),(,0),(,0),(0,-); m) (0,); n) (0,-); o) (-,0),(,0),(0,-)) 0. Dada f() - se pide: i) Razonar cuál es su Dom(f) ii) Posibles cortes con los ejes. iii) Tabla de valores apropiada y representación gráfica. iv) Es continua? v) A la vista de la gráfica, indicar su Im(f) vi) Intervalos de crecimiento. Posibles M y m vii) Indicar su posible simetría. viii) Ecuación de las posibles asíntotas. i) lim f() y lim f(). Ídem: a) f() - b) - + y c) y - d) - y e) f() - + f) y -9 g) y h) f() - +9 i) f() + j) y - + k) y - l) y - m) y - n) y 9 o) y + + p) f() Ejercicios libro: pág. 09: 8; pág. 0: 9 y 0; pág. : y 8 Página

130 . Representar, utilizando la calculadora: a) ysen b) ycos c) y tg. Un estudio de un ginecólogo muestra cómo crece un bebé antes de nacer según el mes de gestación en que se encuentre su madre, de acuerdo con la siguiente tabla: Edad (meses) 8 9 Longitud (cm) Representar la función "longitud" en función de la edad del bebé. Comentar dicha gráfica.. Tres alumnos, que nombraremos A, B y C, participan en una carrera de 000 m. La presente gráfica muestra de forma aproimada su comportamiento en la prueba. Cómo describirías dicha carrera? distancia (metros) 000 A B 0 C 00 0 Ejercicios libro: pág. 99: y tiempo (segundos) FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA (ym):. a) Hallar la ecuación de una función de proporcionalidad directa sabiendo que pasa por el punto P(,) b) Ídem para P(-,) c) Ídem para P(,) A continuación, dibujarlas y comprobar su pendiente.. Si se sabe que una función lineal pasa por el punto P(,), calcular su ecuación, y, a partir de ésta, hallar el valor de dicha función para, y -8. Comprobar gráficamente todo lo anterior. (Soluc: y;, 0 y -). Calcular la pendiente y la ecuación de las funciones de proporcionalidad directa que aparecen en el siguiente gráfico: u r s v t (Soluc: r: y s: y t: y/ u: y- v: y-/) Página

131 8. Un kg de patatas cuesta céntimos. Obtener y a continuación representar la función que define el coste de las patatas (y) en función de los kg comprados (). Cuál es su Dom(f)? Cuánto costarán, kg? Qué cantidad podremos comprar si sólo disponemos de un billete de? (Soluc:,9 ; 9,09 kg) 9. Un grifo vierte agua a un depósito dejando caer cada minuto litros. Formar una tabla de valores apropiada para representar la función "capacidad" en función del tiempo. Cuánto tiempo tardará en llenar una piscina de 0 m? (Soluc: h 0 min) 0. Los paquetes de folios que compra un determinado instituto constan de 00 folios y cuestan. a) Formar una tabla que nos indique el precio de,,..., 0 folios. b) Dibujar la gráfica correspondiente Qué tipo de función se obtiene? Cuál es la ecuación? c) Cuál es su Dom(f)?. Pasada la Navidad, unos grandes almacenes hacen en todos los artículos un 0% de descuento. a) Cuál será el precio rebajado de unas zapatillas de deporte que costaban? Y de un chándal que costaba 0? b) Si llamamos al antiguo precio del artículo e y al precio rebajado, qué función se obtiene? (Soluc: y0,8). El IVA es un impuesto que en muchos productos supone un recargo del %. Si un fontanero hace una reparación de 0, a cuánto ascenderá con el IVA? Y si la reparación costara 0? Obtener la epresión algebraica general correspondiente al precio del trabajo del fontanero y la cantidad que se paga. (Soluc: 8, ; 8 ; y,). Se quiere abrir un pozo de forma cilíndrica de diámetro m. Epresar el volumen de agua que cabe en él en función de la profundidad h. Qué tipo de función se obtiene? FUNCIÓN AFÍN (ym+n):. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(,) y B(,). Representarla gráficamente, y comprobar gráficamente su pendiente y su ordenada en el origen. Hallar también, analítica y gráficamente, un tercer punto de ella. (Soluc: y+). Ídem para: a) A(,-) y B(,8) b) A(-,) y B(,) c) A(-,-) y B(,-) d) A(-,-) y B(,-) e) A(,) y B(-,-) f) A(,) y (,) (Sol: a) y-; b) y-+; c) y-/-; d) y--; e) y/; f) y-) Ejercicios libro: pág. : y 8. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente y pasa por el punto P(-,-) (Soluc: y+) Ejercicios libro: pág. 0: ; pág. :. Hallar la ecuación de la recta paralela a y+ que pasa por el punto P(,). Cuál es su pendiente? (Soluc: y-) 8. a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (,-) y (,). b) Hallar también una recta paralela a la anterior y que pase por el punto (-,) (Soluc: y-; y+9) 9. En cada apartado, representar las siguientes rectas sobre los mismos ejes: a) y y+ y- b) y- y-+ y-- c) d) y0 y y y- y + y -

132 Ejercicios libro: pág. 0: ; pág. : 0. Hallar, razonadamente, la ecuación de las siguientes rectas: a) b) c) d) (Soluc: a) y+; b) y-+; c) Ejercicio libro: pág. : 9 y-; d) y-+). Comprobar analíticamente si los siguientes puntos están alineados ( no vale gráficamente!): a) A(-,-), B(,) y C(,9) b) A(-,), B(,-) y C(0,-8). Dada la recta de la figura, se pide: a) Hallar su epresión analítica. (Soluc: y-+) b) Comprobar gráficamente el valor de la pendiente obtenido en el apartado anterior. c) Deducir, analíticamente, dónde corta a los ejes.. Colgado de una alcayata tenemos un muelle de cm de largo; en él hemos colgado diferentes pesos y hemos medido la longitud que alcanza el muelle en cada caso, obteniendo los siguientes resultados: Pesos (kg) 0 Longitud (cm) 9 Obtener la gráfica y contestar: a) Cuál es la variable independiente? Y la dependiente? b) Se trata de una función afín? Por qué? c) Hallar su pendiente. Cuál es su epresión algebraica? (Soluc: y+) d) Qué significa en este caso la ordenada en el origen? Página

133 . La siguiente tabla corresponde a una función afín: f() - 9 Completar la tabla y obtener f() algebraicamente. (Soluc: f()-). Midiendo la temperatura a diferentes alturas se han obtenido los datos de la tabla: Altura (m) Temperatura (ºC) 0 8, a) Representar la temperatura en función de la altura. b) Obtener su epresión algebraica. (Soluc: y-/80+0) c) A partir de qué altura la temperatura será menor de 0ºC? (Soluc: 800 m). La tarifa de una empresa de mensajería con entrega domiciliaria es de por tasa fija más por cada kg. a) Hallar la epresión analítica de la función "Precio del envío" en función de su peso en kg. (Soluc: y+) b) Representarla gráficamente. c) Cuánto costará enviar un paquete de 0 gr? (Soluc: ) d) Si disponemos sólo de un billete de 0, cuál es el peso máimo que podremos enviar? (Soluc:, kg). Los beneficios de una empresa desde el momento de su creación son los que figuran en la siguiente tabla: MESES TRANSCURRIDOS 0 9 BENEFICIOS (millones de ) a) Representar el beneficio en función del tiempo transcurrido. Qué tipo de función se obtiene? b) Obtener gráficamente la pendiente y la ordenada en el origen, e indicar a continuación su epresión algebraica. (Soluc: y-/+) c) Hallar analíticamente el dato que falta en la tabla. (Soluc: ) d) Hallar analíticamente a partir de qué mes la empresa no tendrá beneficios. (Soluc: ) 8. Una empresa de fotografía cobra, por el revelado de un carrete, un precio fijo de,, y por cada foto, 0 céntimos. a) Representar la función "Coste del revelado" en función del nº de fotos. Indicar su epresión algebraica. b) Cuánto costará revelar un carrete de fotografías? c) Cuántas fotos podremos revelar con 00? Resolución gráfica de inecuaciones y sistemas de inecuaciones: 9. Determinar la representación gráfica de la solución de cada una de las siguientes inecuaciones de er grado con dos incógnitas: a) +y c) -y - e) y<+ g) -y< b) +y< d) +y>-y f) +y h) +y 0 Página 8

134 0. Representar gráficamente la solución de cada uno de estos sistemas de inecuaciones de er grado con dos incógnitas: a) - y > - + y b) y + y < 0 c) y < - y + d) - y > + y < 0 e) + y y - f) + y + y g) + y + y < 0 h) y > i) y y > 0 j) y > y < 0 - y > - k) + y > - + y 0 l) y < y > - y > - + m) y + EJERCICIOS DE PARÁBOLAS:. Representar sobre los mismos ejes las siguientes parábolas. Qué conclusiones podemos etraer?: a) y b) y c) y / d) y- e) y-. Dadas las siguientes parábolas, hallar: i) Vértice ii) Puntos de corte con los ejes iii) Representación gráfica a) y -+8 b) y -- c) y- -- d) y -+ e) y - f) y ++ g) y- +- h) y ++8 i) y- -- j) y +- k) y - l) y + m) y ++ n) y ++ o) y- -8- p) y ++ q) y- - r) y(+) -8 s) y(-) -8 t) y(-) +8 u) y-(-) +8 v) y ( + ) - w) y -+ ) y -+ y) y -8+ z) y- -+ α) y -+ Ejercicios libro: pág. 0: ; pág. 0: ; pág. :,,, 8, 0,, y β) y -+ γ) y + - δ) y -0+8 ε) y - ζ) y A partir de las gráficas obtenidas en el ejercicio anterior, indicar la solución de las siguientes inecuaciones de º grado: a) b) --<0 c) d) -+>0 e) - 0 f) ++ 0 g) ++8>0 h) - -->0 i) +- 0 j) -<0 k) + 0 l) ++<0 m) ++<0 n) o) ++ 0 p) - -<0. Resolver gráficamente las siguientes inecuaciones de º grado: a) -->0 b) +- 0 c) d) ++<0 e) ++ 0 f) - +-<0. a) Se sabe que la función ya +b+c pasa por los puntos (,), (0,0) y (-,). Calcular a, b y c. (Soluc: y ) b) Ídem para los puntos (,), (0,-) y (,) (Soluc: y +-) Página 9

135 . Una función cuadrática tiene una epresión de la forma ya +a+a y pasa por el punto P(,9). Calcular el valor de a. Cuál sería su vértice?. Calcular b para que la parábola y +b+ pase por el punto P(,-). Cuál sería su vértice? 8. Calcular m para que la parábola y +m+0 tenga el vértice en el punto V(,). Cuáles son los puntos de corte con los ejes? 9. Cuánto debe valer k para que la parábola y -0+k tenga un solo punto de corte con el eje de abscisas? Para qué valores de k no cortará al eje? 0. La parábola ya +b+c pasa por el origen de coordenadas. Cuánto valdrá c? Si además sabemos que pasa por los puntos (,) y (,), cómo calcularíamos a y b? Hallar a y b y representar la parábola.. Una parábola corta al eje de abscisas en los puntos y. La ordenada del vértice es y-. Cuál es su ecuación? Ejercicio libro: pág. :. Calcular la epresión de una función cuadrática cuya intersección con el eje son los puntos (,0) y (,0). a) Una parábola tiene su vértice en el punto V(,) y pasa por P(0,). Hallar su ecuación. (Soluc: y -+) b) Ídem para la parábola de vértice V(-,) que pasa por P(,-) ( Soluc : y ). En cada apartado, representar las parábolas sobre los mismos ejes: a) y b) y c) A la vista de lo anterior, cómo sería la parábola y(-) y + y(-) +? Cuál es su vértice? y(+) y -. La longitud de la circunferencia y el área del círculo se epresan en función del radio. Qué tipo de funciones son? Dibujar las gráficas sobre unos mismos ejes cartesianos. Para qué valor del radio coinciden numéricamente la longitud y el área?. Con un listón de madera de m de largo queremos fabricar un marco para un cuadro. a) Indicar la epresión analítica de la función "Superficie" en función de la longitud de la base. b) Representar gráficamente la función anterior. Cuál es su Dom(f)? c) A la vista de la gráfica, para qué valor de la base se obtiene la superficie máima? Cuánto vale dicha superficie? Interpretar el resultado.. Con 00 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared de 0 metros de largo, como indica la figura. a) Llamando a uno de los lados contiguos al muro (ver fig.), epresar los otros dos lados en función de b) Obtener la función que epresa el área del recinto en función de. c) Representar la función anterior. Cuál es su Dom(f)? d) Cuándo se hace máima el área del recinto? Cuánto vale dicha área? Página 0

136 8. Un labrador tiene m de valla para hacer un corral de gallinas de forma rectangular. Cómo cambiará el área del corral al variar la longitud de uno de los lados? Representar gráficamente la función anterior. FUNCIONES DEFINIDAS POR RAMAS: 9. Representar las siguientes funciones definidas a trozos e indicar: Dom(f) e Im(f), continuidad, intervalos de crecimiento, posibles M y m, y ecuación de las posibles asíntotas: a) b) f() f() c) f() d) f() - / si (-,) si [, ) si si < - si- < si si (-,) [,] si (, ) si si si > - e) f() + / f) f() - - g) f() - - si - si 0 si < 0 < si ( -,] si (, ) si si si < 0 0 > 0 h) - - ( -,] f() si - si (, ) i) j) - f() f() - 0 si 0 si 0 < si si si 0 si si > < 0 < < > Ejercicios libro: pág. 0: ; pág. y ss.: 0, y 9 Página

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138 GRÁFICAS MÁS REPRESENTATIVAS y y En general, las curvas y n, siendo n positivo par, tienen esta forma. (cuanto mayor es n, más acusada es la curvatura) PARÁBOLA CÚBICA y y En general, las curvas y n, siendo n positivo impar ( ), tienen esta forma. (cuanto mayor es n, más acusada es la curvatura) y BISECTRIZ DEL er CUADRANTE y En general, la gráfica de y f() se obtiene reflejando la de f() respecto al eje OY en el semiplano superior. VALOR ABSOLUTO + y y/ HIPÉRBOLA HIPÉRBOLA DESPLAZADA En general, a + b y c + d donde c 0, es una hipérbola. y y CÚBICA GIRADA 90º y SEMIPARÁBOLA GIRADA 90º Página

139 Alfonso González I.E.S. Fernando de Mena. Dpto. de Matemáticas ye yln LOGARITMO NEPERIANO y/ EXPONENCIAL y - y y + CURVA DE AGNESI SEMICIRCUNFERENCIA ysen y y- p/ p p/ p ycos p/ p p/ p ytg p/ p/ p SENO COSENO TANGENTE Nombre Minúscula Símbolo Mayúscula My µ Μ Ny ν Ν Alfa α Α Beta β Β Gamma γ Γ Delta δ Épsilon ε Ε Zeta ζ Ζ Eta η Η Theta θ,ϑ Θ Iota ι Ι Kappa κ Κ Lambda λ Λ Xi ξ Ξ Ómicron ο Ο Pi π Π Rho ρ Ρ Sigma σ, ς Σ Tau τ Τ Ípsilon υ Υ Fi φ,ϕ Φ Ji χ Χ Psi ψ Ψ Omega ω Ω En honor de María Agnesi, matemática italiana del siglo XVIII, que fue la primera en investigar las propiedades de las curvas de este tipo.