3.1 Introducción a la tomografía de impedancia eléctrica

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1 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria 3. Itroduió a la toograía de ipedaia elétria La toograía de ipedaia elétria TIE es u étodo de obteió de iágees relaioadas o la distribuió de ipedaias e el iterior de u objeto. Los ateedetes de esta téia puede eotrarse e los trabajos de Webster y Hederso 978, que itetaba reproduir las téias de toograía de rayos X, pero apliado señales elétrias de baja reueia. Fue e los años 8, uado la uiversidad iglesa de Sheield Barber y Brow, 98 desarrolló las bases de lo que se etiede hoy e día por EIT. Para realizar la edida de ipedaia elétria es eesario iyetar al uerpo e estudio ua orriete elétria, la reueia y aplitud de la ual, e apliaioes édias, so seleioadas para ateerse por debajo de los riterios de seguridad estableidos por oras iteraioales. Midiedo los poteiales elétrios sobre la superiie del uerpo se puede obteer dieretes tipos de iágees e uió del étodo de edida y los algoritos de reostruió. Se habla así de toograía absoluta, diáia y diereial. E toograía absoluta se obtiee ua distribuió del verdadero valor de las ipedaias e el iterior del uerpo, ietras que e la toograía diáia ta sólo queda relejadas las zoas que experieta variaioes de la ipedaia o el tiepo. Fialete la toograía diereial os perite distiguir los objetos por el dierete oportaieto reueial de sus ipedaias a partir de edidas a distitas reueias. A partir de estas iágees ultireueia es posible represetar las llaadas iágees paraétrias, que o uestra los abios de las ipedaias o la reueia sio la distribuió espaial de los paráetros del odelo de Cole-Cole apliado a las ipedaias reostruidas. El objetivo de este apítulo es el desarrollo de las herraietas eesarias para la obteió de iágees paraétrias a partir de iágees ultireueia, para ello se estudiará previaete los deoiados problea direto e iverso, que os peritirá deiir respetivaete qué estrategias de adquisiió so óptias e EIT, ejorado de esta ora la distiguibilidad de los dieretes tejidos y uáles so las liitaioes e ilueias de los algoritos de reostruió sobre los valores de ipedaia edidos, teiedo este puto, oo se verá, ua ilueia direta sobre la uatiiaió de las iágees paraétrias. 3.. Problea direto: estrategias de iyeió e Toograía de Ipedaia Elétria E toograía de ipedaia elétria es iportate el estudio de la estrategia de iyeió, ya que os peritirá eotrar la iyeió óptia que ireeta la resoluió espaial de la iage o la distiguibilidad de dieretes odutividades. Este puto es trasedetal e ua téia que euetra la ayor diiultad para su apliabilidad e el diagóstio líio e la baja resoluió de las iágees obteidas. 3-

2 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria E la bibliograía se euetra tres estrategias básias de iyeió de orriete: la adyaete, la polar y la trigooétria. E la igura 3. se uestra las estruturas de estas estrategias. El riterio epleado hasta ahora para la eleió de la iyeió es el de la optiizaió del oepto de distiguibilidad. La priera deiiió de este riterio, apliada a EIT, ue dada por Isaaso e 986. Se basa e la axiizaió de la diereia de tesioes e el otoro del objeto o y si perturbaió. La proudizaió e el estudio de este riterio y por tato, e el de la estrategia de iyeió óptia, os llevará a la eesidad, por u lado, de resolver el problea direto para la obteió de las tesioes detetadas e el otoro y por otro, al aálisis rítio de la deiiió para diho riterio de distiguibiliad. Para la realizaió de este últio puto, se hará previaete u estudio de los dieretes oeptos que os perite deiir los líites teórios e toograía, estudiado su relaió o la distiguibilidad. V I V V I I a b Figura 3. Priipales estrategias de iyeió e EIT. a Polar, b Adyaete y Trigooétria. 3.. esoluió del problea direto e dos diesioes para ua perturbaió irular etrada. El problea direto e EIT osiste e eotrar la distribuió de poteial elétrio e la superiie S de u objeto B o ua distribuió de odutividad r,θ, uado tato el poteial oo la orriete e el otoro so ooidos. Este poteial elétrio satisae la euaió de Poisso: u e todo el objeto B 3. o la odiió de otoro u j sobre la superiie 3. 3-

3 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria Dado la oplejidad ateátia que olleva la resoluió de esta euaió e geoetrías opliadas, se epezará resolviedo el aso seillo de dos diesioes, o perturbaioes irulares etradas. Para u objeto irular de radio y distribuió de odutividad hoogéea el poteial puede expresarse oo: r ur, θ A B os θ si θ o o 3.3 dode la desidad de orriete se puede desarrollar geériaete e series de Fourier j θ A os θ B si θ 3.4 siedo los valores de sus oeiietes A, B π A j θos θ dθ 3.5 π π B j θsiθ dθ 3.6 π Adeás la desidad de orriete e la superiie del objeto ha de teer ua otribuió global ula, satisaiedo la siguiete odiió: jds 3.7 S E uestro aso, os iteresa sólo el poteial e el otoro. Este puede deiirse oo V u u, θ 3.8 o siedo su valor e el problea que os oupa V u o θ A B os θ si θ o 3.9 Si ahora se itrodue ua perturbaió irular de radio y odutividad ig.3., la soluió de la euaió de Poisso queda trasorada e Isaaso,986: 3-3

4 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria V o µ θ A os θ B si θ 3. µ o dode µ y 3. o O Figura 3.. Geoetría del problea o ua perturbaió etrada e dos diesioes La ioraió reerete a la perturbaió, que os perite su araterizaió tato e el valor de su radio oo e el de su odutividad, está oteida e el ator diereial etre las euaioes 3.9 y 3.. Este ator ha sido deoiado e la bibliograía oo la ioraió estrutural STI, siedo su expresió STI µ µ 3. Coo siepre se uple que <, el peso ás iportate de los dieretes aróios e la ioraió estrutural orrespode a, siedo uy rápida la disiuió de diha otribuió al auetar el valor de igura STI,6,4,,,8,6,4, STI,3,5,,5,, radius/ Cotrast Figura 3.3. Variaió del STI o el radio de la perturbaió y el otraste. 3-4

5 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria El aróio de iyeió para se deoia reueia agular udaetal de la iyeió. Si se quiere auetar la resoluió espaial de la iage es eesario auetar diha reueia agular, iyetado o sólo la reueia udaetal sio tabié la de sus aróios. Será por tato adeuado platear el estudio de la optiizaió de la orriete estudiado los aróios de la desoposiió e series de Fourier de las dieretes estrategias, ya que de esta ora se podrá estudiar la optiizaió de la distiguibilidad, teiedo e ueta su ilueia sobre la resoluió espaial del sistea. 3.. Haia la optiizaió del riterio de distiguibilidad. evisió de los riterios de araterizaió de los líites teórios e EIT. Para eotrar la expresió óptia del riterio de distiguibilidad, se realizará previaete u estudio de los oeptos que ha ido apareiedo e la bibliograía que ha peritido la araterizaió de los líites teórios e EIT. Estos oeptos ha sido los de sesibilidad, visibilidad y resoluió espaial. E 97, Geselowitz itrodujo por priera vez el oepto de sesibilidad e las edidas de ipedaia elétria al relaioar el abio e la ipedaia utua, resultate de u abio e la odutividad e ua regió partiular de u volue odutor. La órula que relaioa estos dos oeptos es Z υ φ φ ψ d υ I I φ ψ 3.3 dode φ y ψ so los poteiales edidos e dos posiioes arbitrarias e la superiie del volue y I φ, I ψ so las orrietes iyetadas e estas dos isas posiioes. Fue e 985, uado Murai y Kagawa presetaro por priera vez la utilizaió la euaió de Geselowitz e. 3.3 e la reostruió de las iágees e EIT. E este trabajo se utilizaba ua atriz de sesibilidad, los oeiietes de la ual se deiía oo S ij Zij Vij φ ψ dv ij ij i th pixel 3.4 De esta ora se podía relaioar los abios absolutos edidos e la superiie del objeto o los abios absolutos e la distribuió de odutividad e el volue e Era, por tato, ua deiiió absoluta del oepto de sesibilidad. δv Sδ

6 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria Si ebargo, tato e las iágees diáias, oo e las ultireueia e EIT, se represeta oralete los abios relativos e odutividad o resistividad. Por ello surgió la eesidad de rear ua ueva atriz de sesibilidades, para la reostruió de iágees, que relaioara estos abios relativos. U ejeplo de este tipo de atriz es la utilizada por Barber ad Brow 99 para la ipleetaió del algorito de retroproyeió iltrada. Se itroduía de esta ora iplíitaete ua ueva deiiió de sesibilidad, ua deiiió relativa, ítiaete ligada a la realidad de los datos reostruidos y por tato de las iágees obteidas. El desarrollo teório y su relaió o los liites e EIT ue presetado por Seagar et al.,987. E este trabajo se deie la sesibilidad oo la relaió etre el abio relativo e la tesió detetada e el otoro respeto al abio relativo del otraste de odutividad dv dα S r S dode el otraste α es deiido oo V α a α 3.6 b Coo se deuestra e la euaió 3.7, esta deiiió es úiaete la versió relativa de la deiiió de sesibilidad utilizada por Murai y Kagawa. Si se osidera que el úio abio e la odutividad se produe e la perturbaió a, se llega a la relaió: S r dv V V V V V 3.7 dα α a α α a La validez y apliabilidad de esta expresió queda liitada a abios pequeños e el otraste α/α<<. Para uatiiar de algua aera uál es el oportaieto uado estas variaioes e el otraste so elevadas, e el iso artíulo, Seagar oruló u uevo oepto: la deiiió de visibilidad Q. Esta deiiió está basada e el iso oepto apliado e itereroetría Bates,98 y uatiia la posibilidad de visualizaió de ua perturbaió uado se retroproyeta la iage respeto a ua reereia hoogéea. Para que la expresió uera idepediete del ivel de orriete iyetado, la euaió ue oralizada por el ator: VθV u θ. Q V θ V u θ V θ V θ u 3.8 De esta euaió es posible extraer la relaió existete etre el ruido y el oepto de visibilidad. Si teeos u ruido e el sistea uyo valor relativo dv/v exede el valor de visibilidad para uas odiioes de edida, etoes el abio e odutividad e la regió del espaio es ivisible, o se pude detetar. 3-6

7 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria 3..3 La ueva deiiió para el oepto de distiguibilidad. Coo ya se ha oetado, el oepto de distiguibilidad δ ue deiido por priera vez por Isaaso oo u riterio para la distiió de dos distribuioes de odutividad dieretes, sobre u uerpo, utilizado toograía de ipedaia elétria. E el se deía que dos odutividades, y, era distiguibles e edidas o ua preisió ε si V, j V, j > ε 3.9 siepre osiderado ua desidad de orriete de ora uitaria J. Este riterio está relaioado o la deiiió absoluta del oepto de sesibilidad, ya que trabaja o los abios absolutos e la tesió detetada. Co esta deiiió se ha ostrado Gisser et al., 987, Gisser et al., 988, Jai et al., 995 que la iyeió trigooétria es la óptia, auque e otros trabajos, Köksal y Eyüboglu,995, osiderado la isa deiiió y apliado la restriió de ateer ostate la orriete total iyetada e el uerpo, se ha llegado a la olusió que la polar es la que ejor se oporta. El riterio presetado por Isaaso tiee las siguietes liitaioes udaetales: uatiia sólo abios absolutos e la distribuió de odutividad, y las tesioes e la euaió 3.8 so las tesioes otiuas detetadas e la superiie de la seió a estudiar, ietras que e la realizaió ísia de los sisteas de EIT tedreos ua disretizaió de esta tesió adquiriedo sólo u úero liitado de tesioes diereiales. 6,3,... Este últio puto ue estudiado por Cheey et al., 99 que realizó la disretizaió de la tesió detetada, estudiado adeás el eeto de los eletrodos detetores. La olusió a la que llegó ue que la estrategia óptia era, tabié e este aso, la trigooétria. Coo el objetivo ial e toograía de ipedaia elétria es la obteió de ua iage que represete el abio e la distribuió de odutividad, ya sea e el tiepo edidas diáias, oo e el espetro de reueia edidas ultireueia, para deiir el riterio de distiguibilidad os ijareos e los algoritos de retroproyeió, estudiado qué riterio se debe apliar para la distiió de los dieretes pixels debido a u abio e la odutividad. Mediate la téia de retroproyeió ada pixel del espaio se relaioa o las tesioes detetadas e el otoro a través de la euaió: Pxy, N l W V j V j l, l, l, V, j l

8 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria Para obteer ua iage distita de ero, las diereias relativas e el par l, de tesioes diereiales detetadas para el aso uiore y para el aso o uiore, ha de ser superiores a la resoluió de uestro sistea. Co esta idea, ítiaete relaioada o los oeptos de visibilidad y sesibilidad relativa presetados por Seagar, se deiirá el uevo riterio de distiguibilidad oo: δ l Vl, j Vl, j V, j l 3. Esta ueva deiiió, soluioa los probleas que se plateaba e la aterior, ya que es idepediete del ivel de orriete, utiliza los abios relativos e la tesió detetada, es deir, los abios que iluye e la reostruió de los pixels de ua iage, y adeás es apliable diretaete a las tesioes diereiales detetadas Estrategia de iyeió óptia e el problea etrado o el uevo riterio de distiguibilidad. Este uevo riterio de distiguibilidad aporta soluió a las liitaioes del presetado por Isaaso, pero debido a que su deiiió se puede asigar a ada uo de los pares diereiales detetados, debeos priero estudiar sobre qué par se debe realizar la oparaió de las dieretes estrategias de iyeió. Desde u puto de vista oeptual la soluió a esta preguta es seilla: se debe apliar el riterio sobre el par que priero sura ua variaió e su valor relativo, superior al ruido del sistea, al haber u abio e la odutividad de la perturbaió. Es deir, sobre el par ás sesible a la variaió de odutividad. De esta ora auque éste sea el úio par que sura ua variaió, se habrá oseguido ua iage distita de ero y por tato, la visualizaió del abio de odutividad. Por esto, uestro prier estudio tiee que ir eaiado haia la búsqueda de la tesió diereial o ás sesibilidad e ada ua de las estrategias de iyeió. E la igura 3.4 se uestra los resultados del estudio de las sesibilidades para los dieretes águlos de deteió y para las tres estrategias. Se puede observar que ietras las diereias absolutas de tesió tiee el iso oportaieto, seoidal, e las tres iyeioes, el oportaieto relativo es uy dierete. E la iyeió trigooétria u abio e la odutividad de la perturbaió aeta por igual a todos los pares de deteió. Esta estrategia uioriza e las edidas, la ilueia de los abios de odutividad e la perturbaió. Esto o ourre para las otras dos iyeioes. E ellas siepre hay uos pares detetores ás sesibles a estas variaioes que otros. Estos so los putos A para la adyaete y C para la polar. E la iyeió adyaete el par detetor ás sesible es el opuesto al iyetor, ietras que e la polar so los dos pares siétrios que se euetra 3-8

9 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria desasados 9 respeto a la iyeió. La disotiuidad e el puto B para la iyeió adyaete es debido a la edida e que iyetores y detetores tiee la isa posiió edida a dos hilos de la ipedaia. x -3.5 V.5 Absolute sesitivity or dieret ijetios Adjaet Opposite Trigooetri.5. %.5 B elative sesitivity or dieret ijetios A Adjaet Opposite Trigooetri B -.5. C C C Detetio-pair agle degree Detetio-pair agle degree Figura 3.4 Estudio de sesibilidad para los dieretes pares diereiales detetores Para validar experietalete estos resultados teórios se ha realizado edidas experietales de perturbaioes etradas o el sistea de toograia de ipedaia elétria TIE- osell, 989. La oiguraió de este sistea perite ipleetar ta sólo las iyeioes adyaete y polar por lo que la oparaió sólo se realizará para estas dos estrategias de iyeió. Coo se observa e la igura 3.5 los resultados orrobora peretaete lo eotrado teóriaete Absolute sesitivity or adjaet ijetio elative sesitivity or adjaet ijetio S/ Detetio-pair agle degrees Detetio-pair agle degrees a Adyaete 3-9

10 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria 7.5. Absolute sesitivity or opposite ijetio elative sesitivity or opposite ijetio S/ Detetio-pair agle degrees Detetio-pair agle degrees b iyeió polar Figura 3.5 Estudio experietal de la sesibilidad e iyeió adyaete y polar Si se aplia el uevo riterio de distiguibilidad al par diereial ás sesible para ada ua de las iyeioes, eotraos que uestro problea se redue a estudiar el oportaieto relativo de la tesió detetada V d para las tres iyeioes ig 3.6 o y si perturbaió. Vd Adjaet I I- Vd I I- Opposite Vd.... I elen I o I Trigooetri Figure 3.6 Pares diereiales sobre los que apliar el uevo riterio de distiguibilidad Las expresioes para la iyeió adyaete y la polar o el uevo riterio de distiguibilidad y para u sistea de toograía o N ele eletrodos so: δ op µ ele π ele π N N si si µ N ele N ele ele π ele π N N si si N N ele ele 3. para la iyeió polar, y δ ad µ ele π π N si si µ N ele N ele ele π π N si si N N ele ele

11 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria para la estrategia adyaete. E la iyeió trigooétria se ha esogido la reueia udaetal, por teer ua ayor otribuió sobre la ioraió estrutural, resultado, oo se había oprobado previaete, ua distiguibilidad ostate para todas las edidas y de valor µ δ trig 3.4 µ Co estas euaioes se deuestra que la iyeió óptia es e todos los asos la adyaete. Por ejeplo, osiderado u sistea de toograía de 6 eletrodos y ua perturbaió o ua relaió de radios /, y ua relaió de odutividad /,, la estrategia adyaete es aproxiadaete vees ás sesible que la opuesta y 4 vees ás que la trigooétria. Para uatiiar de ua aera ás geeral la ejora de la iyeió adyaete sobre las otras estrategias, e la igura 3.7 se preseta la evoluió de este riterio para ua variaió e la relaió de radios y e la de odutividades Distiguishability versus relative pertubatio radius - adjaet ijetio o - opposite ijetio x - trigooetri ijetio / : Distiguishability versus odutivity distributio - adjaet ijetio o - opposite ijetio x - trigooetri ijetio / elative perturbatio radius / Codutivity ratio / Figura 3.7 Variaió de la distiguibilidad o el radio y el otraste de u perturbaió irular etrada 3..5 Extesió al problea irular o etrado. Se puede deostrar Pidok et al.,995, que ualquier problea e dos diesioes, o ua perturbaió irular desetrada, puede ser overtido e u problea etrado ediate ua trasoraió oore. Si se tiee ua perturbaió de radio etrada e el puto r C, ϕ, o ua odutividad ostate, de valor itroduida e ua distribuió de odutividad y de radio ig.3.8, se puede trasorar e u uevo problea etrado, o el uso de la siguiete trasoraió: 3-

12 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria iϕ ze w. 3.5 iϕ ze dode es la soluió o < de la euaió: r r r 3.6 El uevo radio equivalete para la perturbaió etrada es: eq r r 3.7 Esta expresió se puede sipliiar oralizado las distaias respeto al radio exterior. Si se hae, queda eq r r 3.8 La posiió de los eletrodos e el uevo problea equivalete se sigue oservado sobre el írulo de radio uidad, siedo su úia variaió su dierete loalizaió agular. Esta ueva loalizaió es Fragi,996: ' si θ θ ata os θ 3.9 Equivalet Proble r eq r r r eq ad the ew eletrode agles are: si θ θ' ata os θ Where is the solutio with < o the equatio: r r r Figura 3.8 Trasoraió del problea desetrado o ua perturbaió irular al problea etrado. 3-

13 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria E la igura 3.9 se uestra uál es la evoluió de la posiió de los eletrodos y del valor del radio equivalete para dieretes valores de r, para el aso de ua perturbaió de radio,. iitial eletrode positio r. eletrode positio or r. eq. eq. eletrode positio or r.5 eletrode positio or r.8 eq.3 eq.93 Figura 3.9 Desplazaieto de la posiió agular de los eletrodos o la apliaió de la trasoraió oore Apliado esta trasoraió, podeos alular áilete la soluió para el problea o etrado, ya que se redue a u problea etrado, o las úias variaioes del valor del radio de la odutividad y de la posiió de los eletrodos. Co esta idea es posible el álulo de las expresioes de la distigubilidad para las dieretes estrategias de iyeió. Su expresió geéria para las estrategias adyaete y polar es δ l si α ueq si β ueq si α si β 3.3 dode α y β so la loalizaió agular de los eletrodos iyetores y detetores respetivaete, oiidiedo la posiió de los detetores para las dos iyeioes. E la ipleetaió de la estrategia trigooétria es eesario, al haber u desplazaieto de la posiió de los eletrodos, realizar u uestreo, e la posiió de los dieretes eletrodos, de la uió otiua seoidal, quedado la expresió de la distiguibiliadad oo 3-3

14 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria δ l Nele / k Nele k π si µ eq Nele si α β k si µ eq k π si / Nele si αk si β k 3.3 E la igura 3. se uestra la evoluió del ator de distiguibilidad para las tres iyeioes respeto a la posiió de la perturbaió se ha esogido de uevo e la iyeió trigooétria la soluió para el aróio udaetal,. Se observa que uado la perturbaió se aera haia la posiió de los eletrodos iyetores las tres estrategias tiee u oportaieto siilar, ya que los eletrodos tiede a errarse haia las isas posiioes e el espaio trasorado. La distiguibilidad para la iyeió adyaete es siétria, oo idia el teorea de reiproidad. E oposiió, las iyeioes trigooétrias y polares tiee ua eor sesibilidad uado la perturbaió se aera a los eletrodos detetores Distributio o distiguishabilty i a diaeter - adjaet ijetio o - opposite ijetio x - trigooetri ijetio s /s. / perturbatio loatio Figura 3. Distiguibilidad e uió de la posiió de la perturbaió 3-4

15 3- Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria 3..6 Coparaió de los líites teórios para las dieretes estrategias de iyeió. Co el uevo riterio de distiguibilidad se ha deostrado que la adyaete es la iyeió óptia. Para opletar la oparaió de las dieretes estrategias se realizará el estudio de los líites teórios que os deie e EIT ada ua de ellas. La estrutura que se seguirá para realizar este estudio es siilar a la utilizada por Seagar e Seagar et al.,987. E ese trabajo se ostraba los estudios de sesibilidad y visibilidad apliados a la iyeió trigooétria. Aquí se realizará los iso estudios pero geeralizado sus expresioes para ualquier tipo de iyeió que adita u desarrollo e series de Fourier, partiularizado para las tres estrategias oparadas e este apítulo. E la euaió 3.6 se deiía el oepto de sesibilidad relativa oo el abio relativo que suría la tesió detetada al produirse u abio relativo e el otraste de la perturbaió. Si se tiee u desarrollo e series de Fourier de la desidad de orriete iyetada Jθ oo el ostrado e la euaió 3.4, la expresió geéria de la sesibilidad relativa será S r 4α [ α α ] α α [ α α ] A A osθ B siθ osθ B siθ 3.3 dode A y B so los oeiietes de Fourier de la orriete iyetada. Los oeiietes de Fourier para las tres estrategias estudiadas para el problea o ua perturbaió etrada so los reogidos e la tabla 3. Coeiietes de Fourier B A Polar Trigooétria Adyaete π B A π si B si π B A > π N ele A Tabla 3.. Coeiietes de Fourier para las dieretes iyeioes Se ha ostrado e la igura 3.4 que la sesibilidad relativa es ostate para ualquier par detetor de eletrodos e la iyeió trigooétria. Por esta razó el estudio de la sesibilidad relativa y de sus liites teórios es idepediete realizarlo tato e la expresió otiua de la tesió detetada, oo e ualquiera de las tesioes diereiales detetadas e el otoro. Esto o ourre si la iyeió es polar o adyaete. E estas estrategias de iyeió la uatiiaió de la sesibilidad es dierete e uió de par de eletrodos elegidos. Esto os obliga a apliar esta órula de sesibilidad, tal oo se ha heho para el oepto de distiguibilidad, o a la tesió otiua detetada, oo Seagar 3-5

16 3- Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria presetó e su trabajo, sio al par diereial ás sesible a la variaió de odutividad e la perturbaió. Lo resultados de esta oparaió se puede observar e las iguras 3. y 3., dode se uestra la evoluió de la sesibilidad o el radio de la perturbaió y el otraste respetivaete. Sr elative sesitivty versus radius perturbatio Adjaet - - Opposite Trigooetri Iproveet o S r versus S r o trigooetri adius perturbatio. S r adj / S r trig. S r opp. / S r trig adius perturbatio Figura 3. Evoluió de la sesibilidad relativa o el radio de la perturbaió para las tres estrategias de iyeió Sr elative sesitivty versus otrast - Adjaet Opposite - Trigooetri Noralized S r with S r o trigooetri Cotrast α. 3.5 S r adj / S r trig. S r opp. / S r trig Cotrast α Figura 3. Evoluió de la sesibilidad relativa o el otraste de la perturbaió para las tres estrategias de iyeió Se puede observar que el oportaieto de las urvas es siilar e las tres estrategias de iyeió. E ua perturbaió o radio, y otraste,, se obtiee aproxiadaete ua ejora e la sesibilidad de la iyeió adyaete e u ator de respeto a la polar y e u ator de 4 respeto al trigooétria. Estas relaioes so bastate ivariables al abio e el otraste, si el radio peraee ostate ig.3.. Si es el otraste el que 3-6

17 3- Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria peraee ostate y se varia el radio, se observa el iso oportaieto salvo uado la perturbaió aueta su radio, e este aso, las tres estrategias tiede haia el valor uitario de sesibilidad, alazado, oo es lógio, la isa relaió de sesibilidad uado el radio de la perturbaió oiide o la seió toográia ig.3.. El uso de últiples edidas idepedietes > e la estrategia trigooétria de iyeió hae auetar su sesibilidad a abios e la perturbaió. E Seager et al., 987 se uatiió esta ejora, oprobádose que el ireeto o es sigiiativaete alto al ireetar el úero de edidas idepedietes, iluso uado la resoluió espaial es relativaete baja, /,. Por ejeplo, iyetado los ueve prieros aróios, si se tiee ua perturbaió de radio,8, el ireeto de sesibilidad aueta sólo e u ator de,3. Por tato, el beeiio oseguido es eor que el que se oseguiría o el abio de estrategia de iyeió, epeorado, a abio, la veloidad del sistea de toograía al teer que iyetar u ayor úero de señales. El estudio de los líites que el oepto de visibilidad os ija, e uió del otraste y de la resoluió espaial, se realizará de ora aáloga al de la sesibilidad relativa. Seager uatiió el oepto de visibilidad tal oo se ha ostrado e la euaió 3.8. El utilizó el ator VθV u θ, para oralizar la expresió y oseguir así idepedeia del ivel de orriete iyetado. Si e lugar de esoger este ator de oralizaió esogeos V u θ, sólo hay u abio e u ator de aproxiadaete, obteeos la siguiete expresió para la visibilidad α A osθ Bsiθ θ θ V Vu α α Q 3.33 Vu θ A osθ Bsiθ Los resultados oparativos para las tres estrategias de iyeió se puede ver e las iguras 3.3 y Adjaet Visibilidad 5 Visibilidad Q Opposite Trigooetri Q 4 3 / /. Q adj/q trig. Q adj/q opp adio oralizado de la perturbaió adio oralizado de la perturbaió Figura 3.3 evoluió de la visibilidad o el radio oralizado de la perturbaió 3-7

18 3- Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria - Visibilidad /. 4.5 /. Visibilidad 4 Q Q Q adj./q trig. Adyaete Polar Trigooétria.5 Q adj./q opp Cotraste α Cotraste α Figura 3.4 Evoluió de la visibilidad o el otraste de la perturbaió Coo puede observarse tato la evoluió de la visibilidad o el otraste y el radio de la perturbaió, oo las respetivas oparaioes etre estrategias de iyeió uestra resultados siilares que los hallados para la sesibilidad relativa. Tato para la sesibilidad oo para la visibilidad se ha estudiado el aso o ua perturbaió etrada. Si se quisiera apliar para perturbaioes o etradas, úiaete se tedría que apliar la isa trasoraió oore que la utilizada para la distiguibilidad. Se puede deostrar que el oportaieto al desplazar la perturbaió por el diáetro de la seió toográia, tato por lo que respeta a la sesibilidad oo a la visibilidad, es siilar al ostrado e el aso de la distiguibilidad Otros atores a osiderar e la seleió de la estrategia de iyeió. esoluió espaial y distribuió de sesibilidad. La estrategia adyaete es la óptia o el riterio de distigubilidad propuesto. Adeás se ha oprobado que ejora los líites teórios e EIT, tato e sesibilidad oo e visibilidad. Podeos ahora, por tato, para opletar este estudio irar si aporta algua vetaja ás la utilizaió de la iyeió adyaete sobre el resto de iyeioes. Si se osidera el aso geério de apliar ua distribuió de orriete, Jθ, e el otoro y ésta tiee u desarrollo e series de Fourier tal oo idia la euaió 3.4, la tesió detetada será de la ora A V θ k B osθ siθ dode k

19 3- Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria Por otro lado, se sabe que la resoluió espaial aueta, uado aueta la reueia espaial de la exitaió Booe et al.,997. Por ejeplo, ua iyeió trigooétria o siθ tedría ás resoluió espaial que ua o siθ. Por tato, si se pretede auetar la resoluió espaial, ireetado así iso la otribuió de los aróios de la ioraió estrutural, será eesario apliar ua distribuió de orriete uyos opoetes de reueia agular A, B ireete liealete e aplitud o la reueia agular, ya que de este odo se opesará el ator / que ultiplia a dihos atores oo se observa e la euaió Esta distribuió puede obteerse si lo que se aplia es u dipolo de orriete Barber y Brow, 987. La ejor aproxiaió de esta oiguraió es el uso de ua estrategia de iyeió adyaete. Siedo ésta ua aproxiaió ejor uato ayor sea el úero de eletrodos osiderados. E la igura 3.5 se preseta la evoluió del ator A / para las dieretes estrategias de iyeió.,,8,6,4, Absolute values o I/ haroi Trig Opp. Dip. Adj.3 Ad.6 % relative values o I/ haroi Trig. Opp. Dip Adj.3 Adj.6 Figura 3.5 Evoluió de los oeiietes de Fourier e las dieretes estrategias de iyeió Coo se observa, auque los valores absolutos so eores para la iyeió adyaete su distribuió al auetar el úero de aróios es ás lieal. Se puede deir por tato, que la iyeió adyaete proporioa ua ás uiore distribuió de la relaió señal a ruido para los dieretes aróios de la reueia agular udaetal de iyeió, proporioado de esta ora ua ayor resoluió espaial. Co la iyeió adyaete, la variaió del poteial e la veidad de los eletrodos iyetores es ayor que e posiioes ás alejadas. A la vista de esto se podría pesar que esta iyeió tuviera la relaió, etre la sesibilidad e los extreos y la sesibilidad e el etro, ayor que ualquier otra estrategia. Si ebargo, oo se deostró teóriaete osell,989 esto o es así, sio que la iyeió adyaete resulta as hoogéea que la polar e el espaio de la seió. Para validar estos estudios, se ha realizado edidas experietales o el sistea sei-paralelo TIE-sys, e u taque de disoluió salia de de diáetro, y o ua perturbaió de. Las atries adquiridas se ha reostruido ediate dieretes algoritos de reostruió: retroproyeió o poderada para las edidas polares, y retroproyeió o poderada, poderada y expoeial para las 3-9

20 3- Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria ediadas adyaetes. E la igura 3.6 se puede observar la resistividad reostruida para el iso objeto, situado a lo largo del diáetro de la seió y reostruido o los dieretes algoritos de reostruió. Coo puede observarse, la distribuió e el valor del áxio alulado para la perturbaió sure eos variaió para la iyeió adyaete que para la polar, idepedieteete del algorito utilizado para obteer la iage. El problea udaetal de la iyeió adyaete so los bajos iveles de tesió detetados. Esto os obliga a diseñar u sistea o uos bajos iveles de ruido y alto rehazo a los errores o sisteátios oo pueda ser el rehazo e odo oú. Si ebargo, si uestro sistea tiee ua buea relaió señal a ruido, después de la apliiaió, la resoluió real obteida e el oversor aalógio digital puede ser ejor. 3-

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22 3- Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria 3..8 Ilueia de la terera diesió e las edidas de toograía de ipedaia elétria e dos diesioes El últio puto que se tratará e este apartado será el de la ilueia de la terera diesió de los objetos e uestras edidas de toograía de ipedaia. Este será u puto iteresate ya que ésta será ua liitaió siepre existete e las edidas i-vivo, que es dode se pretede realizar la apliaió de las iágees paraétrias. Para sipliiar el problea, éste se resolverá para ua geoetría ilídria, tato e el aso hoogéeo ig. 3.7 oo e el aso de teer ua perturbaió etrada, tabié irular. ig 3.8. b H z Vρ,θ,z θ θ i θ i I Figura 3.7 Problea e 3D: Cilidro hoogéeo Si supoeos el aso de u ilidro hoogéeo de altura H, y u plao bidiesioal situado a ua altura ostate z, el poteial a esta altura e ualquier puto exterior del ilidro ig 3.7 vedrá dado por la expresió θi θ si I V, θ, z l π H θi θ si I π H I λ os λ os os ' z θi θ θi θ λ I λ

23 3- Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria 3-3 dode H Z z H H π λ,, 3.36 y I es la orriete iyetada e I la uió de Bessel odiiada de priera espeie y orde. De igual ora es posible soluioar el problea e el aso de teer dos ilidros etrados y oétrios de distita odutividad ig.3.8. E este aso el poteial e u puto arbitrario a ua altura z es [ ] [ ] os os os I os os,, θ θ θ θ λ π θ θ θ θ π θ i i b i i b z Coe H Coe H I z V 3.37 dode ' ' ' ' ' ', p p p p p b b p p p p p p b b p p p b p b p p b p b r I r K r I r K I K r I r K r I r K I K Coe r r Coe λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ H r z z H H b p p b b π λ,,, 3.38 y I es la orriete iyetada, e I, K so las uioes de Bessel de ª y ª espeie respetivaete.

24 3- Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria p b H z Vρ,θ,z θ θ i θ i I p b Figura 3.8 Problea e 3D: ilidros oétrios A partir de las euaioes 3.35 y 3.37 es posible reproduir el estudio realizado para dos diesioes, de los líites teórios e toograía de ipedaia elétria pero apliado ahora e tres diesioes. Coo ejeplo, y dado que uestro estudio se etrará úiaete e iágees e dos diesioes, se presetará, e la igura 3.9, uál es la ilueia e la uatiiaió de la tesió diereial detetada o esta terera diesió, presetado e oreto la evoluió de la variaió relativa de la tesió diereial detetada o la altura oralizada respeto al radio del ilidro exterior. Vd V V du du p b 8 H z Vρ,θ,z θ θ i θ i I 36 p b H Z b Figura 3.9 Evoluió, o la altura de la perturbaió, de la variaió relativa de la tesió diereial detetada e el par diereial o ás sesibilidad o ua estrategia de iyeió adyaete 3-4

25 3- Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria Coo puede observarse, a edida que la altura relativa aueta, tabié lo hae el ireeto relativo de tesió diereial detetada. Este eeto produe u error e la uatiiaió espaial de la ipedaia, si el objeto a detetar tiee ua variaió e su altura a lo largo del plao dode se realiza la toograía. Para desarrollar los trabajos aquí presetados y para la realizaió de uturos trabajos teórios que eesite soluioar el problea direto e dos o tres diesioes, así oo el epleo de algoritos de retroproyeió, se ha desarrollado u sotware ig. 3., que reogiedo el desarrollo ateátio realizado e la soluió del problea direto, así oo los algoritos que ya estaba ipleetados Dávila, 989, Moró,996 y Fragi,997, perite soluioar ás óodaete estos probleas. Figura 3. Sotware desarrollado para la soluió de los probleas direto e iverso e toograía de ipedaia elétria 3-5

26 3-obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria 3.3 Problea iverso: reostruió de iágees e toograía de ipedaia elétria 3.3. Itroduió El objetivo de los étodos de reostruió es la obteió de la distribuió de odutividad e la seió del uerpo que se está estudiado, a partir de los datos de la distribuió de poteial y orriete obteidos e la superiie. Es por tato eesario la resoluió de u problea iverso o lieal, por lo que las soluioes para su resoluió pasara o bie por la aproxiaió lieal de la euaió de Poisso o bie por la utilizaió de étodos iterativos. E este apartado os etrareos úiaete e la reostruió de iágees e dos diesioes. Esto supoe realizar la aproxiaió que la orriete iyetada sólo irulará por la seió a edir. Se ha itetado salvar esta liitaió desarrollado algoritos de reostruió e tres diesioes Olivé,993, pero su oplejidad ha llevado a resultados que e uhas oasioes se ha alejado de la distribuió de odutividad real, auetado sigiiativaete el tiepo de proesado. Ua liitaió lara que tiee los algoritos de reostruió es el bajo úero de edidas idepedietes o las que se pretede realizar la reostruió. E u sistea de toograía de ipedaia elétria de N eletrodos, utilizado ua estrategia de iyeió adyaete y depreiado las edidas a dos y tres hilos se obtiee N N-3/ tesioes idepedietes 4 para u sistea EIT de 6 eletrodos. Esto hará que rete a otro istruetal édio apliado a la iage, oo la resoaia agétia ulear o la toograía oputerizada, sea u sistea de uy baja resoluió. El objetivo de este apartado es la revisió de los dieretes étodos de reostruió de iágees e EIT propuestos hasta el presete, así oo sus liitaioes teórias y su ilueia sobre la obteió de iágees paraétrias. Ua osideraió iportate es que uhos de los algoritos presetados e la bibliograía ha sido úiaete veriiados a ivel de siulaió, siedo poos los algoritos que ha sido probados o edidas reales sobre phatos y eos aú o edidas i-vivo sobre huaos, por lo que éste será u puto iportate a iidir e la presetaió de los algoritos utilizados Métodos de reostruió iterativos Existe toda ua serie de étodos basados e la disretizaió del objeto y el álulo de la iage a partir de la resoluió del sistea de euaioes o lieales que arateriza el problea. So étodos iterativos y por tato letos, que puede trabajar o ualquier ojuto idepediete de edidas. Los ás desarrollados so los étodos basados e el algoritos de Newto-aphso Yorkey et al., 987, e estudios de sesibilidad Murai y 3-6

27 3-obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria Kagawa, 985; Tarasseko y ole, 984, el de perturbaió Ki et al., 989 o el étodo adaptativo algorito NOSE, presetado por Isaaso y Edi 99. A odo de ejeplo de estos algoritos se expliará breveete el basado e el algorito de Newto-apsho. Este étodo ue propuesto e 98 por Dies y Lytle, pero su estudio y desarrollo priipal orrió a argo de Yorkey 986. Se basa e la asoiaió de ada pixel de la iage o ua red resistiva. Fiajado las tesioes e el exterior se estia las orrietes a la salida, se opara esta estiaió o las edidas reales y la diereia es usada para alular la ueva odutividad de la iage. Este proeso es realizado ediate el étodo iterativo de Newto- aphso ig 3. Estiaió iiial: Uiore Proeso de iiizaió Proeso de iiizaió v Objeto real v Proeso de iiizaió Figura 3. Estrutura geeral de los algoritos iterativos de reostruió E Patiño y Valetiuzzi,995 se propuso ua odiiaió de estos algoritos para ireetar su veloidad, pero aú a pesar de estos esuerzos, para su apliaió e edidas diáias e seres huaos au so algoritos letos, por lo que oralete se utiliza algoritos o iterativos Métodos de reostruió o iterativos El prier étodo o iterativo ue desarrollado por la uiversidad iglesa de Sheield Barber y Brow, 986; Barber y Seagar, 987. La idea básia del étodo es supoer que, si las variaioes de odutividad so pequeñas respeto al aso uiore, las líeas 3-7

28 3-obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria equipoteiales o abia de ora y las variaioes sólo aeta al valor del poteial. La iyeió de orriete se realiza etre dos eletrodos adyaetes habiédose alulado previaete las líeas equipoteiales que aaba e ada eletrodo dode se ide. Coo dihas líeas o abia de ora, ua variaió e la diereia de poteial etre eletrodos adyaetes respeto al aso uiore se ahaa a ua variaió de odutividad e toda la zoa deliitada por líeas equipoteiales que aaba e dihos eletrodos ig. 3.. Esta es la base del deoiado algorito de retroproyeió que redue el problea de Poisso o lieal a la soluió del siguiete sistea lieal o la aproxiaió <<: U p l U u 3.37 dode U u es el poteial ooido para la odutividad iiial, y U p la perturbaió de este poteial. Figura 3. Lieas equipoteiales e iyeió adyaete Si se despeja de esta orula el valor del ireeto de odutividad se obtiee la expresió U p l 3.38 U u que si las variaioes so pequeñas se puede aproxiar por U p U u 3.39 U u 3-8

29 3-obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria Yorkey [986] opara abas soluioes llegado a la olusió que o la ilusió del logarito e la euaió se obtiee ejoras para variaioes pequeñas de la perturbaió, ietras que para variaioes ayores es ejor la aproxiaió lieal. Este algorito de retroproyeió puede ejorarse haiedo que ada pixel se vea poderado por u peso proporioal a la desidad de orriete que irula por él. De esta ora se obtiee el deoiado algorito de retroproyeió poderada. Estos dos algoritos de retroproyeió, tato el poderado oo el o poderado, ha sido ipleetados Dávila, 989 y utilizados e las apliaioes diáias de los sisteas de toograía desarrollados por uestro grupo de ivestigaió. E geeral e las edidas diáias de toograia de ipedaia elétria sobre el uerpo huao, y e ortos itervalos de tiepo, es posible haer la aproxiaió de que el abio de ipedaia debido a la perturbaió es de valor uho eor que la ipedaia basal edida. Si ebargo, e toograía ultireueia, la ipedaia de la perturbaió puede teer abios relativos grades o la reueia, por lo que la apliaió direta de los étodos epleados e toograía diáia os puede llevar a trabajar e zoas dode la estiaió de los ireetos de odutividad tega u oportaieto o lieal. Para soluioar este problea se desarrolló u uevo algorito de reostruió, el de retroproyeió expoeial Povill y iu, 995 que, basado e la liealizaió de la euaió de Poisso e el espaio ortogoal urvilíeo orado por las líeas equipoteiales y de orriete e el iterior del volue, ejora este problea de liealidad. Para realizar ua priera oparaió de los tres algoritos de retroproyeió se obtedrá iágees i-vivo del thorax huao ediate el sistea de toograía Tie_sys. Los resultados obteidos se puede observar e las iágees de las iguras 3., 3.3 y 3.4, así oo e la uatiiaió de la variaió de la atividad respiratoria e ua zoa de los puloes ig 3.5. De estas iágees se puede extraer dos olusioes: por u lado que los dos algoritos ás eiietes a la hora de realizar la reostruió so los de retroproyeió poderada y retroproyeió expoeial, y por otro, que la uatiiaió y distribuió de ipedaias varía al haerlo el algorito de reostruió. Esto olleva la eesidad de realizar ua oparaió y evaluaió de los errores que se obtiee o estos dos últios algoritos de retroproyeió. 3-9

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34 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria Este estudio se preseta e Moró, 996. E él se aaliza los errores de dihos algoritos e uió de la variaió de los paráetros de odutividad, otraste iiial, posiió y radio de la perturbaió. Tal y oo se propoe e Yorkey, 986, se utiliza oo error, la edida de la variaia oralizada de la iage real respeto a la reostruida. Para ua iage de N putos este error viee dado por. ε N i N i C i C i ' C i µ 3.4 o µ N N C i i 3.4 ' dode C i so lo valores de la iage real, C i edia de la iage real. los valores de la iage reostruida y µ la Las olusioes a las que se llega e este estudio so: El error e la reostruió o los dos algoritos es prátiaete idepediete de las variaioes del otraste iiial, al igual que lo es del valor del ireeto de odutividad ig 3.6. La reostruió bajo abos étodos depede de la posiió de la perturbaió ig 3.7 Auque los resultados e los dos algoritos so seejates, se observa que el étodo expoeial obtiee eos error e perturbaioes laterales que e perturbaioes etradas, suediedo lo otrario para la retroproyeió poderada. Existe u error grade e abos algoritos para radios relativos de perturbaió eores a, r/<,. Se euetra ua relaió lieal etre el radio reostruido y el radio origial para r/>, e perturbaioes laterales y r/>,3 e perturbaioes etradas ig 3.8. El étodo expoeial es e geeral ás lieal a ireetos e la odutividad real que el de retroproyeió poderada, espeialete para perturbaioes laterales, siedo abos étodos lieales para ireetos de odutividad pequeños p / o <,3. Adeás e abos étodos la estiaió del ireeto de odutividad depede tato del radio de la perturbaió, oo del otraste iiial. 3-34

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36 3 - Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria De todos estos atores el que ás diretaete os aeta e la obteió de iágees paraétrias es el últio, ya que u error e la uatiiaió de los valores de ipedaia reostruidos provoará diretaete u error e los paráetros de las iágees obteidas. Es posible iiizar la ilueia de este problea ediate órulas que eualie este oportaieto o lieal, pudiédose de este odo agradar la zoa de trabajo lieal rete a ireetos de odutividades. E Fragi, 996, se ha propuesto odelos ateátios para perturbaioes irulares, que perite opesar esta alta de liealidad tato para algoritos o retroproyeió poderada, oo o retroproyeió expoeial ig.3.9 Figura 3.9 Modelos ateátios para la orreió de o liealidad e la uatiiaió de la odutividad Fragi,996 Estos resultados teórios ha sido validados experietalete ediate la realizaió de edidas sobre los phatos de agar desritos e el apítulo segudo. Se ha realizado edidas o 5 valores distitos de odutividad -8%< /<5%, distribuidos e dieretes posiioes a lo largo del diáetro de la seió edida. Los datos ha sido reostruidos o los algoritos de retroproyeió poderada y expoeial y posteriorete orregidos ediate las expresioes propuestas e Fragi,996, Fragi et al., 997b. Los resultados obteidos idia que la apliaió de estos odelos perite rebajar la iertidubre de la estiaió de la odutividad a valores ieriores a ±8,6% y exteder el arge lieal de trabajo hasta ±% e el abio de odutividad Fragi et al., 997a, por lo que éstas será las órulas utilizadas para ejorar la uatiiaió del valor de la odutividad e las edidas i-vivo que realieos. 3-36

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38 3-Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria 3.4 Extraió de araterístias elétrias e iágees MEIT. Iágees paraétrias Itroduió Coo se ha visto e el prier apítulo, la ipedaia biológia de los tejidos varía o la reueia, siedo posible su araterizaió y por tato su apliabilidad e el diagóstio líio ediate edidas espetrosópias y odelos de Cole-Cole Cole y Cole, 94. La teoría de iágees paraétrias ojuga la utilizaió de estas téias y las de toograía de ipedaia elétria ultireueia MEIT, para la obteió de iágees que uestre la evoluió espaial de los paráetros de Cole obteidos. Griiths y Jossiet 994 hiiero u prier estudio siulado, que peritía la extraió de las opoetes reales e iagiarias de las araterístias elétrias de los pixels de iágees obteidas ediate toograía de ipedaia elétria ultireueia ig.3.3. Si ebargo, el étodo propuesto por ellos requería que la iage utilizada oo reereia uera puraete resistiva, preisa que o se uple e las edidas i-vivo, que ostituye su priipal apo de apliabilidad. Es por tato eesario el desarrollo de u étodo que perita la obteió de los paráetros del odelo de Cole e iágees MEIT idepedieteete del valor reativo de los pixels de la iage utilizada oo reereia I C τ -απ/ o / / α Iágees ultireueia MEIT α Iágees paraétrias Figura 3.3 Esquea de obteió de iágees paraétrias 3-38

39 3-Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria 3.4. Teoría básia de iágees paraétrias E Griiths et al., 99 se ostraba que uado se retroproyeta logarítiaete ua tesió opleja de valor V expj 3.4 * V φ sobre ua reereia tabié opleja de valor V *, el valor oplejo de ada uo de los pixels de la iage viee dado por la expresió * * V s l 3.43 * V Asuiedo que la orriete iyetada es idétia e la reereia y e la iage, el valor oplejo de estos pixels es posible expresarlo e térios de ipedaias * * Z s l 3.44 * Z pudiédose obteer dos iágees dieretes segú se represete el abio de ódulo s' o el abio de ase s'' Z s' l Z s'' φ φ 3.45 Mediate estas euaioes es posible obteer la ioraió del valor de la ipedaia edida e térios del valor de la ipedaia de reereia Z Z exps' φ φ s'' 3.46 E geeral, para la iage i-ésia los valores de la parte real e iagiaria de su ipedaia relativa puede expresarse oo * * * exp Z Z i i Zi jizi s' expjs' ' exps' oss'' jsis'' expj φi φ * * Z Z Z jiz *

40 3-Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria Al dispoer úiaete de la evoluió de la ipedaia oralizada respeto al valor a la reueia de reereia, los datos que se represetara será la parte real y la parte iagiaria de esta ipedaia relativa Z rel ji I I I I i i i i i i rel I rel 3.48 ji I I Es eesario, e prier lugar, busar qué relaió guarda esta represetaió -I o el odelo de Cole de las ipedaias reales. Si la proyeió de los valores de las ipedaias i,,i i satisae el odelo de Cole y por tato se puede ajustar a la iruereia i a Ii b r 3.49 es posible deostrar que la proyeió sobre el plao -I de las ipedaias relativas aluladas e las iágees paraétrias so tabié ajustables a ua iruereia, uya expresió es rel a bi b ai r I rel I I 3.5 I eotrádose las siguietes relaioes etre los paráetros que deie estas dos iruereias a b rel rel a bi a b θ 3.5 I θ b ai b a θ 3.5 I θ r rel r 3.53 θ dode I a b θ ; a ; b ; r 3.54 r Esta oralizaió respeto a, o olleva ua perdida de ioraió ya que los sisteas de toograía de ipedaia elétria utilizados o perite la adquisiió de iágees 3-4

41 3-Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria absolutas, siedo el objetivo de las iágees paraétrias, por tato, úiaete la represetaió de los paráetros /,, y α Fitzgerald et al., 997a. E las iguras 3.3 y 3.33 se observa las relaioes existetes etre los paráetros de dihos aros -I a a/ b b/ r r/ / / α α / r a,b π-α r / a,b π-α/ Figura 3.3 Trasoraió del aro de Cole debido a la oralizaió respeto a -I rel a rel a bθ θ b rel b a θ θ r θ rrel rel φ ta θ a rel,b rel a,b Figura 3.33 Trasoraió del aro de Cole debido al desase de Z 3-4

42 3-Obteió de iágees paraétrias e toograía de ipedaia elétria Si se aplia diretaete sobre los datos reostruidos el étodo de ajuste a odelos de ua aro desarrollado e el apítulo segudo se estia los siguietes valores para los paráetros busados estiada estiada π os α π os α 3.55 a relθ π α a os θ os α estiada π rrel 3.56 π θ θ si α 3.57 estiada π π si α θ os α Coo se observa, iguo de los paráetros alulados se ajusta al oportaieto del odelo de Cole de los datos reales del tejido, ya que existe ua depedeia e todos los ellos o el desase existete e la ipedaia esogida oo reereia. Esto os obliga a teer u étodo que os perita alular este desase, para el álulo posterior de los paráetros reales del odelo de Cole, o bie u algorito que os perita alular diretaete los valores orretos de Cole Algoritos para el álulo de iágees paraétrias El prier étodo ipleetado para la obteió de iágees paraétrias es u algorito basado e la iiizaió, ediate étodos iterativos, de la uió error deiida oo ε [ obteido i Datoajustado i] i Dato 3.58 El heho de teer ua uió error depediete de tres variables /, y α y que esta uió sea de ua ierta oplejidad, os ha heho iliar por la utilizaió de algoritos que o iluya el álulo de gradietes al realizar la aproxiaió, optiizado de esta ora el tiepo de áulo. Es por ello que se ha utilizado algoritos basados e los étodos Dowhill Siplex [Nelder y Mead, 965] y Powell prototipo de los deoiados diretio-set 3-4