TEORÍA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS

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1 TEORÍA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS 1. INTRODUCCIÓN Moviieto vibratorio o vibraió es la variaió o abio de ofiguraió de u sistea e relaió al tiepo, e toro a ua posiió de equilibrio estable, su araterístia fudaetal es que es periódio, siedo freuete el oviieto aróio siple, por lo que este oviieto adquiere ua sigular iportaia e los estudios vibratorios. Los sisteas eáios al ser soetidos a la aió de fuerzas variables o el tiepo, priipalete periódias, respode variado sus estados de equilibrio y, oo oseueia, preseta abios de ofiguraió que perturba su oral fuioaieto, preseta olestias al persoal que los aeja y aorta la vida útil de los eaisos. Atualete, el estudio y aálisis de las vibraioes eáias ha adquirido gra iportaia e la supervisió de los sisteas eáios, sobre todo de eleetos de tipo rotativo. Idepedieteete de los plaes de ateiieto orretivo y prevetivo, el pla de ateiieto preditivo se basa, priipalete, e el estudio de las vibraioes ediate la istalaió de sesores que perite detetar vibraioes fuera de rago. E geeral, se supoe vibraioes de pequeña aplitud porque fuera de ellas deja de teer validez la ayoría de las hipótesis que se establee para su estudio. Supogaos el sistea de la figura, forado por ua asa priipal, u eleeto reuperador elástio de ostate k y u dispositivo aortiguador de ostate. l 0 Notaió: K. ostate de rigidez elástia x est k : asa priipal x : oefiiete de aortiguaió F: resultate de las fuerzas exteriores l 0 : logitud iiial del uelle x est : deforaió e equilibrio estátio x: desplazaieto

2 Se osidera las siguietes hipótesis: a) La asa tiee u guiado vertial, si rozaieto, que perite úiaete desplazaietos vertiales, e ipide otros desplazaietos y giros. b) El uelle tiee asa despreiable frete a la asa priipal del sistea y su fuerza reuperadora elástia es proporioal a su deforaió. ) El dispositivo aortiguador tiee sus asas óviles despreiables frete a la asa priipal del sistea y está basado e u rozaieto de tipo visoso, o fuerza de rozaieto opuesto a la veloidad y proporioal a ella. d) El sistea se supoe situado e el vaío. La euaió del equilibrio diáio perite estableer la euaió difereial del oviieto, x + x + kx = F siedo F la fuerza apliada diretaete al sistea, -x la fuerza de ieria, -x la fuerza aortiguadora de tipo visoso y -kx la fuerza elástia, o las odiioes >0, >0 y >0.. CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES. Las vibraioes so libres uado o existe fuerzas o aioes exteriores diretaete apliadas al sistea a lo largo del tiepo. Las vibraioes so forzadas uado existe aioes o exitaioes diretaete apliadas al sistea a lo largo del tiepo, adeás de las fuerzas o oetos iteros. Tato las vibraioes libres oo las forzadas puede subdividirse, depediedo de la existeia o o de fuerzas resistetes que aortigua el oviieto vibratorio, e: Si aortiguaieto. No existe resisteia pasiva al oviieto del sistea. Co aortiguaieto. Existe resisteias pasivas al oviieto del sistea, es deir, fuerzas o oetos disipativos que aortigua el oviieto vibraioal. 3. VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO. La euaió difereial del oviieto es x+ kx es r + k = 0, siedo sus raíes iagiarias ojugadas r La soluió geeral es de la fora x = a se( t + ϕ ) = 0, su euaió araterístia = ± k i.

3 dode a (aplitud) y ϕ (fase iiial) so ostates que se puede deteriar, e ada aso partiular, o las odiioes iiiales. La freueia atural de la vibraió y el periodo so k = ; T = π E este tipo de vibraioes se uple el priipio de la oservaió de la eergía eáia, es deir, la sua de la eergía iétia y el poteial elástio es ostate e igual a la eergía total ouiada iiialete al sistea, por lo que se verifia la euaió: k x x 1 Cte k a + = = 4. VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO E todos los oviietos osilates reales, se disipa eergía eáia debido a algú tipo de friió o rozaieto, de fora que dejado libreete a sí iso, u uelle o pédulo fialete deja de osilar. Este oviieto se deoia aortiguado y se arateriza porque tato la aplitud oo la eergía eáia disiuye o el tiepo. La euaió difereial que desribe el oviieto es x + x + kx = 0; la euaió k araterístia es r + r + k = 0, uyas raíes so: r = ±. Se preseta tres asos posibles: k a) Aortiguaieto superrítio: > > k 4 Las raíes r 1 y r so reales y distitas. La soluió de esta euaió, aortiguada pero o aróia, es de la fora x C e r 1 = t + C e 1 3 r t dode C 1 y C so las ostates de itegraió. El sistea o osila, sipleete vuelve a la posiió de equilibrio, uato ayor es el aortiguaieto, ás tiepo tarda el sistea e alazar la posiió de equilibrio. k b) Aortiguaieto rítio: = = k = r. 4 r La raíz de la euaió araterístia es doble e igual a r =. La soluió, aortiguada pero o aróia, es de la fora r t 1 x = e ( C + C t) k

4 El sistea vuelve a la posiió de equilibrio e el tiepo ás breve posible si osilaió. El aortiguaieto rítio tiee ua iportaia espeial porque separa los oviietos aperiódios (o osilatorios) de los osilatorios aortiguados. Es deir, el valor rítio es la eor atidad de aortiguaieto para que el sistea o osile. E uhas apliaioes prátias se utiliza u aortiguaieto rítio, o próxio al rítio, para evitar vibraioes y oseguir que el sistea alae el equilibrio rápidaete. k ) Aortiguaieto subrítio: < < k. 4 Las raíes so iagiarias ojugadas e iguales a, k r i = ± = ± y la freueia de la vibraió aortiguada es La soluió es de la fora x = ae t se( t + ϕ ) i k = Esta soluió es aproxiadaete aróia, es deir, existe ua ierta periodiidad e el oviieto o itervalos teporales edidos por el pseudoperiodo T, que se puede expresar e fuió del periodo T orrespodiete a la vibraió o aortiguada a través de la relaió π T T = = 1 r. Elevado al uadrado la expresió de la freueia de la vibraió aortiguada, se tiee k k = = 1 = 4 = 4 k r r Relaió que perite la deteriaió del oefiiete de aortiguaieto para uas freueias dadas a priori o edidas experietalete. Deoiado fator de aortiguaió f = y fator de freueias Ω = obtiee la euaió de ua elipse f + Ω = 1. r se 4

5 E las vibraioes aortiguadas, por ser u oviieto aperiódio o se uple el priipio de oservaió de la eergía eáia, pero si el de la eergía total, de fora que la sua de la eergía iétia, el poteial elástio y la eergía disipada e fora de alor, debido a la existeia de aortiguaieto, se atiee ostate, k x x t x + + dt Cte. = 0 los dos prieros térios disiuye o el tiepo y la eergía disipada tiede a alazar el valor áxio, es deir, existe trasforaió de eergía eáia e alorífia. 5. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO. Para ateer u sistea osilado es eesario suiistrar eergía al sistea, uado esto se lleva a abo se die que la vibraió es forzada. Si se itrodue eergía e el sistea a u rito ayor del que se disipa, la eergía aueta o el tiepo, lo que se aifiesta por u aueto de la aplitud del oviieto. Si la eergía se proporioa al iso rito que se disipa, la aplitud peraee ostate o el tiepo. La euaió difereial del oviieto, teiedo e ueta que la fuerza es de tipo periódio, es x + kx = F = F 0 os t dode F 0 es la aplitud y la freueia de la fuerza exitadora. La soluió geeral de la euaió difereial se obtiee añadiedo a la soluió geeral de la hoogéea ua soluió partiular de la opleta ( x = x + x ). La euaió araterístia es r + k = 0, las raíes de esta euaió so iagiarias k ojugadas r = ± i y la soluió geeral de la hoogéea es xh = a se( t + ϕ ) La soluió partiular de la opleta es x p 5 = Aost Así, la soluió geeral tiee por expresió: F0 x = a os( t k + ϕ) + ost 1 E todo sistea o aortiguado y forzado aróiaete, el oviieto resultate se opoe de la sua de dos aróios, uo de freueia atural y otro de h p

6 freueia de la fuerza exterior. La aplitud del priero depede de las odiioes iiiales y se aula para uos valores partiulares, la aplitud del segudo depede de la proxiidad de abas freueias a través de la expresió deoiada fator de resoaia: 1 A ρ = = xest 1 BATIMIENTO. Feóeo produido uado la freueia atural del sistea ( ) toa u valor uy próxio a la freueia de la fuerza exterior ( ), es deir, e el aso partiular e que = +. Para perturbaió iiial ula ( x x 0 = 0 = 0) se obtiee, F x = 0 se t se t k Se trata de u oviieto aróio de freueia y de aplitud tabié aróia, ésta ree hasta u áxio y disiuye hasta que se aula, repitiedo este ilo de fora periódia. RESONANCIA. Ua araterístia uy sigifiativa del oviieto osilatorio tiee lugar uado la fuerza exitadora de las vibraioes tiee uas freueias partiulares, para ada sistea dado, produiédose abios de ofiguraió de los sisteas eáios que alaza aplitudes otables, y geeralete, oasioa u fallo estrutural del aterial soetido a esfuerzos de rotura: efetos resoates. Este riesgo se produe iluso o fuerzas exitadoras uy pequeñas ya que depede de las araterístias del aterial soetido a vibraió. Cuado la freueia de la fuerza exterior es igual a la freueia atural del sistea ( = ), es deir, uado 0, se produe la resoaia, la euaió que rige diho feóeo es, F x = 0 k t se t. Expresió que orrespode a u oviieto aróio de freueia y uya aplitud tiede a ifiito uado t. 6. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO. La euaió difereial del oviieto, teiedo e ueta que la fuerza es de tipo periódio, F = F 0 se t, es de la fora 6

7 x + x + kx = F La euaió araterístia orrespodiete a la euaió difereial hoogéea es r + r + k = 0. Se supoe aortiguaieto iferior al rítio para que resulte ua vibraió, la soluió geeral se obtiee añadiedo a la soluió de la euaió difereial de la hoogéea ua soluió partiular de la opleta ( x = x + x ), resultado ( ϕ) ( Θ ) x = ae t se t + + A se t esta soluió osta de dos partes, ua soluió trasitoria, e la que el prier tério ( x h ), al abo de u tiepo geeralete breve, se redue a u valor despreiable, y la soluió estaioaria ( x p ), e la que el sistea osila o freueia, aplitud A ostate y desfase Θ uyas expresioes so: F0 tgθ = k ; A = + 1 r h p 7. TRANSMISIÓN DE VIBRACIONES Cuado u sistea vibra segú la euaió: x + x + kx = F, la fuerza trasitida, pasado el prier periodo trasitorio, es f = F x = kx + x se trata de ua fuerza aróia de freueia igual a la freueia de la fuerza apliada, de aplitud f 0 y desfase Θ 1, siedo f = f se( t Θ ) 0 1 dode f = A k + = 0 0 k F k r Se deoia oefiiete de trasisibilidad a la relaió etre las aplitudes áxias de la fuerza apliada y trasitida, uya expresió e fora adiesioal es: 7

8 τ = + 1 r + 1 r Es oveiete que el oefiiete de trasisibilidad sea bajo, preferibleete eor que la uidad, por lo que τ < 1 > 8. BIBLIOGRAFÍA Bibliografía geeral ALONSO, M.; FINN, E. (1995). Físia. Addiso Wesley Iberoaeriaa. Capítulo 10 CRAWFORD, J. (1977). Odas, Berkeley Physis Course. Ed. Reverté. Capít. 1 y 3. SERWAY, R. A. (199). Físia. Ed. M Graw Hill. Capítulo 13. TIPLER, P.A. (1999). Físia para la ieia y la teología. Ed. Reverté. Capítulos 14 y 15. LAFITA, F.; MATA, H. (1968). Itroduió a la Teoría de las vibraioes eáias. Ed. Labor. Artíulos de revistas ietífias Fuertes, F. El odesto pédulo. Revista Española de Físia, V-4,.3, pp (1990). Gozalo, P. La ley de Hooke, asa y periodo de u resorte. Revista Española de Físia, V-5,.1, pp.36. (1991). Saartí, J. R. La físia del botafueiro. Ivestigaió y ieia,.161, pp (1990). Solaz, J. J. Ua prátia o el pédulo trasforada e ivestigaió. Revista Española de Físia. V-4,. 3, pp (1990) Págia web: 8