Tema 5 : FLEXIÓN: TENSIONES

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1 Tema 5: Fleió: Tesioes Tema 5 : FLEXÓN: TENSONES X (COPRESÓN) X (TRCCÓN) Prof.: Jaime Sato Domigo Satillaa E.P.S.-Zamora (U.SL.)

2 Tema 5: Fleió: Tesioes NTRODUCCÓN Ua barra está solicitada a FLEXÓN PUR cuado e sus seccioes rectas trasversales actúa úicamete los mometos flectores: /o. (Fig. 5.1.a) E el caso de que a la ve que los mometos flectores /o actúe tambié las fueras cortates V /o V, se dice que está solicitada a FLEXÓN SPLE.(Fig. 5.1.b) V V Fig.5.1.a Fig.5.1.b FLEXÓN PUR FLEXÓN SPLE Si sólo actuase uo de los dos mometos flectores: o se deomia: FLEXÓN SÉTRC (Fig. 5.1.c) Si el vector mometo tiee las dos compoetes: se deomia: FLEXÓN SÉTRC (Fig. 5.1.d) Fig.5.1.c FLEXÓN SÉTRC Fig.5.1.d FLEXÓN SÉTRC

3 Secció 5.: Fueras Cortates ometos Flectores. Diagramas relacioes etre ambos 5..-FUERZS CORTNTES Y OENTOS FLECTORES. DRS Y RELCONES ENTRE BOS Ejes de referecia O < 0 > 0 Fig.5. Secció co ormal eterior positiva: > 0 Secció co ormal eterior egativa: < 0 Coveio de sigos para las fueras cortates V, V E ua secció co ormal eterior positiva ( > 0), las fueras cortates V V so positivas, cuado lleva el mismo setido de los semiejes positivos OY, OZ respectivamete. Será egativas e caso cotrario. E el caso de ua secció co ormal eterior egativa ( < 0) será al revés V V O < 0 > 0 V Fig.5.3 V V > 0 V > 0 3

4 Tema 5: Fleió: Tesioes Coveio de sigos para los mometos flectores, Caso del mometo flector : E ua secció co ormal eterior positiva ( > 0), el mometo flector será positivo, cuado lleve el setido cotrario al del semieje OZ positivo. Será egativo e caso cotrario. E el caso de ua secció co ormal eterior egativa ( < 0) será al revés O < 0 > 0 > 0 Fig.5.4 > 0 : la viga flea (se dobla) hacia la parte positiva del eje + Fig.5.5.a < 0 : la viga flea (se dobla) hacia la parte egativa del eje - Fig.5.5.b 4

5 Secció 5.: Fueras Cortates ometos Flectores. Diagramas relacioes etre ellos Caso del mometo flector : E ua secció co ormal eterior positiva ( > 0), el mometo flector será positivo, cuado lleve el mismo setido al del semieje OY positivo. Será egativo e caso cotrario. E el caso de ua secció co ormal eterior egativa ( < 0) será al revés O < 0 > 0 Fig.5.6 > 0 : la viga flea (se dobla) hacia la parte positiva del eje + Fig.5.7.a < 0 : la viga flea (se dobla) hacia la parte egativa del eje - Fig.5.7.b 5

6 Tema 5: Fleió: Tesioes Observació: El es el úico, que e las seccioes >o, se toma positivo si su setido es el cotrario al semieje positivo correspodiete. Diagramas de Fueras Cortates de ometos Flectores Éstos diagramas represetará las Fueras Cortates los ometos Flectores e cada ua de las seccioes de ua viga, (al igual que e la secció 4. se estudiaro los Diagramas de Fueras Normales) gracias a ellos se podrá coocer los esfueros máimos las seccioes dode éstos se dará. Se desarrollará los Diagramas de Fueras Cortates de ometos Flectores a través del siguiete ejemplo: F P O L Fig.5.8 E ua secció cualquiera la Resultate el ometo resultate de las fueras eteriores será: P F O P F F. >0 P. R et, et Fig.5.9.a Co lo cual, la Resultate el ometo resultate de las fueras iteriores será: P F O P F F. >0 P. R it, it Fig.5.9.b 6

7 Secció 5.: Fueras Cortates ometos Flectores: Diagramas relacioes etre ellos P F O P F O P F F. >0 L P. R it, it Fig.5.10 Teiedo e cueta elsigo de las Fueras Cortates ometos Flectores: F - 0 L V F (cte) V V P - V P (cte) P. 0 0 L P. L - P.L F. 0 0 L F. L - F.L 7

8 Tema 5: Fleió: Tesioes Relacioes etre Fueras Cortates ometos Flectores Las Fueras Cortates los ometos Flectores o so idepedietes sio que está relacioados etre sí. tes de ver dicha relació coviee dejar claro que, e rigor, o eiste fueras cocetradas e u puto, pues segú se vio e 1.1, por el Pricipio de Sait Veat, se podrá cosiderar cocetradas las fueras que se trasmita a la barra a través de ua superficie pequeña e comparació co la superficie de ésta. R Se cosidera ua rebaada de ua viga formada por dos seccioes mu próimas, separadas d sobre la que actúa ua carga distribuida q(). E ambas caras de la rebaada se sitúa las correspodietes Fueras Cortates ometos Flectores (todos co setidos positivos) q() Kg/m <0 >0 +d V d V+dV Fig.5.11 Estableciedo las ecuacioes de equilibrio de los esfueros que actúa sobre la rebaada: d 0 + V. d + d + q. d. simplificado despreciado ifiitésimos de º orde frete a los de1º: V. d d V d (5.1) d La Fuera Cortate es la derivada del ometo Flector 8

9 VC 1 VC 1.+C Secció 5.: Fueras Cortates ometos Flectores. Diagramas relacioes etre ellos F 0 V q. d + V + dv simplificado : 0 q. d + dv dv q d d d (5.) la carga q() es la derivada de la Fuera Cortate o la seguda derivada del ometo Flector V0 V0 V VC 1. +C.+C 3 C 1 C 1.+C ma C 1. +C.+C 3 C C. +C 3.+C 4 Observació: La epresió del ometo Flector es siempre de u grado superior a la de la Fuera Cortate d V 0 V 0 C1 ( cte) d d V C1 V C1 d C1. d C1. + C d d V C. + C V C. + C d ( C. + C ). d C. + C. + C d d V 0 ( e1 puto) V 0 ( e1 puto) ma o mi d

10 Tema 5: Fleió: Tesioes 5.3.-FLEXÓN PUR TENSONES NORLES: CSO ENERL Ua viga está sometida a FLEXÓN PUR cuado e sus seccioes rectas trasversales actúa úicamete los ometos Flectores /o O Fig.5.1 Las relacioes tesioes solicitacioes vistas e la secció 1.6 sería: ( ) N 0. d V 0. d V 0. d T 0... d.. d.. d (5.3) Pero al igual que ocurría e la Tracció-Compresió éstas ecuacioes, por si solas, o permite calcular las tesioes origiadas por los ometos Flectores /o. Habrá que recurrir uevamete a hipótesis simplificativas que ha sido comprobadas eperimetalmete. Hipótesis de Berouilli Navier: E la Fleió Pura cada secció trasversal de la viga gira alrededor de u eje, coteido e la secció, deomiado Eje Neutro, permaeciedo las seccioes plaas ormales a las fibras deformadas. dmitiremos tambié que la fleió se produce e régime elástico por tato detro de los límites de valide de la Le de Hooke, por lo que las tesioes que se origia ha de ser proporcioales a las deformacioes producidas. 10

11 Secció 5.3.1: Fleió Pura. Tesioes ormales: Caso geeral l fleioar la viga, las seccioes trasversales gira hace que las fibras logitudiales, iicialmete rectas, deje de serlo se curve, alargádose o acortádose segú sea su posició e el iterior de la viga. Fibras que se acorta Fibras que se alarga Fig.5.13 Eiste fibras logitudiales que i se alarga i se acorta, a esas fibras se las deomia FBRS NEUTRS. la superficie dode se ecuetra las fibras eutras se la deomia SUPERFCE NEUTR. Las fibras que esté por ecima o por debajo de la Superficie Neutra alargará o acortará segú hacia dode fleioe la viga. (E el caso del dibujo acortará las fibras que está por ecima de la Superficie Neutra alargará las que esté por debajo) las fibras trasversales de la Superficie Neutra se las deomia: LNES NEUTRS o EJES NEUTROS. lrededor de ellos gira las seccioes trasversales E las siguietes figuras se represeta estos térmios para su mejor idetificació: Superficie Neutra Fibras Neutras Ejes Neutros o Líeas eutras Eje Neutro o Líea Neutra Fig

12 Tema 5: Fleió: Tesioes sí pues como resultado de la fleió el paralelepípedo elemetal abcd se trasforma e el a 1 b 1 c 1 d 1 como segú la Hipótesis de Berouilli-Navier: las seccioes trasversales de la viga gira alrededor de u eje, coteido e la secció, deomiado Eje Neutro, permaeciedo plaas ormales a las fibras deformadas, se deducirá que: a 1 b 1 será perpedicular a a 1 c 1. Co lo cual se podrá afirmar: Las deformacioes agulares de los diferetes paralelepípedos so ulas, es decir: γ 0 m a c b d m 1 1 a1 b1 c1 d 1 d Fig.5.15 Por la le de Hooke: γ 0 0 (5.4) E la Fleió Pura so ulas las tesioes cortates Para calcular las tesioes ormales, se aaliará co más detalle la deformació de la rebaada d de la figura aterior O m a c d b d m 1 a 1 r d d b 1 b1 c 1 d 1 Supogamos que la superficie eutra es la que pasa por la fibra m. (m 1 1 ua ve fleioada) O: Cetro de curvatura de la fibra eutra m 1 1 r: radio de curvatura de la fibra eutra m 1 1 d Se estudiará el alargamieto que ha sufrido la fibra ab que se ecuetra a ua distacia d de la superficie eutra. La fibra ab de logitud d al fleioar se ha covertido e la fibra a 1 b 1. La fibra eutra m de logitud d al fleioar se ha covertido e la fibra m 1 1 de la misma logitud (la fibra eutra i alarga i acorta). Si se traa por 1 ua paralela a m 1 a 1 se obtiee 1 b, siedo etoces: a 1 b d. El alargamieto de la fibra ab al fleioar habrá sido: b b 1. cotiuació se buscará ua epresió para obteer dicho alargamieto: b b1 bb1 De la semejaa de ε triágulos (Oa 1 b 1 ) ( 1 b b 1 ), tiee 1 a b d 1

13 Secció 5.3.1: Fleió Pura. Tesioes ormales: Caso geeral sus lados paralelos, se podrá epresar: Sustituedo e la epresió de ε : las deformacioes logitudiales de las fibras so proporcioales a su distacia a la superficie eutra por la le de Hooke: bb d d r las tesioes ormales so proporcioales a su distacia a la superficie eutra Utiliado ahora la primera ecuació de las epresioes (5.3) resultará: 1 ε Si se quisiera obteer ahora la distacia del cetro de gravedad de la secció a la superficie eutra, la fórmula a emplear sería: bb d 1 d r ε ε. E E d E. r (5.5) d E. d 0 E.. d 0 (al ser Ecte, rcte) d. d 0 r r d. d 0 d. d 0 d( ) ( por lo obteido ates) 0 d d d ( ) 0 (5.6) la distacia del cetro de gravedad de ua secció a la superficie eutra es cero, el cetro de gravedad está pues e la superficie eutra, o lo que es lo mismo el eje eutro o líea eutra de ua secció pasa por el cetro de gravedad de la misma Eje Neutro o Líea Neutra Fig

14 Tema 5: Fleió: Tesioes Se buscará a cotiuació ua forma cómoda para medir d, Para ello, la siguiete figura (5.17), represeta ua secció trasversal cualquiera de ua viga se epresará d e fució de las coordeadas del puto dode se quiera hallar la tesió. Líea eutra o Eje eutro d α P Fig.5.17 La distacia d de u puto P(,) cualquiera a la líea eutra será: d. cosα +. seα troduciedo este valor e la ecuació (5.5) que da la tesió ormal e u puto cualquiera quedará: d E E..(.cosα +. seα) C1. + C. r r (5.7) Desarrollado ahora dos uevas ecuacioes de las epresioes (5.3):.. d (segú 5.6) ( C. + C. ).. d 1 C.. d + C... d C. + C d ( segú5.6) ( C. + C. ).. d 1 C... d + C.. d C. + C. 1 1 resolviedo este sistema de ecuacioes por la regla de Cramer: 14

15 Secció 5.3.1: Fleió Pura. Tesioes ormales: Caso geeral 15 Sustituedo fialmete el valor obteido para las dos costates C 1 C e la ecuació (5.7), quedará como epresió fial geeral del cálculo de la tesió ormal e u puto cualquiera de coordeadas (,) la siguiete: Las compoetes del estado de tesioes e u puto P del iterior de ua viga sometida a Fleió Pura será pues: (5.8) 1... C... C. )... ( )... ( )... ( )... ( + (5.9) P Fig.5.18

16 Tema 5: Fleió: Tesioes CÁLCULO DE L LÍNE NEUTR (EJE NEUTRO) Las fibras que perteece a la Superficie Neutra, por defiició, i se alarga i se acorta, co lo cual se cumplirá: ε 0 por la le de Hooke : ε. 0 E sí pues la ecuació de la líea eutra la podemos obteer como lugar geométrico de los putos de ua secció que tiee tesió ormal cero, es decir: (.. ). + (... ). 0 o lo que es lo mismo: (5.10) (.. ). + (.. ). 0 Ecuació de la líea eutra o Eje eutro Tambié puede epresarse, sabiedo que ha de pasar por el cetro de gravedad de la secció, e virtud de (5.6), por su águlo de icliació α co respecto al eje... tagα (despejado esta epresio de5.10).. (5.11) Águlo de icliació de la líea eutra respecto al eje Z Secció trasversal de la viga α 16 Fig.5.19

17 Tema 5.3.: Tesioes ormales: Casos particulares TENSONES NORLES: CSOS PRTCULRES Caso Particular 1º: Los ejes, so los Ejes Pricipales de iercia de la secció E éste caso se deberá cumplir: 0, co lo cual las ecuacioes será:.. + (5.1). tagα (5.13). Caso Particular º: Los ejes, so los Ejes Pricipales de iercia de la secció además uo de los ometos Flectores es cero Si 0 :. (5.14) tagα 0 α 0º eleje eutro es el eje (5.15) La distribució de tesioes ormales para este caso será: X (COPRESÓN). X X ma (5.16) X (TRCCÓN) Fig

18 Tema 5 : Fleió: tesioes Si 0 :. (5.17) tagα α 90º eleje eutro es eleje (5.18) La distribució de tesioes ormales para este caso será: X (TRCCÓN) X (COPRESÓN). X ma X (5.19) Fig

19 Tema 5.3.: Tesioes ormales: Casos particulares Observacioes: Coveio de sigos para : Co el coveio de sigos adoptado e la secció 5. para los ometos flectores se observa lo siguiete: > 0 las fibras que se alarga so las que está por debajo de la superficie eutra, por tato se producirá TRCCÖN e los putos de la secció de la parte iferior del eje, es decir e los putos de la parte positiva del eje Superficie eutra Compresió > 0 Fig.5. Tracció > 0 las fibras que se alarga so las que está e la parte positiva del eje Superficie eutra Tracció > 0 Compresió Fig

20 Tema 5 : Fleió: tesioes LÍNE ELÁSTC. RDO DE CURVTUR Se deomia LÍNE ELÁSTC al eje de la viga ua ve deformado debido a la fleió. Líea elástica Fig.5.4 El radio de curvatura de la líea elástica se podrá obteer de la siguiete maera: La ecuació 5.5 que daba la tesió e u puto P cualquiera: d E. r d α P d P Fig.5.5 para el º caso particular visto e 5.3.: ( 0 0 ) el eje eutro es el eje Etoces : d, co lo cual la fórmula de la tesió será: E. r La fórmula fial (5.14), para el cálculo de la tesió e éste caso particular era: gualado ambas epresioes de la tesió: 1 r E.. (5.0) E. r Siedo: E. ódulo de Rigide a la fleió alrededor del eje.. así si: 1 E. r flea poco,es mu rígida a la fleió r 0

21 Secció 5.3.3: Líea elástica. Radio de curvatura E. (grade) Fleioa poco mu rígida a la fleió E. (pequeño) Fleioa mucho poco rígida a la fleió Para el otro caso particular visto e 5.3.: ( 0, 0 ) el eje eutro es el eje, etoces d. d P Fig.5.6 Co lo cual la ecuació (5.5) para la tesió sería: E. r La ecuació fial (5.17), para el cálculo de la tesió e éste caso particular era:. gualado ambas epresioes de la tesió: E.. r 1 (5.1) r E. Siedo: E. ódulo de Rigide a la fleió alrededor del eje. 1

22 Tema 5: Fleió: Tesioes 5.4.-FLEXÓN SPLE Ua viga está solicitada a FLEXÓN SPLE cuado e sus seccioes trasversales actúa cojutamete los ometos Flectores: /o las Fueras Cortates: V /o V. V O Fig.5.7 V Las relacioes Tesioes Solicitacioes vistas e 1.7 sería: ( ) N 0. d V. d V. d T 0... d.. d.. d (5.) TENSONES NORLES E estas ecuacioes (5.), se observa que e las relacioes que iterviee la tesió ormal, so las mismas que las epresadas e las (5.3) para la Fleió Pura. Si embargo la aparició ahora de las tesioes cortates:, que era cero e la Fleió Pura, va a producir deformacioes agulares γ, que habrá que añadir a las deformacioes propias de la Fleió Pura. Si las tesioes cortates o se distribuera uiformemete e la secció, lo mismo ocurriría co las deformacioes agulares, lo que sigificará que e la FLEXÓN SPLE las seccioes plaas se alabea, es decir, o permaecerá plaas o se cumplirá por tato la Hipótesis de Berouilli- Navier Fibras que se acorta Fig.5.8 Fibras que se alarga

23 Secció 5.4.1: Fleió simple: tesioes ormales Si embargo se comprueba, que este alabeo de las seccioes apeas iflue e el valor de las tesioes ormales, co lo cual se aplicará para éstas, e el caso de FLEXÓN SPLE, las mismas ecuacioes obteidas e la FLEXÓN PUR, es decir: ( ). + (... ). (5.7) Caso Particular 1º: Los ejes, so los Ejes Pricipales de iercia de la secció E éste caso se deberá cumplir: 0, co lo cual las ecuacioes será:.. + (5.1) tag α (5.13).. Caso Particular º: Los ejes, so los Ejes Pricipales de iercia de la secció además uo de los ometos Flectores es cero Si 0 :. 5.14) tag α 0 α 0º ( el eje eutro es el eje (5.15) 3

24 Tema 5: Fleió: Tesioes 5.4.-TENSONES CORTNTES EN SECCONES DE RN ESPESOR Para el cálculo de las tesioes cortates se tedrá e cueta la forma de la secció de la viga. sí e este apartado se comeará co el caso de vigas co seccioes de gra espesor: circulares, rectagulares, etc.. E este tipo de seccioes se hará el cálculo por separado de las tesioes cortates:. Cálculo de la tesió cortate : Tomemos ua rebaada d de ua viga de secció de gra espesor sometida a Fleió Simple (Fig.9.a). E ambos etremos de la misma se sitúa los ometos Flectores Fueras Cortates correspodietes. Se trata de calcular las e los putos de ua líea cualquiera ab que se ecuetra a ua distacia del eje. Para ello se supodrá que cte a lo largo de todos los putos de la dicha líea. V V V + dv <0 O b >0 c + d a d + d V + dv d Fig.5.9.a Seccioado el elemeto diferecial por el plao abcd estableciedo el equilibrio de fueras del troo iferior resultate, se tedrá: t() a d b d d d c +d Fig.9.b 4, + d, + d + d para que eista equilibrio de fueras e direccio del eje ( ) sobre superficie abcd F 0 + d. d. d +. t( ). d operado :

25 Secció 5.4.: Tesioes cortates e seccioes de gra espesor d d. d. t( ). d. d. t( ) (1) d d Calculemos a partir de la epresió de obteida e (5.7) : d (.. ). + (.. )..(.. ) +.(.. ).. d d.(.. ) +.(.. d ) V.(.. ) V.(.. ) d d + d.. sustituedo esta epresió e (1): ( ) + ( ) V... V.... t( ). d. V... d.. d + V... d.. d. t( ). V.. Q ( ). Q ( ) + V.. Q ( ). Q ( ) t( ).. como por lo visto e el tema 1º : se obtedrá fialmete: V.. Q ( ). Q ( ) + V.. Q ( ). Q ( ) t( ).. siedo: (5.3) Q ( ). d Q ( ). d a >0 t() b Fig.5.30 los mometos estáticos del área raada respectodelosejes e respectivamete Observació: e la secció de >0 se cumple: > 0 "su setido es etrate e el área raada " < 0 "su setido essaliete delárea raada " 5

26 Tema 5: Fleió: Tesioes Cálculo de la tesió cortate : Se trata de calcular ahora las e los putos de ua líea cualquiera ef que se ecuetra a ua distacia del eje. Para ello se supodrá que cte a lo largo de todos los putos de la dicha líea. V f V + dv g V <0 O e + d >0 h + d d V + dv Fig.5.31.a Seccioado el elemeto diferecial por el plao efgh estableciedo el equilibrio de fueras del troo posterior resultate, se tedrá: f g d d + d t() e d h Fig.5.31.b, + d, + d + d para que eista equilibrio de fueras e direccio del eje sobre superficie efgh ( ) F 0 + d. d. d +. t( ). d operado: d d. d. b( ). d.. ( ) d t d siguiedo u procesosimilar al aterior,se obtedrá: 6 V.. Q ( ). Q ( ) + V.. Q ( ). Q ( ) t( ).. (5.4)

27 Secció 5.4.: Tesioes cortates e seccioes de gra espesor f >0 t() siedo: Q ( ). d Q ( ). d los mometos estáticos del área raada respectodelosejes e respectivamete e Fig.5.3 Observació: e la secció de >0 se cumple: > 0 "su setido es etratee el área raada " < 0 "su setido essaliete del área raada " CSOS PRTCULRES: Caso Particular 1º: Los ejes, so los Ejes Pricipales de iercia de la secció E éste caso se deberá cumplir: 0, co lo cual las ecuacioes será: V. Q ( ) V. Q ( ) + t( ). t( ). V. Q ( ) V. Q ( ) + t( ). t( ). (5.5) Caso Particular º: Los ejes, so los Ejes Pricipales de iercia de la secció además ua de las Fueras Cortates es cero -si V 0 V. Q ( ) t( ). V. Q ( ) t( ). (5.6) - si V 0 V. Q ( ) t( ). V. Q ( ) t( ). (5.7) 7

28 Tema 5: Fleió: Tesioes TENSONES CORTNTES EN SECCONES BERTS DE PEQUEÑO ESPESOR Las barras que se utilia e las estructuras metálicas suele teer seccioes de pequeño espesor. t f t f h d t w h d t w b Fig.5.33 b Se cosidera icluidas e este grupo todas las seccioes e las que se cumpla: h 10. t b 10. t El cálculo de las tesioes cortates e este tipo de seccioes, preseta alguas diferecias co respecto al de las seccioes macias visto ateriormete. Cálculo de la tesió cortate s : w Tomemos ua rebaada d de ua viga de secció abierta de pequeño espesor sometida a Fleió Simple. E ambos etremos de la misma se sitúa los ometos Flectores Fueras Cortates correspodietes. Se trata de calcular las s e los putos de ua líea cualquiera ab, perpedicular a la líea media, que se ecuetra a ua distacia s de uo de los etremos abiertos de la secció. Para ello se supodrá que s cte a lo largo de todos los putos de dicha líea sus direccioes so perpediculares a la misma f V d V +dv <0 s a b V c >0 +d +d 8 s V +dv Fig.5.34.a

29 Secció 5.4.3: Tesioes cortates e seccioes abiertas de pequeño espesor Seccioado el elemeto diferecial por el plao abcd estableciedo el equilibrio de fueras e direcció del eje, del troo iferior resultate, se tedrá: t(s) b a s d s c d d +d Fig.5.34.b ( ) F 0 + d. d. d +. t ( s ). d operado: s d d. d s. t( s). d. d s. t( s) d siguiedo a partir de ahora u desarrollo similar al realiado e el cálculo de las tesioes cortates e seccioes de gra espesor, se obtedrá: s V.. Q ( s). Q ( s) + V.. Q ( s). Q ( s) t( s).. (5.8) siedo: Q ( s). d Q ( s). d a b s >0 los mometos estáticos del área raada respectodelosejes e respectivamete s Fig.5.34.c Observació: e la secció de >0 se cumple: s s > 0 "su setido es etratee elárea raada" < 0 "su setido essaliete del área raada " 9

30 Tema 5: Fleió: Tesioes CSOS PRTCULRES: Caso Particular 1º: Los ejes, so los Ejes Pricipales de iercia de la secció E éste caso se deberá cumplir: 0, co lo cual la ecuació 5.8 será: V. Q ( s) V. Q ( s) s t( s). + t( s). (5.9) Caso Particular º: Los ejes, so los Ejes Pricipales de iercia de la secció además ua de las Fueras Cortates es cero -si V 0 V. Q ( s) s t( s). (5.30) - si V 0 V. Q ( s) s t( s). (5.31) 30

31 Secció 5.4.4: Tesioes cortates e seccioes cerradas de pequeño espesor TENSONES CORTNTES EN SECCONES CERRDS DE PEQUEÑO ESPESOR Cálculo de la tesió cortate s : Tomemos ua rebaada d de ua viga de secció cerrada de pequeño espesor sometida a Fleió Simple. E ambos etremos de la misma se sitúa los ometos Flectores Fueras Cortates correspodietes. Se trata de calcular las s e los putos de ua líea cualquiera ab, perpedicular a la líea media, que se ecuetra a ua distacia s de ua líea a o b o, tambié perpedicular a la líea media, que se tomará como referecia. Para ello se supodrá que s cte a lo largo de todos los putos de la líea ab, de espesor t(s), siedo sus direccioes perpediculares a la misma que igualmete ocurrirá co las tesioes so cte e los putos de la líea de referecia a o b, de espesor t(s o ) V d V +dv <0 >0 s a b V V +dv +d b 0 s so a 0 +d Fig.5.35.a Seccioado el elemeto diferecial por el plao abcd por el a o b o c o d o, estableciedo el equilibrio de fueras e direcció del eje, del troo resultate, se tedrá: t(s) s b a d b 0 a 0 s so d d c +d c o d o t(s o ) Fig.5.35.b ( ) F 0 + d. d +. t ( s ). d. d +. t ( s ). d so o s d.. d +. t( s ). d. t( s). d so o s d d. d +. e( s ). e( s) so o s sustituedo el valor de d d. d obteido e la secció 5.4.3: 31

32 Tema 5: Fleió: Tesioes V.. Q ( s). Q ( s) + V.. Q ( s). Q ( s) s. t( s) so. t( so ) + (5.3). Observació: e esta epresió se observa que para poder calcular s se deberá ates coocer so. Ésto o ocurría e las seccioes abiertas de pequeño espesor, pues e ellas ta sólo era ecesario dar u corte para aislar el elemeto diferecial estudiar sobre él, el equilibrio de fueras, co lo cual se obteía ua ecuació co ua sola icógita: s, se la podía calcular directamete. Cálculo de ua tesió de referecia: so El cálculo de ua tesió de referecia so se obtiee a partir de la siguiete propiedad: la suma de las deformacioes agulares γ s a lo largo de toda la líea media de ua secció cerrada de pequeño espesor es cero s s ds s 0 0 s γ. 0 por la le de Hooke :. ds 0 sustituedo s s por su valor obteido de la ecuació (5.3):. t( s ) V.. Q ( s). Q ( s) + V.. Q ( s). Q ( s). +. ds 0 s s so o ds t( s). t( s)..(. ) 0 0 como : cte, t( s ) cte elimiado : so o so s s ds V.. Q ( s). Q ( s) V.. Q ( s). Q ( s). t( so ) ds 0 t s t s ( ) ( ).(. ) 0 0 despejado fialmete : so so ( ) Q ( s) Q ( s) Q ( s) V... ds.. ds V... ds.. ds t( s) t( s) t( s) t( s) s s s s Q s t( s0 ).(. ) s ds t( s) 0 so (5.33) 3

33 Secció 5.4.4: Tesioes cortates e seccioes cerradas de pequeño espesor Ua ve obteida de esta forma so, sustituedo su valor e la ecuació (5.33) se obtedría el valor de la tesió que se quería calcular: s s s. t( s ) V.. Q ( s). Q ( s) + V.. Q ( s). Q ( s) so 0 + t( s) t( s).(. ) (5.34) CSOS PRTCULRES: Caso Particular 1º: Los ejes, so los Ejes Pricipales de iercia de la secció E éste caso se deberá cumplir: 0, co lo cual las ecuacioes será: so s s Q ( ) ( s) Q s V.. ds V.. ds t( s) t( s) t( s0). t( s0). s ds t( s) 0 (5.35). (. ( ). ( ) so t s0 ) V Q s V Q s s + + (5.36) t( s) t( s). t( s). Caso Particular º: Los ejes, so los Ejes Pricipales de iercia de la secció además ua de las Fueras Cortates es cero Por ejemplo: caso de V 0 so s Q ( s) V.. ds t( s) 0 t( s ). s 0 0 ds t( s) (5.37). (. ( ) so t s0 ) V Q s s + (5.38) t( s) t( s). 33

34 Tema 5: Fleió: Tesioes Caso Particular 3º: Si el eje es de simetría sólo ha V so 0 s V so 0 Fig.5.36 E este caso las ecuacioes ateriores se simplifica, pues se demuestra que e los putos de corte de la secció co el eje la tesió cortate es cero. sí pues tomado dichos putos como referecia, e ellos será: co lo cual la tesió cortate e cualquier otros putos será: so 0 (5.39) V. Q ( s) s (5.40) t( s). siedo Q (s) el mometo estático del área raada respecto del eje Fórmulas aálogas se obtedría si el eje fuese de simetría sólo hubiese V Y fialmete si ambos ejes:,, fuese de simetría hubiese V V, las fórmulas se obtedría por el Pricipio de Superposició de los Efectos, estudiado cada caso por separado sumado los valores obteidos e ambos. 34

35 Secció 5.4.5: Cetro de fueras cortates CENTRO DE FUERZS CORTNTES Sea ua viga co secció abierta de pequeño espesor sea F la Resultate de las fueras eteriores aplicada e el puto de la secció idicada e la Fig. (5.37). La fuera cortate e dicha secció será pues: V F V et F V Rit F Fig.5.37 La distribució de tesioes cortates s e las alas e el alma de la secció, aplicado la ecuació (5.30) será la idicada e la Fig. (5.38.a): s s V s Fig.5.38.a La suma de las tesioes cortates e el alma s dará lugar a ua resultate que será V, las de las alas: s, dará lugar a uas resultates V. (Fig.5.38.b). Llevado la acció de estas resultates de las fueras iteriores: V V, al cetro de gravedad de la secció, dará lugar a ua Resultate: V (la suma de las V será cero, al ser iguales, de la misma direcció, pero de setidos cotrarios), u ometo Resultate: V.h + V.c que produce ua Torsió e la secció (Fig c) V V h V.h + V.c c V Fig.5.38.b. V Fig.5.38.c 35

36 Tema 5: Fleió: Tesioes Este efecto iesperado de la Torsió que produce las tesioes cortates al que ta sesibles so este tipo de seccioes abiertas de pequeño espesor (tiee mu poca rigide a la torsió), se podrá evitar si se aplica las fueras eteriores, e lugar de e el cetro de gravedad de la secció, e u puto C al que llamaremos Cetro de Fueras Cortates. Calculemos a cotiuació la posició del Cetro de Cortates ( C ), para la secció dada. Para ello se situará las fueras eteriores que actúe sobre la viga, de modo que la Resultate de las mismas pase por u puto C sobre el eje a ua distacia d del cetro de gravedad de la secció. (Fig.5.39.a). Para ver el efecto que dicha Resultate provoca e, la trasladamos a dicho puto, dado lugar a ua fuera: F u mometo: F.d. (Fig b) V et F V et F C C F.d d Fig.5.39.a Pero al estar la Resultate de las fueras eteriores F, aplicada ahora e el puto, (Fig b), F, esta fuera sólo, por lo visto ateriormete, provocará uas fueras iteras que daba lugar a la fuera al mometo idicados (Figs.5.40.a b) d Fig.5.39.b b V et F V Rit F V.h + V.c Fig.5.40.a R Fig.5.40.b Si situamos el puto C a ua distacia d del puto, tal que se cosiga que el mometo torsor eterior:, sea igual de setido cotrario al provocado por las fueras iteras:, se habrá coseguido aular éstas, es decir se habrá aulado el efecto de la Torsió e la secció F.d V.h + V.c V. h + V. c d (5.41) F co ello queda localiada la posició del puto C (Cetro de fueras cortates), para este tipo de secció 36

37 Secció 5.4.5: Cetro de fueras cortates Observacioes: Para otros tipos de seccioes, los Cetros de Cortates será: a) Seccioes abiertas de pequeño espesor co dos ejes de simetría C Fig.5.41 b) Seccioes abiertas de pequeño espesor co sólo u eje de simetría C d Fig.5.4.a C Fig.5.4.b C Fig.5.4.c c) Seccioes abiertas de pequeño espesor si ejes de simetría C Fig

38 Tema 5: Fleió: Tesioes 5.5-NTRODUCCÓN L DENSONENTO RESSTENC DE VS ETÁLCS SOLCTDS FLEXÓN ( Normativa DB-SE- ) RESSTENC DE LS SECCONES FLEXÓN PUR: OENTOS FLECTORES 1.-Criterio elástico de dimesioamieto: Segú vimos e la secció 3.7: La resistecia elástica de ua secció se obtedrá cuado e u puto de la misma se alcace la tesió del límite elástico f. Caso de ua secció solicitada por u mometo flector : l mometo flector que produce la tesió del límite elástico f d e los putos más alejados de la líea eutra, se le deomia: el,d represeta la resistecia elástica de ua secció a la fleió.. Calculemos su valor: La distribució de tesioes ormales para este caso será, (ver fig.5.44): X (COPRESÓN) f d el,d X (TRCCÓN) f d Fig el, d X el, d el, d X ma d Wel siedo: W X el, d el :"resistecia elástica de la secció a la fleió " ma :"módulo resistete elástico a la fleió " f el, d Wel. fd (5.4) sí pues para la comprobació a resistecia elástica de ua secció trabajado a Fleió Pura:, se aplicará la fórmula: W f el, d el. d (5.43) (carga maorada).γ : 38

39 Secció 5.5: troducció al dimesioamieto a resistecia de vigas metálicas solicitadas a fleió : mometo flector que solicita a la secció, que se obtiee de los diagramas de esfueros γ : coeficiete de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.) Caso de ua secció solicitada por u mometo flector : De forma similar al caso aterior llegaríamos a los siguietes resultados: La distribució de tesioes ormales para este caso será ahora (ver fij.5.45): X (TRCCÓN) f d el,d X (COPRESÓN) f d Fig el, d X el, d el, d X ma f d el, d Wel. fd Wel siedo: W X el, d el :"resistecia elástica de la secció a la fleió " ma :"módulo resistete elástico a la fleió " (5.44) sí pues para la comprobació a resistecia elástica de ua secció trabajado a Fleió Pura:, se aplicará la fórmula: W f el, d el. d (5.45) (carga maorada).γ : mometo flector que solicita a la secció, que se obtiee de los diagramas de esfueros γ : coeficiete de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.) Observació: Los módulos resistetes elásticos W el, W el, para el caso de series de perfiles ormaliados se puede obteer e las tablas correspodietes a los mismos. E caso de perfiles o ormaliados se obtedrá a partir de sus epresioes respectivas.. Caso de los ometos Flectores: actuado simultáeamete: E este caso la ormativa propoe la siguiete fórmula de cálculo: + 1 el, d el, d (5.46) 39

40 Tema 5: Fleió: Tesioes.-Criterio plástico de dimesioamieto: Segú vimos e la secció 3.7: La resistecia plástica de ua secció se obtedrá cuado e todos los putos de la misma se alcace la tesió del límite elástico f. Caso de ua secció solicitada por u mometo flector : l mometo flector que produce la tesió del límite elástico f d e todos putos de la secció, se le deomia: pl,d represeta la resistecia plástica de ua secció a la fleió. Calculemos su valor: La distribució de tesioes ormales para este caso será, (ver fig.5.46): (COPRESÓN) f d pl,d (TRCCÓN) f d Fig.5.46 Para obteer la resistecia plástica pl,d de la secció se procederá del siguiete modo: pl, d d d 0. d. (como f cte) f.. d siedo: W f... d W. f d pl d / pl, d Wpl. fd (5.47) :"resistecia plástica de la secció a la fleió " pl, d pl.. d :"módulo resistete plástico a la fleió " / sí pues para la comprobació a resistecia plástica de ua secció trabajado a Fleió Pura:, se aplicará la fórmula: W f pl, d pl. d (5.48) (carga maorada).γ : : mometo flector que solicita a la secció, que se obtiee de los diagramas de esfueros γ : coeficiete de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.) 40

41 Secció 5.5: troducció al dimesioamieto a resistecia de vigas metálicas solicitadas a fleió Caso de ua secció solicitada por u mometo flector : De forma similar al caso aterior llegaríamos a los siguietes resultados: La distribució de tesioes ormales para este caso será, (ver fig.5.47): X (TRCCÓN) f d pl,d X (COPRESÓN) f d Fig.5.47 Para obteer la resistecia plástica pl,d de la secció se procederá del siguiete modo: pl, d d d 0. d. (como f cte) f.. d siedo: W f... d W. f d pl d / W f (5.49) pl, d pl. d pl, d pl :"resistecia plástica de la secció a la fleió ".. d:"módulo resistete plástico a la fleió " / sí pues para la comprobació a resistecia plástica de ua secció trabajado a Fleió Pura:, se aplicará la fórmula: W f pl, d pl. d (5.50) (carga maorada).γ : : mometo flector que solicita a la secció, que se obtiee de los diagramas de esfueros γ : coeficiete de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.) Caso de los ometos Flectores: actuado simultáeamete: E este caso la ormativa propoe la siguiete fórmula de cálculo: + 1 pl, d pl, d (5.51) 41

42 Tema 5: Fleió: Tesioes Observació: Los módulos resistetes plásticos W pl, W pl, al igual que los elásticos, se obtedrá: E el caso de series de perfiles ormaliados, e las tablas correspodietes a los mismos e el caso de perfiles o ormaliados, a partir de las epresioes respectivas obteidas para los mismos. Ejemplo 1: Secció rectagular h 3 3 b. h h. b 1 b. h 1 h. b Wel h ma 6 6 h b. h b. h Wpl.. d. ( / ). ( / ).. / 4 4 b b. h h. b Wpl.. d. / ( / ). ( / ) Wel b ma b Ejemplo : Secció circular R W W el el 4 π. R 4 π. R R 4 ma (por simetría) W 3 el 4. R π. R 4 Wpl.. d. ( / ). ( / )... R / 3. π 3 W (por simetria) W pl pl 3 Ejemplo 3: PE-300 W W W W el el pl pl (tablas) 557,1 mm (tablas) 80,5 mm (tablas) 68, 4 mm (tablas) 15, mm

43 Secció 5.5: troducció al dimesioamieto a resistecia de vigas metálicas solicitadas a fleió 3.-Criterio de Vo ises de dimesioamieto: Si aplicásemos el criterio de dimesioamieto de Vo-ises (secció 3.7), llegaríamos al mismo resultado que co el criterio elástico de dimesioamieto. E efecto, la fórmula de Vo ises es: co + 3. f d Caso del ometo Flector: :. ma siedo : 0 sustituedo / W ma el co f d Wel. f d Wel Caso del ometo Flector: :. ma siedo : 0 sustituedo / W ma el co f d Wel. f d Wel Caso de los ometos Flectores: actuado simultáeamete:.. ma ma siedo : / / W W sustituedo ma ma el el co W W W f W f f d el el el. d el. d el, d el, d Observació: La Normativa idica las clases de seccioes a las que acoseja aplicar el cálculo elástico o el plástico. 43

44 Tema 5: Fleió: Tesioes RESSTENC DE LS SECCONES CORTDUR Para el cálculo debido a las Fueras Cortates, la ormativa propoe u cálculo plástico de las mismas supoiedo uas distribucioes de tesioes cortates uiformes. 1.-Criterio plástico de dimesioamieto: El estudio se hará idistitamete para las cortaduras: V o V la deomiaremos e geeral: V la fuera cortate V que produce la tesió cortate del límite elástico d e todos putos de la secció, se le deomia: V pl,d represeta la resistecia plástica de ua secció a la cortadura V. Calculemos su valor: Segú vimos e la secció 3.7, e el criterio de dimesioamieto de Vo ises, la tesió cortate e el límite elástico teía el siguiete valor : d f d 3 (ver ecuació 3.7) Si supoemos, como dijimos ates, ua distribució uiforme de las tesioes cortates a lo largo de la secció, tedremos: d f d / 3 cte V pl,d Fig.5.48 Para obteer la resistecia plástica de la secció a esfueros cortates, se procederá del siguiete modo: pl, d d d v v F 0 V. d (como cte). d ( por la ecuació 3.7) f d. v 3 44

45 Secció 5.5: troducció al dimesioamieto a resistecia de vigas metálicas solicitadas a fleió Quedará pues: V f d (5.5) 3 pl, d v. siedo: V pl, d :"resistecia plástica de la secció a la cortadura V" v :"área de la secció a cosiderar, segú el tipo de la misma ": Seccioes macias de gra espesor: rectagulares, circulares,. v (área de la secció) Perfiles abiertos de pequeño espesor: PE, HEB, UPN,. Co cortadura V : v Área del alma del perfil Co cortadura V : v Área de las alas del perfil Perfiles cerrados de pequeño espesor circulares: v./π Perfiles cerrados de pequeño espesor rectagulares: Co cortadura V : v Área de las almas de los perfiles Co cortadura V : v Área de las alas de los perfiles Ejemplo: t f h d t w V v h.t w V v -.d.t w b 45

46 Tema 5: Fleió: Tesioes sí pues para comprobar la resistecia plástica de ua secció a cortadura: V Vpl, d v. f d 3 (5.53) V (carga maorada) fuera cortate que solicita a la secció, que se obtiee de los diagramas de esfueros γ : coeficiete de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.).-Criterio de Vo ises de dimesioamieto: Si aplicásemos el criterio de dimesioamieto de Vo-ises (secció 3.7), sólo para las Fueras Cortates, llegaríamos al mismo resultado que co el criterio plástico de dimesioamieto visto ateriormete. E efecto, la fórmula de Vo ises es: co + 3. f d siedo V : 0 (sup oiedo distribució uiforme) V sustituedo f V : 3. d v. v f d 3 v RESSTENC DE LS SECCONES FLEXÓN SPLE: OENTOS FLECTORES Y FUERZS CORTNTES Se estudiará los dimesioamietos vistos para los ometos Flectores para las Fueras Cortates separadamete si se cumple que: 1 1 f d... o habrá que hacer mas comprobacioes 3 V Vpl, d v Esto ocurrirá e la maoría de los casos e el caso de que o se cumpliese habría que hacer ua ueva comprobació combiado el ometo flector co la Fuera Cortate (ver Normativa DB-SE-) 46

47 Secció 5.5: troducció al dimesioamieto a resistecia de vigas metálicas solicitadas a fleió RESSTENC DE LS BRRS ETÁLCS FLEXÓN l cosiderar ahora la barra e su cojuto, se tedrá que hacer uevas comprobacioes: 1.- Comprobació del Padeo Lateral debido a la fleió: al teer la viga oas comprimidas, si éstas o preseta ua rigide suficiete, la viga, si o está suficietemete rigidiada lateralmete, podrá flear lateralmete al mismo tiempo que torsioarse. Esto puede ocurrir e vigas metálicas. Fig.5.49.a Fig.5.49.b.-Comprobació de la rigide del alma de ua barra bajo cargas cocetradas 3.-bolladura del alma por cortate Ëstas comprobacioes so objeto de estudio e otras asigaturas. (Ver la Normativa española sobre Estructuras de acero e la edificació: DB-SE-) Para otros materiales eiste las Normativas específicas: caso del Hormigó madera 47

48 Tema 5: Fleió: Tesioes OBSERVCONES: Para efectuar el dimesioamieto completo de ua viga que trabaje a Fleió habrá que realiar, además del dimesioamieto a resistecia que se acaba de ver, la comprobació a rigide: limitació de la flecha máima. (Se verá e el capítulo siguiete) ma Fig