TRIANGULOS OBLICUANGULOS

Transcripción

1 TRIANGULOS OBLICUANGULOS Para la resolución de un triángulo oblicuángulo con ángulos X, Y y Z y lados opuestos de longitudes x, y, z respectivamente, utilizaremos las siguientes fórmulas: Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo (*). Los elementos de un triángulo oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos a los anteriores, a, b yc. (*) Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las técnicas generales de resolución que vamos a ver seguidamente. Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado). Se utilizan tres propiedades: Suma de los ángulos de un triángulo A + B + C = 180º

2 Teorema del seno a 2 = b 2 + c 2-2 b c Cos A Teorema del coseno b 2 = a 2 + c 2-2 a c Cos B c 2 = a 2 + b 2-2 a b Cos C Casos en la resolución de triángulos: CASO DATOS CONOCIDOS INCÓGNITAS I II III IV Los tres lados: a, b, c Un lado y los ángulos adyacentes: a, B, C Dos lados y el ángulo formado: a, b, C Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a, b, A Los tres ángulos A, B, C Dos lados y un ángulo: b, c, A Un lado y dos ángulos: c, A, B Un lado y dos ángulos: c, B, C OBJETIVOS Esta unidad didáctica pretende que el alumnado se familiarice con los distintos casos de resolución y llegue a adquirir la habilidad para saber de antemano si el problema va a tener o no solución y cuantas soluciones puede encontrar. La posibilidad de manipulación de los elementos hasta llegar a la construcción del triángulo facilitará la comprensión de las propiedades que han de cumplir los elementos de un triángulo cualquiera.

3 Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos: 1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105. Calcula los restantes elementos.

4 2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30. Calcula los restantes elementos.

5 3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto sen B > 1. No hay solución sen B = 1 Triángulo rectángulo sen B < 1. Una o dos soluciones Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder: 1. sen B > 1. No hay solución. Resuelve el triángulo de datos: A = 30, a = 3 m y b = 8 m.

6 Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado. 2. sen B = 1. Solución única: triángulo rectángulo Resuelve el triángulo de datos: A = 30, a = 3 m y b = 6 m.

7 3. sen B < 1. Una o dos soluciones Resuelve el triángulo de datos: A = 60, a = 8 m y b = 4 m. Resuelve el triángulo de datos: A = 30, a = 3 m y b = 4 m.

8 4º. Conociendo los tres lados Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

9 EJEMPLO: Encontrar el área del siguiente triángulo. Solución: Puesto que la suma de los ángulos internos es 180 o, tenemos que C = =124. Luego encontramos el lado AC por la ley de los senos: Por lo tanto, el triángulo quedaría así: Ahora calculamos la altura del triángulo: sen 21 = h/4.84 h = 4.84 sen 21 h = Por lo tanto, el área del triángulo es: A = (1/2)(7)(1.73) = 6.06 m 2.

10 Cálculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los separa: b= 200 m. Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 61º 28' y C= 54º 53'. Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los separa: b= 500 m. Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 72º 18' y C= 60º 32'. También se mide el ángulo HAB = 62º 5'

11 Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles Se fija en el plano horizontal dos puntos C y D, y se mide la distancia que los separa: b= 450 m. Se miden con el teodolito los ángulos C y D. C= 68º 11' y D= 80º 40'. También se miden los ángulos BCD = 32º 36' y ADC = 43º 52'.

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13 EJERCICIOS PROPUESTOS: 1) Un topógrafo mide los tres lados de un campo triangular y obtiene 114, 165 y 257 metros. Cuánto mide el mayor ángulo del triángulo? 2) Encontrar en el campo en forma de cuadrilátero que se muestra en la figura de abajo: a) la longitud del cuarto lado b) las medidas de los dos ángulos restantes. 3) Un barco navega 40 km hacia el norte y luego 70 km formando un ángulo de 37 hacia el norte del este. A qué distancia se encuentra del punto de partida?