INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS

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1 INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponden a los espacios académicos en los que el estudiante del Politécnico Los Alpes puede profundizar y reforzar sus conocimientos en diferentes temas de cara al eamen de admisión de la Universidad Nacional y/o Eamen de Estado ICFES Saber Las tutorías tienen un límite estricto de cupos y para la asistencia a este espacio es indispensable la INSCRIPCIÓN PREVIA, además se deben tener en cuenta los siguientes aspectos: 1 Asistir puntualmente a la tutoría Después de 10 minutos, bajo ningún argumento el docente permitirá el ingreso del estudiante Leer la siguiente tabla y cumplir con los prerrequisitos establecidos que en ella se dispongan Asignatura: MATEMÁTICAS Nombre de la Tutoría: OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Tema: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Conceptos que el estudiante debe manejar: OPERACIONES BÁSICA (SUMA, RESTA MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN) DE DIFERENTES CLASES DE NÚMEROS Documento Base: Instrucciones: Realice el problema de la página 7 Escriba el procedimiento y su resultado en el siguiente espacio, y entregue este formato al iniciar la tutoría (si no alcanza, utilice la parte de atrás de la hoj

2 Polinomios y fracciones algebraicas Fracciones algebraicas Fracciones algebraicas Nota: Puede ser conveniente, como con las fracciones ordinarias, hallar el mcm de los denominadores; ello simplifica los cálculos Ejemplo Las fracciones algebraicas son aquellas en las que el numerador y el denominador son polinomios Se operan del mismo modo que las fracciones ordinarias Son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis A Suma La suma de fracciones algebraicas se hace igual que la suma de fracciones numéricas Por tanto: A ( ) C ( ) A ( )? D ( ) 6 C ( )? B ( ) A ( ) A ( ) 6 C ( )? B ( ) 6 ; 6C ( ) B ( ) D ( ) B ( )? D( ) B ( ) B ( ) Así, por ejemplo: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Halla las siguientes sumas y restas de fracciones: ; b) El mínimo común múltiplo de los denominadores es 1, pues: ( 1 1) ( 1) 1 1 Por tanto: ( 1) (1) 1 b) 1 ( 1 ) = 1 > Halla las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas: b) 1 c) 1 ; b) 1 c) B Producto y división El producto y la división de fracciones algebraicas se hace igual que con fracciones numéricas Por tanto: A ( ) C ( ) A ( )? C ( ) A ( ) C A D? ; B ( ) D ( ) B ( )? D ( ) B ( ) : ( ) ( )? ( ) D ( ) B ( )? C ( ) Por ejemplo:? ( ) () 1 ( )( 1) b) 9 ( 9) ( ) ( )( )( ) ( ) : ( )( ) ( )( ) 6

3 Polinomios y fracciones algebraicas Fracciones algebraicas Ejemplo Halla las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: 1? ; b) : 1? ( 1 ) b) : ( ) ( )( 1) ( )( ) ( ) ( ) 1 > Halla las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: 1? 1 b) 1? c) d) : 6 b) 6 c) 1 d) ( 1 ) 1 1 C Simplificación de fracciones algebraicas La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes La clave está en el factor común Para simplificar al máimo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador Por ejemplo, las epresiones (1) y () obtenidas antes se deberían haber simplificado Así: (1) 1 1 ( )( 1 ) 1 1 () ( ) 1 ( )( 1) + 1 Errores frecuentes Está MAL: ; 1 sigue MAL: 1 Está BIEN: ( 1) 1 Ejemplo Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: ( ; b) ; c) )( ) ( 1 )?( ) b) es irreducible ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) c) 1? 1 ( 1)( ) ( 1 )( ) ( ) 1 ( 1)( ) ( 1)( ) > Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 1 ; b) 6 1 ; c) ( ) ( ) 1 1 ( ) 6 R: Irreducible; b) ( 1) ; c) ( ) 7

4 Polinomios y fracciones algebraicas Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Descomposicióndeunafracción racional en fracciones simples Cuando el denominador de una fracción algebraica puede descomponerse en factores, la fracción se puede escribir como suma o diferencia de otras fracciones más sencillas Este proceso se conoce con el nombre de descomposición en fracciones simples Estudiaremos m 1n los casos más fáciles y frecuentes En concreto, la fracción F( ) a 1b 1c Caso 1: El denominador es un polinomio de º grado con dos raíces reales simples Esto es, la ecuación a 1 b 1 c 0 tiene dos soluciones distintas, 1, La descomposición que se hace es: m 1n a 1b 1c a 1, ( ) ( ) 1 Más datos Si transformamos el segundo miembro de la igualdad: 1 A( 1 ) 1 B( 1) 1 (A 1 B) 1 (A B) e igualamos los coeficientes semejantes, se obtiene el sistema A1B AB cuya solución es la misma: A /, B 1/ Más datos Si la ecuación a 1 b 1 c 0 no tiene m 1n raíces reales, la fracción a 1b 1c no se puede descomponer los valores de A y B, que son números, se determinan por el llamado método de identificación de coeficientes Lo vemos con un ejemplo: F( ) 1 1 Como las soluciones de 1 0 son 1 y, la descomposición que se hace es: A ( 1) 1B ( 1) 1 ( 1)( 1) La fracción dada y la obtenida al sumar las dos fracciones simples son iguales Como sus denominadores son iguales, también deben serlo sus numeradores; en consecuencia: A( 1) 1 B( 1) Si en esta igualdad damos a dos valores se obtiene un sistema que nos permite calcular A y B Los valores más cómodos son 1 y (las raíces halladas) Se tiene: si 1: A A / si : B B 1/ / 1/ Por tanto: Caso : El denominador es un polinomio de º grado con una raíz real doble Esto es, la ecuación a 1 b 1 c 0 tiene una solución doble: 1 La descomposición que se hace es: m 1n 1 a 1b 1c a ( 1 ) ( 1 ) Los valores de A y B, que son números, se determinan como en el ejemplo anterior Por ejemplo, para descomponer la fracción algebraica F ( ) 619 Como la ecuación tiene la solución doble, la descomposición que se hace es: + A 1 B ( ) 619 ( ) ( ) Como antes, la fracción dada y la obtenida al sumar las dos fracciones simples son iguales En consecuencia: A 1 B( ) Si en esta igualdad damos a dos valores se obtiene un sistema que nos permite calcular A y B Los valores más cómodos son y 0 (uno de ellos es la raíz del denominador) Si en esta igualdad damos a dos valores se obtiene un sistema que nos permite calcular A y B Los valores más cómodos son = y = 0 (uno de ellos es la raíz del denominador) Se tiene: si : A A si 0: A B B Por tanto: 6 19 ( ) 1 8

5 Polinomios y fracciones algebraicas 6 Epresiones algebraicas con raíces 6 Epresiones algebraicas con raíces Para operar con estas epresiones se siguen los métodos ya estudiados con radicales, pudiendo plantearse la necesidad de etraer o introducir factores dentro de la raíz o la conveniencia de la racionalización de la epresión en cuestión Veamos algunos ejemplos Dada la epresión E(), podemos plantearnos hallar su valor numérico para y 9, obteniéndose: E() 9 9 ; E(9) b) Si F(), las operaciones E() 1 F() o E()? F() valdrían: 1 E() 1 F() 1 1 ( )( 1 )1( )() ()( 1 ) ( ) ()( 1 ) ()( 1 ) E()? F() 1 ( )( ) 1 ()( 1 ) ( 1) Ejemplo 6 Racionaliza las siguientes epresiones: 1 ; b) 1 ; 1 b) (1 )( 1) 1 1 ( )( 1) 1 1 = ( 1 1) ( 1)( 1 1) > Epresa como una sola raíz: ; b) ; c) 1 1 ; d) R: ; b 1 ; c) ; d) () 9