Capítulo. Números racionales y razonamiento proporcional. Multiplicación y división de números racionales

Transcripción

1 Capítulo 6 Números racionales y razonamiento proporcional Multiplicación y división de números racionales

2 Multiplicación de números racionales Multiplicación como una suma repetida

3 Multiplicación de números racionales Multiplicación como una suma repetida = = 8 3 = 2 2 3

4 Multiplicación de números racionales Si a es un entero, a 0 y c d número racional, entonces es cualquier a c d = a 1 c d = a c d

5 Multiplicación de números racionales Multiplicación como parte de un área = del entero de 3 5

6 Multiplicación de números racionales Multiplicación como parte de un área = del entero de

7 Multiplicación de números racionales Si son números racionales entonces,

8 Ejemplos Hallar la expresión mínima de los productos. (a) (b)

9 Ejemplos (cont.) (c) = 3 5 = 35 Escoges el signo del producto con las reglas de signo = 6 5 Profa. Yuitza T. Humarán

10 Propiedades de la multiplicación de números racionales Elemento de identidad multiplicativa El número 1 es el número único tal que para cada número racional,

11 Propiedades de la multiplicación de números racionales Inverso multiplicativo (recíproco) Para cualquier número racional, existe un número racional único,, tal que

12 Propiedades de la multiplicación de números racionales Propiedad de la igualdad de la multiplicación Si son números racionales tal que, entonces

13 Ejemplo 3 4 partes de los estudiantes que tomaron un examen lo aprobaron. En total aprobaron 21 estudiantes. Cuántos estudiantes tomaron el examen? Solución: Sea x la cantidad de estudiantes que tomaron el examen entonces sabemos que 3 4 x = x = (1)x = x = 28

14 Propiedades de la multiplicación de números racionales Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma Si son números racionales, entonces

15 Multiplicación con números mixtos Con fracciones impropias = = = = Uso la propiedad distributiva para determinar el producto de = = (3)4 + (3) 2 3 = = 14

16 División de números racionales Cuántas mitades hay en 3 enteros?

17 División de números racionales Cuántos octavos hay en ¾ partes de un entero?

18 Cuántas barras de tamaño 3 4 hay en una longitud igual a 7 8? Hay 1 barra de longitud ¾ en la longitud de tamaño 7 8, pero hay un sobrante. Qué fracción de una segunda barra de longitud ¾ sobra?

19 División de números racionales Como la barra de longitud ¾ se divide en 6 partes equitativas, la parte que sobra es equivalente a 1 6 parte de una segunda barra del mismo tamaño. Por lo tanto:

20 Ejemplo Usar la recta numérica para determinar: ? = 5 6 Como la longitud ⅓ se divide en 2 partes equitativas, la parte que sobra es equivalente a la 1 2 de una tercera barra del mismo tamaño. Por lo tanto: = 5 2 = 2 1 2

21 Definición de división de números racionales Si son números racionales y NO es igual a cero, entonces si y solo si es un número racional único tal Ejemplo: Demostrar que la siguiente aseveración es cierta = 7 2 Usando multiplicación tenemos que = 7 5

22 División de números racionales Si son números racionales y no es igual a cero, entonces

23 Ejemplo Una estación de radio provee 72 minutos de anuncios públicos por cada 24 horas de transmisión. a. Qué parte del día se separa para anuncios de servicios públicos? Existen = 1440 minutos en el día. Por lo tanto, la fracción del día es = = 1 20

24 Ejemplo (cont.) b. Cuántos anuncios públicos de minutos se permiten en 72 minutes? = = = = 96 anuncios

25 Una justificación para el algoritmo de división La definición de división de números racionales nos asegura que el cociente de dos números racionales existe a b c d = y si y sólo si c d y = a b La propiedad del inverso multiplicativo y la de la igualdad de la multiplicación, nos permiten despejar para hallar el valor de y. d c c d y = a b d 1 y = a c b d y = a c b d c a Por lo tanto: b c d = a b d c

26 Ejemplo Hay yardas de material están disponibles para hacer toallas. Cada toalla requiere 5 8 de material. a. Cuántas toallas se pueden preparar del material disponible? = = = = = Sólo nos interesa la parte entera del resultado. Se pueden preparar 56 toallas.

27 Ejemplo (continuación) b. Cuánto material sobra? Como cada by toalla necesita 5 8 y sobró material para preparar 4 5 de material de otra toalla, la cantidad de material sobrante se calcula 4 5 de 5 8 = = = 1 2 yarda

28 Estime los productos o cocientes a. Si ignoramos las partes fraccionarias, 3 7 = 21. El producto es más grande que 21. Un sobre estimado se consigue con el producto 4 8 = 32. El producto exacto estára entre 21 y 32. b. Si ignoramos las partes fraccionarias, 24 4 = 6. El cociente es más grande que 6. Otro estimado se consigue con dividiendo 25 5 = 5. El cociente exacto estára entre 5 y 6.

29 Extendiendo la noción de exponentes Donde a es cualquier número racional y m cualquier número natural. Donde a 0 y m y n son enteros. 3. Para a 0.

30 Extendiendo la noción de exponentes Donde a es cualquier número racional diferente de 0 y m y n son enteros. Donde a es cualquier número racional diferente de 0 y m y n son enteros. Para a 0.

31 Ejemplos a = = b = = 10 4 c = 9 2

32 Extendiendo la noción de exponentes Donde a es cualquier número racional b diferente de 0 y m es cualquier entero. Donde a y b son números racionales diferentes de 0 y m es cualquier entero. Donde a es un número racional b diferente de 0 y m es cualquier entero.

33 Ejemplos a. b = = 2 5 c = =

34 Ejemplos Escribir cada uno en la forma más simple. Su respuesta final debe tener exponentes positivos. a = = = 3 2 = = 1 9 b.

35 Ejemplos (cont.) c = = = = 34 d.