Implementación y diseño de mecanismos

Transcripción

1 Implemetació y dieño de mecaimo Ua de iño cuarteado E el capítulo 3 del Libro de lo Reye del Atiguo Tetameto e relata el coocido como Juicio del Rey Salomó. Do protituta e preeta ate el rey. Ua de ella explica que amba comparte ua caa, e compañía de adie má, y que amba ha dado recietemete a luz. Cotiúa explicado que el hijo de la otra mujer ha fallecido y que, mietra dormía, la otra mujer le ha arrebatado a u hijo. Por ello, e preeta ate el rey para pedirle que le devuelva a u hijo. La otra mujer iega lo cargo, aegura que el bebé fallecido e de la acuadora y afirma que el bebé que ha obrevivido e uyo. Etoce el rey ordea que el bebé ea partido por la mitad co ua epada y cada parte etregada a ua madre. E ee mometo, la madre acuada implora al rey que, ate que muerto, prefiere ver a u bebé e mao de la madre acuadora. Éta, por el cotrario, acepta la partició del bebé. La deciió fial del rey e etregar el bebé a la madre acuada, aparetemete baádoe e la preució de que la autética madre preferiría que u hijo viviera auque fuera co otra madre. Eta hitoria permite ilutrar e qué coite el dieño de mecaimo: e cotruir u juego la olució del cual coduzca a u reultado previamete eleccioado y pretedido. Ete reultado eleccioado e el reultado a implemetar (obteer) mediate el juego. E el juicio, el reultado que pretede obteer el rey e etregar el bebé a la autética madre. El problema e que el rey o dipoe de la iformació uficiete para tomar eta deciió: e iformació privada quié ea la madre autética. U mecaimo (tambié llamado forma de juego o game form) coite e la epecificació de etrategia para cada jugador (lo meaje mediate lo que éto pude tramitir u iformació privada) juto co ua regla que determie qué reultado produce cada poible combiació de etrategia de lo jugadore. U mecaimo o e u juego. Pero lo jugadore e upoe dotado de preferecia obre lo reultado, de forma que cuado e combia el mecaimo co ea preferecia lo que e obtiee í e u juego. El iguiete pao coite e ecoger qué cocepto de olució de u juego e adopta. Tre de lo cocepto de referecia o el equilibrio e etrategia domiate (equilibrio domiate), el equilibrio de Nah y el equilibrio bayeiao. Ecogido u cocepto de olució, ya puede defiire e qué coite la implemetació del reultado deeado mediate el cocepto de olució ecogido: el reultado deeado e dice que e implemetable mediate el mecaimo dieñado e térmio del cocepto de olució que e haya adoptado i ee reultado e el úico que produce el cocepto de olució e el juego obteido cuado e combia el mecaimo propueto co la preferecia que tega lo jugadore obre lo reultado. El dieño de mecaimo va e direcció opueta al aálii de u juego. Cuado e aaliza u juego, e parte de la etrategia de que dipoe lo jugadore y e trata de ivetigar qué tipo de reultado puede razoable o jutificadamete obteere e el juego. Cuado e dieña u mecaimo ocurre lo cotrario: e parte de u reultado y e trata de etructurar u mecaimo aigado etrategia a lo jugadore para que u deciioe produzca el reultado deeado. 1

2 U mecaimo para el juicio del Rey Salomó El juicio decrito ateriormete pretede, aparetemete, evideciar la abiduría del rey. Si embargo, el rey coiguió implemetar el reultado deeado por fortua, o por u dieño adecuado del mecaimo: el rey fue, má que abio, afortuado. La razó de u fortua e que la madre acuadora (la madre fala) o jugó ua mejor repueta a la etrategia eguida por la madre acuada (la madre autética). Qué habría hecho el rey i la madre acuadora hubiee replicado la etrategia que, a primera vita, ecogería ua madre autética? Eto e, qué habría decidido el rey i la acuadora tambié hubiee implorado que, ate que arrebatarle la vida, el iño fuee etregado a la otra madre? La Fig. 1 muetra u juego que í habría permitido implemetar el reultado deeado (que el bebé fuee etregado a u madre) empleado como cocepto de olució el equilibrio perfecto e ubjuego. El mecaimo e el que e baa el juego e el iguiete. La aturaleza (jugador 0) determia quié e la madre demadate: co probabilidad 0 < p < 1, la madre demadate e la madre fala (jugador 1) y, por tato, el bebé etá iicialmete e mao de la madre verdadera; y co probabilidad 1 p, la madre demadate e la madre verdadera (jugador 2) y, por tato, el bebé etá iicialmete e mao de la madre fala. Ua vez que la aturaleza etablece quié e la madre demadate, éta decide i maifetar que ella o e la madre (acció ) o afirmar que í lo e (acció ). Si la declaració de la madre demadate e o oy la madre, el juego acaba. Si la declaració e oy la madre etoce la otra madre decide i oteer que e la madre o o. 1 = F x 2 1 p 0 r 1 p 2 = V V F y Fig. 1. U juego de Bimore (2008) Lo reultado del mecaimo o lo iguiete. Si el bebé etá iicialmete e mao de la madre verdadera (lo que hace que la demadate ea la madre fala y o ecotremo e la parte alta de la Fig. 1) etoce el bebé queda e mao de la madre verdadera a meo que éta diga que el bebé o e uyo y la madre demadate diga que í lo e. Ademá, i amba declara er la madre, cada ua pagará ua multa. Por otro lado, i el bebé etá iicialmete e mao de la madre fala (lo que hace que la demadate ea la madre verdadera) etoce el bebé eguirá e mao de la madre fala a meo que éta diga que el bebé o e uyo y la madre demadate diga que í lo e. Como e el cao aterior, i amba declara er la madre, cada ua pagará ua multa. Cuado e añada pago al mecaimo e obtedrá u juego. 2

3 E la Fig. 1, lo pago e ha etablecido upoiedo que el valor de teer el bebé para la madre verdadera (jugador 2) e 3 y que el valor de teerlo para la madre fala (jugador 1) e 1. El importe de la multa (que e impoe i la do declara er la madre) e de 2 para amba. Por último, o recibir el bebé i aumir la multa implica u pago de 0. Q1. Verifica que lo pago de la Fig. 1 o correcto. E particular, por qué el vector de pago cuado ambo jugadore declara er la madre o e el mimo e la parte uperior del juego (vector ( 2, 1)) que e la parte iferior (vector ( 1, 2))? Reolviedo el juego por iducció hacia atrá, tomemo el udo de deciió x. La mejor repueta e ete udo para el jugador 2 (la madre verdadera) e. Dada la elecció de e x, la mejor repueta del jugador 1 e el udo que precede imediatamete a x e. Paado al udo de deciió y, la mejor repueta e ete udo para el jugador 1 (la madre fala) e. Dada la elecció de e y, la mejor repueta del jugador 2 e el udo juto ate de y e. Por tato, decida lo que decida la aturaleza, el reultado iempre e el mimo: la madre fala iega er la madre y la madre autética afirma erlo. Mediate el equilibrio perfecto e ubjuego, el mecaimo que da lugar al juego de la Fig. 1 ha permitido implemetar el reultado deeado: que el bebé iempre vaya a parar a mao de la madre verdadera (vector de pago (0, 3)). Q2. Repreeta el juego de la Fig. 1 como juego imultáeo (e forma matricial) y comprueba que el úico equilibrio de Nah co etrategia pura e aquél e el que la madre fala iempre ecoge y la madre verdadera iempre ecoge. Por tato, el mecaimo ubyacete a ee juego imultáeo tambié habría permitido implemetar (mediate el cocepto de olució del equilibrio de Nah co etrategia pura) el reultado de etregar el bebé a la madre autética. Ua de profeore examiado Como egudo ejemplo del problema de la implemetació y del dieño de mecaimo, coideremo la iguiete hitoria, baada e u ejemplo que Eric Maki preeta e (dicuro de aceptació del Premio Nobel de Ecoomía de 2007). U profeor puede er de 4 tipo: x = exigete, y = depreocupado, z = bromita y v = motivador. Lo etudiate del curo que imparte el profeor tiee preferecia obre el tipo de profeor y, obre la bae de eta preferecia, evalúa al profeor e ua ecueta docete. Para implificar, upogamo que ólo hay do etudiate: él y ella (tambié podria aumire que, para algú k > 1, hay 2k etudiate que la preferecia de él y 2k etudiate co la preferecia de ella). Tato él como ella puede er de do tipo: del tipo itereado t i por la aigatura o del tipo o itereado t. De la cuatro combiacioe poible de eto do tipo, upogamo que ólo do o poible (o tiee probabilidad poitiva): w = (t i, t i ) y w' = (t, t ). Podemo idetificar cada combiació poible de tipo co u etado del mudo: e el etado w, ambo etudiate etá itereado e la aigatura; e el etado w', iguo etá itereado. La preferecia de lo etudiate e cada etado o la iguiete. Etado w Orde de preferecia de él: x y z v De ella: v y z x Etado w' Orde de preferecia de él: v x z y De ella: y x z v 3

4 E la ecueta docete, lo etudiate ha de putuar al profeor, de 1 a 4, abiedo el tipo del profeor. Cada etudiate da 4 puto al profeor i u tipo e el má preferido; 3 i u tipo e el egudo má preferido; 2 i e el tercero; y 1 i e el meo preferido (por tato, i el tipo del profeor ocupa la poició k e el orde de preferecia del etudiate, éte le da 5 k puto). La putuació del profeor e cada etado e la uma de lo puto que recibe de él y de ella e ee etado. El objetivo (el reultado deeado) del profeor e ecoger el tipo que, e cada etado, le dé la putuació má alta poible. El profeor abe cuále o la preferecia de él y de ella e cada etado, pero igora e qué etado etá (el tipo de etudiate e iformació privada). Dado que el profeor abe qué preferecia tedría lo etudiate e cada etado, abe que e el etado w el tipo de profeor que recibe máxima putuació e y. E w, el tipo y obtedría 6 puto; x i v obtedría 5 cada uo; y z obtedría 4. E w', el tipo mejor putuado ería x. Por tato, el profeor deea er de tipo y (depreocupado) cuado el etado del mudo e w (la aigatura iterea a lo etudiate) y er de tipo x (exigete) cuado el etado del mudo e w' (la aigatura o iterea a lo etudiate). Su deeo e, pue, implemetar y e w i x e w'. El problema del profeor coite e dieñar u mecaimo mediate el cual la deciioe de lo etudiate geere el reultado pretedido por el profeor: obteer máxima putuació. U mecaimo e llama directo cuado, e el juego que iduce el mecaimo, la etrategia de cada jugador coite e revelar u tipo. E u mecaimo directo, el profeor pregutaría a u etudiate i le iterea la aigatura o o. Si la revelació del etudiate ecogido e icera, cuado el etado del mudo e w, el profeor lo abrá y ecogerá er del tipo y; y cuado el etado e w', el profeor tambié lo abrá y ecogerá er del tipo x. Y problema reuelto. Por degracia para el profeor, ete mecaimo o icetiva a decir la verdad (técicamete, o e compatible co lo icetivo) cuado lo etudiate abe cuál e el propóito del profeor (er y e w y er x e w'). Para comprobar que ambo etudiate tedría icetivo a metir, upogamo que el profeor decide pregutarle a él. Si el etado e w, él abe que afirmado Me iterea la aigatura el profeor aumirá que el etado e w y abe que el profeor ecogerá er y. E cambio, él abe que diciedo No me iterea la aigatura, el profeor, aumiedo que el etado e w', ecogerá er x. Dado que, e el etado w, él prefiere que el profeor ea del tipo x a que ea del tipo y, él tiee icetivo a metir e el etado w diciedo que etá e el w'. Si el etado e w', por el mimo razoamieto que e el cao aterior, él abe que revelado la verdad (diciedo No me iterea ), el profeor erá del tipo x y que mitiedo (diciedo Me iterea ), el profeor erá del tipo y. Pueto que, e el etado w', él prefiere que el profeor ea del tipo x a que ea del tipo y, él o tiee, e el etado w', icetivo a metir. Por tato, e w' dirá que etá e w'. Pero etoce el profeor e efreta co ua dificultad: ea cual ea el etado del mudo, a él le coviee iempre decir que el etado del mudo e w'. Cocluió: lo que diga él o e fiable. E ee cao, el profeor puede dirigire a ella y pregutarle qué le parece la aigatura. 4

5 Q3. Verifica que, e ambo etado, a ella le coviee decir que el etado e w. E vita de lo aterior, la opiió que expree ella tampoco e fiable para el profeor. La cocluió fial e que el mecaimo directo coitete e pregutar a lo etudiate o permite implemetar (cuado lo etudiate ecoge mejore repueta) el reultado deeado por el profeor. La Fig. 2 muetra u mecaimo que í que lo coeguiría cuado el cocepto de olució ecogido e el de equilibrio de Nah. él a b c y v ella d z x E ete mecaimo, el profeor le dice a él que ecoga etre a o b i, a ella, que ecoga etre c i d. Lo que repreete a, b, c i d e irrelevate: a y c puede coitir e levatar la mao derecha y b y d e levatar la izquierda; o e ecribir la letra a, b, c y d e u papel lo que ea. Por tato, {a, b} e el cojuto de meaje de él y {c, d} el de ella. Fig. 2. U mecaimo Aparte de idicar el cojuto de meaje (o etrategia) de cada jugador, el mecaimo debe etablecer qué reultado produce cada combiació de meaje. El cojuto de combiacioe de meaje viee dado por el producto carteiao {a, b} {c, d}. Lo elemeto de ete cojuto o (a, c), (a, d), (b, c) y (b, d). Cada uo de eto elemeto puede aociare co ua cailla de la matriz de la Fig. 2. La fució de reultado r completa la decripció del mecaimo aociado u reultado co cada elemeto de {a, b} {c, d}. E ete ejemplo, el cojuto de reultado e el cojuto {x, y, z, v} de tipo del profeor. El mecaimo de la Fig. 2 e tal que r(a, c) = y, r(a, d) = z, r(b, c) = v i r(b, d) = x. Por ejemplo, r(a, c) = y igifica que i él ecoge a y ella ecoge c etoce el profeor decide er del tipo y. El mecaimo de la Fig. 2 puede iterpretare del modo iguiete. Por u lado, el profeor le da a él el poder de determiar i el profeor ecoge er u tipo del cojuto {y, z} o i ecoge er u tipo del cojuto {v, x}: ecogiedo a, él fuerza al profeor a er y o z; ecogiedo b, él hace que el profeor e limite a er v o x. Por otro lado, el profeor le da a ella el el poder de determiar i el profeor ecoge er u tipo del cojuto {y, v} (lo que ella coigue eleccioado c) o i ecoge er u tipo del cojuto {z, x} (lo que ella coigue eleccioado d). El mecaimo de la Fig. 2 e traforma e u juego cuado añadimo la preferecia que tiee lo etudiate obre lo reultado. Para viualizar co má claridad el juego reultate, tomemo la iguiete repreetacioe umérica de la preferecia de lo etudiate: la utilidad del reultado má preferido e 3, la del egudo má preferido 2, la del tercero 1 y la del meo preferido, 0 (la fució de utilidad ería u(α) = 4 k i el reultado α ocupa la poició k e el orde de preferecia repreetado). Por ejemplo, la fució de utilidad de él e el etado w ería u(x) = 3, u(y) = 2, u(z) = 1 y u(v) = 0. La Fig. 3 muetra el juego que juega lo etudiate e cada etado, e dode el primer úmero e lo vectore de pago repreeta la utilidad (o pago) de él y el egudo repreeta el de ella. 5

6 c ella d c ella d él a b él a b etado w Fig. 3 etado w' El juego de la Fig. 3 e u juego bayeiao trivial porque cada etudiate abe cuál e el tipo del otro etudiate. Ello permite reolver todo el juego reolviedo cada matriz por eparado. Si el etado e w, ambo etudiate lo abe y abe que el mecaimo del profeor iduce el juego de la matriz izquierda e la Fig. 3. El úico equilibrio de Nah de ete juego (co etrategia pura o mixta) é [a, c], pueto que c e ua etrategia fuertemete domiate para ella y, dada c, la mejor repueta de él e a. Si el etado e w', ambo etudiate lo abe y abe que el mecaimo del profeor iduce el juego de la matriz derecha e la Fig. 3. El úico equilibrio de Nah de ete juego (co etrategia pura o mixta) é [b, d], pueto que b e ua etrategia fuertemete domiate para él y, dada b, la mejor repueta de ella e d. Como coecuecia, i el etado e w, lo etudiate juega [a, c], que produce el reultado y deeado por el profeor cuado el etado e w. Y i el etado e w', lo etudiate juega [b, d], que produce el reultado x deeado por el profeor cuado el etado e w'. Cocluió: el mecaimo de la Fig. 2 permite implemetar (mediate equilibrio de Nah) el reultado deeado por el profeor: er y e w y er x e w'. Referecia Bimore, Ke (2008): La teoría de juego. Ua breve itroducció. Aliaza Editorial: Madrid. 6