(3.b) MODELOS EXPONENCIALES de COLAS

Transcripción

1 (.b) MODEOS EXOEIAES de OAS ITRODUIÓ A OS ROESOS DE AIMIETO Y MUERTE. Ecuacioe de euilibrio. odició de E.E. AIAIÓ DE AS EUAIOES DE EQUIIBRIO: a cola M/M/. Ilutració del comportamieto. MODEOS DE OAS EXOEIAES. Trabajo de ervidore e paralelo. ao importate: M/M/ M/M// M/M//./. ropiedade. ogitude media y Tiempo de permaecia. I.O.E. Diplomatura de Etadítica TEORIA DE OAS U

2 TIEMO DE VIDA ODIIOA ROIEDAD. ao expoecial. Auecia de memoria τ i- τ i θ I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

3 Máuia Máuia τ τ τ 5 5 alm (94)

4 ROESOS DE AIMIETO Y MUERTE "acimieto" idica llegada al S.E "Muerte" idica alida del S.E. uede ocurrir ue el tiempo etre llegada τ ea v.a. co ditribució depediete del etado del itema. τ i τ i τ i τ ik τ ik t. Si () t el tiempo etre llegada τ ~ exp. de parámetro.. Si () t el tiempo de ervicio ~exp. De parámetro Sólo ua llegada o ua alida al/del itema puede dare e cada itate t.. I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

5 Diagrama de taa de traició Muetra la poible traicioe permitida e el etado del itema e u itate. Taa del proceo de llegada al S.E. - - Taa del proceo de ervicio e el S.E. a ditribució de probabilidade del etado del itema (t) e régime etacioario e relativamete ituitivo de deducir a partir del diagrama de taa de traició.

6 - - ( ) ( ) ( ) ( ) M M M M emergete Taa icidete Taa Etado Hay tata ecuacioe como valore pueda preetar (t) por tato i e el S.E. ólo puede haber como máximo cliete habrá ecuacioe.

7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M M Reolució del itema de ecuacioe

8 U I.O.E. Diplomatura de Etadítica U I.O.E. Diplomatura de Etadítica ; < a probabilidade de etado etacioario ueda defiida i: E cao de ue el S.E. pueda coteer ólo cliete como máximo el umatorio e extiede de a y iempre erá fiito.

9 AIAIÓ DE AS EUAIOES DE EQUIIBRIO: el modelo M/M/ Hipótei del modelo: Tiempo etre llegada i.i.d. de ley expoecial co parámetro. Tiempo de ervicio i.i.d. egú ua ley expoecial de parámetro U úico ervidor. -.

10 Hay régime etacioario i el factor de carga del S.E. e < Dado ue < y por tato ( )

11 EJEMO DE A EVOUIÓ DE UA OA M/M/ OMORTAMIETO: uede preetare do ituacioe:. E promedio la afluecia de cliete al S.E. obrepaa la capacidad de trabajo del Sitema de Servicio: (t) (t) RESETA UA TEDEIA REIETE t. El Sitema de Servicio tiee uficiete capacidad de trabajo frete a la afluecia de cliete: (t) < (t) puede crecer e ocaioe pero el S.E. iempre retora al etado (vacío) t I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

12 a eperaza matemática de la variable aleatoria etado del itema ( < ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d a eperaza matemática de la variable aleatoria logitud de cola e u itema de epera M/M/ ( < ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

13 UTIIZAIÓ DE AS FÓRMUAS DE ITTE I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

14 Ditribució de la v.a. tiempo de permaecia e el S.E. de u cliete: w ~ exp. E[w]W

15 TIEMO DE VIDA ODIIOA ROIEDAD. ao expoecial. Auecia de memoria τ i- τ i θ I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

16 TRABAJO DE SERVIDORES E ARAEO a variable aleatoria U defiida como el míimo de etre variable aleatoria idepediete y expoeciale T T de parámetro repectivo α α igue ua ley expoecial de parámetro α i α i. e decir U Mi{ T T } F U y por tato la fució de ditribució de U () t ( { U t} ) ( { U > t} ) ( { T > t T > t} ) ( { T > t} ) ( { T > t} ) e α t e α t e t α i i e α t I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

17 a iterpretació ue puede dare de la propiedad e el cao del tiempo etre llegada e ue i la població eta cotituida para diferete clae de cliete ue llega cada ua al itema de epera egú ua ley expoecial viculada a la clae etoce el tiempo etre la llegada de cliete cualeuiera igue ua ley expoecial o el ue e euivalete la població puede tratare dede el puto de vita de la ditribució etre llegada al itema de epera como i fuera homogéea. Fuete α Fuete α α α α Fuete α I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

18 Si hay ervidore el tiempo ue reta hata la próxima fializació de ervicio o depede del itate i del ervidor ue ha completado el último ervicio y igue ua ditribució expoecial lo ue permite tratar itema de epera co > ervidore como i tuviera u úico ervidor pero ue trabaja ta rápido como lo juto. Supogamo fuete expoeciale y ea r r lo itervalo de tiempo tracurrido dede el último uceo para la fuete repectivamete. oideremo variable aleatoria tiempo cotado dede el itate actual hata el próximo uceo para cada ua de la fuete. or la propiedad de auecia de memoria la variable aleatoria tambié e ditribuye exp. co parámetro α α α r r el tiempo cotado a partir del itate actual hata ue algú otro uceo proviiete de la fuete e produzca e ditribuye expoecialmete co parámetro α α i i. r Itate actual I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

19 Tiempo etre llegada τ i.i.d. de ley exp. co parámetro. > ervidore iguale. Tiempo de ervicio x i.i.d. egú ua ley exp. de parámetro. MODEO M/M/ -

20 U I.O.E. Diplomatura de Etadítica U I.O.E. Diplomatura de Etadítica Si el factor de carga del S.E. <

21 U I.O.E. Diplomatura de Etadítica U I.O.E. Diplomatura de Etadítica ( ) ( ) ( )... W W Reume del cálculo de ua cola M/M/ (e cooce ) W W ) (

22 U I.O.E. Diplomatura de Etadítica U I.O.E. Diplomatura de Etadítica { } ( ) Fórmula -Erlag Ditribució de oio

23 El modelo M/M// Sitema de epera co limitació de capacidad ue preupoe:. Tiempo etre llegada τ i.i.d. exp. de parámetro.. Tiempo de ervicio x i.i.d. exp. de parámetro.. U cojuto de ervidore e paralelo >. 4. El úmero de cliete al itema de epera e. El úmero máximo de cliete (t) preete e el S.E. debe er Si el S.E. etá lleo al llegar u cliete éte e pierde: - Siempre alcazará régime etacioario. I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

24 U I.O.E. Diplomatura de Etadítica i o ue facilita el etado del itema e régime etacioario: ;. Si o e demaiado alto e acoejable utilizar la fórmula geerale para proceo de acimieto y muerte e euilibrio.

25 U I.O.E. Diplomatura de Etadítica ( ) oblació Sitema de Epera Si (t) < Si (t)

26 U I.O.E. Diplomatura de Etadítica a eperaza matemática de la variable aleatoria logitud de cola ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E la fórmula preetada e ha upueto. a eperaza matemática de la variable aleatoria etado del itema. W W Aplicació de la fórmula de ittle para el calculo de W y W. [ ] E W W [ ] EW W

27 MODEO M/M//./ S.E. co població fiita () ue preupoe: Tiempo de permaecia e la població de lo cliete i.i.d egú ley exp. de parámetro Tiempo de ervicio por ervidor i.i.d. egú ley exp. de parámetro. U cojuto de ervidore e paralelo >. Ua població fiita de cliete limitado al valor. ara implificar e upoe >. E u S.E. cerrado: Hay iempre cliete (poblaciós.e.) Tra alir del S.E. el cliete e reitegra e la oblació oblació Sitema de Epera

28 EJEMO: TAER DE REARAIOES E u taller de reparació de motore hay mecáico. Atiede u cojuto de motore de ua plata. ada mecáico repara u motor e u tiempo x ~ exp. E[x]día. Tra reparare u motor e pueto e ervicio imediatamete. El tiempo etre avería de u motor τ ~ exp. E[τ] día. Motore oblació fucioado TAER Sitema de Epera

29 M/M//./: DIAGRAMA DE TASAS (-) (-) ( ) ( ) i ( ) ( ) o e puede coeguir ua expreió aalítica compacta y lo cálculo co població fiita e dearrolla a partir de tabla epecífica.

30 U I.O.E. Diplomatura de Etadítica ( ) ( ) a eperaza matemática de la variable aleatoria etado del itema e puede deducir a partir de álculo de la taa media efectiva de llegada por uidad de tiempo a aplicació de la fórmula de ittle permite deducir el tiempo medio de epera e el itema W y e la cola de lo itema W [ ] E W W y [ ] E W W. ( ) ( )

31 SESIO DE ROBEMAS: USO de QTS_EXE probability M/M/c ytem-ize probabilitie ize DF for M/M/c lie waitig time cdf time

32 Termial de facturació de euipaje U termial de facturació dipoe de operario ue atiede lo cliete ue llega egú ua ditribució de oio de media 8 cliete por hora y epere e ua cola úica hata ue alguo de lo operario eté libre. El tiempo reuerido para ateder u cliete eta ditribuido expoecialmete co media. miuto.. ual e el úmero eperado de cliete e la termial de hacecturació?. ual e el tiempo medio ue u cliete paa a la termial de hacecturació?. Qué porcetaje del tiempo etá libre u determiado operario? Modelo M/M/ Taa de llegada cliete/hora. 8 6 Taa de ervicio por operario 5. cliete/hora. ( ) W W I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

33 ( ) 8 5 (.). 84 ( ).8 cliete. El úmero medio de cliete e el termial de facturació e cliete U cliete paa e promedio e el termial de facturació W hora. miuto.. ( ) ( 8 5). I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

34 El ervicio de urgecia de u hopital El ervicio de urgecia de u hopital dipoe permaetemete de u médico de guardia pero e ha detectado tiempo de epera deacoejable e mucha ocaioe de maera ue Direcció del Hopital uiere avaluar lo beeficio de dipoer de u egudo médico de urgecia. a taa de llegada de efermo al ervicio de urgecia e de paciete cada miuto y el tiempo medio de ervicio e de miuto para W paciete. Determiar lo parámetro co y médico de guardia. Determiar la fució de ditribució de probabilidad del tiempo de epera hata er examiado u paciete e amba ituacioe. E el cao M/M/ ; i W paciete ( ) 4 paciete W hora W W ( ) hora I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

35 U I.O.E. Diplomatura de Etadítica E el cao M/M/. ( ) ( ) paciete paciete 4 hora W 8 4 hora W 4 W W ) (

36 Ejemplo: El Aeor Fical U aeor fical dipoe de u local para ateder a u cliete lo cuale e cocetra mayoritariamete durate lo mee de mayo y juio. El local tiee ua capacidad máxima de 8 aieto e epera el cliete e va i o ecuetra u aieto libre y el tiempo etre llegada de cliete e puede coiderar ditribuido expoecialmete egú u parámetro cliete por hora e período puta. El tiempo de ua coulta eta ditribuido expoecial co ua media de miuto. uata coulta por hora realizará e promedio?. ual e el tiempo medio de permaecia e el local? El modelo e M/M// ( ) ( ) (.75) ) 8.6 cliete/hora W E W ) 8.6 ) 5 [ ].7 cliete hora. I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

37 Modelo de Reparació de Avioeta Ua peueña compañía aérea de ua ila de la Atilla dipoe de 5 avioeta ue hay ue reparar co ua taa de cada día. Se dipoe de técico para reparacioe cada uo de lo cuale eceita u promedio de día para ua reparació. o tiempo etre avería y de reparació o expoeciale.. Determiar el úmero medio de avioeta e fucioamieto.. alcular el tiempo medio ue ua avioeta eta fuera de ervicio cuado reuiere ua reparació.. alcular el porcetaje del tiempo ue u determiado técico eta libre. El modelo e expoecial y de població fiita: M/M///5. a taa de avería e avioeta por día y la taa de reparacioe e avioeta por día. El úmero medio de avioeta e fucioamieto e el úmero total de avioeta meo el úmero eperado de avioeta e reparació : 5 5. Hay ue determiar la y para eto hace falta la y. I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

38 U I.O.E. Diplomatura de Etadítica i 4 5 i i 4 5 i avioeta e promedio e fucioamieto. ( ) ( ) y ( ) ( )

39 El tiempo medio ue ua avioeta paa e reparació e W..465 W.8.5 día dode ( ) ( 5.465) ( 4.55). 5 a fracció de tiempo ue u determiado técico paa iactivo e I.O.E. Diplomatura de Etadítica U

40 (.c) ITRODUIÓ A OS MODEOS O EXOEIAES Y REDES DE OAS ITRODUIÓ A AS REDES DE OAS. ocepto de red abierta y cerrada. Rede abierta y Teorema de Jacko. MODEOS O EXOEIAES ola M/G/: Fórmula de ollaczeck-hitchie. ola G/M/: cao Ek/M/ Hip/M/ Hyp/M/. Uo de QTS_EXE. AROXIMAIOES ARA OAS GI/G/. Aproximació de Alle-uee. Aproximacioe para cola cogetioada (Heavy Traffic) I.O.E. Diplomatura de Etadítica U