Algoritmo de Bresenham para Pintar Círculos y Cuádricas en General. Carlos E. Alvarez D

Transcripción

1 Algoritmo de Bresenham para Pintar Círculos y Cuádricas en General Carlos E. Alvarez D

2 Contenido - Introducción - Algoritmo de Bresenham para Dibujar Líneas Rectas - Algoritmo de Bresenham para Dibujar Círculos - Algoritmo Rápido Basado en Algoritmo de Bresenham para Dibujar Elipses - Generalización del Algoritmo de Bresenham para Curvas Cuadráticas - Resumen de Aplicaciones e Importancia

3 Introducción - Desarrollado por Jack E. Bresenham en I.B.M. en Publicado en Originalmente para dibujar líneas rectas - Modificado posteriormente para dar origen al conocido Bresenham s Circle Algorithm Imagen:

4 Bresenham Líneas Rectas Algoritmo Original - Para líneas en el primer octante desde p 1 = (x 1, y 1 ) hasta p 2 = (x 2, y 2 ) (se traslada para que parta del origen) - Decisión E() o NE () - El error para un píxel se define como la distancia vertical entre el píxel y la recta que se quiere dibujar [3,5,6]

5 Bresenham Líneas Rectas Algoritmo Original Cont. - Se usa el parámetro de decisión e 0 = 2dy 2dx - e 0 < 0 E y e 0 > 0 NE - El error se calcula de manera incremental, de modo que e i+1 = e i + 2dy y e i+1 = e i + 2dy 2dx si se elige E o NE respectivamente en el paso anterior, donde dx = x 2 x 1 y dy = y 2 y 1 [3,5,6]

6 Bresenham Líneas Rectas Algoritmo Original Cont. dx = x2 - x1 dy = y2 - y1 E = 2 * dy - dx Dn = E + dx = 2dy Dp = E - dx = 2dy - 2dx x = x1 DO WHILE x <= x2 IF E < 0 THEN E = E + Dn /* y = y + 0 */ ELSE E = E + Dp y = y + 1 END IF x = x + 1 DrawPoint (x, y) LOOP Sólo operaciones enteras [3,5,6]

7 Bresenham - Círculos - Se escoge el Arco donde x 0, y 0, x y * - Los otros 8 arcos se pintan por simetría (8-way symmetry) - Decisión para el próximo píxel: S () o SO () P S = (x, y+1) P SO = (x 1, y+1) Se define el error e= x 2 + y 2 r 2 - e S = x 2 + (y+1) 2 r 2 = e+ 2y 1 - e SO = (x 1) 2 + (y+1) 2 r 2 = e S + 2x+1 -Se escoge error con menor módulo * Nótese dirección de los ejes [2,3,5,8]

8 Bresenham - Círculos Error y Decisión e S > e SO SO e S > e S 2x+1 SO 2x < e s <1 2e S > 2x 1 SO Sólo operaciones enteras [2,3,5,8]

9 Bresenham - Elipses x 2 - Ecuación a + y2 2 b =1 2 - Se divide en 4 cuadrantes (4-way symmetry) - Se dibuja primero el arco señalado por 1 y luego 2 - Decisión - 1 N () o NO () - 2 E() o SE () - Error b 2 x 2 + a 2 y 2 = b 2 a 2 [2,3,6]

10 Bresenham - Elipses Error y Decisión Caso 1 e NO < e N (Caso 2 es análogo) NO 2 b 2 x 2 + a 2 y 2 b 2 a 2 + a 2 2y+1 ( ) + b2 ( 1 2x) > 0 NO - En cada paso se chequea si la pendiente de la recta tangente a la elipse es -1 para cambiarla toma de decisión - Nótese, solo operaciones enteras [8]

11 Bresenham - Cuádricas - Ecuación - Si se coloca el vértice en el origen la ecuación de forma implícita resultante es - 2-way symmetry ( x h) 2 = 4q( y k) f (x, y) = x 2 4qk [8]

12 Bresenham - Cuádricas Error y Decisión - Problema: tangente varía de cero a infinito - Al igual que con elipses hay que dividir la curva - 1 Pendiente va desde 0 hasta 1-2 Pendiente va desde 1 hasta infinito - Derivando, se tiene que la pendiente de la tangente es 1 cuando x = 2q [8]

13 Bresenham - Cuádricas Error y Decisión - Caso 1 - Error inicial e 0 = x 2 + 2x+1 4qy 2q - Decisión E() o NE () - - E e i+1 = e i + 2x+ 3 NE e i+1 = e i + 2x+ 3 4q 4q [8]

14 Bresenham - Cuádricas Error y Decisión - Caso 2 - Error inicial e 0 = x 2 + x qy 4q - Decisión N() o NE () - - N e i+1 = e i 8q NE e i+1 = e i + 3x+ 2 Sólo operaciones enteras en el cálculo iterativo [8]

15 Bresenham Importancia y Aplicaciones - Preciso, cáculo incremental usando adición, sustracción y shifting (operaciones enteras), las cuales son standard en la mayoría de las arquitecturas. Muy eficiente - Para dibujo de líneas rectas, círculos, elipses, polinomios de segundo grado, curvas de Bézier 3er orden (grado 2) o mayor si se dividen en subcurvas de 3er orden.

16 Bresenham Importancia y Aplicaciones - Implementado en plotters, en el firmware o hardware de la mayoría de las tarjetas gráficas modernas y en muchas librerías gráficas. - Hay que modificarlo para lograr anti-aliasing

17 Referencias [1] Wikipedia (material consultado mas no citado): [2] [3] [4] dda-and-vs-bresenhamalgorithm/ [5] Laura M. Castro Souto, Gráficos en Computación. Curso 2000/2001. Disponible en: [6] John Kennedy, A Fast Bresenham Type Algorithm for Drawing Ellipses. Disponible en: [7] [8]