Matemàtica Discreta PROBLEMES DE GRAFS. Ester Simó Marisa Zaragozá. Departament Matemàtica Aplicada IV EPSEVG - UPC

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Matemàtica Discreta PROBLEMES DE GRAFS. Ester Simó Marisa Zaragozá. Departament Matemàtica Aplicada IV EPSEVG - UPC"

Alfonso Muñoz Cano
hace 6 años
Vistas:

1 Mtmàt Dsrt PROBLEMES DE GRAFS Mrè Clvrol Estr Smó Mrs Zrozá Dprtmnt Mtmàt Apl IV EPSEVG - UPC

3 Inx Prolms Grs: Conpts àss 3 Prolms Grs: Cmns onnxó 6 Prolms Grs: Arrs

4 Prolms Grs: Conpts àss. Dsposm 6 ornors 9 ls onnxó volm qu ornor s onnt m ltrs 3 ornors. Exstx lun orm onntr-los? És ún?. El r l ur rprsnt l mtro Brlon, on ls vèrtxs són ls stons nllç ntr ls rnts líns l ps rst és l númro stons qu ntr lls (ls qu no tnn númro són ps 0). Clul l orr l m l r. 7 7 p q t k l m n s r 3 o 9 6 w u 4 v 3. Rprsntu ràmnt l r ponrt G = (V, E), on V és l onunt ns nrs lontu 3 m rl èn on l sünt mnr: rst s ls vèrtxs 3 ls vèrtxs 3 4 V. 4. Es pon uxr 7 smnts n un ull tl mnr qu sun lls tll xtmnt ltrs 3? Formulu l prolm n trms rs. S u qu smnt su un vèrtx, om nru ls rsts? 5. Dmostru qu l m K n és n(n ). 6. S G és un r smpl m 45 rsts, qun és l mnor nomr vèrtxs qu pot tnr G? 7. Rprsntu ràmnt l r G = (V, E) m mtru èn: A(G) =

5 8. Dont l r G m mtru èn A(G) = Rprsntr-o ràmnt prtr l sv rà otnu l sv mtru nèn. 9. Otnu l mtru èn l pru Q Dont l r K m,n, lulu: () L orr l m. () Pr quns vlors m n és un r rulr? () Dtrmnu K m,n. () Com és l mtru èn l r K m,n?. Exstx un r smpl m sqüèn rus {,,, 3}?. Clulu V pr ls rs sünts: () Gr m 9 m tots ls sus vèrtxs ru 3. () Gr rulr m 5. () Gr m 0, m 3 vèrtxs ru 4 l rst vèrtxs ru. 3. Dmostru qu s G és -rulr, snr, llvors G smpr té orr prll. 4. Su G un r orr n m m. Dnotm pr δ(g) l ru mínm G pr (G) l ru màxm G. Provu l sünt: () δ(g) m n. () m n (G). 5. En un rup 5 prsons, és possl qu sun tnu xtmnt 3 ms? 6. Qun rló xstx ntr l orr l m un r -rulr? 7. Dmostru qu no xstx p r smpl orr més rn o ul m tots ls rus ls vèrtxs rnts. 8. Duu pr quns vlors n ls sünts míls rs són rulrs: K n, C n, W n Q n. 9. H lun r 5-rulr orr snr? 0. Dmostr qu ls rs G G són somors. G u G v x y w z. S l r G és somor lun ls rs F o H, ón l pló tv ntr ls vèrtxs qu prsrv èns. Altrmnt ron pr què no són somoros. 4

6 G F H w u x y 3 v z. Snt qu l pló ntr ls vèrtxs G H mostr qu són rs somors onxnt ls vlors () =, () = 9 () = 5, ompltu l pló G 5 H 4 3. Qunts rs no somors 4-rulrs orr 7? 4. Qunts rs no somors orr 0 m 88? 5. () Su G un r smpl m n vèrtxs. S G és somor l su r omplmntr, qunts rsts té G? (Aqust r s onx m l nom r utoomplmntr). () Trou un xmpl un r utoomplmntr m 4 vèrtxs un ltr m 5 vèrtxs. () S G és un r utoomplmntr orr n, n >, mostru qu n = 4k o n = 4k +, pr lún k Z Su G un r smpl m n vèrtxs m rsts. Qunts rsts té l r G (r omplmntr G)? 7. S G és un r smpl m 5 G té m 3. Qun orr té G? 8. Rprsntu l r omplmntr l r prtt omplt K 3,. 9. Su C n l l orr n. Dmostru qu C n és utoomplmntr s només s n = H lun r k-rulr orr prll utoomplmntr? 5

7 Prolms Grs: Cmns onnxó. Qun llst orrspont un rorrut n l r F rprsntt l sünt ur? I qun orrspont un mí? I un rut? Donu l lontu ls rorruts. (),,,,,,,. (),,,,,. (),,,,. (),,,,. F. Trou l lontu màxm un n n ls rs: () K n, n {, 4, 6, 8}. () K n, n Z Pr l r sünt trou: k () Un n lontu 5. () Un mí lontu 9. () Cls lontus 5, 6, 8, Dmostru qu un r G és prtt s només s tots ls sus ls són lontu prll. 5. Provu qu un r onnx orr n té om mínm n rsts. 6. Dmostru qu s un r G té xtmnt vèrtxs ru snr nssrmnt xstx un mí ntr lls. 6

8 7. Duu s ls sünts rs són o no onnxos. G G 8. Trou l nomr omponnts onnxs ls rs rprsntts pr ls sünts mtrus èn: () () A(G) = B(G) = Provu qu s un r smpl G té k omponnts onnxs orrs n, n,, n k rsptvmnt, l m l r G és om molt k = n (n ). 0. Provu qu un r smpl G orr n és onnx s només s l sv m és més rn qu (n )(n ).. Dmostrr qu s G és un r onnx orr n m m, llvors G onté lmnys m n + ls.. Donu un xmpl un r onnx G = (V, E) m G {} no onnx, E. 3. Qun és l orr màxm n un r onnx 30 rsts? 4. S G és un r onnx, qun és l vlor màxm V (G), s E(G) = 9 (v) 4 pr tot vèrtx v l r G? 7

9 5. Su G un r onnx 3-rulr. S E(G) = V (G) 6, trou V (G) E(G). 6. Su G r m 3 vèrtxs 3 omponnts onnxs. Dmostru qu om mínm un ls trs omponnts té un mínm 5 vèrtxs. 7. Dmostru qu l omplmntr un r no onnx és onnx. 8. Rprsntu un r G mnr qu ll l su omplmntr sun onnxos. 9. Dmostru qu un r utoomplmntr és onnx. 0. S G és un r no onnx, qun és l stàn màxm ntr qulsvol prll vèrtxs l su r omplmntr G?. En l sünt r F, trou ls stàns s l vèrtx tots ls ltrs. l F k m n p o. Trou tots ls vèrtxs tll l sünt r. l k 3. Su un r G un vèrtx v G. Dmostru qu s v és vèrtx tll G, v no pot sr vèrtx tll G. 4. Clulu l onntvtt l rst-onntvtt ls sünts míls rs: K n, K r,s, P n, C n. 5. Trou un r G qu omplx: κ(g) < λ(g) < δ(g). Expl què vol r símol. 6. Su G un r onnx m un rst pont. Provu qu G té lun vèrtx ru snr. 7. Su G un r onnx m tots ls sus vèrtxs ru snr. Dtrmnu l prtt l rnl ls surs rsultnts lmnr qulsvol rst pont l r. m 8

10 8. Donu xmpls rs G qu vrqun: () G és ulrà mltonà. () G és ulrà no ès mltonà. () G no és ulrà pró és mltonà. () G no és ulrà n mltonà. 9. Dmostru qu s G és r rulr orr prll m snr, llvors G no és ulrà. 30. Pr l r sünt uu s: k () És ulrà? Amt n ulrn? ust-o. () Dón un somposó l onunt rsts n ls nt srvr l lorsm Flury. 3. Apl l lorsm Flury F pr tror un rut ulrà l somposó E(F ) n ls. F 3. Pr quns vlors n ls rs K n, C n, Q n tnn un rut Eulr? 33. Pr quns vlors m n, l r K m,n té un rut Eulr? I un n Eulr? 34. Pot sr ulrà un r rulr, onnx, m un nomr prll vèrtxs un nomr snr rsts? 35. És possl qu l utt Könsr un prson rltz un pss pr l utt trvss pont xtmnt us vs, tornnt l punt on v nt l pss? 9

11 36. Suposu qu l r K m,n té 6 rsts stsà m n. Dtrmnu m n mnr qu K m,n tnu un rut ulrà prò no un l mltonà. 37. Dtrmnu s ls rs l sünt ur tnn un l Hmlton. Justquu l rspost. G u G v x y w z 38. Dmostru qu s G és un r prtt m prtó V, V, V = V, llvors G no és mltonà. 39. Trou un l mltonà n l r ormt pls vèrtxs rsts l pru Q Su G un r prtt m un nomr snr vèrtxs. Dmostru qu G no onté p l mltonà. 0

12 Prolms Grs: Arrs. Donu un xmpl un r G = (V, E) qu omplx V = E +, prò qu no su rr.. Dmostru qu n un rr tot vèrtx ru supror és tll. 3. () Qunts rrs no somors m 5 vèrtxs? () Trou tots ls rrs no somors orr 6, nt un rst, tots ls orms possls, rr orr Qunts ulls té un rr m 6 vèrtxs ru, un ru 3, ru 4 un ru 5? 5. Sun T = (V, E ) T = (V, E ) os rrs m E = 7 V = V. Clulu V, V E. 6. Duu s pot xstr un rr m 3 vèrtxs, 4 ru 3, 3 ru 4 6 ru. 7. En un rr, qun és l mínm nomr ulls s sm qu l ru màxm l rr és 7? 8. Qunts vèrtxs ru té un rr m 5 vèrtxs ru, ru 3, 3 ru 4 ru 5? 9. Su T un rr m v vèrtxs ru, v 3 vèrtxs ru 3,, v m vèrtxs ru m. Qunts vèrtxs rsts té T? 0. Su T un rr m tots ls sus vèrtxs rus o 4. S té 0 vèrtxs ru 4, qunts n té ru?. Provu qu tot rr és un r prtt. Quns rrs són prtts omplts?. Pon vr- rrs utoomplmntrs? Ron l rspost n s rmtu, tro ls tots. 3. Su T un rr. Dmostru qu s tots ls vèrtxs T tnn ru snr, ls us omponnts onnxs rsultnts lmnr un rst qulsvol T tnn orr snr. 4. Dmostr s és rt o ls l rmó: Tot rr omplx qu k(t ) = λ(t ) = δ(t ) =. 5. Un r G no onnx, on omponnt onnx és rr, s nomn os. () S G és un os m k omponnts onnxs E(G) = 40, qun orr té G? () S G és un os m 6 vèrtxs 5 rsts, qunts omponnts onnxs té G?

13 6. Un os m omponnts onnxs 5 rsts, qunts vèrtxs té? 7. Qunts rsts té un os m k omponnts onnxs? 8. Qun és l màxm nomr rsts qu pom r un os sns qu x sr os? 9. Aplquu l lorsm DFS pr onr un rr nror l r K 4,3. Fu l mtx prò m l lorsm BFS. Comnçu ls lorsms pl mtx vèrtx ompru ls rsultts. 0. Aplquu l lorsm DFS pr onr un rr nror l r Ptrsn. Fu l mtx prò m l lorsm BFS. Comnçu ls lorsms pl mtx vèrtx ompru ls rsultts.. Ls rsts G tnn ssnt un ps qu sux l rtr: ortzontls ps 0, vrtls ps onls ps. Apl l lorsm Kruskl G xpl l rsultt. G l m k. Apl l lorsm DFS F, omnçnt pr. Dtll l proés. Fu l mtx m l lorsm BFS. F 3. Aplnt BFS DFS G, omnçnt pl vèrtx, s n otnut ls rrs nrors T T. T T () Dus qun ls rrs T T orrspon sun ls lorsms DFS BFS.

14 () Ron qun és l vèrtx més stàn n G. 4. S tots ls rsts F tnn ps llvt ls rsts l l,, m, o, p, l,, qu tnn ps 0, lul l ps un rr nror ps mínm. l F k m n p o 5. El r l ur rprsnt l mtro Brlon, on ls vèrtxs són ls stons nllç ntr ls rnts líns l ps rst és l númro stons qu ntr lls (ls qu no tnn númro són ps 0). L orr és 3 l m p q t k l m n s r 3 o 9 6 w u 4 v Apl l lorsm Prm pr otnr un rr nror ps mínm lul l su ps. 6. Dus què s oté l plr ls lorsms Prm Kruskl un r ponrt n què rxn. 7. Trou tots ls rrs tqutts m 6 ulls. 8. En un rr nr, pom lulr l nomr ulls prtr l nomr vèrtxs ru 3? 9. Qun és l nomr màxm ulls qu pot tnr un rr 4-r ltur 8? 30. Qun és l nomr vèrtxs ru n un rr nr m n vèrtxs? 3

15 3. Rprsntu ls sünts oprons mtnçnt un rr nr: () ( + ( ( ))) (( + ) )) () A B () (A B) ((C D) E)) 3. Rprsntu ls sünts xprssons mtnçnt un rr m rrl. () ((w + x) y)/( z + ) () (( ( )) + (( (/)) ( + )) 33. Qunts ulls té un rr trnr omplt orr? 34. En un torn tns k prtpnts. Qunts prtts s tnn qu r pr onèxr l unyor? 4

Documentos relacionados

TEMA 8: DETERMINANTES

TEMA 8: DETERMINANTES DETERMINNTES MTEMÁTICS II TEM : DETERMINNTES Dtrnnts orn os trs S non trnnt l tr ur orn os t l nº rl rsultnt t Ejplos: s rprsnt S non trnnt l tr ur orn l nº rl rsultnt : t Est prsón s ono oo rl Srrus Ejros: