Subgrafos. Conectividad de un grafo. Conceptos sobre grafos. Tema 9: GRAFOS Tercera Parte Estructuras de Datos y Algoritmos Curso 2002/03

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Sara Ortiz Contreras
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1 Conptos sor gros Tm : GRAFOS Trr Prt Estruturs Dtos y Algortmos Curso 00/0 Sugros Contv Árols Árols rurmnto Prolm ARCM: o un gro no rgo y ponro, nontrr un árol rurmnto ost mínmo Soluons: Algortmo Kruskl Algortmo Prm MFSET: strutur onuntos suntos Sugros Contv un gro Un Gro G =(V,E ) s un sugro G=(V,E) s: V V E E Do un onunto V V, l sugro G nuo por V s G =(V,E ) : E = { (u,v) E : u,v V Emplo: l sugro nuo por V = {,,, s Un gn s onxo s ulqur pr vérts stán ontos por un mno Ls omponnts onxs un Gro son ls lss quvln n V ns por l rlón R = s lnzl s Emplo: ls omponnts onxs l Gro son...

2 Árols Árols Un Gro no rgo Aílo y onxo s un Árol (lr) Un Gro no rgo Aílo s un Bosqu Árol Gro Bosqu (lr) TEOREMA: s G=(V,E) un gn. Ls sgunts rmons son quvlnts: G s un Árol (lr) ulqur pr Vérts n G stán ontos por un úno mno smpl G s onxo y E = V - G s ílo pro s ñmos un Arst E, l Gro rsultnt ontn un lo Dmostrón n Cormn, págs. - Un Árol on ríz s un Árol (lr) on un Vért stnguo nomno ríz Árol rurmnto (Spnnng Tr) un gn Árol rurmnto (Spnnng Tr) un gn Un Árol rurmnto l Gro G=(V,E) s un Árol Lr T=(V,E ) tl qu: V V E E Emplo: ntrontr N pn s on N - ls, uno los uls ont pn s, utlzno l mnor nt l posl g G=(V,E) ponro on: T=(V,E ) V = on: N = E V V, = V =N= E E, E =N-= on Pso mínmo Emplo: ntrontr N pn s on N - ls, uno los uls ont pn s, utlzno l mnor nt l posl g g G=(V,E) ponro on: T=(V,E ) V = on: N = E V V, = V =N= E E, E =N-= on Pso mínmo

3 Árol rurmnto (Spnnng Tr) un gn Prolm ARCM Emplo: ntrontr N pn s on N - ls, uno los uls ont pn s, utlzno l mnor nt l posl g E = {,),,),,),,),,g), g,),,),,) on Pso mínmo G=(V,E) ponro on: T=(V,E ) V = on: N = E V V, = V =N= E E, E =N-= on Pso mínmo Do un gro no rgo y onxo G=(V,E), y ponro on p:er + Enontrr T E: G =(V,T) s un sugro onxo y ílo (V,E) l sum los psos los ros T s mínm T s ílo, onxo y no rgo, ntons s un árol S xtnr por toos los vérts L sum los psos sus ros sr mínm Árol xtnsón ost mínmo Prolm ARCM Algortmo Kruskl: I Vorz Árol RCM Do un gn G=(V,E), un AEM s un árol lr T=(V,E ) tl qu V =V y E E. Dnón l prolm: Do un gn ponro G=(V,E,p), nontrr un AEM G, T=(V,E ), tl qu l sum los psos ls V - rsts T s mínmo. Construr nrmntlmnt un osqu ( xtnsón o rurmnto), slonno n pso un rst (u,v) E tl qu: No s r nngún lo Prouz l mnor nrmnto pso posl. El árol rurmnto o xtnsón s otn uno s n slono xtmnt V - rsts váls.

4 Algortmo Kruskl. Vrsón ás Algortmo KRUSKAL (mplo) Kruskl_0(V,E,p) E =; wl ( E < V -) { (u,v)=rgmn (x,y)e-e p(x,y); (u,v) no r lo n E ntons E =E {(u,v) vulv (E ); Algortmo KRUSKAL. Emplo Algortmo Kruskl () Kruskl_0(V,E,p) E =; wl ( E < V -) { (u,v)=rgmn (x,y)e-e p(x,y); (u,v) no r lo n E ntons E =E {(u,v) vulv (E ); Prolm: Cómo slonr orm nt l rst mnor pso n trón? Prolm: Cómo vrr orm nt l onón no rr lo? Aros por orn rnt psos: {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) (,)

5 Algortmo Kruskl () Prolm: Cómo vrr ntmnt l onón no rr lo? Soluón: Mntnr un olón onuntos suntos (uno por árol l osqu): un rst (u,v) no rrá lo s u y v stán n stntos suonuntos. Estruturr l onunto rsts slons omo un MFSt vérts. Prolm: Cómo slonr ntmnt l rst mnor pso n trón? Soluón: Ornr tos ls rsts n orn rnt sus psos Soluón: Mntnr ls rsts n un MnHp orno sgún los psos ls msms. Algortmo Kruskl () Kruskl (V,E,p) E =; or vv r Constur_Cto(v); H=ConsturHp(A,p); wl ( E < V -) { (u,v)=elmnmn(h); (Enuntr(u) Enuntr(v)) ntons E =E {(u,v); Comn(u,v); vulv (E ); Algortmo Kruskl. Análss osts E. Dtos pr Conuntos Dsuntos Kruskl (V,E,p) V : númro vérts; E : númro ros; E =; O( V ) or vv r Constur_Cto(v); H=ConsturHp(A,p); O( E ) wl ( E < V -){ O( E ) vs (u,v)=elmnmn(h); O(log E ) (Enuntr(u)Enuntr(v)) ntons O() E =E {(u,v); O() vulv (E ); Comn(u,v); Cot: O( E log E ) S m s l nº O() trons m V y V << E V O( E + V log V ) Un MFSt (Mrg-Fn St) s un strutur tpo onunto n l qu los lmntos stán orgnzos n suonuntos suntos y l nº lmntos s o (no s ñn n s orrn). Ls oprons rtrísts son: Comn: l unón os onuntos suntos (Mrg) Enuntr: o un lmnto trmnr qué onunto prtn (Fn) 0

6 A MFSts. Emplo B C Aplons: Equvln ntr utómts ntos Dtrmnón omponnts onxs un gn Otnón l AEM n un gn Oprons sor MFSts S x y son lmntos (otos) l onunto: Construr_Cto Cto(x): r un nuvo onunto uyo úno mmro s x. Comn(x,y): un los onuntos los qu prtnn x y Enuntr(x): vulv l rrn l rprsntnt l onunto l qu prtn x. Componnts onxs un gro Emplo S G=(V,E) un gro no rgo V s l onunto vérts E s l onunto ros ComponntsConxs(G=(V,E)){ vv r Construr_Cto(v); (u,v)e r (Enuntr(u)Enuntr(v)) ntons Comn(u,v); g Ero: Implmntr l lgortmo n Jv

7 Emplo.Ino Emplo. Itrón Aro g Colón onuntos suntos { { { { { { {g { { { g Aro Colón onuntos suntos { { { { { { {g { { { (,) { {, { { { {g { { { Emplo. Itrón Emplo. Itrón Aro g Colón onuntos suntos Aro g Colón onuntos suntos { { { { { { {g { { { { { { { { { {g { { { (,) { {, { { { {g { { { (,) { {, { { { {g { { { (,g) { {, { {,g { { { { (,g) { {, { {,g { { { { (,) {, {, {,g { { { {

8 Emplo. Itrón Emplo. Itrón Aro g Colón onuntos suntos Aro g Colón onuntos suntos { { { { { { {g { { { { { { { { { {g { { { (,) { {, { { { {g { { { (,) { {, { { { {g { { { (,g) { {, { {,g { { { { (,g) { {, { {,g { { { { (,) {, {, {,g { { { { (,) {, {, {,g { { { { (,) {, {, {,g { {, { (,) {, {, {,g { {, { (,) {,,, {,g { {, { 0 Emplo. Itrón Emplo. Itrón g Aro Colón onuntos suntos { { { { { { {g { { { (,) { {, { { { {g { { { (,g) { {, { {,g { { { { (,) {, {, {,g { { { { (,) {, {, {,g { {, { (,) {,,, {,g { {, { (,) {,,, {,g, {, { g Aro Colón onuntos suntos { { { { { { {g { { { (,) { {, { { { {g { { { (,g) { {, { {,g { { { { (,) {, {, {,g { { { { (,) {, {, {,g { {, { (,) {,,, {,g { {, { (,) {,,, {,g, {, { (,) {,,, {,g, {, {

9 Rprsntón un MFSt Emplo L más snll... MFSt M=vtor[..N] TpoNomrCto; N s l númro lmntos M[x] s l onunto l qu prtn x Oprons Enuntr(x): s un so M[x], O() Comn(x,y): rorro sor l vtor, O(N) Cost mortzo: Un sun N- oprons omn tn un ost O(N ) {{,{,{,{,{ Comn(,) {{,,{,{,{ Comn(,) {{,,,{{ Comn(,) {{,,,,{ Comn(,) {{,,,, Cost Amortzo MFSt. Rprsntón n árol Cost N- oprons Comn O(N ) S l númro oprons Enuntr qu s rlz s supror N, l rnmnto st rprsntón s uno, y qu l ost oprón Comn y Enuntr s O(). S y mnos úsqus st ot no s ptl. Mor: mntnr toos los lmntos l msmo onunto n un lst nlz. No ostnt l omportmnto sntóto sgu sno l msmo. C suonunto s un árol n l qu noo punt l pr. L ríz l árol pu usrs pr nomrr l onunto. El MFSt strá rprsnto por un olón árols (un osqu).

10 MFSt. Rp. n árol (ont.) Emplo Los árols no son nsrmnt nros, pro su rprsntón s muy ál y qu sólo nstrmos un puntor l pr: MFSt M= vtor[..n] ntros; M[] s l pr l lmnto ; Pomos r qu l ríz s punt sí msmo: s ríz s M[]=. Oprons Mors l Cost. Hurístos Comn: r qu l ríz un árol s o l otro. Cost onstnt. Enuntr: volvr l ríz l árol qu ontn x. Cost proporonl l proun l noo, qu n l por los sos s N-. Cost mortzo: m oprons úsqu tnrín un ost O(mN) n l por so. m oprons Enuntr tnn un ost O(m) Comnr por Rngo: n l oprón omn r qu l ríz l árol on mnos noos punt l ríz l árol on más noos. Pr llo n noo s mntn un rngo qu proxm l logrtmo l tll l suárol, s un ot l ltur l noo. Comprmr Cmnos: n l oprón Enuntr, too noo n l mno x l ríz m su pr por l ríz. Prmt rlzr ls m oprons úsqu on ost O(m (m,n)), on (m,n) s un nvrs l unón Akrmn qu r muy lntmnt. 0

11 Implmntón Comn Oprón Enuntr Construr_Cto(x) { M[x]=x; rngo[x]=0; Enuntr()= Comn(x,y) { Un(Enuntr(x),Enuntr(y)); Un(x,y) { (rngo[x]>rngo[y]) M[y]=x; ls {M[x]=y; (rngo[x]=rngo[y]) rngo[y]++; Enuntr(x) (xm[x]) M[x]=Enuntr(M[x]); vulv M[x]; Cost Amortzo Algortmo Prm: I Vorz M oprons Enuntr S s us Comnr por Rngo: O(M log N) S más s Comprmr Cmnos: O(M (M,N)). Lo usul s qu (M,N) y por lo tnto O(M). Construr nrmntlmnt un árol ( rurmnto o xtnsón), tomno omo ríz ulqur vért l gro y slonno n pso un rst (u,v) E tl qu: Un un vért prsnt n T on uno qu no lo sté. Prouz l mnor nrmnto pso posl. El árol rurmnto o xtnsón s otn uno s n slono xtmnt V - rsts váls.

12 Algortmo Prm Árol rurmnto (Spnnng Tr) un gn I: onstrur pso pso un Árol rurmnto G = (V, E) Pso 0: l ríz l Árol s un Vért ulqur G V = {0 E ={ Pso : o vv, slonr l Arst (v,w) G tl qu: w V Pso : w V, (v,w) tng ost mínmo w = mn(rstsftls) V = V w E = E (v,w) Trmnón: = E- Emplo: g Pso 0: Pso : Pso : rstsftls= rstsftls=,),,) rstsftls=,),,),,) V = { E ={ V = {, E ={,) V = {,, E ={,),, ) psomn = 0 Arsts tls: psomn= Vérts ynts psomn y = NO vstos ornos por pso? g mn(rstsftls) g Pso 0: Pso : Pso : Pso : rstsftls=rstsftls=,),,) rstsftls=,),,),,) rstsftls=(,),(,),(,),(,),(,) V = { E ={ psomn = 0 V = {, E ={,) psomn = V = {,, V = {,,, E ={,),, E ) ={,),,),) psomn = psomn = g rstsftls.lmnrmn() g

13 pul vo mstprm () { t mstprm ( E log V ) // rsultos l prolm V =nw nt[numvrts]; Lst E =nw LstEnlz(); or (nt =0 ; <=numvrts ; ++) V []=0; // Pso 0: l ríz l Árol s un Vért ulqur G V [0] = ; ( E ) rstsftls = nw MontuloBnro(nwnw Arst()); Vért way(0) rstsftls.nsrtr(nw Arst(w,ost0W)); wl (E.lngt() < numvrts ) { Arst pr=((arst)rstsftls.lmnrmn()); w=pr.st; E vs ( log V E ) (V [w]==0) { V [w]=; // V = V w E.nsrtr(pr); // E = E (v,w) Vért uaynts(w) // tulzr ls Arsts tls (V [u] == 0) rstsftls.nsrtr(nw Arst(u,ostUW)); ( log V )

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