NÚMEROS COMPLEJOS ÁLGEBRA LINEAL

Transcripción

1 ECNOLÓGCO DE ESUDOS SUPEOES DE ECEPEC DVSÓN DE NGENEÍ ELECÓNC Y ELEMÁC NÚMEOS COMPLEJOS Y ÁLGEB LNEL CON PLCCONES Mtrl d poo pr l Curso d Mtmáts V M. n C. ntono Slv Mrtínz

2 ECNÓLÓGCO DE ESUDOS SUPEOES DE ECEPEC DVSÓN DE NGENEÍ ELECÓNC Y ELEMÁC NODUCCÓN Est mtrl s d poo pr l urso d Mtmáts V dl pln d studos DGES d l rrr d ngnrí Eltrón orrspondnt Númros Compljos Álgr Lnl rsultdo dl ompromso profsonl h l nsttuón pr un sóld formón dém d los studnts n ngnrí Eltrón. Como hrrmnt nsr n l modlón soluón d prolms d ngnrí n gnrl ls mtmáts mrn un spl poo on mtrl ddáto dtlldo pr l un omprnsón motvón d los studnts. Pr lo ul s h prprdo st nuvo trjo on jmplos rsultos dsrrolldos on los psos dtlldos hst su soluón sí omo lgo mu mportnt qu d motvr l studnt d ngnrí Eltrón sor l mportn rtos d ls mtmáts n su formón dém jmplos jros prátos d rutos létros stls. Complmntándos st trjo on jros d prát pr l studnt sus rspusts los mprs. Ls Mtmáts n gnrl no pudn studrs n form ontmpltv o psv l ontrro rqurn un ttud dnám prtptv. Bjo st punto d vst s spr qu l lumno s nm nlzr omprndr rlzr on st poo l mor ntdd d jros prolms pldos posls. dqurndo sí ls ss ogntvs pr sgnturs postrors d l rrr dond s nln fnómnos ltrónos mdnt st mportnt hrrmnt. Pr l omplón d st trjo s h ontdo on l vlos ud d Losng Jvr Mndoz L Césr Mrtín Grí Prdo grsdos d l rrr d ngnrí Eltrón quns s hn ddo l tr d rvsr mnuosmnt los jmplos jros propustos n st prolmro pr un mjor ldd provhmnto dl msmo por prt d los lumnos. Fnlmnt st trjo s prsnt nt l oordnón d Mtrl Ddáto l dm d Cns Báss d l Dvsón d ngnrí Eltrón lmát dl ESE l ul h sdo vldo por ls msms pr su dfusón uso dl msmo por prt d los profsors studnts d l Dvsón. M. EN C. NONO SLV MÍNE DOCENE DE L DVSÓN

3 ECNÓLÓGCO DE ESUDOS SUPEOES DE ECEPEC DVSÓN DE NGENEÍ ELECÓNC Y ELEMÁC ÍNDCE. Númros Compljos. Orgn d los númros ompljos... Los númros ompljos su lgr... Oprons lmntls on númros ompljos... Convrsón d form rtngulr form polr d un numro ompljo. Ejmplos. Ejros. Potn rl d un númro ompljo.. Ejmplos.. Ejros.. ís d un númro ompljo.. Ejmplos.. Ejros.. Logrtmo ompljo.. Ejmplos.. Eponnl omplj.. Ejmplos.. Ejros.. Sstms d Euons Lnls. ntroduón los sstms d Euons Lnls.. ntrprtón gométr d ls soluons d los sstms d uons lnls... Sstms d uons lnls n.. Sstms d uons lnls n. Métodos d soluón d sstms d uons lnls Elmnón d Guss.. Ejmplos.. Ejros.. Elmnón por Guss-Jordán.. Ejmplos.. Ejros.. plons. Crutos Elétros (rds. Ejmplos.. Ejros. Págn

4 . Mtrs Dtrmnnts.. ntroduón.. Oprons on mtrs... Multplón d mtrs.. Ejmplos.. Ejros.. Clsfón d Mtrs.. Mtrz nvrs.. Ejmplos.. Ejros.. Dtrmnnt d un mtrz.. Propdds d los dtrmnnts.. Ejmplos.. Ejros.. djunt d un mtrz.. Ejmplos.. Ejros.. Soluón d un sstm d uons lnls trvés d l nvrs.. Ejmplos.. Ejros.. Soluón d un sstm d uons lnls por l gl d Crmr.. Ejmplos.. Ejros.. Espos Vtorls. Dfnón. Ejmplos. Ejros. Suspos Vtorls. Ejmplos. Ejros. ndpndn lnl. Ejmplos. Ejros. Bss vtorls. Ejmplos. Ejros.. Cmo d Bs.. Ejmplos.. Ejros. rnsformons. rnsformons Lnls. Ejmplos. Ejros. pénd. lgr Lnl on Sntf Word Pl (Vrsón.. Blogrfí Consultd

5 . NÚMEOS COMPLEJOS. OGEN DE LOS NUMEOS COMPLEJOS Los númros ompljos furon propustos nlmnt n por l mtmáto tlno Grolmo Crdo n un trtdo monumntl r d l soluón d l uón ú uárt ttuldo rs Mgn. Pr prr l dmnsón d st propust d tnrs n unt qu l onpto d númros ngtvos pns hí tndo ptón qu un hí ontrovrs n rlón on sus propdds. Ls ntdds fts d Crdno furon gnords por l morí d sus olgs hst qu l gno mtmáto Crl Frdh Guss ls do l nomr tul ls utlzó pr dmostrr l orm Fundmntl dl lgr l ul stl qu todo polnomo qu no s onstnt tn l mnos un ro. En st són s plorrán ls propdds d los númros ompljos sus oprons lmntls dmás d lguns funons on vlors ompljos qu n l torí d funons d un vrl omplj tnd los onptos dl álulo l plno ompljo por onsgunt l drvón l ntgrón ompljs dqurn un nuv profunddd lgn por lo tnto l nturlz dmnsonl dl plno ompljo produ muhos rsultdos útls n Mtmáts plds n l ngnrí. En prtulr l ngnrí d Crutos Elétros rnstoros nálss d Sñls smplfndo notormnt los álulos qu llvn l ntrprtón d su omportmnto.

6 .. LOS NÚMEOS COMPLEJOS Y SU ÁLGEB Un númro ompljo s un númro d l form dond son númros rls s un símolo on l propdd d qu. El númro rl s onsdr omo un tpo spl d númro ompljo d rzón d qu. S s un númro ompljo ntons l prt rl d dnotd por s l mgnr d dnotd por m z s. Dos númros ompljos d son guls s sus prts rls mgnr son guls s dr s d. Un númro ompljo pud dntfrs on l punto ( grfdo n un plno dnomndo plno ompljo o plno d rgnd. omo s mustr n l sgunt fgur. En l plno ompljo l j horzontl s l ono omo l j rl mntrs qu l j vrtl s ono omo j mgnro. m z Fgur. prsntón d un númro ompljo z n l plno ompljo

7 .. OPECONES ELEMENLES CON NÚMEOS COMPLEJOS L sum l dfrn l produto l ont d dos númros ompljos dn omo rsultdo un númro ompljo s dfnn d l sgunt mnr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( v ( ( ( ( ( ( En otrs plrs l sumr o rstr dos númros ompljos smplmnt s sumn o s rstn ls prts rls ls mgnrs orrspondnts. Pr multplr dos númros ompljos plmos l l dstrutv l hho d qu. Fnlmnt pr l ont d dos ompljos s pl l rgl dl nomo onjugdo... CONVESON DE FOM ECNGUL FOM POL DE UN NÚMEO COMPLEJO S D dond Θ tg Entons Form Polr d un Númro Compljo Θ

8 [ ] Θ Θ Sn Cos. EJEMPLOS. lzr ls sgunts oprons on los númros ompljos qu s dn ontnuón prsr sus rsultdos n form rtngulr polr. Dond d ( g f Form rtngulr d * ( ( * ( ( * ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

9 g f ( ( ( ( ( *( ( ( *( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( *( ( *( ( ( *( ( *( (

10 Form polr (... ( ( ( ( Θ rds tg. rds -. rds Θ. Θ rds ( ( Θ rds tg Θ Form polr.. rds ( (... Θ rds tg

11 Form polr Θ.. rds d Θ tg ( (.. rds. Θ Form polr.. rds tg. Θ..... rds rds Form polr Θ.. rds

12 f tg Θ.... rds..rds Θ Form polr.. rds g ( * Θ tg ( (..rds. Form polr Θ..rds

13 . EJECCOS. l ls sgunts oprons on los númros ompljos qu s dn ontnuón prsr sus rsultdos n form rtngulr polr. g f d Dond ESPUESS Form rtngulr g Form Polr. -. rds.. rds... rds. g.. rds.

14 . POENC EL DE UN NÚMEO COMPLEJO EOEM DE DE MOVE [ ] L potn nésm d w w ( CosΘ SnΘ stá dd por n w [ w ( Cos Θ Sn Θ ] n ( Cos n Θ Sn n Θ w n. Y s vrf pr todo vlor rl d l Eponnt n En l so d un ponnt ronl d l form /n s tn w n n n n n Θ ( w ( Cos Θ Sn Θ w ( Cos Θ Sn n n Dond w Θ tg

15 . EJEMPLOS. Clul ls potns qu s ndn on los númros ompljos qu s dn ontnuón. ( ( ( Θ tg. w ;. rds Θ [ [ Cos(. Sn(. ]. w [ Cos(.( Sn(.( ] [ Cos(. Sn(. ] (.. ( ( ( ( tg Θ.rds.rds [ [ Cos(. Sn(. ] [ Cos(.( Sn(.( ] [ Cos(. Sn(. ] (.... Θ

16 ( ( ( tg.rds. Θ Θ... rds. [ [ ( Cos(. Sn(. ] ( Cos(.( Sn(.( ( Cos(. Sn(. (.... d Θ tg ( ( (. rds [ ( Cos(. Sn(. ] Θ [ ( Cos(.( Sn(.( ] ( Cos(. Sn(. (....

17 Θ tg ( ( (. rds [ [ ( Cos(. Sn(. ] Θ [ ( Cos(.( Sn(.( ] [ Cos(. Sn(. ] (.... f ( ( ( tg.rds. Θ...rds Θ [ ( Cos[.] Sn(. ] ( Cos(.( Sn(.( (... (....

18 g w ( ( ( tg. rds. Θ...rds Θ [ ( Cos(. Sn(. ] [ ( Cos(.( Sn(.( ] [ ( Cos(. Sn(. ] (.... h Θ tg.. rds. Θ [.[ ( Cos(. Sn(. ] [. ( Cos(.( Sn(.( ].. ( Cos(. Sn(. (....

19 . EJECCOS. Clul ls potns qu s ndn on los númros ompljos qu s dn ontnuón. ESPUESS (.. (.. ( (.. (.. (.. ( ( ( (

20 . CES DE UN NÚMEO COMPLEJO El torm d D Movr tmén pud utlzrs pr nontrr ls rís d un númro ompljo. S z s un ríz n-ésm dl númro ompljo w prtr d Pr nontrr z s tn n w. ( Cos Θ SnΘ w w ( Cos Φ SnΦ Dond tn Θ rg Φ rg w. D tl form qu on l torm D Movr s ( Cos nθ SnnΘ w ( Cos Φ Φ n Sn. sí s pud tomr w n Θ n rg w n ( rg w π k k ± ± Κ unqu l uón proporon un númro nfnto d vlors pr Θ sólo s otnn n ángulos polrs dfrnts qu π ( k n n π k π n Y qu los ángulos polrs s rptn d n ntros. Por lo tnto s lmtrá l tnón n los ángulos n-polrs Θ n ( rg w π k k Κ n

21 . EJEMPLOS. Clul ls rís d los sgunts númros ompljos por mdo dl torm d D MOVE. w / ( ( ( ( / Cos (. πk sn (. πk pr k [ ] ( / Cos (. sn (. [ ].. pr k ( / Cos (. π sn (. π ( / [..] [ ].. Θ tg. rds.. w Θ tg ( ( (. rds.. ( / Cos (. πk sn (. πk [ ] pr k ( / Cos (. sn (... pr k [ ] ( / Cos (. π sn (. π.. pr k [ ] ( / Cos (. π sn (. π.. [ ]

22 w Θ tg / ( ( (.. rds.. (. / Cos (. πk sn (. πk [ ] pr k (. / Cos (. sn (. (. / [..].. pr k [ ] (. / Cos (. π sn (. π (. / [..].. pr k [ ] (. / Cos (. π sn (. π (. / [..].. pr k [ ] (. / Cos (. π sn (. π (. / [..].. [ ]

23 d w Θ tg / ( ( (.. rds.. / (. [ Cos (. πk sn (. πk ] pr k / (. [ Cos (. sn (. ] / (. [..] pr k / (. [ Cos (. π sn (. π ].. pr k / (. [ Cos (. π sn (. π ].. w / ( ( ( Θ tg. rds.. ( / Cos (. πk sn (. πk [ ] pr k ( / Cos (. sn (... pr k [ ] ( / Cos (. π sn (. π.. [ ]

24 pr k / ( Cos (. π sn (. π.. pr k [ ] / ( Cos (. π sn (. π.. [ ]. EJECCOS. Clul ls rís d los sgunts númros ompljos por mdo dl torm d D MOVE. ESPUESS ( /.... ( / ( / ( / ( / ( /

25 . LOGMO COMPLEJO L ponnl omplj st dfnd por z ( Cos Sn Es un funón ntr on vlor dfrnt d ro qu stsf l uón dfrnl. ( z f ( z f ( f z D dond s sgu d qu n n Cos Sn s nuln. dmás osrv qu omo z l notón ondu Cos Sn S z Entons ls fórmuls trgonométrs pr ls z sums mpln qu z z ( Cos Sn ( Cos Sn [( Cos Cos Sn Sn ] [ ( Sn Cos Cos Sn ] [ Cos ( Sn( ] ( z z Como z λ s uno uno omo l suprf d mnn s pud dfnr su funón nvrs qu mp n λ. Lmtndo l so rl s llm st mpo nvrso logrtmo s dnot por log z λ Como l ponnl omplj l logrtmo son funons nvrss s tn qu log log z z z z pr todo z n λ pr todo z n

26 L ún tr pndnt s otnr un prsón pr Log z n térmnos d funons onods. L rprsntón polr l nturlz nvrs d ls funons logrtmo ponnl proporonn un dfnón nturl pr l logrtmo ompljo log z log rg z log z rg z ( z log( log z rg z Dond log z s l logrtmo nturl dl álulo lmntl. Con stos onptos no s dfíl vrfr qu log z s ontnu qu log z log w log z rg z log w rg w [ log z log w ] [ rg z rg w] Y l logrtmo nturl funón rgumnto son ontnus. EOEM l funón log z rg z s nlít pr todo z n El logrtmo ompljo tn ls propdds usuls d un logrtmo log z z z log z log z log z log z log z Not qu n sts dos dntdds suponmos qu z z son puntos d l suprf d mnn.

27 . EJEMPLOS. l ls sgunts oprons on los ompljos ddos ( ( ( ( ( ( (.. rg... rg rg. postvos rls los d j l rspto on md s ést ngtvo s ángulo l qu d psr udrnt l n nuntr s vtor l qu Ddo rds tg Ln Ln rds tg Ln rds o sumr d s udrnt l n nuntr s vtor l qu Ddo Ln rds tg Ln π π

28 Ln ( ( rg tg Ln..... s l tnn qu umntr. o π rds. rds Not ddo qu l vtor s nuntrn l udrnt Ln rg ( Ln ( ( tg.rds. ( ( Cos Sn Cos. (... Sn

29 ( ( ( ( ( ( ( (.. *.. *.. *.. * Sn Cos Sn Cos Sn Cos Sn Cos Sn Cos Sn Cos Sn Cos Sn Cos

30 . EXPONENCL COMPLEJ Ls funons ponnls logrtmo omplj s pudn usr pr dfnr ls funons potns. Dfnón S z log z ompljo L funón z z s nlít uno uno porqu l omposón d funons d sos tpos. Por rgl d l dn. log z ( z * z El vlor prnpl d l funón potn st ddo por z z log z mnudo st l ntrés n l so n dond son ntros postvos ftors omuns. Consdr hor l onjunto d númros log ( z π ± ±... sto s qu qullos puntos n studos drtmnt rr jo dl punto log. Entons Log ( z π m / n ( m / n Log z ( m / n π ( pn q on p q ntros q < n s tn ( m / n π πpm πqmn / n πqm / n s s sr D tl form qu h únmnt n rspusts on vlors ompljos dfrnts. sí l mpo op d λ { } m / n z ondu d n ops d λ { } un s rpt prtr d hí. Est hho prmt smplfr l m / n modlo usdo pr dsrr l mpo w z. Pr smplfr supong qu m. Entons ( Log z n n πq / n w z q... n Pud vsulzrs omo un mpo d [ λ { } ] n n [ λ { } ] dond [ λ { } ] n onsst n n ops d { } λ pgds un dspués d l otr lo lrgo dl j rl ngtvo omo n pto qu l ordj supror d l rm d rr d pg l ord nfror d l rm d jo.

31 . EJEMPLOS. Clul l ponnl omplj d los sgunts númros ompljos. Dond Ln Ln ( Ln ( Entons π ( (.. ( rg( π π ( Ln π ( os sn tg ( ( ( ( Ln Dond Ln.. Entons ( ( tg ( ( (.. (..... ( Cos. Sn... ( ( ( Ln Ln Dond Ln ( ( ( tg.. Entons (.. (... *.. ( Cos. Sn...

32 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (.... * * * Sn Cos Entons tg Ln Dond Sn Cos Entons tg Ln Dond Sn Cos Entons tg Ln Dond Ln Ln Ln Ln Ln Ln π π π π π π

33 π π ( ( Ln Ln ( π ( Dond Ln ( ( ( (.. (... Entons π *.... tg ( Cos. Sn... ( ( ( ( Ln Dond Ln ( Ln ( ( ( tg (.. Entons ( (.. (... *... ( Cos. Sn.. ( ( ( ( Ln π π Dond Ln π ( (.. (... Entons *. ( Ln ( π ( ( ( π tg.... ( Cos. Sn.. π

34 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( π π π π π ( ( ( ( ( ( π π. EJECCOS. Clul l ponnl omplj d los sgunts númros ompljos. ESPUESS

35 . SSEMS DE ECUCONES LNELES. NODUCCON LOS SSEMS DE ECUCONES LNELES L uón gnrl d un rt n l uón gnrl d un plno n s d l form s d l form z d Ls uons d st form s dnomnn uons lnls. Dfnón un uón lnl n ls n vrls... qu pud srrs n l form n s un uón... n n Dond los ofnts n l térmno onstnt son onstnts. Sn por jmplo ls sgunts uons lnls r s t Osrv qu n l trr uón s lnl porqu pud rsrrs n l form mén s mportnt dvrtr qu unqu stos son jmplos ( qu n l morí d ls plons los ofnts térmnos onstnts son númros rls n lgunos jmplos plons srán númros ompljos o mmros d Ζ p pr lgún númro prmo p. Ls sgunts uons son jmplos d uons no lnls z π π Sn z z Sn D st modo ls uons lnls no ontnn produtos ríproos u otrs funons d ls vrls; ésts prsntn únmnt l prmr potn stán multplds sólo por onstnts.

36 . NEPECÓN GEOMÉC DE LS SOLUCONES DE SSEMS LNELES DE ECUCONES... SSEMS DE ECUCONES LNELES EN Los sstms d uons lnls sus soluons pudn sr mpds n los spos n un prnpo gnrlzrs pr un spo n. Por jmplo ls sn los sgunts sstms d uons lnls n ( ( ( solvndo tls sstms s tn ( L sum d ls dos uons d d mnr qu d lo qu s dsprnd qu. un rápd vrfón onfrm qu [ ] s n rldd un soluón d ms uons. Ést s l ún soluón qu s pud vr l mnr qu orrspond l (úno punto d ntrsón ( d ls rts on uons omo s mustr n l fgur... D st modo [ ] soluón ún. s sólo un Fgur... prsntón gométr d un sstm d uons lnls on soluón ún. (

37 ( L sgund uón d st sstm s tmnt dos vs l prmr d modo qu ls soluons son ls msms d st ultm sr los puntos sor l rt. Estos pudn sr rprsntdos prmétrmnt omo [ t t]. D st mnr st sstm tn un númro nfnto d soluons fgur ( Fgur.. prsntón gométr d un sstm d uons lnls on nfndd d soluons. ( Dos númros no pudn tnr smultánmnt un dfrn d. por onsgunt st sstm no tn soluons (un nfoqu más lgro srí rsltr l sgund uón l prmr on lo ul s llgrí l gulmnt surd onlusón d qu - omo s mustr n l fgur... n st so ls uons d l rts son prlls Fgur... prsntón gométr d un sstm d uons lnls sn soluón (

38 ... SSEMS DE ECUCONES LNELES EN Cundo ls rts tnn un solo punto d ntrsón ntons l sstm d uons lnls tn soluón ún; s ondn st un númro nfnto d soluons; s son prlls no st un soluón por lo tnto l sstm s nonsstnt. lgo smlr ps undo s tnn trs uons on trs nógnts l grf d l uón z d n l spo d trs dmnsons s un plno. Consdr l sstm d trs uons on trs nógnts f z d gz h j k lz m n dond d f g h j k l m son onstnts l mnos un d lls n d uón s dfrnt d ro. En st sstm d uons d uón rprsnt un plno. Cd soluón ( z l sstm d uons d d sr l mnos un msmo punto n d uno d los trs plnos. Estn trs posldds ( Los trs plnos s ntrsn n un solo punto P(z. Entons st un soluón ún pr l sstm lnl d uons. P(z

39 ( Los trs plnos ondn n un númro nfnto d puntos formndo un rt o nlusv ondndo dos o más plnos. Entons n d punto sor l plno s un soluón dl sstm d uons lnls por lo tnto s tn nfndd d soluons pr l sstm d uons lnls. (C Dos o más plnos qu rprsntn l sstm d uons lnls no ondn mdnt puntos o rts (plnos prllos d tl mnr qu nngún punto plno s ntrft on los otros. Por lo tnto no st soluón l sstm d uons lnls l sstm s nonsstnt.

40 . MÈODOS DE SOLUCON DE SSEMS DE ECUCONES LNELES. ELMNCON DE GUSS Cundo s pl l rduón d rnglón l mtrz umntd d un sstm d uons lnls s r un sstm qu pud sr rsulto mdnt susttuón h trás. El proso omplto s onodo omo Elmnón Gussn.. Esr un mtrz umntd d sstm d uons lnls.. Utl oprons lmntls d rnglón pr rdur l mtrz umntd l form slond dl rnglón.. Mdnt l susttuón h trás rsulv l sstm quvlnt qu orrspond l mtrz dl rnglón rdudo.. EJEMPLOS. Por l método d lmnón Gussn rsulv los sgunts sstms d uons. SOLUCÓN El sstm orrspondnt s hor L susttuón h trás d omo rsultdo d mnr qu l soluón pud prsrs d form vtorl omo

41 El sstm orrspondnt s hor L susttuón h trás d omo rsultdo d mnr qu l soluón pud prsrs d form vtorl omo El sstm orrspondnt s hor L susttuón h trás d omo rsultdo d mnr qu l soluón pud prsrs d form vtorl omo (Soluón trvl

42 ( t t t t t t t t t t S Prmtrzndo Not Dond t. n Por lo tnto l sstm tn nfndd d soluons t S Prmtrzndo ( ( ( t t t t t t t t t t t t t Dond. n Por lo tnto l sstm tn nfndd d soluons

43 El sstm orrspondnt s hor El sstm orrspondnt no tn soluón qu El sstm orrspondnt s hor El sstm orrspondnt no tn soluón qu.

44 ( t t t t t t t S Prmtrzndo Not Dond. n Por lo tnto l sstm tn nfndd d soluons El sstm orrspondnt s hor Con t t Dond t n. n Por lo tnto l sstm tn nfndd d soluons

45 . EJECCOS. Por l método d Elmnón Gussn rsulv los sgunts sstms d uons. ESPUESS soluons d nfndd tn sstm l Prmtrzndo sstm st pr soluon st No soluons d nfndd tn sstm l Prmtrzndo..

46 . ELMNCÓN PO GUSS-JODN Un modfón d l Elmnón Gussn smplf n grn mdd l fs d susttuón h trás s prtulrmnt útl undo s hn los álulos mno n un sstm qu tn un númro nfnto d uons. Est vrnt onod omo l lmnón d Guss-Jordn dpnd d rdur ún más l mtrz umntd. Dfnón. Un mtrz s nuntr n form rdud dl rnglón slondo s stsf ls propdds sgunts. Culqur rnglón onformdo ompltmnt por ros s nuntr n l prt nfror. L ntrd prnpl n d rnglón dstnto d ro s un (dnomndo prnpl. Cd olumn qu ontn un prnpl tn ros n ulqur otro sto. Elmnón d Guss-Jordn. Esr un mtrz umntd dl sstm d uons lnls.. Utl oprons lmntls dl rnglón pr rdur l mtrz umntd l form rdud dl rnglón slondo.. S l sstm rsultnt s onsstnt rsulv pr ls vrls prnpls n térmnos d ulqur vrl lr rstnt.

47 . EJEMPLOS. sulv l sstm por mdo d l lmnón Guss- Jordán El sstm orrspondnt no tn soluón qu

48 El sstm orrspondnt no tn soluón qu

49 El sstm orrspondnt no tn soluón qu. EJECCOS. sulv l sstm por mdo d l lmnón Guss- Jordán ESPUES t t ESPUES ESPUES

50 ESPUES

51 . PLCCONES. CCUOS ELECCOS (EDES Ls rds o rutos létros son un tpo splzdo d rd qu proporon nformón r d funts d podr o lmntón tls omo ls omlls létrs o los motors. Un funt d podr olg un orrnt d ltrons flur trvés dl ruto dond nuntr vros rsstors s uno d los uls rqur qu rt ntdd d furz s pld fn d qu l orrnt flu trvés d llos. L l fundmntl d l ltrdd s l l d Ohm qu stl tmnt uánt furz Eltromotrz E s nsr pr ondur un orrnt trvés d un rsstor on un rsstn gul. FUE ELECOMO ESSENC X COENE E L Furz Eltromotrz (E s md n volts l sstn ( s md ohms l Corrnt ( n mpros. sí n térmnos d sts undds l l d ohm s onvrt n voltos ohms X mps nos d qu l íd d voltj s stl undo un orrnt ps trvés d un rsstor; s dr unto voltj s gst. LEYES DE KCHHOFF L d l orrnt (nodos L sum d ls orrnts qu flun h ulqur nodo s gul l sum d ls orrnts qu flun h fur d st nodo. L dl voltj (mlls L sum d ls íds d voltj n ulqur ruto s gul l voltj totl dl ruto (proporondo por ls trís.

52 . EJEMPLOS. Dtrmn ls orrnts ndds n los sgunts rutos létros Dtrmn ls orrnts dl ruto létro qu s prsnt n l sgunt fgur. D V v C B E V v F En l nodo l l d l orrnt s otn D mnr smjnt s otn l msm uón pr l mll CDBC pro plndo l l d voltjs s tn qu Mll CDBC Osrvndo l Mll BEFB s otn qu. Mll BEFB

53 Con sts trs uons podmos onstrur un sstm d uons Es dr Por lo tnto l vlor d ls orrnts s ; ;

54 B Nodo BEDCB Mll BEF Mll BEF mll BEDCB mll B nodo Por lo tnto l vlor d ls orrnts s ; ; EV B EV C E D F

55 DCBD Mll FED Mll Nodo nodo FED mll DCBD mll Por lo tnto l vlor d ls orrnts s ; ; V v EV D C D E F B

56 BEFB Mll BEDCB Mll B Nodo B nodo BEDCB mll BEFB mll ; ; B D V C D F E

57 B EV C D D F. E mll DCBD mll FED nodo. Mll DCBD Mll FED Nodo Por lo tnto l vlor d ls orrnts s.;.;. Not l sgno ngtvo d l orrnt s porqu s tomdo n sntdo ontrro l polrzon.

58 . EJECCOS. Dtrmn ls orrnts ndds n los sgunts rutos létros C v B spust.m..m..m. D v C v. B spust.m..m..m. D v B EV C D spust.m..m..m. D F E Not El sgno ngtvo d l orrnt s porqu s tomdo n sntdo ontrro l polrzon.

59 . MCES Y DEEMNNES. NODUCCÓN. hor s studrá l mtrz por su propo vlor. ntrormnt s hn utlzdo mtrs (n l form d mtrs umntds pr rgstrr nformón pr udr ronlzr los álulos on lls por jmplo n l soluón d sstms d uons lnls. hor s vrá qu ls mtrs tnn propdds lgrs props qu prmtn hr álulos on lls sujts ls rgls lgrs d mtrs. dmás s osrvrá qu ls mtrs no son ojtos státos qu ropln nformón dtos; n lugr d llo rprsntn vros tpos d funons qu tún omo vtors trnsformándolos n otros vtors. Ests trnsformons mtrls omnzrn jugr un ppl prpondrnt n l studo d lgr lnl mtrán un nuv luz sor lo qu s h prnddo r d los vtors sstms d uons lnls. dmás d qu ls mtrs s prsntn n muhs otrs forms prt d ls vrsons umntds. Dfnón. Un mtrz s l rrglo rtngulr d númros dtrmndos ls ntrds o lmntos d un mtrz. OPECONES CON MCES.. Sum d mtrs. Gnrlzndo prtr d l dón d vtors s dfn l dón d mtrs por omponnts. S ( B ( son mtrs d m n su j j sum B s l mtrz d m n otnd mdnt l sum d ls ntrds orrspondnts d st mnr ( B j j D gul mnr s podrí hr dfndo B n térmnos d l dón d vtors spfndo qu d olumn (o rnglón d B fur d l sum d ls olumns (o rnglons orrspondnts d B. S no son dl msmo tmño ntons B no stá dfnd.

60 ... MULPLCCÓN DE MCES dfrn d ls dfnons d dón d mtrs l multplón por un slr l onptulzón dl produto d dos mtrs no s un dfnón por omponnts. Nturlmnt no h nd qu nos dtng pr dfnr un produto d mtrs n form d omponnts; dsfortundmnt tl dfnón tn pos plons no s tn nturl omo l qu hor s mustr Dfnón. S s un mtrz d dmnsons m n B un mtrz d dmnsons n r ntons l produto CB s un mtrz d m n. L ntrd dl produto s lul omo sgu... j j Osrvons nóts qu B no nstn sr dl msmo tmño. Sn mrgo l númro d olumns d l mtrz d d sr l msmo qu l númro d rnglons d l mtrz B. S s srn los tmños d B B n ordn s pud prr d un vstzo s st rqurmnto s stsfho. j n nj dmás s pud prdr l tmño dl produto nts d hr ulqur álulo pusto qu l númro d rnglons d B s l msmo qu l d los rnglons d mntrs qu l númro d d ls olumns d B s l msmo qu l d ls olumns d B omo s mustr ontnuón B m n n r B m r L fórmul pr ls ntrds dl produto s smjn un produto punto n rldd lo s. S d qu l ntrd ( j d l mtrz B s l produto punto d l -nésmo rnglón d d l j-nésm olumn d B. Λ Λ n Λ Λ Μ Μ Μ Λ Λ Λ Λ n Μ Μ Μ Μ n Λ Λ m m Λ Λ mn j Λ Λ r j Λ Λ r Μ Μ nj Λ Λ nr

61 Nóts qu n l prsón Λ j j j Λ nnj los suínds trors n d térmno d l sum son smpr j mntrs qu n los suínds ntrors smpr onurdn s nrmntn dsd hst n. S osrv st ptrón lrmnt s s sr mdnt l mplo d l notón d sumtor tl omo s mustr ontnuón j n k k kj L trnspust d un mtrz d m n s l mtrz d d n m qu s otn undo s ntrmn los rnglons olumns d. Es dr l - nésm olumn d s l -nésmo rnglón d pr tod.

62 . EJEMPLOS. l ls oprons ntr ls mtrs ndds d los sgunts jros. (S s posl [ ] ( ( DF F F E B B BC D BD B C B C B D D F E D C B

63 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( BC BC Dond. BC D oprón" l rlzr posl s No " BD B B C B oprón" l rlzr posl s No " C B D D

64 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (( DF Dond oprón" l rlzr posl s No " DF F F Dond F E BB BB

65 . EJECCOS. l ls oprons ntr ls mtrs ndds d los sgunts jros. (S s posl D B E C [ ] F B C; spust No s posl rlzr l oprón B D BC; spust E ( F FE; spust B C ( CB ; spust E F D spust D C

66 . CLSFCCÓN DE MCES rngulr Supror Un mtrz udrd s dnomn trngulr supror s tods ls ntrds por djo d l dgonl prnpl son ro. D st modo l form d un mtrz trngulr supror s * Μ * * Μ Λ Λ Λ Λ Ο Λ Λ * * * * Μ Μ * * * Dond ls ntrds mrds on un * son rtrrs. Un dfnón más forml d un mtrz [ ] j rngulr nfror. d st ls s qu j s > j. Un mtrz udrd s dnomn trngulr nfror s tods ls ntrds por rr d l dgonl prnpl son ro. D st modo l form d un mtrz trngulr nfror s * * * Μ * * * Μ * Λ Λ Λ Λ Ο Λ Λ Μ * * Μ * Dond ls ntrds mrds on un * son rtrrs. Un dfnón más forml d un mtrz [ ] j d st ls s qu j s < j Dgonl. Un mtrz udrd ( j s llm dgonl s todos sus lmntos fur d l dgonl prnpl son ro. Esto s s j. D st modo un mtrz dgonl s j Μ Μ Λ Λ Λ Λ Ο Λ Λ Μ Μ

67 d Eslr. Un mtrz dgonl n l ul tods sus ntrds dgonls son ls msms s ls ono omo mtrz slr. S l slr d l dgonl s l mtrz slr s l llm mtrz dntdd por jmplo sn B C D Ls ntrds dgonls d son pro no s udrd B s un mtrz udrd d on ntrds dgonls ; C s un mtrz dgonl D s un mtrz dntdd d. L mtrz dntdd d nn s dnot mdnt l símolo ovs. Nlpotnt. n (o smplmnt s sus dmnsons son Un mtrz udrd s dnomn nlpotnt (d potn nul s pr lgún m >. L plr nlpotnt provn dl ltín nhl qu sgnf nd potr qu qur dr podr. Un mtrz nlpotnt s ntons un qu s onvrt n nd (s dr l mtrz ro undo s lv lgun potn. f dmpotnt Un mtrz udrd s dnomn dmpotnt s (l plr dmpotnt provn dl ltín dm qu sgnf lo msmo potr qu qur dr tnr podr tnr potn. D st mnr lgo qu s dmpotnt tn l msm potn undo s lv l udrdo. g Potn Cundo B son dos mtrs d n n su produto B tmén srá un mtrz d n n. Un so spl s prsnt undo B. tn sntdo dfnr n gnrl dfnr k k omo Λ S k s un ntro postvo. D st form s onvnnt pr dfnr.

68 nts d hr dmsds suposons drímos prguntrnos hst qu punto ls potns d mtrs s omportn omo potns d númros rls. Ls propdds qu s prsntn ontnuón s sgun nmdtmnt d ls dfnons qu s n d dr son los nálogos mtrls d ls orrspondnts propdds d ls potns d los númros rls S s un mtrz udrd r s son ntros no ngtvos ntons h rnspust.. r s r s r s rs ( Hst hor tods ls oprons on mtrs qu s hn dfndo son nálogs ls orrspondnts on númros rls unqu pudn no omportrs smpr d l msm mnr. L oprón sgunt no tn un nálogo sí. L trnspust d un mtrz d m n s l mtrz d d n m qu s otn undo s ntrmn los rnglons olumns d. Es dr l -nésm olumn d s l -nésmo rnglón d pr tod. En osons l trnspust s mpld pr proporonr un dfnón ltrntv dl produto punto d dos vtors n térmnos d l multplón d mtrs. Un dfnón ltrntv útl d l trnspust s proporon n térmnos d sus omponnts ( pr tod j j j Smétr L trnspust tmén s utlz pr dfnr un tpo mu mportnt d mtrz udrd un mtrz smétr. Un mtrz udrd s smétr s s gul su prop trnspust s B

69 Entons s smétr pusto qu pusto qu B B pro B no s smétr Un mtrz smétr tn l propdd d qu s su prop mgn (omo un spjo on rspto su dgonl prnpl. Un mtrz smétr udrd s smétr s solo s tod j. pr j j j ntsmétr Un mtrz udrd s llm ntsmétr s (s dr j j. Lo qu qur dr qu l trnspust d un mtrz s gul l ngtv d l mtrz orgnl. k Hrmtn L mtrz s llm Hrmtn s onjugd d dnotd omo * dond * s l mtrz trnspust * qu st dfnd por l lmnto j d * j l Ortogonl Un mtrz Q d n n us olumns formn un onjunto orto-norml s dnomn mtrz ortogonl. El hho más mportnt r d ls mtrs ortogonls s sñldo por l sgunt torm Un mtrz udrd Q s ortogonl su solo s Q Q.

70 . M NVES En st prt s rgrsrá l dsrpón d l mtrz d un sstm d uons lnls s nvstgrá mnrs pr utlzr l lgr d mtrs pr rsolvr l sstm. modo d nlogí onsdr l uón dond rprsntn númros rls qurmos rsolvrl pr. ápdmnt s pud omprndr qu s qur / omo l soluón Pro s d rordr qu llo s rto s solo s s lnzrá l soluón mdnt l sgunt sr d psos ( ( ( ( Pr mtr st prodmnto pr l uón mtrl Qué s lo qu s nst? S nst hllr un mtrz tl qu un mtrz dntdd. S un mtrz sí st ntons s pud ftur l sgunt sun d álulos ( ( Dfnón S s un mtrz d n n un nvrs d s un mtrz d n n on l propdd d qu Dond n s l mtrz dntdd d n n. s tl st ntons s d qu s nvrtl. orm S s un mtrz nvrtl ntons su nvrs s ún. orm S s un mtrz d n n ntons l sstm d uons lnls ddo por tn soluón ún pr ulqur n. orm S ntons s nvrtl s d uo so d d d S d ntons no s nvrtl.

71 orm orm S s un mtrz nvrtl ntons B s nvrtl ( ( s nvrtl S s un mtrz nvrtl s un slr dfrnt d ro ntons nvrtl ( B B S B son mtrs nvrtls dl msmo tmño ntons B s S s un mtrz nvrtl ntons los ntros ngtvos n ( ( S s un mtrz nvrtl ntons n ( ( n n s nvrtl s nvrtl pr todos S E l mtrz lmntl qu s otn undo s ftú un oprón lmntl por rnglón sor n. S l msm oprón lmntl por rnglón s rlz sor un mtrz d d n r l rsultdo s l msmo qu l d l mtrz E. orm Cd mtrz lmntl s nvrtl su nvrs s un mtrz lmntl dl msmo tpo. orm S un mtrz d n n. ls dlrons sgunts son quvlnts s nvrtl tn un soluón ún pr tod n tn únmnt un soluón trvl. n L form rdud slond por rnglón d s s un produto d mtrs lmntls. n

72 orm S un mtrz udrd. S B s un mtrz udrd tl qu B o B ntons s nvrtl B. orm S un mtrz udrd. S un susón d oprons lmntls por rnglón rdu ntons l msm susón d oprons lmntls por rnglón trnsform n

73 . EJEMPLOS. Clulr l mtrz nvrs d los sgunts jros (s s posl. o Comprond nvrtl mtrz tn no mtrz st qu dr qur ro un pr rnglon sgundo l n Como Not o Comprond o Comprond

74 o Comprond o Comprond

75 . mtrz st pr st nvrs No Comprondo

76 o Comprond o Comprond

77 . EJECCOS. Clulr l mtrz nvrs. (s s posl ; ; ; ; ; spust spust spust spust spust

78 . DEEMNNE DE UN M. Dd un mtrz udrd d ordn n S llm Dtrmnnt d s rprsnt por ó tmén dt ( l númro qu s otn d l sgunt form Son ls dstnts prmutons d n lmnto (s dr n! lmntos Por tnto l dtrmnnt d un mtrz d ordn n strá formdo por l sum d n! Sumndos d uno d llos formdo por n ftors ntr los qu fgur un solo lmnto d d fl un solo lmnto d d olumn d l mtrz. Es onvnnt omnr un mnor on un sgno d o d -. Pr st fn dfnmos l oftor ( j s omo C j j ( dt j Con st notón l dfnón s onvrt n dt n C j j j j L dfnón ntror s ono mnudo omo l dsrrollo por oftors lo lrgo dl prmr rnglón. Es un hho sorprndnt qu s tng tmnt l msmo rsultdo dsrrollr o lrgo d ulqur rnglón (o nluso s ulqur olumn.

79 S rsum st hho omo un torm pro s pospon l dmostrón hst l fnl d st són (pusto qu s lgo lrg ntrrumprí l posón s s prsnt n st momnto. orm d pnsón d Lpl El dtrmnnt d un mtrz d n n [ j ] dond n pud sr luldo omo dt C C Λ Λ n C n n j j C j (L ul s l pnsón por oftors l lrgo dl -smo rnglón tmén omo dt C C Λ Λ j j j j nj C nj n j C j (L ul s l pnsón por oftors l lrgo dl j-ésm olumn j j Ddo qu ( dt C j d oftor s l mnor orrspondnt j on sgnos o - on l sgno orrto ddo por l térmno ( un mnr rápd pr dtrmnr s l sgno s o s rordr qu los sgnos onformn un ptrón tlro d jdrz Μ Μ Μ Μ Λ Λ Λ Λ Ο

80 . POPEDDES DE LOS DEEMNNES. L mnr más fnt d lulr dtrmnnts s mdnt l mplo d l rduón por rnglons. Sn mrgo no tods ls oprons lmntls por rnglons djn l dtrmnnt d un mtrz sn mos. El torm sgunt rsum ls propdds prnpls qu nst ntndr fn d utlzr d mnr fnt l rduón por rnglons. S [ ] un mtrz udrd. j S tn un rnglón (olumn ro ntons dt S B s otn l ntrmr dos rnglons (olumns d ntons dt B dt S tn dos rnglons (olumns déntos ntons. dt S B s otn l multplr un rnglón (olumn d por k ntons dt B k dt S B C son dénts pto qu -ésmo rnglón (olumn d C s l sum d los -ésmos rnglons (olumns d B ntons dt C dt dt B S B s otn l sumr un múltplo d un rnglón ( d otro rnglón (olumn ntons dt B dt olumn S Un mtrz d s dfn l dtrmnnt d por Con frun s dnotrá dt dt por ó El Dtrmnnt d un mtrz n n s dfnrá d mnr ndutv. En otr plrs s usrn lo qu s s d un dtrmnnt d pr dfnr un dtrmnnt d sto su vz s usrá pr dfnr un dtrmnnt d t.

81 S omnz por dfnr un dtrmnnt d S dt. Entons osrv l sgno mnos nts dl sgundo trmíno dl ldo drho.

82 . EJEMPLOS. Clulr los sgunts dtrmnnts. ( ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( (( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( (( (( ((

83 ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( [ ] ( tn. to lo Por dond

84 ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( (( [ ] [ ] ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( (( [ ] [ ] ( tn to lo Por dond

85 . EJECCOS. Clulr los sgunts dtrmnnts ; ; spust spust spust spust spust

86 . M DJUN S un mtrz d S Entons su mtrz djunt s dfn omo dj l lulr l djunt d un mtrz no olvd trnsponr l mtrz d oftors. Consdrmos un mtrz n-udrd ( j sor un urpo K. El djunto d dnotdo por dj. s l trnspust d l mtrz d oftors d Por jmplo Los oftors d los nuv lmntos d son

87 L trnspust d l mtrz d los oftors ntrors proporon l djunto d plón dl djunto pr hllr l mtrz nvrs Osrvmos qu st propdd nos prmt hllr por otro método l nvrs d un mtrz. onsdr l mtrz sí pus plndo l propdd ntror ( dj S otn

88 . EJEMPLOS. Clulr l mtrz nvrs por l método d l Mtrz djunt. ( ( ( dt ( ( dj Fnlmnt dj Entons Y S dj mtrs pr dfnón Por dj mtrs pr dfnón Por

89 ( ( ( dt ( ( dj Fnlmnt dj Entons S

90 dt dj Fnlmnt Entons S

91 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

92 dt ; ( ( ( ( dj

93 . EJECCOS. Clul l mtrz nvrs por l método d l Mtrz djunt. spust spust spust spust

94 . SOLUCON DE UN SSEM DE ECUCONES LNELES VES DE L NVES. orm. S s un mtrz nvrtl d n n ntons pr d mtrz B d l n l sstm d uons B X tn tmnt un soluón dd por B X Ejmplo S l sgunt sstm d uons lnls En su form mtrl l sstm s pud srr omo B X dond B X Un vz qu s mustr qu s nvrtl qu Por l ntror torm l soluón dl sstm s B X Es dr.

95 . EJEMPLOS. solvr los sgunts sstms d uons lnls trvés d l nvrs. tnto lo Por tn s Fnlmnt ntons orrspond nt s ofnt d mtrz l D

96

97

98

99

100 . EJECCOS. solvr los sgunts sstms d uons lnls trvés d l nvrs. spust spust spust spust

101 . SOLUCÓN DE DE UN SSEM DE ECUCONES LNELES PO L EGL DE CME gl d Crmr S un mtrz d n n supong qu dt Entons l soluón ún l sstm st dd por D D D D... D... D D n D Dmostrón. L soluón s. Pro ( dj D D Μ Μ n Λ Λ Λ n n Μ Μ nn n hor n (dj s un n-vtor u omponnt j s ( j j Κ nj. j j Λ Λ Μ n n nj Consdr l mtrz j j Μ Μ n Λ Λ Λ Μ n Λ Λ Λ n n Μ nn S s pnd l dtrmnnt j rspto su olumn j s otn j ( oftor d ( oftor d Λ ( oftor d D Λ Pro pr nontrr l oftor d s lmn l rnglón l olumn d j d j. pro l olumn j d j s s lmn s tndrá smplmnt l mnor j d ntons Coftor d n j j n n

102 . EJEMPLOS. sulv los sgunts sstms d uons por l rgl Crmr. X X X

103 ( ( ( ( X

104 ( ( ( ( X

105 ( ( ( ( X

106 . EJECCOS. sulv los sgunts sstms d uons por l rgl Crmr. X spust X spust X spust

107 . ESPCOS VECOLES. Dfnón. Un spo vtorl rl V s un onjunto d ojtos llmdos vtors junto on dos oprons llmds sum multplón por un slr qu stsfn los oms o propdds sgunts. Propdds d un Espo Vtorl. S V V ntons V (rrdur jo l sum. Pr todo z n V ( z ( z (l sotv d l sum d vtors. Est un vtor V tl qu pr todo V (l s llm vtor ro o dénto dtvo. S V st un vtor n V tl qu ( ( s llm nvrso dtvo d. S stán n V ntons (l onmuttv d l sum d vtors. S V α s un slr ntons α V (rrdur jo l multplón por un slr. S stán n V α s un slr ntons α ( α α (prmr l dstrutv. S V α son slrs ntons ( α α (sgund l dstrutv. S V α son slrs ntons α ( ( α (l sotv d l multplón por slrs. Pr d vtor V Not no s dfíl dmostrr qu l dénto dtvo l nvrso dtvo n un spo vtorl son únos. En l prát vrfr los dz oms pud sr tdoso. En dlnt s vrfrán solo qullos oms qu no son ovos.

108 . EJEMPLOS. Dtrmn s l onjunto ddo junto on ls oprons spfds d multplón dón por slrs son un spo vtorl. El onjunto d todos los vtors n d l form n ls oprons vtorls htuls d dón multplón por slrs. Soluón. tn ( ; vtorl s un spo oms dz on los umpl ddo onjunto l omo to lo Por d d d d u v u onjunto s st propdd ls plndo v u

109 El onjunto d todos los vtors n on on ls oprons vtorls htuls d dón multplón por slr. Soluón u ; v plndo ls propdd s st onjunto u v s l umpl u no lumpl Y qu s tom vlors ngtvos ( < l rsultdo prmr udrnt no s umpl l ondon no s u n l Por lo qu s onlu qu no s un spo vtorl.

110 El onjunto d todos los vtors n on (s dr n l prmr o trr udrnt on ls oprons vtorls htuls d dón multplón por slr. Soluón.. tn ( ( ( ; vtorl s un spo oms dz on los ddo umpl onjunto l omo to lo Por udrnt o trr prmr n l s u rsultdo l o ngtvo postv s d d l multpl on s d d udrnt o trr prmr n l s u rsultdo l o ngtvo postv s d d l sum s d d udrnt trr n l s u rsultdo l S udrnt prmr n l s u rsultdo l S u udrnt o trr prmr n l s u rsultdo omo v u s st onjunto propdd ls plndo v u < >

111 El onjunto d todos los vtors n d l form z z on l oprons htuls d dón multplón por slrs. Soluón vtorl no s un spo to lo por nt orgnlm ddo onjunto l on rspto form su Cm z z u on pro s umpl s z z u s umpl s z z z z v u onjunto st s propdd ls plndo z z v z z u tn ( ( ( ( ( ( ( ( ; < El onjunto d mtrs d l form n M. Con ls oprons vtorls htuls d dón multplón por slrs. Soluón. tn. ( ( ; vtorl to no s un spo lo Por nt orgnlm dds d mtrs onjunto o l onrspt m strutur lo qu tl Por M M M M

112 El onjunto d mtrs dgonls d jo l sum multplón d mtrs por slrs. Soluón ; M M M M M

113 . tn ( vtorl s un spo oms dz on los ddo umpl onjunto to l lo Por d d d d. EJECCOS. Dtrmn s l onjunto ddo junto on ls oprons spfds d multplón dón por slrs son un spo vtorl. { } rls ; ( on l sum d vtors multplón por slrs usuls. ESPUES No onsttu un spo vtorl porqu no umpl ls propdds ( ( solo s umpl s < pr l propdd (. El onjunto d todos los vtors n on on ls oprons vtorls htuls d dón multplón por slrs. El onjunto d los vtors n d l form on l oprons htuls d sum multplón por un slr.

114 ESPUES S onsttu un spo vtorl porqu umpl on ls dz propdds. Los vtors n l plno qu stán n l prmr udrnt on l oprons htuls d sum multplón por un slr. El onjunto d tods ls mtrs trngulrs suprors d on ls oprons mtrls htuls d dón multplón por slrs. ESPUES S onsttu un spo vtorl porqu umpl on ls dz propdds. El onjunto d ls mtrs d qu tnn l form multplón por slrs usuls. jo l sum

115 . SUBESPCOS VECOLES Dfnón. S H un suonjunto no vío d un spo vtorl V supong qu H s n s un spo vtorl jo ls oprons d sum multplón por un slr dfnds n V. Entons s d qu H s un suspo d V. Not s pud dr qu l suspo H hrd ls oprons dl spo vtorl pdr V. Propdds d un Suspo Vtorl S H H ntons H S H ntons H α pr todo slr α. Ls propdds ntrors ontnn un hho qu por su mportn mr qu s l hg mnón plítmnt odo suspo d un spo vtorl V ontn l o lmnto nulo. Est hho on frun flt vr s un suonjunto d V n prtulr no s un suspo d V. Es dr s un suonjunto no ontn l ntons no s un suspo. Not qu l vtor ro n H un suspo d V s l msmo qu l vtor ro n V.. EJEMPLOS. Dtrmn n los sgunts jros s W s un suspo d V. tn ; ; ; V d suspo un s W to lo por nulo lmnto l ontn on W W W W W W V

116 dl rrdur propdd umpl onl no W W W W W V ( ( ( ( ( ; ; ( tn. ; V d to W no s un suspo lo por nulo lmnto on l No umpl on W { } ( ( ( ( ( tn ; ; ; P to W sunsuspodv porlo ontnllmnto nulo on W W W W W W P V

117 ( ( ( ( ( tn. ;. ; ; V d no s un suspo W to lo por nulo lmnto on l No umpl on W o orgnl suonjunt dl lmnto l no s gul qu d l rrdur propdd on l umpl no W W W W W V

118 tn ; ; ; s un suspo dv to W por lo nulo lmnto ontn l on W W W W W W V ( ( ( ( ( ( ( ( tn ; ; ; M dv s un suspo W to lo por nulo lmnto l ontn on W M M M M W M V

119 Dtrmn s W s un suspo d V. { } ( ( ( ( ( ( ( ( ( tn ; tn ; tn ; ; ; P dv s un suspo W to lo por nulo lmnto l ontn on d vlor ulqur por multpl ndo on l ondon nl sgu umplndo pr W d l rrdur propdd to umpl on l lo por d ondon nl otndo umpl on l rsultdo l d dndo vlors s tn l ondon do rsp pr W W W W pr W P V

120 ( ( ( ( ( ( tn ; ; ; s un suspo dv to W por lo nulo lmnto ontn l on W W W W W W V

121 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( tn ; ; ; s un suspo dv to W por lo nulo lmnto ontn l d d d on d d d d d d W d d d d d d d d d d d d W W d d W d d W d d W V

122 V P ; W { } pr W ; W W W pr pr W ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( por qu no sr un polnomo d grdo. dndo vlors d l rsultdo otndo umpl on l ondon nl d ((( ; por lo tn to umpl on l propdd d l rrdur on pr dndo vlors d l rsultdo otndo umpl on l ondon nl d ((( ; por lo tn to umpl on l propdd d l rrdur on NO on sgu umplndo on l ondon nl multpl ndo por ulqur vlor d ; ; on no s pud dr vlor d on ; ontn l lmnto nulo por lo tn to W s un suspo dv P

123 . EJECCOS. Dtrmn n los sgunts jros s W s un suspo d V. V ; W spust W s s un suspo d V V ; W V ; W spust W s sun suspo d V V ; W V M ; W pr d d spust W nos un suspo d V M El onjunto d todos los vtors ro. uo prmro últmo omponnt son El onjunto d todos los vtors uos prmros trs omponnts son ro. spust W s s un suspo d V V M ; W El onjunto d todos los polnomos d grdo ; V P ; W spust W nos un suspo d V P El onjunto d ls mtrs dgonls d nn ; V M nn ; W

124 . NDEPENDENC LNEL Dfnón. Un onjunto d vtors v v... v k d un spo vtorl V s lnlmnt dpndnt s stn slrs... k l mnos uno d los uls no s tl qu v v... v k k Un onjunto d vtors no lnlmnt dpndnt s d qu s lnlmnt ndpndnt (lnlmnt dpndnt l mnos uno d los vtors s omnón lnl d los otros.. EJEMPLOS. Dtrmn s los sgunts onjuntos son lnlmnt ndpndnts o dpndnts. s v v v s lnlmnt dpndnt qu stn slrs dtl form qu ( ( ( { } tls slrssomn por nspon ( ( ( omo l rsultdo s gul l onjunto s lnlmnt dpndnt Dtr mn s { } s lnlmnt ndpnd nt ntons grupndo Esto mpl ( ( ( ( ( ( ( ( sto mpl omo l dt r mn nt s dfrnt d lonjunto s lnlmnt ndpnd nt

125 ( ( ( ( dpndnt s lnlmnt onjunto l gul s nt r omo l d d d ndpnd nt s lnlmnt s Dtr mn dt mn { } ( nt ndpnd lnlmnt s onjunto l d dfrnt s nt r l omo mtrl form En gnrl form En P V n mn dt

126 { } ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( onjunto s lnlmntndpndnt l s dfrnt d nt r omo l P V n mn dt. EJECCOS. Dtrmn s los sgunts onjuntos s lnlmnt ndpndnt o dpndnt. { } { } dpndnt s lnlmnt spust P V n P V n dpndnt s lnlmnt spust s lnlmnt ndpndnt n s Dtr s lnlmnt ndpndnt n M s Dtr s lnlmnt ndpndnt spust s lnlmnt ndpndntn M s Dtr mn mn mn

127 . BSES VECOLES. Dfnón. Un suonjunto d un spo vtorl V s un s pr V s.- gnr V.- s lnlmnt ndpndnt.. EJEMPLOS. Dtrmn s los sgunts onjuntos onsttun un s. Dmustr qu { } s un s pr V P ( ( ( ( ( ( gulndo potns n mos ldos d dond ( ( omo l dt r mn nt por lo tn to s un s pr s dfrnt d l V P onjunto s lnlmnt ndpnd nt

128 ( ( ( ( tn mn dt M V pr s un s to lo por nt ndpnd lnlmnt s lonjunto d dfrnt s nt r l omo d d d M V pr s un s qu Dmustr ( ( ( ( tn mn dt M V pr no s un s to lo por onjunto s lnlmnt dpndnt l s gul nt r omo l d d d M V pr s un s Dmustr qu

129 ( ( ( ( tn mn dt M V pr nos un s to por lo onjunto s lnlmnt dpndnt l s gul nt r omo l d d d M V pr s un s Dmustr qu { } ( ( ( ( ( ( ( ( ( tn mn dt P V pr no s un s to por lo onjunto s lnlmnt dpndnt l s gul nt r omo l ò potns n mos ldos gulndo P V pr s uns Dmustr qu

130 . EJECCOS. Dtrmn s los sgunts onjuntos onsttun un s. { } { } onjunto no onstu un s l spust P V pr s uns Dmustr qu P V pr s uns Dmustr qu onjunto no onstu un s l spust M V pr s uns Dmustr qu M V pr s uns Dmustr qu onjunto no onstu un s l spust M V pr s uns Dmustr qu

131 .. CMBO DE BSE. En V s prsn vtors n térmno d l s ( j. sí omo tmén pr V s prsn vtors n térmnos d l s ( k j. Pro n osons s pud trjr n lgun otr s pr lo ul st n numro nfnto d ss pr sogr qu n un spo vtorl d dmnsón n uls qur n vtors lnlmnt ndpndnts formn un s. Pr l so d V sn u u. Entons { } u u s un s nón n. Sn v v. Como v v son lnlmnt ndpndnts (por qu v no s múltplo d v ntons v v s un sgund s n. S un vtor n. Est notón sgnf qu u u Es dr st prsdo n térmnos d los vtors d l s. Es dr Como s otr s n stn slrs tls qu v v Enontrndo s tn Lo qu sgnf qu st prsdo n térmnos d los vtors n.

132 Pr nontrr s sr l s ntror ( u u n térmnos d l nuv s v v. Es dr ( ( B u u Entons ( ( ; ; otmn Entons v v v v v v u u Entons v v u solvndo B D v v u solvndo D

133 ( v v v v v v ntons Por jmplo s FGU ( Eprsón d v n térmnos d FGU ( Eprsón d v n térmnos d l mtrz s l llm mtrz d trnsón d. En gnrl l prodmnto pr nontrr l mtrz d trnsón d un s l s S sr l mtrz P us olumns son n V V V... S lul ( P P. Est s l mtrz d trnsón qu s us. ( u u

134 .. EJEMPLOS. S ( P on { }. Enuntr l vtor oordnd d ( P on rspto { } Los vtors oordndos d ( P n térmnos d son ( ( ( Entons l mtrz d trnsón d s otn prtr d P Pr dtrmnr P s muho más fál utlzr l hho d qu ( P P Entons ( ( P P Fnlmnt ( P

135 S ; Clulr Los vtors oordndos d térmnos d s otnn d ls sgunts omnons lnls Est prodmnto drá rsolvr sstms lnlmnt ndpndnts pr nontrr. Pro s muho más fál utlzr l hho d qu. ( P P Los vtors oordndos d n térmnos d son ; ; Entons P Pr dtrmnr P s muho más fál utlzr l hho d qu

136 ( P P Fnlmnt ( P

137 S ( P on { }. Enuntr l vtor oordnd d ( P on rspto { }. Los vtors oordndos d ( P n térmnos d son ( ( ( Entons l mtrz d trnsón d s otn prtr d P Pr dtrmnr P s muho más fál utlzr l hho d qu ( P P Entons ( ( P P Fnlmnt ( P

138 S ; Clulr ( P P Los vtors oordnds d n térmnos d son ; ; Entons P Pr dtrmnr P s muho más fál utlzr l hho d qu ( P P Fnlmnt ( P

139 S ; Clulr Prtndo d u u u u u u Ordnndo u u u Dond u u u P Por lo tnto d dond u Entons v v v u d dond u Entons v v v u d dond u Entons v v v u

140 Ordnndo P Fnlmnt Enuntr l vtor oordndos d on rspto l s. n dond Entons l mtrz d trnsón d s otn prtr d P Pr dtrmnr P s muho más fál utlzr l hho d qu ( P P Fnlmnt ( P

141 S ; n Clulr ( P P Los vtors oordndos d n térmnos d son ; ; Entons P Pr dtrmnr P s muho más fál utlzr l hho d qu ( P P Fnlmnt ( P

142 S ( P on { }. Enuntr l vtor oordndo d ( P on rspto { }. Los vtors oordnds d ( P n térmnos d son ( ( Entons l mtrz d trnsón d s otn prtr d P Pr dtrmnr P s muho más fál utlzr l hho d qu ( P P Entons ( ( P P Fnlmnt ( P

143 .. EJECCOS. Enuntr l mtrz d mo d s P d los sgunts jros. S ; n Clulr spust S ; n Clulr S ; n Clulr spust S ; n Clulr S ( P on { }. Enuntr l vtor oordndo d ( P on rspto { }. spust S ( P on { }. Enuntr l vtor oordndo d ( P on rspto { }..

144 P on { } { } S ( oordndo d P ( on rspto ( (. Enuntr l vtor. spust ( ( ( on { }. Enuntr l vtor P on rspto { }. S P ( oordndo d (

145 . NSFOMCONES. NSFOMCONES LNELES. Ls mtrs pudn sr utlzds pr trnsformr vtors undo tún n funons d l form v w. Un funón s un trnsformón lnl d los númros rls qu trnsformn númros rls n númros rls por jmplo ( f. En l so d mtrs ésts pudn trnsformr un vtor n por jmplo v Entons v w Esto dmustr qu trnsform v n w. D mnr más gnrl L mtrz trnsform un vtor rtrro d n un vtor d. l trnsformón s sr omo Un trnsformón (o mpo o funón d n m s un rgl qu sgn d vtor v d n un vtor úno v d m. El domno d s n mntrs qu l ontrdomno d s m. Esréndos d l sgunt form m n. En l jmplo ntror l domno d s su ontrdomno s.

146 n m Dfnón. Un trnsformón s dnomn trnsformón lnl s. u v u v pr todo u v n n. v v pr todo n v n todo slr L dfnón d trnsformón pud sr ronlzd mdnt l omnón d ls dos propdds ntrors d l sgunt mnr n m s trnsformón lnl s v v v v pr todo v v n n slrs. En l so d ls trnsformons mtrls tods son lnls. Dfnón. S un mtrz d nm. Entons l trnsformón mtrl n m dfnd por (pr n n s un trnsformón lnl.

147 . EJEMPLOS. Suponr qu s un trnsformón lnl d n P tl qu Enuntr Y qu s un s pr (son lnlmnt ndpndnts por lo tnto solvndo Por lo tnto ( ( D mnr smlr solvndo Por lo tnto ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Cundo s tn

148 S P P un trnsformón lnl pr l ul [] [ ] [ ] Enuntr [ ] [ ] Y qu { } s un s pr P (son lnlmnt ndpndnts por lo tnto ( ( ( gulndo ofnts n potns d " " ; ; Por lo tnto [ ] [] [ ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] ( ( ( [ ] D mnr smlr ( ( ( gulndo ofnts n potns d " " ; ; Por lo tnto [ ] [] [ ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] ( ( ( [ ] ( ( ( [ ] ; ; Cundo

149 S un trnsformón lnl pr l ul Clul Ddo qu onsttun un s (lnlmnt ndpndnts ntons solvndo Entons

150 ( ( S M un trnsformón lnl pr lo ul Enuntr Ddo qu Consttun un s (lnlmnt ndpndnts ntons Entons solvndo Por lo tnto ( ( ( (

151 S P P un trnsformón lnl pr l ul [] [ ] [ ] Enuntr [ ] Y qu { } s un s pr P (son lnlmnt ndpndnts por lo tnto ( ( ( gulndo ofnts n potns d " " ; ; Por lo tnto [ ] [] [ ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] ( ( ( [ ] [ ] S M un trnsformón lnl pr lo ul Enuntr Ddo qu Consttun un s (son lnlmnt ndpndnts ntons

152 ( solvndo Por lo tnto ( ( ( ( s P un trnsformón lnl pr l ul Enuntr Y qu s un s pr (son lnlmnt ndpndnts por lo tnto solvndo Por lo tnto ( (

153 S un trnsformón lnl tl qu Enuntr Y qu s un s pr (son lnlmnt ndpndnts por lo tnto solvndo Por lo tnto D mnr smlr solvndo Por lo tnto

154 . EJECCOS. Enuntr ls trnsformons lnls d los sgunts jros. S P P un trnsformón lnl tl qu ( ( ( Enuntr ( ( ( ( spust S P P un trnsformón lnl tl qu ( ( Enuntr ( ( ( S un trnsformón lnl tl qu ( ( ( Enuntr ( z z spust S un trnsformón lnl tl qu Enuntr S P P un trnsformón lnl pr l ul ( ( ( Enuntr ( ( ( spust S M un trnsformón lnl pr lo ul

155 Enuntr d S un trnsformón lnl tl qu Enuntr spust S P P un trnsformón lnl qu stsf ( n n n n Enuntr ( ( ( (

156 . PENDCE. lgr Lnl on SCENFC WOD PLCE (Vrsón. En l tuldd l poo d Softwr pr l motvón álulo vrfón d rsultdos otndos n ls Mtmáts sus plons n l ngnrí n gnrl n spl n l ngnrí Eltrón s d vtl mportn. Por lo ul s nn un sr d jros d lgr Lnl oprons on Númros Compljos on sus nstruons d álulo rsptvs on l progrm SCENFC WOD PLCE. Progrm omptl on Mrosoft qu utlz un hoj d trjo vntns smologí dnáms d trjo n gnrl smlrs. Por lo h un pqut mu ftl vrsátl ún undo s tngn jos onomntos n progrmón; sólo on pos snlls nstruons pr los rsptvos álulos n vrs rms d ls Mtmáts Cálulo Dfrnl ntgrl Cálulo d Vrs Vrls nálss Numéro Proldd Estdíst rnsformds d Lpl rnsformds d Fourr t.

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167 . BBLOGF CONSULD. Drrk Wllm. Vrl omplj on plons. Edtorl romér.. Spgl Murr. Vrl Complj. Shum Edtorl M Grw Hll Méo. Pool Dvd. lgr Lnl un ntroduón Modrn. Edtorl homson.. Grossmn Stnl. lgr Lnl. Edtorl M Grw Hll. Qunt Edón.. Nkos Gorg / Jonr Dvd. lgr Lnl on plons. Edtorl homson.. Howrd nton. ntroduón l lgr Lnl. Edtorl Lmus Prmr Edón..