Cuadrados mágicos y Matrices mágicas
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- Esteban Núñez Gutiérrez
- hace 5 años
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1 Insttuto Mtmát y Fís Curos máos y Mtrs más Son Auñ Corsn, Lo Snt Trst Tl Mrí Anton Arllno, Lo Polténo Sn Jvr Ros Bron Vns, Colo Intro Sn Pío X Tl Introuón Un ntrsnt y ntrtno tm qu h trío l tnón muhos mtmátos y onos l mtmát, h so l onstruón uros máos. Est ntu ntrtnón qu t más 3000 ños, s h onsttuo n un pstmpo y un sío l nno y l pn. Los prmros uros qu uron onsros máos, rn rrlos los prmros n númros nturls, sn rptr nnuno stos númros, spustos n ls n slls un uro n ls y n olumns tl mnr qu los númros l, olumn y un ls os onls sumn l msmo númro. El nomr máo s ls truy o ls xtrñs ntrsnts props qu posn stos rrlos. Los mtmátos qu hn stuo los uros máos, más llá un pstmpo, hn surto muhs props y órmuls pr su onstruón, luns ls uls s prsntrán n st trjo. El stuo tls rrlos, onsttuy un ntrsnt tm pr trjr on stunts nsñnz ás y m, y qu l lumno pu surr rlons ntr ls, suuros, olumns, t. plno snlls oprons rtmét. El trjo on uros máos los ntrtn y motv l stuo l mtmát y ls prmt srrollr su rtv nno. En st rtíulo s ntrrán lunos ntnts hstóros sor los oríns y l sno los uros máos, métoos pr su onstruón y su nrlzón llv mtrs más. S h pusto énss n l rlón st tm on l prát ont, mostrno luns tvs ntrtns sor uros máos, qu s pun srrollr on los lumnos. Antnts Hstóros Too pr nr qu los prmros n surr los uros máos uron los Chnos. El prmr uro máo qu s tn onomnto, nomno Lu Shu, s truo l míto hno Fuh-H. Un uros lyn unt qu st uro máo (vr ur 1), u rvlo l homr, por prmr vz, n l przón un tortu qu mró ls us l río Loh, n l ul s nontr nsrt l onurón ométr qu s mustr más jo. 4
2 Insttuto Mtmát y Fís Fur 1 Los hnos truyron sus props mtmáts un sno místo, tl punto qu s onvrtó n l símolo qu runí los prnpos ásos qu ron orm ls oss, los humnos y l unvrso. Los númros mprs son xprsos por puntos lnos (mlm l lo) y los prs por puntos nros (mlm l trr). Ds Chn llron l In nots los uros máos, on postrormnt psron Ont, prolmnt por mo los árs. Durnt l rnmnto, l mtmáto Cornlo Arpp ( ) s ó l onstruón uros máos orn n, n los uls prn los nturls l 1 n, pr n ul 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9, y ls truyó un sno stronómo. Rprsntn smólmnt Sturno, Júptr, Mrt, l Sol, Vnus, Mruro y l Lun. Un uro máo orn utro, ormo on los 16 prmros númros nturls s nuntr n l or Mlnolí l pntor Alrto Durro, qu t l ño 1514 (vr ur ). En ls slls ntrls l últm l, l uro máo rprou l ño l rón l ro Fur
3 Insttuto Mtmát y Fís En los slos XVI y XVII s rí qu un uro máo ro o srto sor un pquñ pl o hp plt, tní pors ontr l pst. Curos Máos A ontnuón s srrán rtos tpos uros máos, lunos métoos onstruón y prolms rlonos on stos rrlos. 1. Los uros máos orn n, nomnos normls, son qullos ormos por los n prmros númros nturls, uys ls, olumn y onls sumn l msmo númro. Est sum S s llm onstnt má. Por jmplo: Un uro máo orn 3, ormo por los númros nturls l 1 l 9 s: L onstnt má s S El uro máo orn 5, ormo por los prmros 5 númros nturls: L onstnt má s S Un prolm ntrsnt s: trmnr l onstnt má S un uro máo norml orn n Pr l so n 5 l sum tos ls slls l uro s: 5 1 S 5 1 L Luo, l onstnt má S st uro máo orn 5 s: 35 S 65 5 Gnrlzno, pr un uro máo norml orn n, s tn: n ( n 1) S n 1 L n n Luo, l onstnt má s: ( n 1) S Un uro máo norml orn 4 s por jmplo: 6
4 Insttuto Mtmát y Fís A ontnuón s mostrrán lunos métoos o téns pr onstrur uros máos normls: ) Métoo pr onstrur uros orn mpr S onstruy l tl, sún l orn l uro. S u n l prmr l y l ntro ll l númro 1. Los movmntos, pr ur los otros númros son n onl. S l númro s sl por l rh un l, ntons ho númro s u l omnzo st l. S l númro s sl por sor un olumn, ntons s u l nl h olumn. S sor un posón oup, ó sl por l squn l uro, s sr jo l númro ntror. Pr jmplr, s onstrurá un uro máo orn 7, on los prmros 49 númros nturls, usno st métoo. Notr qu l sum S l s ) Métoo pr onstrur uros orn 4, y orn múltplos 4 En prmr lur s prsntrá un métoo pr onstrur un uro máo orn 4: S onstruy l tl. S olo un punto n sll ls os onls l uro. El uro s omnz llnr por l prmr l, l prmr l prtno l 1. S l l tn un punto, l númro s ontlz, pro no s sr
5 Insttuto Mtmát y Fís Pr ompltr l uro s un los númros n orm rnt (omnzno on l myor qu s 16) prtno por l prmr l l prmr l. S l l stá y oup l númro s ontlz pro no s sr. Otnno l uro: En nrl, pr onstrur uros máos normls orn múltplo 4, s pro l msm orm, suvno l uro n uros orn 4, mrno un punto n lmnto ls onls los suuros. Pr jmplr s onstrurá un uro máo orn 8: Otnno l uro máo: Notr qu, los métoos prsntos prmtn onstrur uros órns: n1 y 4n, pr too númro nturl n. En nrl, pr órns 4n, 4n1 y 4n3. Prolms. ) Exstn uros máos normls orn?. Justr. ) Pr qué vlors n, no s h srto un métoo pr onstrur un uro máo orn n. Postrormnt, s xtnó l onpto uro máo orn n, los rrlos uros n númros nturls onsutvos, spustos tl mnr qu los númros l, olumn y onl sumn l msmo númro. 8
6 Insttuto Mtmát y Fís Un métoo lro pr onstrur uros máos orn 3 s prsnt n l sunt tl: m3 m-4 m1 m- m m sno m un númro nturl myor qu 4 m-1 m4 m-3 Prolms: ) Dnotr por t l mnor númro l uro ntror, s r t m-4. Construr un uro n térmnos t, y trmnr l sum onstnt S l (olumn, onl) n unón t. ) Construr un uro máo st tpo tl qu l númro orrsponnt l sll u n l trr l, sun olumn, s 9. ) Extnno l onpto uro máo, un rrlo on n númros ntros n prorsón rtmét, tl qu los númros l, olumn y onl sumn l msmo númro S. Dtrmnr l sum S, s l mnor ntro l rrlo s m y l rn onstnt l prorsón rtmét s. 3. Otros uros qu hn so stuos son los uros s-máos. Estos son rrlos n númros spustos n ls slls un uro n ls y n olumns, tl qu tl qu sus ls y olumns sumn lo msmo. Alunos stos uros son los sunts. ) Curo Frnkln: Est uro s orn 8, ormo on los 64 prmros númros nturls: Cuross st uro: S n l nos tnmos n l mt, lo los númros sumn 130. S s l mt l trzmos líns prlls ls onls, los númros sumn 60. (onsrno ls os líns) Los númros ls utro squns, más los utro númros l ntro l uro sumn 60. L sum utro slls, n su-uros orn, s 130. L sum utro númros qustnts l ntro l uro s 130. ) "Curo pr un llo" Lonhr Eulr: uro orn 8 (un tlro jrz) n l ul l sum l, y olumn s 60. 9
7 Insttuto Mtmát y Fís Cuross st uro: S s omnz l sll l 1 y s rlzn los sltos l llo jrz, s rorrn ls 64 slls onsutvmnt Los utro uros orn 4, qu son s uros máos. L sum l y olumn s Osrvons: A prtr un uro máo (o s-máo), s pun otnr nuvos uros máos (o s-máos). En to: S númro un uro máo s l sum (o rst) un msmo númro ntro, l uro qu s otn s tmén máo. S númro un uro máo s multpl (v) por un msmo númro ntro, l uro qu s otn s máo. Ajuntno uros máos l msmo orn n, s pu onstrur uro máos orn n 0 k 90 ( k ntro), on rspto l ntro l S un uro máo s somt rotons uro, s otn un uro máo. S s somt rlxons on rspto un ls prlls ms l uro y ls onls, s otn un uro máo. Consrno ls osrvons ntrors, l prolm s onstrur ptrons uros máos, y qu prtr ést, s otnn nuvos uros máos rvos. Prolms: ) Construr otros molos uros máos (normls) orn 3 y orn 4. Not: Exstn 0 ptrons o tmén llmos uros máos unmntls orn 4. ) Construr un uro máo norml tl qu su onstnt má s un númro rno Mtrs Más El trjo on uros máos s nrqu trtánolos mtrlmnt, y qu st mnr s l norpor to l potn los métoos y téns l álr lnl. Un mtrz má s un mtrz ur on ntrs rls, n l ul tos ls ls olumns y onls tnn l msm sum. Dh sum tmén s llm onstnt má. 10
8 Insttuto Mtmát y Fís Consrr l mtrz má orn 3: A uy onstnt má s Notr qu, s s multpl lmnto l mtrz A por 5 (por jmplo), s otn l mtrz 5 A, qu tmén s má. En nrl, s A s un mtrz má, ntons k B s tmén un mtrz má l msmo orn, pr too númro rl k S B otr mtrz má orn 3. Notr qu A B tmén s un mtrz má. En nrl, s A y B son mtrs más l msmo orn, ntons A B tmén s má. Un so prtulr s uno ntr o omponnt B s l msmo númro. L mtrz ro orn n s má, y qu sus ls, olumns y onls sumn ro. S s not por MM(n) l onjunto tos ls mtrs más orn n, s pu mostrr qu: l onjunto MM(n) s un suspo l spo vtorl ls mtrs rls orn n. Un prolm ntrsnt n st ontxto s, rtrzr l suspo MM (n) y otnr su mnsón. Crtrzón l onjunto mtrs más orn trs: MM (3) S A un mtrz orn 3 on omponnts rls. h h S tn qu: A s má, sí y solo sí: h 11
9 Insttuto Mtmát y Fís 1 Rsolvno st sstm ormo por st uons lnls n nuv vrls, s otn (por jmplo) qu: A 4 3 y, l mnsón l suspo MM(3) s 3. Crtrzón l onjunto mtrs más orn utro: ) (4 MM D mnr nálo, s otn qu: Un mtrz q p n m l k j h A orn utro s un mtrz má, sí y solo sí, A y, l mnsón l suspo ) (4 MM s 8. Usno DERIVE (u otro sotwr propóstos mtmátos), s pu trmnr l mnsón l suspo mtrs más orn 5, 6, t. Rsumno lo ntror: n )) ( m( n MM Los álulos son lros, ún usno DERIVE. Sn mro, l otnón ls mnsons ) (n MM pr rtos vlors onsutvos n prmt onjturr qu un órmul qu mol l mnsón ) (n MM s un unón urát. Suponno qu h tn sn n MM )) ( m( s otn: 1 s, t y 0 h, onsrno los rsultos prsntos n l tl. Luo, s pu onjturr qu: l mnsón l suspo ls mtrs más orn n s: Pr rsolvr st sstm s usó l sotwr DERIVE
10 Insttuto Mtmát y Fís m( MM ( n)) n n Atvs surs 1. Roplr normón n l Intrnt sor l tm: uros máos y lunos ntnts hstóros. Plrs lvs: uro máo, m squr Do l uro orn 3: ) Dtrmnr l sum ls ntrs l, olumn y onl. ) Enontrr 6 uros máos, utlzno los msmos númros. ) Crr otros uros orn 3, prtr l uro o, sumno, rstno y multplno l por un msmo númro ntro, y n so nontrr l onstnt má. ) Dtrmnr, usno l uro o: ) L sum los uros los lmntos l, y omprr hs sums. ) Hr lo msmo pr ls olumns y onls. Anotr un onlusón. ) Construr un uro máo, prtr l uro o, sumno un msmo númro sll o l, tl qu l onstnt má l nuvo uro s Asnr vlors ls vrls s n l uro: - -x x x --x -x -x y trmnr s l uro qu rsult s máo. 4. Dos los sunts uros máos: ) Osrvrlos y trmnr l sum ls ls, onls y olumns uno, y omprrlos. ) Rortrlos, suprponrlos. ) Pr un onlusón lo osrvo. ) Introur l onpto rotón on 90º on rspto l ntro l uro, rlxón on rspto ls onls y prlls ms. ) Dur l órmul pr trmnr l sum ls ls, onls y olumns, n orm u. 13
11 Insttuto Mtmát y Fís 5. Compltr l sunt uro tl qu s orm un uro máo: Conlusons El tm los uros y mtrs más prmt trjr mnr ntrtn n stntos ámtos l mtmát, omo rtmét, álr y omtrí, y qu s pun nrr tvs tnnts qu l lumno srroll vrss ps y ttus tls omo uros, prsvrn, rtv, nno, utonomí, trjo olortvo, lo qu l prmt mjorr l omprnsón los onptos mtmátos nvoluros n l tm. Con tms omo l prsnto n st trjo, s omnt l rño por l mtmát, y qu los lumnos prnn juno, xplorno, onjturno, surno props y omprtno on sus prs. Ls tvs surs n st trjo son tls mplmntr n stntos nvls, prounzno uro ls rtrísts l rupo urso. Es mportnt qu l lumno vlor los ports los mtmátos y onos l mtmát n l srrollo y vn n l onstruón uros máos y sus plons n stntos ámtos l mtmát. Tnmos lro qu st tm s prst pr mplmntrlo omputonlmnt, rsultno sí más motvor pr l lumno, prmtno un srrollo tnolóo nsro n los tmpos tuls. Fnlmnt, rmos tos ls s y surns l prosor Junt Contrrs S., lls nos prmtron prlr mjor mnr st trjo. Blorí [1] Drons Intrnt: ) ) ) ) ) (ontn un lst txtos rlonos on l tm) [] Ayn, B. (1995). Curos Máos. Rvst Euón Vol. 7, Num. 3. Grupo Etorl Iromrn [3] Grnr, M. (197). Nuvos Pstmpos Mtmátos. Alnz Etorl. [4] Contrrs S., l Pno C. (1998). Apunts l urso: Alr Lnl on DERIVE. (1998). Unvrs Tl. 14
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