MECÁNICA DE LOS FLUIDOS I, Ingeniería Aeronáutica. Transformación de Joukovsky. Ing. Ana Scarabino. z a1
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- Juan Luis Mendoza Soler
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1 MECÁNICA DE LOS FLUIDOS I, Ingnrí Aronáut Trnsformón d Joukovsky Ing. An Srno L trnsformón d Joukovsky n l plno ompljo, s l más smpl d un onjunto d trnsformons d l form: ' f ( Ests modfn l plno snslmnt pr vlors pquños d, pro su nflun tnd 0 mdd qu l módulo d r. L trnsformón d Joukovsky tn l xprsón: ' f ( Est onvrt un runfrn d rdo > n un l form d un prfl rodnámo. Fg. d' L drvd d l trnsformón s d Nkol Igorovh Joukovsky (o Zhukovsky, n otr vrsón odntld d su plldo, vvó ntr 847 y 9. Fu profsor d Mán Anlít n l Unvrsdd d Mosú. Puló dvrsos trjos n Mtmáts, Mán y Fludodnám. Sus prnpls ontruons l Arodnám son: l trnsformón onform d Joukovsky, los prfls Joukovsky, y l ondón hoy onod omo d Kutt- Joukovsky, sor l rulón qu gnr un prfl n movmnto.
2 S osrv qu s nul n dos puntos : = y = -. En éstos, l trnsformón no s onform, s dr, no onsrv los ángulos ntr dos urvs qu psn por sos puntos. Un trnsformón onform n todo l plno, pld un runfrn, no podrí gnrr un prfl on un ord d fug fldo, porqu ulqur qur n l urv volrí l onsrvón d ángulos qu mpon l ondón d onform. Pro n st so, s uno d los puntos d l runfrn s =, n l mgn d s punto pud prr un qur n l urv: s punto s trnsform n l ord d fug dl prfl. En l jmplo d l fgur, s l punto = -. Como l punto = + qud n l ntror dl írulo, su mgn qud dntro dl prfl, y no ft su form, n l mpo d flujo lrddor dl msmo. L trnsformón d ls oordnds d: x ' y' x y (x x y y x' y' x ( y ( x x y y ( Ls oordnds dl írulo orgnl s otnn d l uón dl msmo: t l, on 0 t Ls oordnds dl ntro dl írulo qudn dtrmnds por su rdo, y l ángulo qu mustr l fgur, d modo qu l punto = - s l ntrsón d l runfrn on l j rl: S nlrán lgunos sos prtulrs. Fg.
3 Trnsformón dl írulo ntrdo n l orgn: En l so gnrl, on <, l trnsformón s onform n todos los puntos dl írulo. L uón d st írulo s:, 0 o n x y ( S s dspjn x y n funón d x y (uons ( y onsdrndo (, qud: x' y' Es dr: x' y' (3 qu s l uón d un lps. Fg. 3 En l so límt n qu =, l írulo s trnsform n l sgmnto dl j rl - x. S osrv qu s =, los puntos = y = - prtnn l runfrn, y s trnsformn n = y = - rsptvmnt. En st so no s pll l uón (3, y qu l dnomndor dl sgundo térmno s nul. Pro l trnsformón s muy snll n oordnds polrs:
4 ' ( os 0 Al vrr, l sgmnto s rorrdo dos vs: dsd - y vvrs. Fg. 4 El ntro d l runfrn stá n (0, y. L uón d l msm s, por lo tnto: x (y y Est runfrn s trnsform n l ro d runfrn n nddo, ntr y -ª, qu ru l j y n y. Los puntos = y = - n sor l runfrn orgnl, y s onvrtn n los xtrmos dl ro. L uón orrspondnt s: x' [y' (y y ] (y y pr y' 0 Fg. 5
5 Tmén quí, l límt pr y 0 s l sgmnto [-, ]. 3 El ntro d l runfrn stá n (x, 0. (Corrspond l prámtro = 0 L trnsformón d un prfl smétro. El punto = - s onvrt n l = -, qu s l ord d fug dl prfl. L mgn dl punto = qud n = +, n l ntror dl prfl. El ord d tqu s l mgn dl punto = - (ru on l j x, y s ( l punto ' (, sor l j rl. Es smpl dmostrr ( qu st vlor s myor o gul qu, y sólo s gul s =. Fg. 6 4 Cso gnrl: runfrn on ntro n (x, y S trnsform n un prfl no smétro. Fg. 7
6 D los jmplos vstos, s pud nfrr qu los prámtros qu dtrmnn l form dl prfl son ls oordnds dl ntro d l runfrn. En prtulr: - L oordnd x, rlond on l ont /, dtrmn l spsor dl prfl rsultnt. Los sos n qu l ntro sor l j y, on x = 0, dn ros sn spsor. - L oordnd y, rlond on l ángulo, dtrmn l urvtur d l lín md dl prfl. Los sos n qu l ntro sor l j x ( = 0 dn prfls smétros, s dr, su lín md s un sgmnto d l rt qu onsttyu l j d smtrí. Construón dl prfl Joukowsky: L onstruón dl prfl s muy smpl on un luldor o plnll d álulo qu opr on númros ompljos: ddos,, y, ls oordnds dl lndro son (fg. t t l (, on 0 t S lul l trnsformón: jouk l l y s grf Im( jouk vs R( jouk, o n gráfo polr, jouk vs rg( jouk (rg = rgumnto. Un ntgu onstruón gráf, sn lulr omponnts, sgu los sgunts psos : Dsd l orgn d oordnds (o s mr l punto = -. Dsd = -, on l ángulo y un dstn, s u l ntro dl lndro, l qu llmrmos Q. 3 Con ntro Q y rdo, s tr l runfrn C, qu s l qu s qur trnsformr. 4 El sgmnto oq y l j y dtrmnn l ángulo. 5 Con l msmo ángulo mddo dsd l j y h l drón ngtv d x, s tr om, dond M s l punto d ntrsón on oq 6 Con ntro n M y rdo ( M, s tr l runfrn C 7 Pr trr l prfl, s dn vlors dsd 0. Con, s dtrmn sor C l punto P: = r, y on -, sor C qud l punto P: r Trfft, E. 93: Z. Flugth. Motorluftshffhrt, vol. 4, p. 30.
7 8 L sum vtorl d mos (por l método gráfo dl prllogrmo, d l punto P qu prtn l prfl, y s l mgn d P. Rorrndo todos los vlors d, qud dujdo l prfl Joukowsky Fg. 8 L form d st prfl prsnt l xtrdos y l ntrdos tngnts n l ord d fug (l prfl tnd un spsor nulo llí. Esto s prolmáto tnto dsd l punto d vst onstrutvo, omo dsd l d rsstn struturl. Por otro ldo, ls rtrísts rodnáms tmpoo son uns: l mínmo d prsón stá muy r dl ord d tqu, por lo qu l flujo d rorrr grn prt dl xtrdos on un grdnt d prsón dvrso. Otrs trnsformons onforms gnrn mjors prfls. Sn mrgo, l trnsformón d Joukowsky s nluy n muhos txtos d studo, por su smpldd, qu flt l prndj onptul, y por sr l prmr xplord nlítmnt. Crulón y sustntón S s qu l rulón qu gnr un ostáulo s dtrmnnt n l mpo d flujo n su ntorno. En l so prtulr d un lndro mstdo por un orrnt U, l vlor d l rulón,, dtrmn l posón d los puntos d rmnso sor l msmo, ljándos más dl j d l drón d l orrnt unto myor s l rlón / U. En l so d un prfl rodnámo, l ondón d Kutt-Joukowsky stl qu, n flujo potnl:
8 l rulón qu gnr un prfl rodnámo n un orrnt s tl qu l punto d rmnso postror ond on l ord d fug S sury l ondón d flujo potnl, y qu ángulos d tqu modrdos grnds, l p límt dl prfl s dsprnd, produndo l llmd ntrd n pérdd dl prfl (qu l torí d flujo potnl no prd, y los álulos on st modlo prdn vld. L justfón mtmát s l sgunt: s F s l potnl ompljo dl lndro n l plno, l vlodd sor l prfl n l plno, otndo por l trnsformón dl lndro srá: u ' v' df d' df d d d' df d' ( / ( d d Como d /d s nul n = -, qu prtn l lndro, l ún form d qu l vlodd no s nfnt n l ord d fug (mgn d -, s qu df/d s nul n -. Es dr, qu l punto = - s un punto d rmnso dl lndro. Pr un lndro d rdo ntrdo n l orgn, on rulón, mstdo por un orrnt unform d ntnsdd -U, provnnt d l drón postv dl j rl x, n l plno, l potnl ompljo s: F( U( ln( S rotmos los js, pr trjr n nustro sstm : Fg. 9
9 Por lo tnto: F( U( ln( df d U( En st sstm (orgn n l ntro dl lndro, ls oordnds dl punto sngulr d l trnsformón onform son: ( S hmos df/d = 0 n s punto 0 U( ( S dspj : U ( ( ( 4 U sn( L sustntón dl prfl por undd d nvrgdur, por l torm d Blsus, tmén onodo omo torm d Kutt-Joukovsky, s: Y U 4 U sn( Tmén pud srrs Y 4 U sn( o, dond o = - s l ángulo d sustntón nul dl prfl. Consdrndo qu pr prfls d pquño spsor, l urd s proxmdmnt 4, s pud lulr l ofnt d sustntón L Y U 4 sn( S osrv qu:
10 Un prfl smétro ( = 0 no sustnt sn ángulo d tqu, pro un prfl smétro pud hrlo. L torí d flujo potnl prd un máxmo d sustntón pr + = /. Esto no s umpl n l rldd, y qu pr ángulos d tqu muho mnors qu st s produ l dsprndmnto d l p límt ( ntrd n pérdd dl prfl y st torí prd vld. 3 El álulo dl flujo lrddor dl prfl prd un fur rsultnt nul n l drón d l orrnt (rsstn nul. Esto s d, nturlmnt, qu l torí d flujo potnl gnor los ftos vsosos, y s un lmtón omún todo álulo d prfls sdo n st torí. Rf: Prndtl L. nd Ttjns O. G., Appld Hydro- nd Aromhns, Dovr Pu. 934
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