Influencia de las imperfecciones geométricas en estructuras de paredes delgadas sometidas a presión externa

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1 Ingeniería Meánia (000) Influenia de las imperfeiones geométrias en estruturas de paredes delgadas sometidas a presión externa Departamento de Meánia Apliada. Faultad de Ingeniería Meania. Instituto Superior oliténio José Antonio Eheverría. Calle 17 s/n, Marianao 15, Ciudad de la Habana, Cuba Teléfono: (537) 0 67 Fax: (537) vladimir@meania.ispjae.edu.u (Reibido el 1 de otubre de 1999, aeptado el 17 de enero del 000) Resumen Este trabajo está relaionado on el estudio del omportamiento de estruturas de paredes delgadas sometidas a presión externa, uando apareen imperfeiones geométrias, inherentes a los proesos de fabriaión, que afetan los valores de las argas rítias. En el mismo se desriben omportamientos pos rítios típios y su importania en el estudio de los efetos de estas imperfeiones, así omo formulaiones aproximadas, tomando en onsideraión la neesidad del onoimiento de las posibles trayetorias de equilibrio por parte del ingeniero en el análisis y toma de deisiones aera de una estrutura. alabras laves: Estrutura, bóveda, estabilidad, fallas estruturales, trayetorias de equilibrio. 1. Introduión El avane de la ingeniería de estruturas en las últimas déadas se ha debido, entre otros, a dos fatores. En primer lugar, la mayor apaitaión ténia en el proyeto y en el análisis estrutural, en funión de los progresos obtenidos en los ampos teórios, experimental y omputaional. En segundo lugar, a la disponibilidad de materiales on propiedades meánias ada vez mejores. Esto propiió la posibilidad de onebir estruturas mas ligeras, y por lo tanto, más esbeltas. or este motivo el estudio de la estabilidad pasó a jugar un papel fundamental y hasta deisivo en el proyeto de este tipo de estruturas, además, las inevitables imperfeiones, debidas a los proesos de fabriaión, alteran la apaidad de soportar arga, siendo neesario profundizar en el onoimiento del omportamiento estrutural ante tales imperfeiones. La ingeniería naval, la aeronáutia y la industria de produión petrolera, entre otras, han avanzado en esta direión, y partiularmente la industria del petróleo, que se extendió al mar, en aguas profundas y ultra profundas, y que utiliza en sus equipamientos elementos estruturales de paredes delgadas que serán sometidos a presiones hidrostátias al trabajar en esas ondiiones. Estas estruturas solo son viables si son ligeras, eonómias y onfiables. Los atuales riterios de proyeto toman en uenta estos hehos a través de la utilizaión de oefiientes de seguridad adeuados, muhas vees basados en resultados experimentales y on la limitaión de los valores de las posibles imperfeiones, que deben ser medidas durante la fabriaión, definiendo valores admisibles [1,,3]. La atuaión del ingeniero solamente será dada de una forma ativa y segura, mediante un profundo onoimiento sobre el tipo de omportamiento que presentará la estrutura uando son alanzadas las argas rítias, inluyendo la forma que asume en el aso de pérdida de estabilidad y su omportamiento posterior a la arga rítia, y sobre la mayor o menor alteraión de esos valores debido a la imperfeión, en fin todo lo relaionado on el fenómeno de la estabilidad. 000 Ediiones ISJAE

2 8. Trayetorias de equilibrio A ontinuaión serán desritos los omportamientos típios de una estrutura sometida a fuerzas onservativas apliadas estátiamente, dentro de los límites de la estabilidad elástia. Esto será heho por medio de la desripión de las trayetorias de equilibrio, entendidas omo el onjunto de los posibles estados de equilibrio, analizando el efeto de las imperfeiones geométrias. En los gráfios Fuerza vs Desplazamiento de la figura 1, se presentan las trayetorias de equilibrio típias de una estrutura, onsiderando solo un modo de pandeo asoiado al punto de bifuraión, siendo la nomenlatura utilizada la siguiente: : arga apliada. : arga rítia. : desplazamiento total de un punto de la estrutura. W: parte del desplazamiento total que orresponde al modo de pérdida de estabilidad. En las líneas de ada gráfio se sigue el onvenio siguiente: Línea gruesa ontinua: estado de equilibrio estable de la estrutura perfeta. Línea gruesa disontinua: estado de equilibrio inestable para la estrutura perfeta. Línea fina ontinua: estado de equilibrio estable para la estrutura on pequeña imperfeión geométria que se orresponda on el modo de pandeo. Línea fina disontinua: estado de equilibrio inestable para la misma estrutura imperfeta. (a) Bifuraión Simétria Estable l (b) Bifuraión Simétria Inestable l l () Bifuraión Asimétria l : desplazamiento del modo de pandeo (d) unto Límite : desplazamiento total l Fig. 1 Trayetorias de equilibrio para un modo de pandeo.

3 Influenia de las imperfeiones geométrias en estruturas de paredes delgadas sometidas a presión externa 9 La figura 1a, se denomina Bifuraión Simétria Estable, la misma muestra las trayetorias de equilibrio de una estrutura que, sin imperfeión iniial, después de la arga rítia sigue una trayetoria de estados de equilibrio estables. En el gráfio vs, la primera trayetoria, vertial on iniio en =0, es estable hasta el punto de bifuraión orrespondiente a la arga, y es inestable para valores mayores. La segunda trayetoria, válida para >, que interepta a la primera en ese punto de bifuraión, es siempre estable. Se resalta que en el propio punto de bifuraión también es estable. La estrutura, por lo tanto, puede pandearse, según la forma espeífia de ese modo de pandeo, y soportar una arga que exeda el valor de. Se indian también las trayetorias de equilibrio orrespondientes, para una arga que se iniió en =0, para dos imperfeiones diferentes. Esas trayetorias son siempre estables y no tienen punto rítio. Sin embargo, las deformaiones de la estrutura, y por lo tanto el nivel de los esfuerzos, es siempre mayor que el de la estrutura perfeta, siendo mas severo el efeto uanto mayor la imperfeión. En la figura 1b, denominada Bifuraión Simétria Inestable, la primera trayetoria de equilibrio de la estrutura perfeta ruza, en el punto de bifuraión, una segunda trayetoria de estados de equilibrio inestables. La estrutura, por tanto, después de ese punto de bifuraión, e inlusive en él, solo posee estados de equilibrio inestables. Es usual, en la literatura, deir que el omportamiento pos-rítio es inestable. La estrutura, araterístiamente, se pandea on grandes deformaiones y no puede, por lo menos próximo al estado de equilibrio que poseía, soportar una arga mayor. ara la estrutura on imperfeión iniial, la trayetoria es estable hasta un punto límite, orrespondiente a la arga l, no existiendo punto de bifuraión. El propio punto límite ya es de equilibrio inestable. La estrutura no puede soportar una arga mayor y ualquier tentativa en ese sentido viene aompañada por una deformaión onsiderable. La arga rítia, en este aso l, es, normalmente, muy reduida en relaión a la original, aún para pequeñas imperfeiones. Se debe resaltar la importania del onoimiento del omportamiento pos-rítio de la estrutura perfeta, aunque el interés esté enfoado sobre los efetos de las imperfeiones geométrias. Se hae evidente que el efeto negativo de esas imperfeiones, sobre la apaidad de soportar arga, es muho mayor en el aso de que el omportamiento sea del tipo Bifuraión Simétria Inestable. En ese aso apareen grandes disrepanias entre los resultados experimentales y el álulo teório de las argas rítias uando no son onsideradas las imperfeiones. Los valores experimentales no solo son muho mayores sino que muy dispersos, omo onseuenia de esas inevitables imperfeiones que existen en los modelos ensayados y que, inlusive, son diferentes entre un modelo y otro. En la figura 1, denominada Bifuraión Asimétria, está representado el omportamiento posterior al pandeo de una estrutura que, dependiendo del sentido en que los desplazamientos del modo de pandeo ourran, puede ser estable o inestable. El omportamiento para ada uno de los lados es semejante a los respetivos modos estable e inestable ya desritos, siendo inestable el punto de bifuraión del equilibrio. Están indiadas las trayetorias de estruturas on imperfeiones, inluyéndose, para simplifiaión, solamente aquellas del lado en que el omportamiento posterior al pandeo es inestable. Su efeto es equivalente al aso de bifuraión simétria inestable. La figura 1d, denominada unto Límite, representa el omportamiento de una estrutura que, aún siendo perfeta, no posee punto de bifuraión, siendo el punto rítio del tipo punto límite. No se representa el gráfio vs, debido a que este no se define por no existir pandeo. La estrutura hasta el punto límite, posee una trayetoria de equilibrio estable. Están también indiadas trayetorias de estruturas on imperfeiones que disminuyen la arga límite. Como esas imperfeiones son pequeñas, la reduión de la arga límite también lo es. En una primera aproximaión se puede deir que no existe modo de pandeo para ser amplifiado. A modo de ilustrar lo desrito, para ada aso presentado, son itados algunos ejemplos a seguir de sistemas estruturales que le orresponden. Mayores detalles pueden ser obtenidos en Thompson y Hunt[4], Bushnell[5], Kollar y Dulaska[6]. Bifuraión Simétria Estable. Este omportamiento es típio de barras en ompresión, anillos irulares on arga radial uniforme, hapas on arga en su propio plano (figura ), aros bi-artiulados on ángulo total próximo a 180º, asos esférios finos, empotrados, on arga onentrada, et.[7]. En este aso, el efeto de las imperfeiones geométrias de forma, evidentemente uando son pequeñas, no es tan importante, omo ya fue expliado.

4 10 Fig. Chapa on arga en su propio plano. En este aso, el efeto de las imperfeiones geométrias de forma, evidentemente uando son pequeñas, no es tan importante, omo ya fue expliado. Bifuraión Simétria Inestable. Este omportamiento es araterístio de asos de paredes finas, on raras exepiones. Un ilindro sometido a ompresión axial o presión hidrostátia y las esferas o semiesferas sometidas a presión externa son ejemplos típios, on la formaión de un gran número de lóbulos. La figura 3 presenta el aso de un ilindro en ompresión axial, pudiendo verse los modos orrespondientes en [7]. Además de lo anterior, el heho de que estos asos posean varios modos de pandeo o pérdida de estabilidad, on presiones rítias oinidentes o muy próximas, es una agravante. Eso, aliado al omportamiento pos-rítio inestable, explia por qué estas estruturas son las que tienen mayor sensibilidad a las imperfeiones geométrias, llevando a grandes reduiones de la arga rítia y a las mayores diferenias entre los resultados teórios y experimentales. Otro aso típio de este omportamiento es el de los aros empotrados on arga radial uniforme que pierden la estabilidad según la forma mostrada en la figura 4. Fig. 3 Cilindro omprimido axialmente R L (a) aro no abatido, bifuraión siméria inestable "snap-through" (b) aro abatido, punto límite Fig.4 Tipos de inestabilidad para aros empotrados on arga uniforme.

5 Influenia de las imperfeiones geométrias en estruturas de paredes delgadas sometidas a presión externa 11 Bifuraión Simétria Estable o Inestable. Algunas estruturas pueden presentar uno de los dos omportamientos después de pandearse, dependiendo de su geometría y de las relaiones de rigidez entre sus elementos. Una barra omprimida sobre apoyos elástios y estruturas retiuladas de modo general, onstituyen asos típios. Ya los asos ilíndrios ortos, sometidos a presión lateral externa, tienen omportamiento estable, que se torna inestable para longitudes mayores. Los asos ilíndrios reforzados on anillos rígidos, sometidos a presión lateral o presión hidrostátia, tienen ese mismo omportamiento. Uno de los modos de perdida de estabilidad orresponde al pandeo del ilindro entre anillos solamente. ara ese modo, el omportamiento pos-rítio es estable para pequeños espaiamientos de los anillos e inestable uando esos espaiamientos van reiendo. Con relaión al modo de pérdida de estabilidad global, que envuelve al ilindro y los anillos, si es un ilindro orto, se tiene una mayor presión rítia, pero un omportamiento posterior inestable. Si aumenta el largo, la presión rítia disminuye, pero se va haiendo ada vez menos inestable, tendiendo a un omportamiento semejante al de una barra en ompresión axial. Esas estruturas deben ser proyetadas de forma tal que vayan en la direión de la bifuraión estable, aminorando así los problemas inherentes a las imperfeiones geométrias. Bifuraión Asimétria. Desde el punto de vista prátio, para el análisis de los efetos de las imperfeiones geométrias, este aso es semejante al de la Bifuraión Simétria Inestable, pues se puede deir que siempre existe la posibilidad de que ourra una imperfeión del lado inestable. Son típias de ese omportamiento las estruturas retiuladas on las juntas reforzadas. Otro aso lásio es el del panel ilíndrio omprimido axialmente, figura 5, si el pandeo ourre para para afuera, -, su urvatura aumenta y la bifuraión es estable. Lo ontrario ourre si el pandeo es para adentro +. unto Límite. El aso más típio de estruturas perfetas, que pueden presentar ese omportamiento, es el de los aros abatidos sometidos a arga radial. ara la arga rítia, hay una inversión de la urvatura por medio de un rápido desplazamiento ( snap through ), en la busa de otro estado de equilibrio visto en la Figua 4b. En realidad, las estruturas que, uando son onsideradas perfetas, tienen un omportamiento pos rítio inestable, al presentar imperfeiones tendrán un omportamiento del tipo punto límite. or eso la importania de entender este aso. Fig 5 anel ilíndrio en ompresión axial. Bifuraión Asimétria. 3. Euaiones para trayetorias de equilibrio trayetorias de equilibrio para las estruturas on imperfeión, hasta el punto límite. Un análisis de ese tipo envuelve, omo norma, un gran volumen de trabajo y, en algunos asos, es impratiable. or ejemplo, uando se tienen modos de pandeo on argas rítias muy próximas. or tanto, se justifia una evaluaión analítia simplifiada que, aún obteniéndose resultados solo ualitativos, de informaiones útiles respeto a omo se omporta la estrutura. En este sentido, la teoría propuesta por Koiter[8,9] ha sido, a lo largo de los años muy utilizada y extremamente útil. Ella fue posteriormente explorada, entre otros, por Budiansky y Huthinson[10], Budiansky[11], Arboz[1] y Seide[13], que la expusieron en una forma más fáil de apliar. ara estruturas perfetas, exepto para unos poos asos, tales omo la barra en ompresión axial o un anillo irular on arga radial uniforme, no es posible obtener expresiones analítias que gobiernen una buena parte de su omportamiento posterior al pandeo. La teoría de Koiter solo permite determinar la trayetoria de equilibrio en el entorno del punto de bifuraión, y uando hay un únio modo asoiado a ese punto. En esos asos la siguiente euaión es utilizada para la urva vs. = donde: - + ( 1 + a + b...) + (1)

6 1 - valor de la arga - arga rítia - amplitud del desplazamiento orrespondiente al modo de pandeo a, b - onstantes para ser determinadas analítiamente, aso a aso, en funión del tipo de arga y de la estrutura, Seide[13]. Considerando que la euaión (1) es válida solo para pequeños valores de, son utilizadas solo las onstantes a y b, orrespondientes a y. ara esa ondiión, los tres tipos diferentes de bifuraión mostrados en la figura 1, son reproduidos en forma simplifiada en la figura 6. Bifuraión Simétria Estable a=0; b>0 La estrutura tiene el mismo omportamiento independiente del signo del desplazamiento. Véase, omo ejemplo, la barra omprimida, en el aso de bifuraión estable o el ilindro en ompresión axial, en el aso inestable. or lo tanto, para que eso ourra, se debe tener a=0. Con b>0 se tiene la Bifuraión Simétria Estable y on b<0 la Inestable. En ese aso, el simple onoimiento del signo y valor de b de la estrutura perfeta es sufiiente para saber si su omportamiento pos rítio es estable o inestable y si la sensibilidad a las imperfeiones geométrias es menor o mayor. En la Bifuraión Asimétria es usual despreiar el término, tornando la trayetoria de equilibrio lineal, y en ese aso efetivamente asimétria. Aquí la importania de las imperfeiones geométrias es siempre relevante. Utilizando ese mismo proedimiento, Budiansky[11] obtuvo otras expresiones para las trayetorias de equilibrio de estruturas on imperfeiones, y las respetivas argas rítias, onsiderando las siguientes hipótesis: equeña imperfeión de la misma forma del modo de pandeo. Comportamiento previo al pandeo es lineal y elástio. Se tiene que: Bifuraión Simétria Inestable (a=0 y b<0) b = () Bifuraión Simétria Inestable a=0; b<0 3 l = ( b) 1 l Bifuraión Asimétria ( ( a 0, a. 0) (3) 1 + a = (4) a 0 Fig 6 Tipos de bifuraión. Constantes a y b ueden destaarse los siguientes aspetos: En la Bifuraión Simétria Estable e Inestable es razonable suponer que el omportamiento pos rítio no depende del sentido que la forma pandeada va a seguir. Bifuraión Asimétria l 1 = 4 ( a) l donde:,,, l Dados en la figura 1 Amplitud de la imperfeión (5) La variaión de l /, omo funión de los otros parámetros relaionados, es mostrada en la figura 7.

7 Influenia de las imperfeiones geométrias en estruturas de paredes delgadas sometidas a presión externa 13 La tangente a la urva l / versus es vertial en = 0, indiando, en ambos asos, una gran sensibilidad a las imperfeiones. Aun para pequeños valores iniiales llevan a una disminuión onsiderable de la arga rítia. l a ( a 0 ) ( b) ( a = 0) ó Fig 7 Curvas de sensibilidad a las imperfeiones. Fig 8 Sensibilidad a las imperfeiones en bóvedas. l a=0 0.5 Observando las euaiones y 4, para pequeños valores de desplazamiento, y por tanto para pequeño 1.0 a=0 b=-0.01 b=1 l b= = 1 + b t /t /t esfera.0 ilindro valor de la arga omparada on, por ejemplo, se llega a la euaión del fator de amplifiaión, equivalente al que se obtiene para una barra. = (6) En el aso típio de bóvedas, on Bifuraión Simétria Inestable, los parámetros de la euaión (3) son normalizados utilizando le espesor t, quedando: 3 l = ( b) 1 t l (7) donde b<0 también es alulado, normalizando el espesor. En la figura 8 se ilustra omo la sensibilidad a las imperfeiones puede variar on b, dando, en ese aspeto, el signifiado del módulo de esa onstante. = amplitud del desplazamiento del modo de pandeo = amplitud de la imperfeión t = espesor de la bóveda Son indiados valores típios de un ilindro en ompresión axial (ilindro) y un aso esfério on presión uniforme (esfera). or lo tanto, un sistema estrutural on un valor de b -1 posee una sensibilidad a las imperfeiones tan severa omo en estos asos. Finalmente podemos plantear que un sistema estrutural on mas de un modo de pandeo presenta aoplamiento entre las trayetorias de equilibrio orrespondientes a ada uno de esos modos, generándose nuevas trayetorias. Este fenómeno es de importania para el estudio de la influenia de las imperfeiones geométrias uando esos modos poseen argas rítias muy próximas. Una profundizaión en el tema es heha por Thompson y Hunt[4]. Formas de trayetorias para asos típios, son presentadas por Chilver[1], Suplle[13] y algunos ejemplos, simplifiados, para asos esférios y ilíndrios, son desarrollados por Huthinson[14,15] y Arboz y Babok[16]. 4. Conlusiones A ontinuaión serán presentadas algunas onlusiones, que aunque no agotan todas las posibilidades teórias de análisis del tema tratado, si pueden onduir a un mejor entendimiento del omportamiento de estas estruturas. Es neesario el onoimiento del valor de la arga rítia y omportamiento estrutural pos rítio de la estrutura perfeta, pues a partir de este onoimiento

8 14 pueden obtenerse informaiones de la estrutura on imperfeiones geométrias. La influenia de las imperfeiones geométrias es de mayor importania en los asos llamados Bifuraión Simétria Inestable y Asimétria. El valor de la arga rítia, exepto en el aso de Bifuraión Simétria Estable, sirve omo límite superior para la estrutura on imperfeiones. Las imperfeiones uyo patrón se orresponda on el modo de pérdida de estabilidad son de gran importania en el omportamiento de la estrutura. El onoimiento teório del omportamiento de la estrutura, en el análisis de estabilidad, es de fundamental importania en las deisiones que se pueden tomar on relaión a la misma durante su vida útil y ante defetos o daños que puedan apareer. 5. Bibliografía 1. 1-ASME Boiler and ressure Vessel Code, Setion VIII, Division and Setion III. The Amerian Soiety of Mehanial Engineering, Ne York, Speifiation for Unfired Fusion Welded ressure Vessel, BS5500, British Standard Institution, London, DAST Rihtlinle OB,Beulsiherheitsnaheise fur Shalen, DIN Thompson, J.M.T. & Hunt, G.W.: A General Theory of Elasti Stability, John Wiley & Sons, London, Bushnell, D.: Computerized Bukling Analysis of Shells, Kluer Aademi ublisher, Dordreht, Netherlands, Kollár, L. & Duláska, E.: Bukling of Shells for Engineers,, John Wiley & Sons, Ne Yprk, Buelta, M.A.M.:A Importânia das Imperfeições Geométrias no rojeto e Fabriação de Estruturas, Texto de Apoio para a rova de Erudição do Conurso para rofessor Titular, EUS, São aulo, Brasil, Koiter, W.T.: On the Stability of Elasti Equilibrium, Thesis, Delft Univ., H.J. aris, Amsterdam, English transl, NASA, Rep. TTf-10, Koiter, W.T.: Elasti Stability and ost- Bukling Behavior, ro. Symp. Math. Res. Center, University if Wisonsin, Madison, Budiansky, B. & Huthinson, J.W.: Dynamis Bukling of Imperfetion Sensitive Strutures, ro. XI Intern. Cong. Appl. Meh. Berlin, Budiansky, B.: Theory of Bukling and ost- Bukling Behavior of Elasti Strutures, in Advanes in Applied Mehanis, Aademis ress, london, Arboz, J. The Effet of the Initial Imperfetions on the Shell Stability, in Thin Shell Strutures, rentie Hall, Ne Jersey, Seide,.: A Reexamination of Koiter s Theory of Initial ostbukling Behavior and Imperfetion Sensitivity of Strutures, in Thin Shell Strutures rentie Hall, Ne Jersey, Chilver, A.H.: Coupled Modes of Elasti Bukling, Journal Meh. hys. Solids, Vol. 15. ergamon ress, Ltd, Great Britain, Huthinson, J.W.: Axial Bukling of ressurised Imperfet Cylindrial Shell, AIAA Journal, Vol.3, Arboz, J & Babok, C.D.: The Effet of General Imperfetion on the Bukling of Cylindrial Shell, Journal of Applied Mehanis, Transation of the ASME, Vol. 36, Ne York, Influenes of the geometri imperfetions in thin all strutures ith external pressure. Abstrat This ork deals ith the study of the behavior of thin alled strutures external pressure, hen in the same appear geometri imperfetions that are inherent to the proess of manufaturing and affet the values of ritial loads. In the same, post ritial typial behaviors and its importane in the study of the effets of the geometri imperfetions are desribed, as ell as approximate formulations taking in onsideration the possible trajetories of equilibrium in the struture analysis re. Key ords: strutures, shells, stability, strutural failures, trajetories of equilibrium.