EJERCICIOS DE LOGARITMOS

Transcripción

1 EJERCICIOS DE LOGARITMOS Ejercicio.- Halla el valor de en las guientes epreones: a = b 6 = c d e = = = f = g = 6 6 h = i = 00 Ejercicio.- Calcula el valor de las guientes epreones: j = k 8 = l 9 = a b c d Ejercicio.- Sabiendo que 0, y que 0,8, calcula estos aritmos decimales. a b c 6 d 8 e f g 8 h i j 0 k 6 l 0 m n 60 o 7 p 7 Ejercicio.- Conociendo los valores de y, halla los valores de las guientes epreones: a, b 0,08 c,88 d 0,0 e 600 f, 76 g 0 l,, 6 m n 0,0 8, 0,0 o 66 0,6 80 h,,8 p i 0,8, 9 q j 6,, r 78, k, 0,

2 Ejercicio.- Resuelve las guientes ecuaciones arítmicas: = + a + b 9 + c d = e = f + = = = 9 g = + 0 h 6 = i + + = j + = + k = l 8 = 0 Ejercicio 6.- Resuelve los guientes stemas de ecuaciones arítmicas: a + y = 70 + y = y = b y = y = 8 c + y d e = 7 + = + y = 6 y = 7 + y = + y = f = y + y = g y = + y = h y = i y 8 + y = = + y + y j = + y =

3 TRIGONOMETRÍA.-Dos aviones que se encuentran a a y 8 Km de un aeropuerto C se observan desde éste bajo un ángulo de 8º. Calcular la distancia que separa dichos aviones..- Para colgar una bombilla del techo, se la hace pasar por una cuerda que se clava de sus etremos en dos puntos tuados a una distancia de 0cm.Los ángulos que forma la cuerda con el techo son de 0º, y de 60º. Hallar la longitud total de la cuerda y a que distancia cuelga la bombilla del techo..- Las diagonales de un paraleramo miden 6 y cm, y forman un ángulo de 7º. Hallar el perímetro y los ángulos del paraleramo..-calcular el área y el perímetro de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio cm..- Hallar el perímetro y el área de un heágono regular de 8 cm de lado. 6.-Una antena de radio está sujeta al suelo con dos cables que forman con la antena ángulos de 6º y 8º.Los puntos de sujeción de los cables están alineados con el pié de la antena y distan entre 98m.Calcula la altura de la antena. 7.- Resolver los guientes stemas trigonométricas : sen seny sen cos y sen cos y a b c y 80º y cos ec sec y sen cos y sen cos y d e sen seny f cos ec sec y cos seny cos cos y 8.- Epresar en radianes los guientes ángulos : 0º, 60º, 7º, º, º, 0º Epresar en grados seagemales : rad ; rad ; rad ; rad Hallar las razones trigonométricas de 0º ; 0º ; º ; º ; 960º ; -00º; - rad.- Sabiendo que cotg y sen 0, halla : a demás razones trigonométricas de. b sen 90- c cos 90+ d tg 80- e cotg 80+ f sec60- g cosec60+.- Sabiendo que cosec = y tg < 0 ; y tg y = y cosy < 0, calcular : y a razones trig de b razones trig de y c las de +y d las de -y e f.- Resolver las guientes ecuaciones trigonométricas : a cos cos 0 b cos + sen c sen sen 0 d tg tg 0 e sen cos sen cos f sen = cos

4 g 8sen 6sen 0 h 8cos 0cos 0 i 6sen sen 6sen 0 j cos cos cos 0 k tg tg = l 6cos+6sen = +sen m sen cos sen = n sen 0 ñ tg tg tg o tg tg p sen cos ec q tg tg.- Comprobar las guientes epreones son verdaderas o falsas: a sen cos b cos- cos = - c sen cos sen sen cos cot g sen cos d tg sen cos e cot g sen cos sen f tg cos cos.- Simplificar : a sen cos b sen sen cos c sen sen cos ec d cot g sec cos e tg 6.-Resolver los guientes triángulos rectángulos en A, conociendo : a b= cm ; c= cm b a= cm; b = cm ; c B =0º ; b= cm d c= cm; B =6º Resolver los guientes triángulos isósceles A y C son los angulos iguales,b la base, h la altura : a A = 68º 7 b l= 7 m ; b = 0 m c A = 7º 8 0 ; b= 7m d b=m; h= m 8.-Resolver los guientes triángulos: a a= cm;b=7cm; C=0º b a= cm; b=cm; c= cm c b= cm ;C=0º ; c= 7 cm d B= º;C= º; a =0cm e a= cm; b= cm; A= 0º f a= 0cm; b= 0 cm; B= 6 º 9.- Desde la orilla de un rio se ve un árbol bajo un ángulo de º.Si el rio tiene una anchura de 0m, calcular la altura del árbol. 0.-Desde un punto tuado a ras del suelo, se ve la copa de un árbol bajo un ángulo de 60º, y nos acercamos m el ángulo es de 70º.Hallar la altura del árbol..-una escalera de 0m de largo, se túa en un punto de una calle y se apoya sobre una pared formando un ángulo de 60º con el suelo, y desde ese mismo punto, se apoya sobre la otra pared formando un ángulo de º.Hallar la altura que alcanza la escalera sobre cada pared y la anchura de la calle. VECTORES EN EL PLANO.- Sean v, ; w, -. Calcular gráfica y analíticamente : a v w b v w c v w

5 .- Dados los puntos A, ; B,-, calcular el vector AB. Hallar el punto D para que AB CD, endo C-,.-a comprobar están alineados los puntos A,- ; B6, ; C 8, b calcular m para que P,; Q,- y R 6,m estén alineados. c hallar el punto medio del segmento AB, endo A-, ; B 7,- d hallar el métrico del punto A-, respecto del punto P,- e sean M7, ; N-,. Hallar un punto P del segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N..- Dados los vectores v,, w,, calcular : a v w b v, w c ángulo que forman v y w 6.- Dados los vectores v,, w,, z,, calcula : a v w z b v z w z c v w 7.- Dados los puntos A, ; B,- ; C 0,-, calcular : d v w v z a ángulo que forman AB y BC. son perpendiculares estos vectores? b CA y CB 8.- Dado el vector v, k, calcular k para que : a sea ortogonal a w, b su módulo sea 9.- Si v ; w y el ángulo que forman es de 60º, calcula v w ; v w NOTA : todos los ejercicios debéis representarlos gráficamente. ECUACIONES DE LA RECTA 0.-Hallar todas las ecuaciones de la recta que pasa por A-, y tiene de vector director v,. Calcula tres puntos cualesquiera de la recta..-idem de la recta que pasa por A-, ; B,.- Idem de la recta que pasa por A-, y es paralela a la recta r y.- Idem de la recta que pasa por A, - y tiene de pendiente m=.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por A0, y es paralela a la bisectriz del º cuadrante..- Ecuación de la recta paralela a -y+6=0 y cuya ordenada en el origen el. 6.- perpendicular a y=- y pasa por el origen de coordenadas. 7.- Estudiar la poción relativa de los guientes pares de rectas se cortan, hallar los puntos de corte : t t a r s y t y 6 t t y b r s y t 6 c r y 6 s y d r, y 6, t, s 6 y 8 0 e r y 0 s y 6 0

6 8.- María y Nacho salieron hace 6 horas de dos puntos y guieron respectivamente las trayectorias guientes :, y = 7, + t, ;, y = 6, +t, Donde t representa el tiempo en horas, endo el instante actual t =0 a en qué punto se encuentran ahora? de qué punto salieron? b se cruzan sus caminos? Si es así, en qué punto? c se encontrarán mantienen su marcha? 9.- Dadas las rectas r y m 0 ; s ny 0, hallar m y n para a sean paralelas b perpendiculares. c se corten en P, NOTA : todos los ejercicios debéis representarlos gráficamente. GEOMETRIA EN EL PLANO. 0.- Hallar el ángulo que forman las rectas : r y r y a b s y 0 s, y,, c r y 0 s y 0.- A,- ; B-, - ; C0, son vértices de un triángulo. Se pide : a claficarlo según lados y ángulos. b ecuación de la mediana del vértice A c ecuación de la altura del vértice B d ecuación de la mediatriz del lado AB e calcular su área. f Hallar un punto D para que ABCD sea un paraleramo. Con los datos obtenidos antes, qué paraleramo es?.- Idem para el triángulo de vértices A, ; B, ; C -,.- El área de un triángulo ABC es de u, endo A0, ; B 6,. Calcular C sabiendo que tiene abscisa potiva y está sobre la recta y= +.- B -, ; C,- son vértices de un triángulo isósceles que tiene el vértice A sobre la recta +y- =0, endo AB y AC los lados iguales. Hallar el vértice A, el ortocentro, el baricentro, y circuncentro..-un rombo tiene el vértice A en el eje de abscisas. Otos dos vértices opuestos son B, y D -,-. Hallar los vértices que faltan. 6.-Hallar las bisectrices de: a r y 60 0 b r y 0 s eje de ordenadas s y A, ; B-, ; C,m son vértices de un triángulo de área 6. Hallar m 8.-Hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por A,- disten unidades de B, 9.- Hallar el área del paraleramo OABC sabiendo que el lado OA es la recta -y=0; OC la recta +y=0 y el vértice B es B,. Claficarlo,y hallar las ecuaciones de las diagonales. 0.-El triángulo ABC es rectángulo en A, endo A, ;B, ; Cm,0.Hallar m..- A,0 ; B, ; C-, son vértices de un paraleramo. Calcular : a vértice D b Ecuaciones de las diagonales. c área d claficarlo.

7 .- De un paraleramo ABCD se conocen A,- ; B -, y el centro del paraleramo M,. Calcular : a ecuación de la recta paralela a AB pasando por M b perpendicular a AB pasando por M c Vértices C y D d área e claficarlo..- De un rectángulo ABCD se conocen el lado AB : +y-=0 ; B 8,- y D0,0. Calcular : a ecuaciones de los otros tres lados. b vértices A y C c área..-hallar el área de un triángulo determinado por el punto C-, y los puntos de intersección con los ejes de coordenadas de la recta que pasa por los puntos A, - y B,.- De un triángulo ABC se conocen A, ; el punto medio de BC es, y el punto medio de AB es 0,. Hallar B, C y el área..- El eje OX y las rectas r y ; s y ; t y 7 0 determinan un cuadrilátero. Hallar su área, las ecuaciones de las diagonales y el punto de corte de éstas. 6.- Por el punto P,6, se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices del º y º cuadrante. Hallar : a las ecuaciones de dichas rectas. b coordenadas de los otros vértices del triángulo formado por la recta -y-8=0 con dichas rectas. NOTA: Todos los ejercicios deben representarse gráficamente. CÓNICAS 7.- Los focos de una hipérbola son F,0 ; F -,0 y la diferencia constante de las distancias de sus puntos a los focos es 6. Hallar la ecuación reducida, ecentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. 8.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de distancias a los puntos 0, y 0,- es constante y vale. 8.- Calcular el centro, vértices, y focos de las guientes hipérbolas : a y b 9 y 8 6y 9 0 c y y 0 d y 0 y Hallar las ecuaciones de las hipérbolas guientes, sabiendo que el centro es el origen de coordenadas y el eje real es el eje de abscisas : a eje real =8 ; distancia focal = b ecentricidad = ; dist focal = c Pasa por los puntos P, y Q, d focos son,0 ;-,0 y la pendiente de las asíntotas es y - 6.-Determinar la ecuación de la hipérbola de centro -, ; y semieje imaginario. 7.- El centro de una hipérbola es C,- ; el eje real vale 8 ; el eje imaginario 0 y el eje focal es paralelo al eje de abscisas. Calcula vértices, focos, ecentricidad y la ecuación de la hipérbola. 8.- Hallar la longitud de la cuerda que determina la elipse y 6 con la recta -y-=0

8 9.- Hallar los puntos de intersección es decir, donde se cortan la cónica: 9y 7 con : a y b y= c y qué representan, geométricamente, las ecuaciones de los apartados anteriores? 60.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de : a de la recta = - y del punto,0 b = 0, c y =,6 d y= - -, 6.- Hallar las ecuaciones de las guientes parábolas : a directriz = - ; Foco F,0 b directriz y = ; F 0,0 c y =- ; F 0, d = ; F-,0 e vértice V0,0 ; F,0 f vértice V, ; F, g V -, ; F -, h V, ; F, 6.-Dada la parábola y a hallar h para que la recta y =+h sea tangente a la parábola b la ecuación de la recta que pasa por el foco y es paralela a la tangente. 6.-Determina la ecuación de la parábola de foco F0, y de directriz la recta y =-. Halla la ecuación de la tangente en el vértice. 6.- De las guientes parábolas, determinar el vértice, foco y directriz : a y 6 b y c y 6 d 6y e y 0 f y g y h y Clafica las guientes cónícas, y halla los puntos notables de cada una de ellas: a 9 y 0y 9 0 b 6y 9 y c y 0 0y 0 d y y Determinar el centro y el radio de las guientes circunferencias : a y 6y 0 b y y 6 0 c y y 0 0 d y y Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos : a A,- ; B, 0 ; C 0, b P, ; Q -, ; R -, Hallar los puntos de corte de la circunferencia : y y 0 0 con : a +7y -0 =0 b +y -7 =0 c +y -0 = 0 d y 6 y 0 e y 6 y Una circunferencia tiene por etremos de uno de sus diámetros los puntos A, y B, Ecuación de la circunferencia que pasa por P, ; por el punto de corte de r y s y 0 y tiene su centro en la recta t y 0 y

9 7.- Ecuación de la circunferencia que pasa por P 0,-, tiene de radio y su centro está en la bisectriz del º y º cuadrante, 7.- Estudiar la poción relativa de la recta r y con la circunferencia : y y 0. Ecuación de la circunferencia concéntrica con la anterior y tangente a la recta r. 7.-Ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas r y 0 ; s y 0, y a una de ellas en el punto P, 7.-Dada la circunferencia : y y 0 y el punto P 0,- a hallar el centro y el radio de la circuferencia b ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto P c intersección con la circunferencia : y 6 y Dada la circunferencia : y 6y 0, hallar : a ecuación de la circunferencia concéntrica con la anterior y tangente a -y-=0 b recta tangente a la circunferencia en el punto P -, 76.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A, ; B 0,0 y es tangente a la recta +y = Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en -y-=0 y pasa por A 0, y B, 78.- Dada la circunferencia : y 6 0y 66 0 ; halla las ecuaciones de las rectas tangentes paralelas a la recta -y+ = De las guientes elipses, calcular los focos, centro, vértices y ecentricidad : a y 6 b y 9 c y 6 d y 8y 0 e 6 6 y y 0 f 9y 8y *.- Hallar las ecuaciones reducidas de las guientes elipses: a eje mayor = 9 ; distancia focal =8 b eje menor = ; distancia focal c Ecentricidad = ; distancia focal = e ecentricidad = ; distancia focal= d Pasa por los puntos A, ; B 6, 80.- Hallar la ecuación de la elipse de centro, ; un foco es 6, y pasa por el punto,6 8.- Halla la ecuación de la elipse de centro -, ; un vértice,- ecentricidad= 8.- Hallar la ecuación reducida de la elipse que pasa por P, 0 y ecentricidad es 8.- Calcula las ecuaciones de las tangentes a la elipse y 9 y cuya pendiente es FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. 8.- Calcular los dominios de las guientes funciones :

10 a f = b f = c f = d f = 8 e f = 9 f f = g f = h f = i f = j f =e k f = e l f =sen m f = co 8.- Calcular f+g ; f-g ; f g ; g f ; endo : a f = 0 0 g = - - b f = g = Calcular g o f y f o g la compoción para: a g f b g e f c g sen f d e g f cos e g f f g f 87.- Calcular la función inversa recíproca de las funciones : a f = b g = c h = + d f = e g =e f h = 88.- Representa gráficamente las guientes funciones, y calcula su dominio, recorrido, cotas, monotonía y continuidad : a f = b f = - - -

11 89.- Calcular los guientes límites : a lim b lim c lim d 0 lim e lim f lim g lim o lim 7 r lim 6 h lim p lim i lim q lim s lim CÁLCULO DIFERENCIAL 90.- Estudiar la continuidad de las guientes funciones : a f - b f 9.- Calcular a y b para que sea continua : f a b Calcula, usando la definición, : ' a f endo f ' b f 9.- Estudiar la derivabilidad de : f a f b f 9.- Calcular a y b para que sea derivable:

12 f a b 9.- Calcular la ecuación de la recta tangente a : a f en el punto b 0 f en el punto 0 e f e en 0 0 f f Ln en 0 0 c f 8 en d 0 f sen en Averigua: a en qué punto de la función f la recta tangente es r? b Eiste algún valor de en el que la recta tangente a f 6 sea paralela a la recta tangente a g 97.-Estudiar la derivabilidad de las funciones : a 0 f b 0 f a b 98.- Derivar las guientes funciones, dando el resultado lo más mplificado poble : a f b f c f d f e 6 e f f f sen g f arctg h f i f sen sen j f sen e k f cos Ln l f arctg m f n f tg Ln

13 ñ f o f Ln cos p f r ` q f sen cos e f s f cos e DERIVADAS Derivar las guientes funciones : a y Ln b d y e e g y Ln sen h j senln m y 7 c y = y y f y sen cos i y senln y k y sen Ln l tg y n Ln ñ y arcsen o t y e arcsen w cos y Ln tg y n y arctg s u y Ln cos v sen y tg e y cos arctg y sen 8 y cot g 00- Deriva y mplifica : sen a y sen b y sen sem c y Ln sen sen d sen y Ln e y Ln sen f y Lncos cos g y Lncos h cos y arctg sen i y Ln arctg sen sen 0.- Estudiar la derivabilidad de las guientes funciones : recuerda que la condición necesaria para que una función sea derivable es que sea contínua : a 0 f b 0 f

14 c f d f e Hallar a y b para que sean derivables : a a b f b a Ln f a e b Ln Responde razonadamente: a Geométricamente, la derivada de una función en un punto qué representa? b en qué puntos de la gráfica f la pendiente de la recta tangente es? 0.- Se pide: a Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a y 6y 6 0 en el punto de abscisa y ordenada negativa. b Ídem en el punto de ordenada 0 y abscisa potiva. qué cónica es? Dibújala y te ayudará a resolver el ejercicio GRÁFICAS DE FUNCIONES 0.-Representar gráficamente las guientes funciones:.- y.- y y.- y.- y 6.- y 7.- y 8.- y 9.- y 0.- y.- y.- y.- y.- 8 y.- y 6.- y y y

15 9.- y 0.- y.- y.- y.- y.- y.- y 6.- y 7.- y y 9.- y 0.- y. y e.- y. - y.- y e 7.- y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN e - y y e 0.- Descomponer el número 9 en el producto de dos factores de tal forma que la suma de éstos sea mínima Descomponer el número 98 en dos sumandos tales que la suma de sus raíces cuadradas sea máima Una finca rectangular tiene 00 m de superficie. Calcula las dimenones de los lados para que el perímetro sea mínimo Con cartulinas de 8 dm una empresa quiere fabricar cajas n tapa, cortando cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblándola. cómo debe cortar los cuadrados para que la capacidad de la caja sea máima? 09.- Se quiere hacer un depóto abierto con base cuadrada y de 08 l de capacidad. Elegir las dimenones para que la superficie del depóto sea mínima. 0.- Una hoja de papel debe contener 6 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben ser de cm cada uno, y los márgenes laterales de cm. Se pide calcular las dimenones de la hoja para que el gasto del papel sea mínimo..- Hallar los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa cm que engendra al girar alrededor de uno de sus catetos el cono de volumen máimo. V r h.- A una ventana de m de área se le quiere construir un marco de madera. El coste por cada metro de altura de la ventana es, y por cada metro de ancho es 0,80. Hallar las dimenones del marco más económico?

16 .- De todos los cilindros de 6 m de volumen, hallar el radio de la base y la altura del que tiene área total mínima..- En un rectángulo de m de perímetro, se sustituyen los lados por semicírculos eteriores.hallar las dimenones del rectángulo para que el área de la figura resultante sea mínima..- Un alambre de 0 m de longitud se corta en dos trozos, con uno de ellos se hace un cuadrado y con el otro trozo un círculo. Hallar el lado del cuadrado y el radio del círculo para que la suma de las áreas sea mínima. 6.- Calcular el radio de la base y la altura del cilindro inscrito en una esfera de radio m para que la superficie lateral sea máima. 7.- Frente a dos puntos de la costa distantes entre sí millas, están fondeados dos barcos, el Xurelo y el Faneca a y millas de la costa respectivamente. cuál debe ser la trayectoria de un bote que saliendo del Xurelo deje a un pasajero en la orilla y se dirija al Faneca para que la trayectoria sea mínima? 8.-Se quiere hacer una caja con tapa y de volumen 7 cm. Los lados de la base han de ser tales que uno mida el doble que el otro. Hallar las dimenones para que la superficie total sea mínima. 9.- De todos los triángulos isósceles de 0 cm de perímetro, hallar el de área máima. 0.- De todas las rectas que pasan por P,, hallar la que determina con la parte potiva de los ejes de coordenadas, el triángulo de área mínima..-de todos los triángulos rectángulos cuya suma de catetos es 0 cm, hallar el de área máima..-un triángulo isósceles de 6 cm de perímetro, gira alrededor de la altura correspondiente al lado degual, generando un cono. Halla la base del triángulo para que el volumen sea máimo..- Doblar un trozo de alambre de cm de longitud de modo que forme un rectángulo de área máima..- Un granjero dispone de 0 m de valla para cerrar dos corrales iguales rectangulares y adyacentes. qué dimenones deben tener los corrales para que el área encerrada sea máima?.- Hallar el punto o puntos de la recta + y + = 0 cuya distancia al punto P, sea mínima. resolverlo también geométricamente