2 Concepto de Capital Financiero. 3 Comparación de capitales financieros. 3 Ley financiera. 14 Capitalización compuesta. 23 Descuento comercial simple

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3 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Ídice Coceptos básicos de la iversió Cocepto de Capital Fiaciero 3 Comparació de capitales fiacieros 3 Ley fiaciera Capitalizació 8 Capitalizació simple 4 Capitalizació compuesta Descueto Itroducció 3 Descueto comercial simple 4 Descueto racioal simple 6 Descueto racioal compuesto Tipos de iterés y retabilidad 3 Tipos de iterés 34 Retabilidad Retas Fiacieras 46 Defiicioes 47 Clasificacioes 48 Retas Fiacieras Costates 50 Retas Fiacieras Variables fikai AULA FINANCIERA

4 Coceptos estadísticos 56 Media y esperaza 58 Variaza y desviació típica 60 Covariaza y correlació 63 Regresió lieal míimo cuadrática Retabilidad y riesgo 74 Retabilidad 78 Riesgo 8 Supuestos de la hipótesis de ormalidad fikai AULA FINANCIERA

5 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo. Coceptos básicos de la iversió. Feómeo fiaciero. Cocepto de Capital Fiaciero. Comparació de capitales fiacieros.3 Ley fiaciera.3. Operació fiaciera fikai AULA FINANCIERA

6 . Feómeo fiaciero. Cocepto de Capital Fiaciero Capítulo : Coceptos básicos de la iversió Cuado se dispoe de ua catidad de diero (capital) se puede destiar, o bie a gastarlo (satisfaciedo algua ecesidad), o bie a ivertirlo para recuperarlo e u futuro más o meos próximo, segú se acuerde. De la misma maera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer ua ecesidad, estaremos dispuestos a ivertir siempre y cuado la compesació ecoómica os resulte suficiete. E este setido el pricipio básico de la preferecia de liquidez establece que a igualdad de catidad los biees más cercaos e el tiempo so preferidos a los dispoibles e mometos más lejaos. La razó es el sacrificio del cosumo. Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de diero le asiga u valor objetivo fijado u precio por la fiaciació que se llama iterés. El iterés se puede defiir como la compesació por la reucia temporal del diero o coste de oportuidad de o dispoer del diero durate u tiempo. Esta compesació ecoómica se exige, etre otras, por tres razoes básicas: Por el riesgo que se asume. Por la falta de dispoibilidad que supoe desprederse del capital durate u tiempo. Por la depreciació del valor del diero e el tiempo. La cuatificació de esa compesació ecoómica, de los itereses, depede de tres variables, a saber: La cuatía del capital ivertido. El tiempo que dura la operació. El tato de iterés al que se acuerda la operació. Cuado se habla de capital fiaciero (C; t) os referimos a ua cuatía (C) de uidades moetarias asociada a u mometo determiado de tiempo (t). fikai AULA FINANCIERA

7 . Comparació de capitales fiacieros Capítulo : Coceptos básicos de la iversió E ua operació fiaciera o tiee setido hablar de capitales iguales (aquellos e los que coicide cuatías y vecimietos), sio que siempre estaremos refiriédoos a capitales equivaletes. Hay equivalecia etre dos capitales cuado a su propietario le resulta idiferete ua situació u otra. Es decir, si resulta idiferete cobrar hoy.000 euros a cobrar.050 euros detro de u año, etoces diremos que ambos capitales (.000; 0) y (.050; ) so equivaletes. De ua maera más geeral, dos capitales cualesquiera, C co vecimieto e t y C co vecimieto e t, so equivaletes cuado se está de acuerdo e itercambiar uo por otro. El cocepto de equivalecia o sigifica que o haya gaacia o coste e la operació. Todo lo cotrario, la equivalecia permite cuatificar ese beeficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir e ua operació cocreta..3 Ley fiaciera Capítulo : Coceptos básicos de la iversió Para que ua operació fiaciera se realice es ecesario que a los iterviietes las cuatías que da y recibe les resulte equivaletes. Es ecesario que deudor y acreedor se poga de acuerdo e cuatificar los capitales de los que se parte y a los que fialmete se llega. Esto implica elegir u método matemático que permita dicha sustitució: ua ley fiaciera. La ley fiaciera se defie como u modelo matemático (ua fórmula) para cuatificar los itereses por el aplazamieto y/o aticipació de u capital e el tiempo. Coociedo las diferetes leyes fiacieras que existe y cómo fucioa se podrá sustituir uos capitales por otros, pudiédose formalizar las diferetes operacioes fiacieras..3. OPERACIÓN FINANCIERA CONCEPTO: Se etiede por operació fiaciera la sustitució de uo o más capitales por otro u otros equivaletes e distitos mometos de tiempo, mediate la aplicació de ua ley fiaciera. E defiitiva, cualquier operació fiaciera se reduce a u cojuto de flujos de caja (cobros y pagos) de sigo opuesto y distitas cuatías que se sucede e el tiempo. Así, por ejemplo, la cocesió de u préstamo por parte de ua etidad bacaria a u cliete supoe para este último u cobro iicial (el importe del préstamo) y uos pagos periódicos (las cuotas) durate el tiempo que dure la operació. Por parte del baco, la operació implica u pago iicial úico y uos cobros periódicos. fikai AULA FINANCIERA 3

8 La realizació de ua operació fiaciera implica, por tato, que se cumpla tres putos:. Sustitució de capitales. Ha de existir u itercambio de u(os) capital(es) por otro(s).. Equivalecia. Los capitales ha de ser equivaletes, es decir, debe resultar de la aplicació de ua ley fiaciera. 3. Aplicació de ua ley fiaciera. Debe existir acuerdo sobre la forma de determiar el importe de todos y cada uo de los capitales que compoga la operació, resultado de la cosideració de los itereses geerados. ELEMENTOS - Persoales E ua operació fiaciera básica iterviee u sujeto (acreedor) que poe a disposició de otra (deudor) uo o más capitales y que posteriormete recuperará, icremetados e el importe de los itereses. La acció de etregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se cosiderará la prestació de la operació fiaciera. La operació cocluirá cuado el deudor termie de etregar al acreedor el capital (más los itereses); a esta actuació por ambas partes se le deomia la cotraprestació de la operació fiaciera. E toda operació fiaciera las catidades etregadas y recibidas por cada ua de las partes o coicide. El aplazamieto (o adelatamieto) de u capital e el tiempo supoe la producció de itereses que formará parte de la operació y que habrá que cosiderar y cuatificar. Por tato, prestació y cotraprestació uca so aritméticamete iguales. No obstate, habrá ua ley fiaciera que haga que resulte fiacieramete equivaletes, es decir, que si valorásemos prestació y cotraprestació e el mismo mometo, co la misma ley y co el mismo tato, etoces sí se produciría la igualdad umérica etre ambas. Tato la prestació como la cotraprestació puede estar formadas por más de u capital que icluso se puede solapar e el tiempo. - Temporales Al mometo de tiempo dode comieza la prestació de la operació fiaciera se le deomia orige de la operació fiaciera. Dode cocluye la cotraprestació de la operació fiaciera se le llama fial de la operació fiaciera. Al itervalo de tiempo que trascurre etre ambas fechas se le deomia duració de la operació fiaciera, durate el cual se geera los itereses. - Objetivos La realizació de la operació fiaciera exige u acuerdo sobre aspectos tales como: la cuatía del capital de partida, la ley fiaciera que se va a emplear y, fialmete, el tato de iterés (coste/gaacia) uitario acordado. 4 fikai AULA FINANCIERA

9 CLASIFICACIÓN Segú la duració: A corto plazo: la duració de la operació o supera el año. A largo plazo: aquéllas co ua duració superior al año. Segú la ley fiaciera que opera: Segú la geeració de itereses: ) E régime de simple: los itereses geerados e el pasado o se acumula y, por tato, o geera, a su vez, itereses e el futuro. ) E régime de compuesta: los itereses geerados e el pasado sí se acumula al capital de partida y geera, a su vez, itereses e el futuro. Segú el setido e el que se aplica la ley fiaciera: ) De capitalizació: sustituye u capital presete por otro capital futuro. ) De actualizació o descueto: sustituye u capital futuro por otro capital presete. Segú el úmero de capitales de que costa: Simples: costa de u solo capital e la prestació y e la cotraprestació. Complejas (o compuestas): cuado costa de más de u capital e la prestació y/o e la cotraprestació. Segú el iterés: A iterés explícito: cuado e la operació fiaciera se produce los itereses al aplicar el tipo de iterés. Por ejemplo, u boo a 5 años co pago aual de itereses. A iterés implícito: cuado los redimietos se calcula sobre el valor omial y se descueta de dicho valor omial. Por ejemplo, ua Letra del Tesoro a meses. fikai AULA FINANCIERA 5

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11 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo. Capitalizació. Capitalizació simple.. Defiició y fórmula geeral.. Magitudes derivadas..3 Tatos equivaletes e capitalizació simple..4 Números comerciales: cocepto y cálculo..5 Iterés simple aticipado. Capitalizació compuesta.. Defiició y fórmula geeral.. Magitudes derivadas..3 Tatos equivaletes e capitalizació compuesta fikai AULA FINANCIERA 7

12 . Capitalizació simple Capítulo : Capitalizació.. DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operacioes e régime de capitalizació simple se caracteriza porque los itereses, a medida que se va geerado, o se acumula y o geera itereses e períodos siguietes (o so productivos). De esta forma los itereses que se produce e cada período se calcula siempre sobre el mismo capital el iicial, al tipo de iterés vigete e cada período. Este régime fiaciero es propio de operacioes a corto plazo (meos de u año), salvo que las codicioes de la operació idique lo cotrario. CONCEPTO: Operació fiaciera cuyo objeto es la sustitució de u capital presete por otro equivalete co vecimieto posterior, mediate la aplicació de la ley fiaciera e régime de simple. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN: Partiedo de u capital (C 0 ) del que se dispoe iicialmete capital iicial, se trata de determiar la cuatía fial (C ) que se recuperará e el futuro sabiedo las codicioes e las que la operació se cotrata (tiempo y tipo de iterés i ). CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN: Los itereses o so productivos, lo que sigifica que: A medida que se geera o se acumula al capital iicial para producir uevos itereses e el futuro y, por tato Los itereses de cualquier período siempre los geera el capital iicial (C 0 ), al tato de iterés vigete e dicho período. Así pues, la fórmula geeral del valor de los itereses e capitalizació simple, e el caso de que el tipo de iterés sea costate, es: I = C0 i dode: i = Tipo de iterés omial expresado e tato por uo y referido a u año. = Duració de la operació, expresada e años. 8 fikai AULA FINANCIERA

13 DESARROLLO DE LA OPERACIÓN: El capital al fial de cada período es el resultado de añadir al capital existete al iicio del mismo los itereses geerados durate dicho período. De esta forma, la evolució del motate coseguido es el siguiete: C = C o + I sustituyedo los itereses por la expresió = C i C = C o + (C o i ) I 0 Por tato: = C ( + i ) C 0 Siedo el factor de capitalizació = ( + i ) Expresió aplicable cuado el tipo de iterés de la operació se matiee costate todos los períodos. A partir de la expresió aterior (deomiada fórmula fudametal de la capitalizació simple) o solamete se puede calcular motates sio que, coocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restate. Fialmete, hay que teer e cueta que lo que idica es el úmero de veces que se ha geerado (y acumulado) itereses al capital iicial, por tato, esa variable siempre ha de estar e la misma uidad de tiempo que el tipo de iterés (o importado cuál sea). CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: Si el tipo de iterés es variable la expresió para obteer el capital fial o motate sería: C = C 0 ( + i + i + i i ) = C 0 ( + j= i j ) fikai AULA FINANCIERA 9

14 EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.S. i = cte Calcular el motate obteido al ivertir.000 euros al 8% aual durate 4 años e régime de capitalizació simple. C o =.000 C 4 =? 0 4 años i = 8% = 0,08 Para calcular el motate utilizamos la expresió: = C ( + i ) C 4 =.000 ( + 0,08 x 4 ) =.640 C 0 EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.S. i = vble Se quiere coocer qué capital podremos retirar detro de 3 años si hoy colocamos.000 euros al 5% de iterés aual simple para el primer año y cada año os sube el tipo de iterés simple u puto porcetual. E este caso al ser el tipo de iterés variable, para calcular el capital fial, aplicaremos la expresió: C = C 0 ( + i + i + i i ) = C 0 ( + j= C 3 = C 0 ( + i + i + i 3 ) = 000 ( + 0,05 + 0,06 + 0,07 ) = 80 i j ) 0 fikai AULA FINANCIERA

15 .. MAGNITUDES DERIVADAS CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL: Partiedo de la fórmula del capital fial o motate y coocidos éste, la duració de la operació y el tato de iterés (cte), bastará co despejar de la misma: despejado C 0 resulta: C = C o ( + i ) C 0 C = + i EJEMPLO RESUELTO Cálculo del capital iicial e C.S. i = cte Cuáto deberé ivertir hoy si quiero dispoer detro de años de.500 euros para comprarme u coche, si me asegura u 6% de iterés aual simple para ese plazo? C o =? C = años i = 6% = 0,06 C 0 = C0 ( + i).500 = C ( + C = =.339,9 ( + 0,06) 0,06) CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Bastará co calcular los itereses de cada período, que siempre los geera el capital iicial y sumarlos. Itereses totales = I + I + + I = C 0 i + C 0 i + + C 0 i Luego: Itereses totales = C Si i = i = = i = i = cte 0 ( i + i i ) = C0 i j j= Itereses totales = I + I + + I = C0 i + C0 i + + C0 i = C0 i Por último, si coocemos los capitales iicial y fial: I = C - C0 fikai AULA FINANCIERA

16 EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los itereses e C.S. i = cte Qué itereses producirá 300 euros ivertidos 4 años al 7% simple aual? Por suma de los itereses de cada período: Itereses totales = I + I + I 3 + I 4 = C 0 i + C 0 i + C 0 i + C 0 i = C 0 x i x 4 = = 300 x 0,07 x 4 = 84 Tambié se puede obteer por diferecias etre el capital fial y el iicial: C 4 = 300 x ( + 0,07 x 4) = 384 I = = 84 EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los itereses e C.S. i = cte Qué iterés producirá euros ivertidos 8 meses al % simple mesual? I = C 0 i = x 0,0 x 8 = 480 CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS: Si se cooce el resto de elemetos de la operació: capital iicial, capital fial y duració, basta co teer e cueta la fórmula geeral de la capitalizació simple y despejar la variable descoocida. C = C 0 ( + i) C C 0 C = + i - = i C 0 i = C C 0 - EJEMPLO RESUELTO Cálculo del tipo de iterés e C.S. i = cte Determiar el tato de iterés aual a que debe ivertirse.000 euros para que e 5 años se obtega u motate de.500 euros. DATOS: C o = 000 C = 500 = 5 años.500 Calculamos i: C = C0 (+ i).500 =.000 ( + 5 i) = + 5 i = 5 i i = 0, 0 = 0%.000 CÁLCULO DE LA DURACIÓN: Por último, coociedo C 0, C y el tipo de iterés i, podemos calcular la duració mediate la expresió: C - C0 C - C0 I = = = i C i C i 0 0 fikai AULA FINANCIERA

17 ..3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE Dos tatos cualesquiera, expresados e distitas uidades de tiempo, so tatos equivaletes cuado aplicados a u mismo capital iicial y durate u mismo período de tiempo produce el mismo iterés o geera el mismo capital fial o motate. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA etre el tipo de iterés aual ( i ) y el tipo de iterés efectivo fraccioado ( i k ): El motate obteido utilizado i : C = C 0 ( + i) y utilizado i k : C = C 0 ( + k i k ) dode k es la frecuecia de capitalizació, que idica el úmero de partes iguales e las que se divide el período de referecia que se tome (habitualmete el año). Igualamos C 0 ( + i) = C 0 ( + k i k ) Y simplificado obteemos la relació de equivalecia: i = k i k Por tato, los tatos de iterés equivaletes e simple so proporcioales...4 NÚMEROS COMERCIALES: CONCEPTO Y CÁLCULO E el caso de ua cueta corriete bacaria es frecuete que, debido a los movimietos de diero, el capital (saldo) sea variable. Cuado se da esta circustacia, para calcular los itereses usamos los úmeros comerciales, siedo estos el producto del capital (saldo) por la duració de su periodo: N = C i i i De esta forma los itereses de ua cueta corriete, co saldos C i, podemos calcularlos de la siguiete maera: I = C i + C i C i = i (C + C C Luego: I = i (N + N +... N ) + )..5 INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO El tipo iterés simple es aticipado (prepagable), y lo deotaremos i*, cuado los itereses so prepagables, es decir, al pricipio del periodo. La relació etre el tipo de iterés simple aticipado ( i* ) y el tipo de iterés al vecimieto ( i ) para operacioes a u año es la siguiete: * ( i ) ( + i) =, de dode i * i = +, o bie, i i = i * - i * Para u plazo distito al año se obtiee: i i * =, o bie, + i i * = - i i * fikai AULA FINANCIERA 3

18 . Capitalizació compuesta Capítulo : Capitalizació.. DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operacioes e régime de compuesta se caracteriza porque los itereses, a diferecia de lo que ocurre e régime de simple, a medida que se va geerado pasa a formar parte del capital de partida, se va acumulado, y produce a su vez itereses e períodos siguietes (so productivos). E defiitiva, lo que tiee lugar es ua capitalizació periódica de los itereses. De esta forma los itereses geerados e cada período se calcula sobre capitales distitos (cada vez mayores ya que icorpora los itereses de períodos ateriores). CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN: Los itereses so productivos, lo que sigifica que: A medida que se geera se acumula al capital iicial para producir uevos itereses e los períodos siguietes. Los itereses de cualquier período siempre los geera el capital existete al iicio de dicho período. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN: El capital al fial de cada período es el resultado de añadir al capital existete al iicio del mismo los itereses geerados durate dicho período. De esta forma, la evolució del motate coseguido e cada mometo es el siguiete: Mometo 0: C 0 Mometo : C = C 0 + I = C 0 + C 0 i = C 0 ( + i) Mometo : C = C + I = C + C i = C ( + i) = C 0 ( + i) ( + i) = C 0 ( + i) Mometo 3: C 3 = C + I 3 = C + C i = C ( + i) = C 0 ( + i) ( + i) = C 0 ( + i) 3 Geeralizado: = C0 ( i) siedo (+ i ) el factor de capitalizació C + Al igual que e capitalizació simple, la duració () siempre ha de estar e la misma uidad de tiempo que el tipo de iterés (i). Esta expresió: - Permite calcular el capital fial o motate (C ) e régime de compuesta, coocidos el capital iicial (C 0 ), el tipo de iterés (i) y la duració () de la operació. - Es aplicable cuado el tipo de iterés de la operació es costate. E caso cotrario habrá que trabajar co el tipo vigete e cada período. 4 fikai AULA FINANCIERA

19 CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: Si el tipo de iterés es variable la expresió para obteer el capital fial o motate sería: C = C0 ( + i) (+ i ) (+ i3 )...(+ i ) = C0 ( + ij ) j= EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.C. i = cte Calcular el motate obteido al ivertir 00 euros al 5% aual durate 0 años e régime de capitalizació compuesta. C o = 00 C 0 =? 0 0 años i = 5% = 0,05 C 0 = 00 ( + 0,05 ) 0 = 35,78 Si se hubiese calculado e simple: C 0 = 00 ( + 0,05 0) = 300 La diferecia etre los dos motates (5,78 ) so los itereses producidos por los itereses geerados y acumulados hasta el fial. EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.C. i = vble Se quiere coocer qué capital podremos retirar detro de 3 años si hoy colocamos.000 euros al 5% de iterés aual compuesto para el primer año y cada año os sube el tipo de iterés compuesto medio puto porcetual. E este caso al ser el tipo de iterés variable, para calcular el capital fial, aplicaremos la expresió: C = C0 ( + i) (+ i ) (+ i3 )...(+ i ) = C0 (+ ij ) j= C 3 3 = C0 (+ i) (+ i ) (+ i ) = 000 (+ 0,05) (+ 0,055) (+ 0,06) =.74, fikai AULA FINANCIERA 5

20 .. MAGNITUDES DERIVADAS CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL: Partiedo de la fórmula de cálculo del capital fial o motate y coocidos éste, la duració de la operació y el tato de iterés, bastará co despejar de la misma: C = C 0 ( + i) de dode se despeja C 0 : C 0 = C (+ i) EJEMPLO RESUELTO Cálculo del capital iicial e C.C. i = cte Cuáto deberé ivertir hoy si quiero dispoer detro de años de.500 euros para comprarme u coche, si me asegura u 6% de iterés aual compuesto para ese plazo? C o =? C = años i = 6% = 0,06 = C0 ( i) C + = C0 ( 0,06) C = =.334,99 ( + 0,06) CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Coocidos los capitales iicial y fial, se obtedrá por diferecia etre ambos: I = C - C 0 E el caso de i = cte: [ I = C (+ i) - C = C ( i) -) ] I = C0 ( + i j ) - C0 = C0 ( + i j ) - E el casi de i = vble [ ] j= j= EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los itereses e C.C. i = cte Qué itereses producirá 300 euros ivertidos 4 años al 7% compuesto aual? Calculamos primero el motate C 4 = 300 ( + 0,07) 4 = 393,4 Luego, los itereses geerados será I = 393,4 300 = 93,4 6 fikai AULA FINANCIERA

21 CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS: Si se cooce el resto de elemetos de la operació: capital iicial, capital fial y duració, basta co teer e cueta la fórmula geeral de la capitalizació compuesta y despejar la variable descoocida. C = C 0 ( + i) C C 0 = (+ i) = (+ i) C 0 C C i = C 0 - EJEMPLO RESUELTO Cálculo del tipo de iterés e C.C. i = cte Determiar el tato de iterés aual a que debe ivertirse.000 euros para que e años se obtega u motate de.60,03 euros. DATOS: C o = 000 C = 60,03 = años Calculamos i: = C0 ( i) C +, ,03 =.000 (+ i).60, = (+ i) i =,6003 = 0, 04 = 4% = (+ i) CÁLCULO DE LA DURACIÓN: Por último, coociedo C 0, C y el tipo de iterés i, podemos calcular la duració: C = C 0 ( + i) C C l 0 = (+ i) l ( ) = l(+ i) C ( ) = l (+ i) C 0 C C 0 C ( ) l C = l( + i) 0 EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la duració e C.C. i = cte U capital de.000 euros colocado a iterés compuesto al 4% aual asciede a 3.0 euros. Determiar el tiempo que estuvo impuesto. DATOS: C o = 000 C = 30 i = 4% 3.0 =.000 ( + 0,04) 3.0 (+ 0,04) = l ( ) = l(,04) (,60) l (,04).000 l = = años fikai AULA FINANCIERA 7

22 ..3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA La defiició de tatos equivaletes es la misma que la vista e régime de simple, esto es, dos tatos cualesquiera, expresados e distitas uidades de tiempo, so tatos equivaletes cuado aplicados a u mismo capital iicial y durate u mismo período de tiempo produce el mismo iterés o geera el mismo capital fial o motate. E capitalizació simple se comprobó que los tatos de iterés equivaletes so proporcioales, es decir, cumple la siguiete expresió: i = k i k Si embargo, esta relació de proporcioalidad o va a ser válida e régime de compuesta, ya que al irse acumulado los itereses geerados al capital de partida, el cálculo de itereses se hace sobre ua base cada vez más grade; por tato, cuato mayor sea la frecuecia de capitalizació ates se acumulará los itereses y ates geerará uevos itereses, por lo que existirá diferecias e fució de la frecuecia de acumulació de los mismos al capital para u tato de iterés dado. Este carácter acumulativo de los itereses se ha de compesar co ua aplicació de u tipo más pequeño que el proporcioal e fució de la frecuecia de cómputo de itereses. Todo esto se puede apreciar e el siguiete ejemplo, cosistete e determiar el motate resultate de ivertir.000 euros durate año e las siguietes codicioes: a) Iterés aual del % C =.000 x ( + 0,) =.0,00 b) Iterés semestral del 6% C =.000 x ( + 0,06) =.3,60 c) Iterés trimestral del 3% C =.000 x ( + 0,03) 4 =.5,5 Los resultados o so los mismos, debido a que la capitalizació de los itereses se está realizado co diferetes frecuecias mateiedo la proporcioalidad e los diferetes tipos aplicados. Para coseguir que, cualquiera que sea la frecuecia de capitalizació, el motate fial siga siedo el mismo es ecesario cambiar la ley de equivalecia de los tatos. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA etre el tipo de iterés aual ( i ) y el tipo de iterés efectivo fraccioado ( i k ): El motate obteido utilizado i : y utilizado i k : C = C 0 ( + i) C = C 0 ( + i k ) k dode k es la frecuecia de capitalizació, que idica el úmero de partes iguales e las que se divide el período de referecia que se tome (habitualmete el año). Igualamos C 0 ( + i) = C 0 ( + i k ) k 8 fikai AULA FINANCIERA

23 Simplificamos: ( + i) = ( + i k ) k ( + i) = ( + i k ) k k Despejado: i (+ ik ) / k =, o bie, i = ( i) k + TANTO NOMINAL: El tato omial j k es u tipo de iterés aual proporcioal al tipo de iterés efectivo fraccioado i k e capitalizació compuesta. Cuado os de el valor del tato omial j k, calcularemos el efectivo fraccioado de la siguiete forma: i k = jk k EJEMPLO RESUELTO Tatos equivaletes e C.C. i = cte U capital de.000 euros se ivierte durate 0 años al 4% aual omial devegado los itereses mesualmete. Determiar: a) el tipo de iterés efectivo mesual b) el tipo de iterés efectivo aual. c) el motate al cabo de los 0 años. DATOS: C o = 000 = 0 años j = 4% j 0,04 a) i = = = 0,00333 = 0,33% 0,04 b) i = (+ i ) = ( + ) = 0,04074 = 4,074% K 0,04 0 c) C 0 = C0 (+ i) = C0 (+ ik ) = 000 ( + ) = 98,66 EJEMPLO RESUELTO Tatos equivaletes e C.C. i = cte Ua etidad ofrece u depósito a años co pago de itereses al fial de la operació. Si el efectivo aual que aucia es u 5% cuál será el omial aual? Se pide calcular j / ya que la frecuecia de capitalizació K=/ ( año es la mitad del periodo de capitalizació). / / / = Calculamos e primer lugar i = ( + i) = ( + 0,05) 0, 05 Ahora calculamos el omial j/ = i/ = 0, 055 = 5,5% fikai AULA FINANCIERA 9

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25 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo 3. Descueto 3. Itroducció 3. Descueto comercial simple 3.3 Descueto racioal simple 3.3. Tipo de iterés e las letras del tesoro 3.4 Descueto racioal compuesto 3.4. Defiició y fórmula geeral 3.4. Actualizació periódica de los itereses fikai AULA FINANCIERA

26 3. Itroducció Capítulo 3: Descueto El descueto bacario es ua operació de activo para las etidades fiacieras y uo de los servicios bacarios de fiaciació a corto plazo más utilizados por las empresas. La operació cosiste e que la etidad fiaciera adelata el importe de u título de crédito o vecido (letra de cambio, pagaré, factura, recibo ), descotado los itereses que correspode por el tiempo que media etre la fecha del aticipo y la fecha de vecimieto del crédito, las comisioes y demás gastos. Las figuras que aparece e la operació so: librador es la persoa que emite el documeto, teedor o tomador es la persoa legitimada para cobrarlo y librado es la persoa obligada al pago. E térmios fiacieros, la etidad aticipa al cliete, el valor actual descotado de u efecto comercial, y a vecimieto, el baco obtedrá el omial. Se deomia geéricamete efecto comercial a todo tipo de documeto que evidecie que existe u crédito a favor de la persoa que lo posee, como cosecuecia de la práctica habitual de la empresa, cotra otra que ha cotraído dicha obligació o deuda. Por tato, las operacioes de descueto o de descapitalizació so operacioes fiacieras e las que se cambia u capital futuro por u capital presete, es decir, se aticipa u capital (C,t ) hasta (Co,t 0 ). Al capital que figura e el documeto (letra, factura, pagaré ) o capital futuro se le deomia valor omial (C ). El capital e el mometo presete, se le llama valor actual, valor efectivo o valor descotado (C 0 ). La diferecia etre el valor omial y el valor descotado es el descueto. D = C C 0 El descueto depede, además de la cuatía del valor omial, del tipo de iterés omial aplicado y del tiempo. Para el cálculo del descueto comercial e días se suele cosiderar el año comercial de 360 días. Si embargo, para operacioes de pasivo las etidades fiacieras utiliza el año atural de 365 días. Vamos a estudiar tres sistemas fiacieros de descueto:. Descueto comercial simple.. Descueto racioal simple. 3. Descueto racioal compuesto o actualizació compuesta. fikai AULA FINANCIERA

27 3. Descueto comercial simple Capítulo 3: Descueto El descueto comercial simple es el más utilizado e la práctica bacaria y se lleva a cabo para periodos iferiores a u año. Fórmula geeral del valor descotado: C0 = C (- i) siedo (- i) el factor de actualizació. Fórmula geeral del descueto: D = C C0 = C C (- i) = C i Dode: i = tipo de iterés de descueto omial = tato de descueto omial = d C = valor omial C 0 = valor descotado = periodo de descueto EJEMPLO RESUELTO Descueto comercial simple Ua etidad fiaciera descueta ua letra de cambio de 800 euros de omial 80 días ates de su vecimieto. Sabiedo que el tipo de descueto omial aplicado es del 9% aual, se pide: a) Valor del descueto realizado. b) Valor descotado o efectivo que aboa la etidad. DATOS: C = 800 = 80 días d=i= 9% 80 a) D = C i = 800 0,09 = b) C 0 = C D = = 784 EJEMPLO RESUELTO Descueto comercial simple Ua etidad fiaciera descueta ua letra de cambio de 5000 euros de omial 00 días ates de su vecimieto. Sabiedo que valor descotado o efectivo que aboa la etidad es 4785, calcular el tipo de iterés omial utilizado. DATOS: C = 5000 = 00 días C 0 = 4785 D = C i i = D C = / 360 = 0,548 = 5,48% EJEMPLO RESUELTO Descueto comercial simple Ua etidad fiaciera descueta ua letra de cambio de 500 euros de omial 90 días ates de su vecimieto. Sabiedo que el tato de descueto es del 8% aual, que la comisió del 0,5% y que los impuestos asciede a 30 euros, calcular el valor efectivo de la letra. E 0, =.500 ( 0,08) =.43,5 fikai AULA FINANCIERA 3

28 3.3 Descueto racioal simple Capítulo 3: Descueto Fórmula geeral del valor descotado: Partimos de la capitalizació simple: C = C o ( + i ) y despejamos el valor de C 0, que sería el valor descotado: siedo el factor de actualizació. ( + i) C 0 C = ( + i) Fórmula geeral del descueto: D = C C 0 = C C C i = (+ i) (+ i) 3.3. TIPO DE INTERÉS EN LAS LETRAS DEL TESORO Las Letras del Tesoro so títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado para su fiaciació. Su plazo de vecimieto suele ser iferior a 8 meses, su valor omial es de.000 euros y preseta la peculiaridad de que se emite al descueto. Es decir, el suscriptor al comprar paga meos que el valor omial del título, mietras que e el mometo del vecimieto recibe dicho valor omial. Este meor precio e el mometo de la compra es la retabilidad que ofrece el título. De esta maera, el capital ivertido será el precio pagado por la letra adquirida y los itereses que se obtiee será la diferecia etre ese precio de adquisició y el precio que se obtega por la letra cuado se veda o cuado se amortice (.000 euros). Para calcular la retabilidad que obtiee el iversor hay que distiguir etre Letras co vecimieto a meos de año y a más de año: a) Si se emite a plazos iferiores o iguales a los meses: Se calcula aplicado las fórmulas del descueto racioal simple. Las emitidas a meses (o 5 semaas) tiee ua vida exacta de 364 días. b) Si se emite a 8 meses(*): Se aplica las fórmulas del descueto racioal compuesto. (*) Actualmete el Tesoro Público emite Letras a 3, 6, 9 y meses, y o emite al plazo de 8 meses. 4 fikai AULA FINANCIERA

29 EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal simple Las Letras del Tesoro a meses (364 días) se adjudicaro a u tipo de iterés margial del,975%. Cuál es el precio margial de la subasta o precio míimo aceptado? DATOS: Valor omial = C =.000 d = de días = 364 i =,975% Utilizamos la ley de descueto racioal simple: C 0 C = ( + i) C 0 =.000 P = = 970,79 euros , EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal simple El importe que se aboó por ua Letra del Tesoro a meses (364 días) fue de 980,75 euros. Calcula el tipo de iterés de la subasta. DATOS: Valor omial = C =.000 d = de días = 364 P = C 0 = 980,75 Utilizamos la ley de descueto racioal simple: C 0 C = ( + i) Sustituimos: 980, = y despejamos i = 0,094 =,94% 364 ( + i) 360 EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal simple U capital de 5000 euros se descueta 30 días ates de su vecimieto a u 7% aual. Calcular el descueto racioal simple y el descueto comercial simple. DATOS: Valor omial = C = 5000 d = de días = 30 i = 7% 30 C ,07 i 360 Descueto racioal simple: D = = = (+ i) 30 (+ 0,07) Descueto comercial simple: D = C i = ,07 = 9,7 360 fikai AULA FINANCIERA 5

30 3.4 Descueto racioal compuesto Capítulo 3: Descueto 3.4. DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL E esta ley fiaciera el descueto se calcula sobre el valor del capital actualizado al iicio de cada periodo. Fórmula geeral del valor descotado: Partimos de la capitalizació compuesta: C = C 0 ( + i) y despejamos el valor de C 0, que sería el valor descotado: Siedo (+ i) el factor de actualizació C 0 = C ( + i) C Fórmula geeral del descueto: D = C C0 = C = C ( ) ( + i) ( + i) EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal compuesto Sea u capital de 5000 euros que vece detro de 0 años. Calcular el valor descotado y el descueto utilizado la ley de actualizació compuesta, siedo el tipo de iterés el 5% omial aual. DATOS: Valor omial = C = 5000 duració = 0 años i = 5% C 5000 Valor descotado: C 0 = = = 0 (+ i) ( + 0,05) 3069,57 Descueto = C C 0 = ,57 = 930, ACTUALIZACIÓN PERIÓDICA DE LOS INTERESES EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal compuesto Sea u capital de 5000 euros que vece detro de 3 años y medio. Calcular el valor actual de dicho capital siedo el tipo de iterés u 6% omial actualizable semestralmete. DATOS: Valor omial = C = 5000 j = 6% duració = 7 semestres C 0 C = (+ j ) = (+ 0,03) 7 = 4.065,45 6 fikai AULA FINANCIERA

31 CUESTIONARIO Capítulos - 3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO. Cuáto vale ua Letra del Tesoro, e tato por cieto de omial, si calculamos su valor al 3% de iterés y falta 45 días para su vecimieto? A) 97,0 % B) 99,63 % C) 98,30 % D) 00 %. Si se realiza u igreso de euros a plazo fijo durate 5 años al 4% omial aual. Los itereses se aboa trimestralmete y se reivierte Cuál es el saldo fial de la operació? A) 0.98,7 B).05,85 C) 0.949,87 D) 0.988,97 3. Si adquiriese Letras del Tesoro a año (exactamete a 360 días e base a 360) por 946, siedo su valor omial.000 qué retabilidad obtedría e cada ua de las Letras a año? A) 5,400% B) 5,708% C) 5,630% D) 5,880% 4. Nos ofrece u depósito e el que se estima ua retabilidad omial aual del 6% y que trimestralmete aboa los itereses al depósito. Si decidimos aportar.000 euros, Cuál será el capital detro de 4 años? A) 5.309,86 B) 5.7,83 C) 5.49,7 D) 5.45,87 5. E ua iversió fiaciera a u año y a efectos de coseguir la mejor retabilidad al fializar la operació, Cuál de las siguietes operacioes escogería, supoiedo que las codicioes de la operació se matega durate todo el año? A) Iterés omial del 4,5% pagadero aualmete. B) Iterés omial del 4,05% pagadero bimestralmete. C) Iterés omial del 4,0% pagadero trimestralmete. D) Iterés omial del 4,07% pagadero mesualmete. 6. E las operacioes de capitalizació: A) Se adelata el cobro de u capital. B) Se retrasa la dispoibilidad de u diero. C) Se realiza u descueto sobre el valor omial. D) Se geera itereses que se va acumulado siempre al capital iicial. 7. Si depositamos u capital de Qué capital fial obtedremos, si dicha imposició es a u plazo de 6 meses y es remuerada al 3% aual? A) B) C) 75 D) Nigua de las ateriores. fikai AULA FINANCIERA 7

32 8. Ua empresa descueta ua letra de 6.000,00 que vece detro de 90 días. La etidad bacaria aboa por la Letra Calcula el tipo de iterés omial que aplica la etidad, supoiedo que o existe gastos. A) 9,67 % B) 0 % C) 8,3 % D) Nigua de las ateriores. 9. Sabiedo que el tipo de iterés omial resultate e ua subasta de Letras del Tesoro a meses es 3,645%, calcular el valor efectivo de dicha Letra. A) 35,55 B) 964,45 C) 963,55 D) 96, Qué capital hay que colocar al 4% de iterés omial aual para obteer, al cabo de cuatro años, otro de 0.000? Se supoe que el aboo de itereses es trimestral y se va acumulado al capital iicial. A) 8.58, B).47,78 C) 8.874,49 D) 5.339,08. U depósito a plazo de 3 años permite recuperar al iversor por cada de iversió. Calcula el tipo de iterés omial de dicho depósito, sabiedo que los itereses se geera cada semestre y se acumula al capital. A) 8,0 % B) 5,0 % C) 0,54 % D) 5,50 %. E ua operació de actualizació a iterés compuesto, el valor efectivo dismiuye a medida que se hace meor: A) La duració de la operació. B) El tipo de iterés omial. C) La frecuecia aual de actualizació. D) Nigua es cierta. 3. Calcular el tipo de iterés omial aual que se está aplicado e u boo cupó cero a 0 años, co cálculo semestral de itereses, si por u omial de.000 se debe pagar 60. A) 6 % B) 4 % C) 5 % D) Nigua de las ateriores. 4. El tipo de iterés omial de ua imposició a plazo de 3 años es el 4% si los itereses se acumula mesualmete al capital. Calcular el tipo de iterés efectivo aual correspodiete. A) 4 % B) 4,07 % C) 3,33% D) 6,0 % 8 fikai AULA FINANCIERA

33 5. U depósito a plazo ofrece u 5% de iterés aual omial co acumulació trimestral de itereses. Por u capital iicial de 8.000, a los dos años y tres meses obtedrá u capital fial de: A) 8.95,58 B) 8.98,4 C) D) 8.946,34 6. Ua operació de iversió de a cuatro años al 3,75% omial co capitalizació mesual obtedrá u capital fial de: A) 9.039,06 B) 8.750,00 C).5,74 D) 9.045,86 7. E ua operació e que se descueta u efecto comercial de omial y vecimieto a los 60 días a ua tasa de descueto del 5% aual, el valor efectivo a percibir es, supoiedo que se aplica la fórmula del descueto simple comercial: A) B) C) D) Nigua de las ateriores 8. E la misma operació de la preguta aterior, qué valor efectivo se percibirá si el descueto es por modalidad matemática o racioal? A) 5.700,00 B) 5.950,00 C) 5.950,4 D) Nigua de las ateriores. 9. A que tipo de iterés habría que ivertir u capital hoy para que se duplique e 0 años: A) 6,5 % B) 5,53 % C) 7,8 % D) 8, % 0. E ua operació fiaciera de año, el tipo de iterés a vecimieto es del 3%, cuál es el tipo de iterés simple aticipado? A) 3,09 % B) 3 % C),9 % D) Nigua de las ateriores.. U cliete abre ua cueta corriete bacaria igresado El tipo de iterés aual simple es del 4%. Al cabo de 0 días igresa otros 000 más y 40 días después retira 500. Si 30 días después la etidad fiaciera liquida los itereses, cuál será su importe? A) 800 B) 3,33 C) 6,03 D) Nigua de las ateriores. fikai AULA FINANCIERA 9

34 . Cuál es el criterio para aplicar la ley simple o la compuesta e las operacioes de capitalizació? A) El plazo. B) La frecuecia de pago de itereses. C) La reiversió de itereses. D) No existe igú criterio. 3. Cual es el criterio para la aplicació de la ley simple o la compuesta e operacioes de descueto? A) El plazo. B) La frecuecia de pago de itereses. C) La reiversió de itereses. D) No existe igú criterio. 30 fikai AULA FINANCIERA

35 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo 4. Tipos de iterés y retabilidad 4. Tipos de iterés 4.. Tasa omial y efectiva e iterés compuesto 4.. Tipos de iterés spot y forward 4. Retabilidad 4.. Retabilidad omial y real 4.. Retabilidad Simple 4..3 Tasa Aual Equivalete (TAE) 4..4 Tasa Itera de Retabilidad (TIR) 4..5 Tasa de Retabilidad Efectiva (TRE) 4..6 Tasa Geométrica de Retabilidad (TGR) fikai AULA FINANCIERA 3

36 4. Tipos de iterés Capítulo 4: Tipos de iterés y retabilidad 4.. TASA NOMINAL Y EFECTIVA EN INTERÉS COMPUESTO El tato omial j k es u tipo de iterés aual proporcioal al tipo de iterés efectivo fraccioado i k e capitalizació compuesta. Por tato, la relació etre el tato omial capitalizable k-esimalmete j k y el tato efectivo k-esimal es: jk ik = dode k es la frecuecia de capitalizació. k Como vimos e el capítulo, el tipo efectivo aual compuesto = i = ( + i ) k k Luego sustituyedo: Tipo efectivo aual compuesto i = ( + j k k ) k - y despejado j k e fució de i : Tato omial [ ] jk = k ( + i) k - Si k > el tipo de iterés efectivo aual (i) es mayor que el tato omial (j k ) Si k =, etoces i = j Si k < el tipo de iterés efectivo aual (i) es meor que el tato omial (j k ) EJEMPLO RESUELTO Tato omial y tato efectivo Calcular el tipo de iterés efectivo aual correspodiete a ua operació de capitalizació al 0% omial pagadero semestralmete. DATOS: Tato omial pagadero semestralmete = j = 0% SE PIDE: Tato efectivo aual = i jk k Utilizamos la expresió: i = ( + ) - para k = k j 0,0 i = ( + ) - = ( ) + = 0,05 = 0,5% >0% = j 3 fikai AULA FINANCIERA

37 4.. TIPOS DE INTERÉS SPOT Y FORWARD Las operacioes al cotado se liquida a u tipo de iterés al cotado o spot y las operacioes a plazo, es decir, cotratadas e ua fecha pero materializadas e ua fecha futura, se liquida a u tipo de iterés a plazo o forward. Para vecimietos superiores al año se aplica el iterés compuesto, y para vecimietos iferiores a u año el iterés simple. La curva de tipos de iterés o curva de redimietos (yield curve) es la represetació gráfica e u eje de coordeadas, de los tipos spot observados e el mercado (eje vertical) asociadas a los vecimietos de los activos (eje horizotal); e u mometo dado. La Estructura Temporal de los Tipos de Iterés (ETTI) es la curva costruida co los tipos de iterés correspodietes a los boos cupó cero si riesgo. Esta curva os proporcioa hoy las expectativas sobre la evolució de tipos futuros, es decir, si la expectativa es de evolució de tipos al alza (curva ascedete), a la baja (curva descedete) o de o variació (curva plaa). EJEMPLO RESUELTO Tipo de iterés spot Calcular el tipo spot correspodiete a ua operació fiaciera de duració años, siedo el omial del activo 000 euros y el valor efectivo hoy 90,55 euros. DATOS: Valor omial = C = 000 Valor efectivo = C 0 = 90,55 = años El vecimieto del activo fiaciero es superior al año, luego utilizaremos iterés compuesto: C = C 0 (+i) sustituyedo: 000 = 90,55 (+i) Y despejado: tipo spot asociado al plazo de años = i = 0,0479 = 4,79% EJEMPLO RESUELTO Tipo de iterés forward Sea dos activos A y B, el primero co u redimieto del 6% a año y el B co u redimieto del 7% a dos años. Cuál será el tipo forward o implícito para ua iversió a u año, detro de u año? i A = 6% i forward =? 0 i B = 7% Plateamos la siguiete igualdad: A ) ( + iforward ) = ( ib ) ( + i + Sustituimos forward ( + 0,06) ( + i ) = ( + 0,07) y despejamos i forward = 0,08 = 8% fikai AULA FINANCIERA 33

38 4. Retabilidad Capítulo 4: Tipos de iterés y retabilidad 4.. RENTABILIDAD REAL La retabilidad real de ua iversió cosidera, además de la retabilidad fiaciera, otras variables tales como la fiscalidad, los gastos de gestió, las comisioes y la tasa de iflació. Para calcular la retabilidad real, teiedo e cueta estas variables, utilizaremos la siguiete expresió: ( REAL + FF + r ) (+ Π ) = ( r ) siedo r REAL = La retabilidad real Π = La tasa de iflació r FF = La retabilidad fiaciero fiscal + r FF Así pues, rreal = + Π EJEMPLO RESUELTO Retabilidad REAL Calcular la retabilidad real de ua iversió que ha teido ua retabilidad fiacierofiscal del 4%, siedo la tasa de iflació del 4,5%. DATOS: r FF = 4% Π = 4,5% SE PIDE: r REAL =? Para calcular la retabilidad real utilizamos la expresió : r REAL + rff + 0,04 = = - = + Π + 0,045-0,0048 = - 0,48 % Retabilidad real egativa. EJEMPLO RESUELTO Retabilidad REAL Calcular la tasa de iflació sabiedo que ua iversió que ha teido ua retabilidad fiaciero-fiscal del 6% y ua retabilidad real del 3%. DATOS: r FF = 6% r REAL = 3% SE PIDE: Π =? Para calcular la tasa de iflació utilizamos la expresió + r ) (+ Π ) = ( r ),06 ( + 0,03) (+ Π ) = (+ 0,06) Π = = 0, 096,9%,03 ( REAL + FF 34 fikai AULA FINANCIERA

39 4.. RENTABILIDAD SIMPLE ( RS ) La expresió para determiar la retabilidad simple RS T es: PT +DT - P0 RS T = dode P T :precio del título al fial del periodo T P 0 D T :suma de los igresos percibidos durate el periodo T P 0 :precio del título al iicio del periodo La retabilidad simple supoe que los dividedos y otros redimietos se percibe al fial del periodo, o que se reivierte a ua tasa del 0% si se percibe ates. EJEMPLO RESUELTO Retabilidad simple Hace dos años se adquiriero accioes de ua compañía, siedo su cotizació 5. Calcular la retabilidad simple de cada uo de los dos años de ua acció, sabiedo que su cotizació al fial del primer año fue 8 y al fial del segudo año 7, , 0 Para coocer e qué porcetaje se ha revalorizado aualmete la acció calculamos la retabilidad simple: RS 8-5 = = 5 0% 7,- 8 RS = 8 = - 5% EJEMPLO RESUELTO Retabilidad simple Hace 6 meses compramos 00 accioes a 35 /acció, pagado 44 de comisió y hoy la acció cotiza a 36,50. Calcular la retabilidad simple de la acció, sabiedo que hace 3 meses se cobró u dividedo de,0 por acció. P 0 = = P = 00 36,50 = D = 00,0 = RS = = 6,37% fikai AULA FINANCIERA 35

40 4..3 TASA ANUAL EQUIVALENTE ( TAE ) El Baco de España, obliga a todas las etidades fiacieras a icluir este ídice desde el año 990, e que publica la orma 8/990 sobre Trasparecia de las operacioes y protecció de la clietela. El sigificado exacto es Tasa Aual Equivalete o Tasa Aual Efectiva. Es u idicador que, e forma de tato por cieto aual, revela el coste o redimieto efectivo de u producto fiaciero, ya que icluye el iterés y los gastos y comisioes bacarias. Así, si ua operació fiaciera o tiee comisioes i gastos, su TAE coicidiría co el tipo de iterés efectivo aual. La TAE se calcula de acuerdo co ua fórmula matemática estadarizada que tiee e cueta el tipo de iterés omial de la operació, la frecuecia de los pagos (mesuales, trimestrales, etc.), las comisioes y alguos gastos de la operació. E el caso de los créditos, o se icluye e el cálculo del coste efectivo alguos coceptos, como los gastos que el cliete pueda evitar e uso de las facultades que le cocede el cotrato, los gastos a aboar a terceros o los gastos por seguros o garatías (salvo que la etidad impoga su suscripció para la cocesió del crédito). El cálculo de la TAE está basado e el tipo de iterés compuesto e la hipótesis de que los itereses obteidos se vuelve a ivertir al mismo tipo de iterés y debe calcularse co importes brutos (si teer e cueta aspectos fiscales). La TAE es muy útil porque permite comparar distitos productos u opcioes de iversió, co idepedecia de sus codicioes particulares. Esto es así especialmete etre productos de igual aturaleza, e los que los restates elemetos, y e particular el riesgo que tiee, so idéticos. Las etidades está obligadas a iformar sobre la TAE de sus operacioes e la publicidad que haga de sus productos, e los cotratos que formalice co sus clietes, e las ofertas viculates que realice y e los documetos de liquidació de operacioes activas y pasivas. EJEMPLO RESUELTO TAE U cliete solicita u préstamo por que debe devolver a fial de año e u sólo pago que comprede el capital más los itereses (calculados mesualmete). El tipo de iterés omial del préstamo es del 6% y la etidad fiaciera deduce los gastos de gestió, por lo que realmete se etrega al cliete Calcular la TAE. Primero calculamos la cotraprestació e t= (devolució del capital más itereses, siedo j = 6%): Cotraprestació = + = + 0,06 C C0 ( i) P ( i ) = = 446,7 = Y a cotiuació, calculamos la TAE plateado la siguiete equivalecia fiaciera: 446, = Despejado: TAE = 7,5% + TAE 36 fikai AULA FINANCIERA

41 EJEMPLO RESUELTO TAE_RETRIBUCIÓN EN ESPECIE U cliete cotrata el Depósito iphoe. El producto cosiste e que el cliete realiza ua imposició de euros y e el mometo de la cotratació se lleva u smartphoe de los que lleva impresa ua mazaita. Al cabo de u año recupera los euros. Si la TAE auciada es del 3%, hallar el valor del iphoe. El cliete aporta euros pero se lleva el iphoe, por lo que realmete está reuciado a meos el valor del regalo (X). Hallamos X para que X capitalizados u año se covierta e 0.000: ( X) ( + 0,03) = X = 58,5 fikai AULA FINANCIERA 37

42 4..4 TASA INTERNA DE RENTABILIDAD ( TIR ) La Tasa Itera de Retoro o Tasa Itera de Retabilidad (TIR) de ua iversió, está defiida como la tasa de iterés co la cual el valor actual eto o valor presete eto (VAN o VPN) es igual a cero. El VAN o VPN es calculado a partir de los flujos positivos y egativos de capital, trasladado todas las catidades futuras al presete. La expresió que permite calcular el VAN es: VAN = D 0 + N Q ( + j= j i) j Dode: VAN = Valor Actual Neto. D o = Desembolso iicial. Q j = Flujo de Caja e el periodo j. i = tasa de descueto o actualizació La obteció del VAN costituye ua herramieta fudametal para la evaluació y gerecia de proyectos, así como para la admiistració fiaciera. La Tasa Itera de Retoro (TIR) es el tipo de descueto que hace igual a cero el VAN. Así pues, para calcular la TIR platearemos la siguiete ecuació: D N Qi + ( + TIR) 0 = i i= 0 TIR Esta tasa itera de retabilidad TIR correspode a la retabilidad del iversor, asumiedo que los flujos periódicos se reivierte a ua tasa igual a la TIR. EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TIR U cliete adquirió.000 participacioes de u fodo de iversió que cotizaba a 4. Al cabo de u año vedió 600 participacioes que e ese mometo cotizaba a 5. Si al cabo de dos años la cotizació de la participació del fodo es de 6, calcular la TIR de esta iversió. El desembolso iicial de la iversió = D o = = E t =, cobra Q = = E t =, cobra Q = = Para calcular la TIR de este flujo de cobros y pagos plateamos la siguiete ecuació: D N Qi + ( + TIR) 0 = i i= = 0 TIR =,9% ( + TIR) ( + TIR) 8 Nota: La ecuació que resulta, e geeral, es muy complicada de resolver maualmete por lo que el cálculo se realiza por tateo o usado calculadora fiaciera. 38 fikai AULA FINANCIERA

43 4..5 TASA DE RENTABILIDAD EFECTIVA ( TRE ) E el cálculo de la Tasa de Retabilidad Efectiva (TRE) se cosidera que u capital cobrado puede reivertirse al tipo de iterés vigete. Para calcular la TRE: Primero, calculamos el motate (C ) de la iversió capitalizado los flujos de caja al tipo de iterés correspodiete. A cotiuació, plateamos la siguiete ecuació: C = + y despejamos la tasa TRE TRE = C0 ( TRE) C C 0 Si el tipo de iterés de reiversió es meor que la TIR TRE < TIR Si el tipo de iterés de reiversió es mayor que la TIR TRE > TIR EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TRE Cuál ha sido la retabilidad efectiva de la siguiete operació si supoemos que el iversor reivierte los cupoes auales y amortiza el boo a vecimieto? Compra: Tipos de iterés a u año Vecimieto: : 3,50% Cupó aual: 4,5% : 3,80% Valor omial: : 4,70% TIR de adquisició: 6,5% : 5,5% Precio de compra: 93,97% Primero calculamos el valor fial de los cupoes percibidos y del omial a vecimieto utilizado los tipos de iterés dados: C =45 (+0,038) (+0,047) (+0,055)+45 (+0,047) (+0,055)+45 (+0,055)+045= = 93,4 A cotiuació, plateamos la siguiete ecuació: C0 ( TRE) C = + y sustituyedo: 93,4 = 939,7 (+TRE) 4 Despejado la tasa de retabilidad efectiva: TRE = 0,0657 = 6,6 % < TIR ya que los tipos de iterés de reiversió ha sido iferiores a la TIR. fikai AULA FINANCIERA 39

44 4..6 TASA GEOMÉTRICA DE RENTABILIDAD ( TGR ) La Tasa Geométrica de Retabilidad (TGR) (Time-weighted rate of retur) es la retabilidad del gestor de la cartera y se calculará realizado la media geométrica de las retabilidades simples de los diferetes periodos. Para ello seguiremos los siguietes pasos: Primero, determiamos las retabilidades simples para cada subperiodo de iversió. A cotiuació, plateamos la igualdad: ( + TGR) = ( + RS) (+ RS )... ( + RS ) Y por último despejamos la TGR: TGR = [( + RS ) (+ RS )... (+ RS )] Esta es la retabilidad que mide sólo la actuació del gestor quitado la ifluecia de las decisioes del iversor de aportar o retirar fodos de la cartera. Comparado la TIR y la TGR se puede aalizar el grado de acierto de la política de etradas y salidas de capital de la iversió llevada a cabo: Si TIR > TGR, el iversor ha acertado e sus decisioes. Si TIR = TGR, el resultado es idiferete de la política llevada a cabo. Si TIR < TGR, el iversor se ha equivocado e su política EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TGR U gestor acosejó a u iversor adquirir participacioes de u fodo de iversió que cotizaba a 4. Al cabo de u año las participacioes cotiza a 6 y a los dos años cotiza a 5. Calcular la tasa geométrica de retabilidad. Primero, determiamos las retabilidades simples para cada año: RS = = 0,5 = 50% RS = = 4-0,667 = - 6,67% 6 A cotiuació, hallamos la media geométrica: = [( + RS ) ( RS )] [( + 0,50) (- 0,667) ] TGR + = =,8 % 40 fikai AULA FINANCIERA

45 EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TGR Las retabilidades auales del Kutxabak Boo FI e el periodo ha sido 4,44%, 0,78%,,9%, 4,55% y 4,44%. Calcular la Retabilidad Acumulada del fodo y la Tasa Geométrica de Retabilidad a 3 y 5 años E primer lugar calculamos las retabilidades acumuladas y posteriormete calculamos las retabilidades aualizadas: A 3 años + R =,09,0455,0444 =,380 R 3 AÑOS ACUM 3 AÑOS ACUM = 3 = AN UAL 3 AÑOS,38% (+ R ),38 R = 0, ,97% ANUAL 3 AÑOS A 5 años + R =,044,0078,09,0455,0444 R 5 AÑOS 5 AÑOS ACUM = 5 ( + R ) =,85 R ANUAL 5 AÑOS ANUAL 5 AÑOS 8,5% = 0, ,4% fikai AULA FINANCIERA 4

46 CUESTIONARIO Capítulo 4: TIPOS DE INTERÉS Y RENTABILIDAD. Sea dos activos A y B, el primero co u redimieto del 8% a año y el B co u redimieto del 0% a dos años. Cuál será el tipo forward o implícito para ua iversió a u año, detro de u año? A) El 0% B) El % C) El,5% D) Niguo de los ateriores.. La retabilidad efectiva de u boo es mayor que su TIR cuado: A) El tipo de iterés es superior a su TIR. B) El tipo de iterés es iferior a su TIR. C) El tipo de iterés es igual a su TIR. D) Nigua de las ateriores. 3. La TAE de ua operació si comisioes que ride u 4% omial acumulable trimestralmete es: A) 4% B) % C) 4,074% D) 4,06% 4. Ua etidad bacaria oferta ua póliza de ahorro al 5,35% TAE. Cuál es el iterés omial aplicado, si el aboo de itereses es trimestral? A) 5,% B) 5,5% C) 5,46% D) 5,35% 5. Para calcular el coste o la retabilidad de ua operació fiaciera teiedo e cueta la frecuecia de capitalizació o descueto y tambié los gastos y comisioes, se utiliza: A) Tipo de iterés omial. B) Tipo de iterés efectivo. C) TAE. D) Niguo de los ateriores. 6. Idica cuál de las siguietes afirmacioes es correcta: A) La TAE siempre es superior al tipo de iterés omial. B) La TAE la defie, para cada operació, las propias etidades fiacieras estableciedo los criterios para su cálculo. C) La TAE tiee e cueta todos los gastos de ua operació. D) La TAE puede coicidir, e algú caso, co el tipo de iterés efectivo. 7. La TAE de ua operació si comisioes que ride u 3% omial acumulable bimestralmete es: A) 3,0000 % B) 3,05 % C) 3,0378 % D) 0,5000 % 4 fikai AULA FINANCIERA

47 8. Ua persoa compra uas accioes por Al cabo de año recibe uos dividedos de 80, y a los años de 40. Si vede las accioes a los 3 años por y paga e ese mometo 40 e cocepto de gastos, la ecuació que permite determiar la TIR, i, de la iversió es: A) B) C) D) = (+i) (+i) (+i) = (+i) (+i) (+i) = (+i) (+i) (+i) = + 3 (+i) (+i) (+i) 9. E u préstamo hipotecario si comisió de apertura que cobra ua comisió de cacelació del % y cuya tasa de iterés omial es del 6% liquidable mesualmete la Tasa Aual Equivalete será: A) 5 % B) 6 % C) 6,7 % D) 6,37 % 0. La tasa de crecimieto del PIB de u determiado país ha sido: 8%, 6%, 4%, %, e los últimos 4 años. Su media geométrica es: A) 5% B) 6% C) 3,98% D) 4,98%. Si las retabilidades obteidas por u fodo de iversió durate los últimos 3 años ha sido, respectivamete, 8 %, - 3 3% y 5 80%, la tasa geométrica de retabilidad será: A) 0,69 % B) 3,6 % C) 5,34 % D) 3,45 %. Cuál será la retabilidad real de ua iversió que ha teido ua retabilidad fiaciero-fiscal del 8% y ua tasa de iflació del 4%? A) 4 % B) 3,65 % C) 3,846 % D) 3,455 % 3. Cuál es la TIR de u proyecto cuya iversió es de.000 y los flujos de caja so de 300 (año ), 400 (año ) y 500 (año 3)? A) 0 % B) 8 90 % C) 50 % D) 9 8 % fikai AULA FINANCIERA 43

48 4. Si ésta es la situació del mercado iterbacario de depósitos del Euribor: Tipos a mes 5 % Tipos a meses 7 % Tipos a 3 meses 30 % Tipos a 6 meses 4 % Tipos a 9 meses 53 % Tipos a meses 66 % Qué previsió está haciedo el mercado de cómo va a estar los tipos de iterés para el plazo de 3 meses de hoy e 6 meses? A) 630 % B) 506 % C) 737 % D) Nigua de las ateriores. 5. Qué es la TIR? A) La tasa de retabilidad que se va a coseguir e cualquier tipo de iversió, idepedietemete del tipo de reiversió. B) La tasa aual equivalete a ua operació de tipo de iterés simple, pero sólo el iterés es pospagable o vecido e imediato. C) La tasa de actualizació que hace que el VAN de ua iversió sea cero. D) La tasa omial de ua iversió. 6. Cuál será la retabilidad geométrica aualizada de ua iversió que geera los siguietes flujos de caja auales? A) 6,40% B) 8,37% C) 66,67% D) 5,99% Años Iicio de la Fi de la iversió iversió Ua persoa compra uas accioes por Al cabo de año recibe uos dividedos de 80, y a los años de 40. Si vede las accioes a los 3 años por y paga e ese mometo 40 e cocepto de gastos y cosiderado que los dividedos se reivierte a ua tasa del 5% aual, la tasa de retabilidad efectiva de la operació, expresada e térmio aual, es: A) 6,077 % B) 8,74 % C) 6,453 % D) 8,07 % 8. Si la TIR de ua cartera e el último semestre ha sido del 8% y la TGR del 3%, podemos cocluir que: A) El iversor se ha equivocado e la elecció de los mometos de compra y veta de los activos de la cartera. B) El iversor ha acertado e la elecció de los mometos de compra y veta de los activos de la cartera. C) El iversor ha acertado e la selecció de los títulos que forma la cartera. D) El iversor se ha equivocado e la selecció de los títulos que forma la cartera. 44 fikai AULA FINANCIERA

49 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo 5. Retas Fiacieras 5. Defiicioes 5. Clasificació 5.3 Retas Fiacieras Costates 5.4 Retas Fiacieras Variables fikai AULA FINANCIERA 45

50 5. Defiicioes Capítulo 5: Retas Fiacieras RENTA: U cojuto de capitales (M ; x ) (M ; x )... (M ; x ) co vecimietos equidistates M M M 3 M x 0 x x x 3 x - x Luego x - x = x 3 - x = = x - x - TERMINO DE LA RENTA: es cada uo de los capitales que la costituye. ORIGEN DE LA RENTA: es el mometo e el que comieza la operació = x 0. FINAL DE LA RENTA: es el mometo e el que se extigue la operació = x. DURACION DE LA RENTA: x - x 0 46 fikai AULA FINANCIERA

51 5. Clasificació Capítulo 5: Retas Fiacieras. Segú el úmero de térmios de que costa las retas Temporales: So aquellas retas que costa de u úmero fiito de térmios. Perpetuas: So aquellas retas que costa de u úmero ilimitado de térmios. U ejemplo de reta perpetua lo represeta la pesió de jubilació de ua persoa.. Segú el mometo de la valoració de la reta Imediatas: Diferidas: So aquellas e las que la valoració actual de la reta tiee lugar e el primer período e el que la duració de la reta se ecuetra dividido. So aquellas e las que la valoració actual de la reta tiee lugar e u úmero determiado de períodos ates del vecimieto del primer térmio de la reta. Este úmero, que lo idicaremos por d, recibe el ombre de período de diferimieto. Aticipadas: So aquellas e las que la valoració de la reta tiee lugar e u úmero determiado de períodos después del vecimieto del último térmio de la reta. Este úmero, que lo idicaremos por f, recibe el ombre de período de aticipació. 3. Segú la aturaleza de la cuatía de los térmios Costates: So aquellas cuyos térmios so todos de igual cuatía. Variables: So las que está costituidas por térmios diferetes y que ormalmete seguirá ua determiada ley de variació. Cuado los térmios de la reta so costates e iguales a la uidad de capital, se dice que la reta es uitaria 4. Segú el vecimieto de los térmios de la reta Prepagables: So aquellas e las que cada térmio vece e el extremo iferior del correspodiete período. Pospagables: So aquellas e las que cada térmio vece e el extremo superior del correspodiete período. A las retas prepagables alguos autores las deomia co pago aticipado, y las pospagables, retas co pago por vecido. fikai AULA FINANCIERA 47

52 5.3 Retas fiacieras costates Capítulo 5: Retas Fiacieras 5.3. RENTA ANUAL, DE TÉRMINOS CONSTANTES, POSPAGABLE, INMEDIATA Y TEMPORAL M M M M Valor Actual = VA = - - ( + i) ( + i) - ( Va) i = M = M = i i ( + i) siedo M a i a i = valor actual de la reta uitaria = - (+ i) i - Valor Fial = VF = ( + i) ( Vs) i = M = M s i siedo i S i = valor fial de la reta uitaria = ( + i) i 5.3. RELACIONES Valor Actual y Valor Fial: Valor Fial = Valor Actual ( + i) Retas prepagables: VA/VF Prepagable = VA/VF Pospagable ( + i) si es aual Retas diferidas: VA Diferida = VA Imediata periodos ates del primer periodo de la reta d (+ i) siedo d = úmero de Retas aticipadas: VF Aticipada = VF Imediata periodos después del ultimo térmio de la reta f ( + i) siedo f = úmero de Retas perpetuas costates: ( Va) i = M i 48 fikai AULA FINANCIERA

53 EJEMPLO RESUELTO Valor Actual de ua Reta Costate Sea u préstamo de , amortizado segú el sistema fracés durate 3 años. Siedo el tipo de iterés del 5% aual, calcular la aualidad (térmio amortizativo) costatel. Recordamos previamete la expresió del valor actual de ua reta aual costate, imediata, temporal y pospagable: M M M M Valor Actual = VA = - - (+ i) ( + i) - ( Va) i = M = M = i i (+ i) M a i Para calcular la aualidad M, realizamos ua equivalecia fiaciera e t = 0 etre la prestació ( ) y la cotraprestació formada por las tres aualidades: = - ( + i) M i - Sustituyedo = - ( + 0,05) M 0,05-3 Despejamos y operamos, obteiedo M =.03,5 EJEMPLO RESUELTO Valor Fial de ua Reta Costate U cliete, plaificado su jubilació, ha estimado que ecesitará detro de 5 años u ahorro de Quiere coocer cuáto debe aportar al mes e u producto de ahorro que le garatiza el % de iterés omial aual (dicha aportació mesual se realizaría al pricipio del mes y los itereses se reivierte co periodicidad mesual). Plateamos ua equivalecia fiaciera e t=5: El capital e t=5 ( ) lo igualamos al valor fial de la reta de las aportacioes mesuales y prepagables: (+ i ) = C (+ i ) sustituimos i 60 i j = = 0,0 C = aportació mesual i = tipo de iterés efectivo mesual 60 = º de aportacioes mesuales Multiplicamos por (+i ) ya que la reta es prepagable. 0,0 + = C 0, ,0 despejamos y operamos: C = 583,47 fikai AULA FINANCIERA 49

54 5.4 Retas fiacieras variables Capítulo 5: Retas Fiacieras 5.4. RENTA ANUAL, DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, POSPAGABLE, INMEDIATA Y TEMPORAL Valor Actual = VA = A(M ;q) i q ( + i) M + i q = M (+ i) si si q + i q = + i Valor Fial = VF = S(M ;q) i (+ i) q M + i q = M (+ i) si si q + i q = + i Dode: q = la razó de la progresió geométrica M = el primer térmio de la reta i = tipo de iterés efectivo de valoració = úmero de térmios de la reta (temporalidad) 5.4. RENTA ANUAL, DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, POSPAGABLE, INMEDIATA Y TEMPORAL Valor Actual = VA = π A(M ; π) i = (M + + π) a i i π i Valor Fial = VF = S(M ;π) i = (M π + + π) S i i π ( + i) i Dode: π = la razó de la progresió aritmética M = el primer térmio de la reta i = tipo de iterés efectivo de valoració = úmero de térmios de la reta (temporalidad) a i = valor actual de la reta uitaria = S i = valor fial de la reta uitaria = - - (+ i) i ( + i) i 50 fikai AULA FINANCIERA

55 EJEMPLO RESUELTO Valor Actual de ua Reta Variable e PG Sea u préstamo de co aualidades que va aumetado u 5% cada año de forma acumulativa. Siedo el tipo de iterés del 0% aual y la duració 3 años, calcular las aualidades (térmios amortizativos). Recordamos previamete la expresió del valor actual de ua reta aual variable e progresió geométrica de razó q, imediata, temporal y pospagable: M M M3 M Valor Actual = VA = A(M ;q) i q ( + i) M + i q = M (+ i) si si q + i q = + i Para calcular la primera aualidad M, realizamos ua equivalecia fiaciera e t = 0 etre la prestació ( ) y la cotraprestació formada por las tres aualidades: = - q ( + i) M + i - q - Sustituimos i = 0,0 q = +g =,05 y = = 3-3 -,05 (+ 0,0) M + 0,0 -,05 Despejado y operado M = Las otras dos aualidades será: M = M,05 = ,5 M 3 = M,05 = 4.39,46 fikai AULA FINANCIERA 5

56 CUESTIONARIO Capítulo 5: RENTAS FINANCIERAS. Ua familia quiere hacer realidad su sueño de estar viajado durate 6 meses o más, para ello ha calculado que ecesita dispoer detro de 5 años de Quiere que se les calcule, e ua póliza Uiversal que les garatiza el 4% de iterés omial aual, cuál sería la prima mesual que debe ivertir (dicha aportació mesual se realizaría al pricipio del mes y los itereses se reivierte co periodicidad mesual). A) B) C) D) Do Luis decide comprarse u coche co el ahorro que ha geerado durate uos años. Iicialmete da ua etrada y pide u préstamo a 5 años por los que le quedaría para pagar. El tipo de iterés omial aual que le ofrece es el 5 5% y la comisió de apertura es del 5% sobre el pricipal, y la aboa de forma separada, ya que la cifra que recibe por el importe del préstamo es Quiere saber a cuáto ascedería la cuota mesual costate. A).39 6 B).65 5 C) D) Calcula la cuota aual de u préstamo que se amortiza por el sistema fracés si el capital iicial so 5.000, el tipo de iterés efectivo aual es el 5% y el plazo de 6 años: A).955,6 B) 3.50,00 C).500,00 D) Nigua de las ateriores. 4. Cuátos años hace falta para devolver u préstamo de si la cuota de amortizació costate es de ? A) 0 años B) 9 años C) 8 años D) Depederá del tipo de iterés del préstamo. 5. Si u cliete quiere costituir u capital fial de e 5 años y le ofertamos u fodo que tiee ua retabilidad garatizada del 4 074% de TAE. Cuál será la cuota que deberá igresar mesualmete por vecido? A) B) C) D) El valor actual de ua reta aual pospagable co ua duració de 7 años es (Tipo de iterés 3%). Cuál de las siguietes afirmacioes es verdadera? A) Su valor fial es 3.8,7 B) Su valor actual si fuese prepagable sería C) Su valor fial si fuese prepagable sería 3.06,9 D) Nigua de las ateriores. 5 fikai AULA FINANCIERA

57 7. Cuál es el valor iicial de ua reta costate, imediata y pospagable de 9 períodos auales cuyo térmio es de 340 si el tipo de iterés es del 3%? A).607,8 B).647,8 C).578,90 D) Nigua de las ateriores. 8. Si la reta aterior fuera prepagable, cuál sería su valor fial? A) 3.454,0 B) 3.557,7 C) 3.568,3 D) Nigua de las ateriores. 9. Hoy es y u cliete que cumple hoy 5 años, va a abrir u Pla de Pesioes e el que realizará ua aportació aual de u día ates de su cumpleaños, co ua garatía de retabilidad del 3 8% aual. Cuál será el capital fial que tedrá al cumplir los 65 años? A) B) C) D) Calcular el valor fial de ua reta pospagable de 6 períodos y u térmio de 700, aticipada 4 períodos si el tipo de iterés es del 4%. A) 5.43,75 B) 3.688,00 C) 4.35,3 D) 4.00,00. Calcular el valor iicial de ua reta prepagable de 5 periodos, co u térmio de 800, diferida 3 períodos si el tipo de iterés es del 4%. A) 3.66, B) 3.560,00 C) 3.9,77 D) 4.000,00. Calcular el valor iicial de ua reta pospagable de 6 períodos, cuyos térmios evolucioa segú ua progresió aritmética de razó 5, siedo el capital iicial de 900 y el tipo de iterés del 4%. A) 9.397,36 B) 9.406,65 C) 4.905,5 D) Nigua de las ateriores. 3. Se ha cocedido u préstamo de a 4 años, co u tipo de iterés fijo omial aual del 7 5% y ua comisió de apertura aplicada del 5%, que se debe aboar idepedietemete del préstamo solicitado el primer día de la operació. Calcular la cuota mesual a pagar por dicho préstamo. A) 433 B) C) D) fikai AULA FINANCIERA 53

58 4. Calcular el valor Iicial de ua reta pospagable e imediata de 4 períodos semestrales y costate, co u térmio semestral de 750 utilizado u tipo de iterés semestral del,75%. A) 9.4,50 B) 0.500,00 C) 4.580,67 D) Nigua de las ateriores. 5. Defiir que tipo de reta sería la descrita a cotiuació: Boo del Estado a 3 años. Cupoes auales fijos costates ua vez al año los días , y Vecimieto A) Reta costate, perpetua, vecida y prepagable más u térmio adicioal que es el valor omial. B) Reta variable e progresió aritmética, temporal, vecida y pospagable más u térmio adicioal que es el valor omial. C) Reta costate, temporal, imediata y pospagable más u térmio adicioal que es el valor omial. D) Reta costate, temporal, imediata y prepagable más u térmio adicioal que es el valor omial. 6. Si se compra u televisor que tiee u valor.65 y hay el compromiso de pagar mesualidades vecidas de 0. Cuál es la TAE de la operació? A) 0 7% B) 0 79% C) 8 % D) 8 94% 7. Para dispoer de detro de 3 años se formaliza u depósito a plazo fijo e el que se realizará igresos costates, trimestrales y aticipados. Si el tato de iterés del depósito es del 6% omial acumulable trimestralmete, el importe de cada igreso será: A) B) C) D) 778,30 8. Qué catidad os cocederá hoy ua etidad fiaciera que ofrece préstamos al 0,375% de iterés efectivo mesual si pactamos devolver.300 euros al mes durate 0 años? A) 03., B) ,07 C) 4.500,00 D) Nigua de las ateriores es correcta. 54 fikai AULA FINANCIERA

59 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo 6. Coceptos estadísticos 6. Media y esperaza 6.. Defiicioes básicas 6.. Media muestral y esperaza matemática 6. Variaza y desviació típica 6.3 Covariaza y correlació 6.4 Regresió lieal míimo cuadrática 6.4. Líea Característica de u Título (LCT) fikai AULA FINANCIERA 55

60 6. Media y Esperaza Capítulo 6: Coceptos estadísticos 6.. DEFINICIONES BÁSICAS E todo estudio estadístico, el ivestigador se iteresa e ua població que es el cojuto de todas las observacioes de iterés. Por ejemplo, el Miisterio de Hacieda, está iteresado e coocer los salarios de los trabajadores de España, ya que segú su cuatía así será la recaudació que esperará obteer e el próximo ejercicio. E estadística defiimos variable como la característica de la muestra o població que se quiere observar. Se clasifica de distitas maeras así distiguimos etre variables cuatitativas y cualitativas; cotiuas y discretas Ua serie temporal es u cojuto de datos ordeados e el tiempo, tomados a itervalos regulares, procedetes ormalmete de ua magitud ecoómica de defiició costate a lo largo del tiempo. Los parámetros so cualquier medida descriptiva de ua població. Se etiede por medida cualquier magitud que simplifica o resume e u dato la iformació coteida e toda la població. Así por ejemplo, el salario de todos y cada uo de los trabajadores de España puede ser descrito de maera resumida por el salario medio de esa misma població. La muestra es ua parte represetativa de la població. Existe métodos para buscar muestras represetativas, dado que cualquier subcojuto de ua població siedo ua muestra, o tiee porque represetar las virtudes o defectos de la població, si la muestra o se ha obteido mediate procedimietos adecuados. Estadístico es la medida que describe ua muestra. Es ua estimació del parámetro de la població. La muestra es importate ya que las poblacioes puede ser muy grades y recoger iformació de estas es muy costoso. Asimismo, las muestras se recoge rápidamete. Por estas razoes, trabajar co estadísticos es coveiete. No obstate, preseta alguas dificultades: a) Errores e el muestreo: diferecia etre el parámetro descoocido de la població y el estadístico de la muestra utilizada. b) Sesgo muestral: es la tedecia a favorecer la elecció de ciertos elemetos de la muestra e lugar de otros posibles. La estadística tiee dos grades ramas, ua se dedica a describir la iformació cuatitativa o cualitativa recogida que se pretede aalizar. Recibe el ombre de estadística descriptiva, es la que recoge, agrupa, resume y preseta los datos obteidos. La otra rama de la estadística persigue aticipar resultados y aalizado la iformació pretede descubrir iformacioes que permite coocer lo que ocurrirá. Recibe el ombre de estadística iferecial, persigue como su ombre idica, iferir o cocluir datos sobre la població a partir de los datos de la muestra. 56 fikai AULA FINANCIERA

61 6.. MEDIA MUESTRAL Y ESPERANZA MATEMÁTICA La media muestral se obtiee, a partir de u cojuto de datos muestrales x,x,..., x, al sumar el cojuto de valores de la variable y dividirlo por el umero de observacioes: x = x + L + x Por otra parte, si los valores que puede tomar X está sometidos a icertidumbre, estaremos ate ua variable aleatoria que puede tomar los valores x,x,..., x, co probabilidades respectivas P(x ),P(x ),...,P(x ). Se defie la esperaza matemática o valor esperado de X como: E(X) = x P(x )+ x P(x )+ L + x P(x ) EJEMPLO RESUELTO Media y Esperaza Las cotizacioes de las accioes BBVA e la última semaa ha sido: 6,0 ; 6,35 ; 6, ; 6, ; 5,94. Calcular su media aritmética. 6,0+ 6,35 + 6, + 6,+ 5,94 x = = 6,4 5 Supogamos ahora que u asesor se platea determiar la cotizació de las accioes BBVA detro de u mes, y prevé tres posibles escearios: Esceario Cotizació Probabilidad Pesimista 5 0,0 Normal 6,50 0,0 Optimista 7,0 0,60 Calcular la cotizació esperada (esperaza matemática de la cotizació). E (X) = 5x0,0 + 6,50x0,0 + 7,0x0, 60 = 6,6 fikai AULA FINANCIERA 57

62 6. Variaza y Desviació Típica Capítulo 6: Coceptos estadísticos A cotiuació itroducimos medidas estadísticas que os permita represetar la dispersió respecto a la media de u cojuto de datos. De uevo distiguimos dos casos: Si hacemos referecia a valores pasados (datos coocidos) o si hacemos referecia a valores futuros (icertidumbre e los datos). A partir de u cojuto de datos muestrales x,x,..., x, se defie la variaza muestral como el promedio de las desviacioes respecto a su media, elevadas al cuadrado: S - (x = - x) + (x - x) + L+ (x y la desviació típica muestral como la raíz cuadrada de la variaza muestral. Se defie es coeficiete de variació muestral como el cociete de la desviació típica muestral y la media muestral. S g 0 = x x) Por otra parte, si los valores que puede tomar X so x,x,..., x, co probabilidades respectivas P(x ),P(x ),...,P(x ). Se defie la variaza poblacioal de X como: σ = (x - E(X)) P(x ) + (x - E(X)) P(x ) + L + (x - E(X)) P(x ) y la desviació típica poblacioal como la raíz cuadrada de la variaza poblacioal. La desviació típica muestral os idica la dispersió de ua variable respecto a su valor promedio (si dispoemos de datos históricos), mietras que la desviació típica poblacioal os idica la fluctuació de ua variable respecto a su valor esperado (e el caso de valoració de activos es ua medida del riesgo). Se defie es coeficiete de variació poblacioal como el cociete de la desviació típica poblacioal y la media poblacioal. γ 0 σ = E(X) El coeficiete de variació mide la represetatividad de la media (cuato meor sea el coeficiete, más represetativa es la media), y os permite comparar la represetatividad de los valores de distribucioes distitas. 58 fikai AULA FINANCIERA

63 EJEMPLO RESUELTO Variaza y Desviació Tipica Las cotizacioes de las accioes BBVA e las cico últimas sesioes ha sido: 6,0 ; 6,35 ; 6, ; 6, ; 5,94. La media aritmética es 6,46. Calcular la variaza y la desviació típica. Cotizació ( x i ) ( x i - x) i x) ( x - 6,0-0,36 0, ,35 0,04 0,0466 6, 0,074 0, , 0,064 0, ,94-0,06 0,04436 Σ=0 Σ = 0, 0, S = = 0,044 y S = 0,044 = 0,5 5 EJEMPLO RESUELTO EJMPLO RE Variaza y Desviació Típica Si u asesor prevé los tres escearios siguietes para la cotizació de BBVA detro de u mes: Esceario Cotizació Probabilidad Pesimista 5 0,0 Normal 6,50 0,0 Optimista 7,0 0,60 Su cotizació esperada es E (X) = 6,6. Calcular la variaza y la desviació típica. Esceario Cotizació Probabilidad ( x i - E(X)) ( xi - E(X)) i ( x i E(X)) p - Pesimista 5 0,0 -,6,644 0,5488 Normal 6,50 0,0-0, 0,044 0,0088 Optimista 7,0 0,60 0,58 0,3364 0,084 0,796 La variaza será: σ = 0, 796 y la desviació típica σ = 0,796 = 0,85 fikai AULA FINANCIERA 59

64 6.3 Covariaza y Correlació Capítulo 6: Coceptos estadísticos Hasta este mometo hemos defiido estadísticos referidos a ua úica característica estadística. Para estudiar la existecia de relació etre dos variables (p.e. etre u ídice bursátil y la cotizació de u título), ecesitamos defiir estadísticos que relacioe dos cojutos de datos. Dados dos cojutos de datos asociados de la siguiete maera: X x x x 3 x Y y y y 3 y Se defie la covariaza etre X e Y como: S XY (x = - x) (y - y)+(x - x) (y - y)+ L+(x - x) (y La covariaza idica la relació etre la variació de ambas variables y su iterpretació es la siguiete: > Si S XY > 0, la relació etre ambas variables es directa, es decir, se mueve e el mismo setido. > Si S XY < 0, la relació etre ambas variables es iversa, es decir, se mueve e setido cotrario. > Si S XY = 0, o hay relació etre las variacioes de ambas variables. La covariaza etre dos variables se ve afectada por las uidades de medida e las que se exprese las variables, lo que hace ecesario itroducir u estadístico que os idique la relació etre los datos, si depeder de las uidades e las que se exprese. Se defie el coeficiete de correlació lieal etre X e Y como: - y) r XY S XY = S S X Y Mide tambié la relació lieal etre las variables, pero o depede de las uidades de medida y está siempre compredido etre y. 60 fikai AULA FINANCIERA

65 INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL Y > Si r XY relació lieal directa y fuerte Si aumeta el valor de X, aumeta el valor de Y X Y > Si r XY - relació lieal iversa y fuerte Si aumeta el valor de X, dismiuye el valor de Y X Y > Si r XY 0 o se aprecia relació lieal No se observa relació etre los valores de X e Y. X fikai AULA FINANCIERA 6

66 EJEMPLO RESUELTO Covariaza y Coeficiete de Correlació Si las cotizacioes al cierre del Ibex-35 y de BBVA durate la seguda semaa de septiembre de 007 ha sido: 0/09/07 /09/07 /09/07 3/09/07 4/09/07 Ibex35 (X) 376, , , ,80 386,00 BBVA (Y) 6,0 6,35 6, 6, 5,94 Sabiedo que la media del Ibex-35 de esa semaa es de 39,0 y la desviació de 9,666, y que la cotizació media de BBVA es de 6,46 co ua desviació de 0,497, calcular la covariaza y el coeficiete de correlació lieal. x i y ( x i - x) ( y i - y) ( x i - x) ( y i - y) i 376,30 6,0-95,9-0,36 6, ,50 6,35 43,3 0,04 8, ,40 6, 58, 0,074 4, ,80 6, 55,6 0,064 9, ,00 5,94-6, -0,06,607 Σ = 0 Σ = 0 Σ = 6,348 6,348 S XY,4696 S XY = =,4696 y rxy = = = 0, S S 9,666 0,497 Iterpretació: r XY = 0, 696, lo que idica que existe relació directa y o muy fuerte etre la cotizació del Ibex-35 y la cotizació de BBVA. X Y EJEMPLO PROPUESTO Covariaza y Coeficiete de Correlació Si las cotizacioes al cierre del Ibex-35 y de Telefóica durate la seguda semaa de septiembre de 007 ha sido: 0/09/07 /09/07 /09/07 3/09/07 4/09/07 Ibex35 (X) 376, , , ,80 386,00 TEF (Y) 7,79 8,8 8,6 9,0 8,76 Calcular la covariaza y el coeficiete de correlació lieal etre las cotizacioes del Ibex35 y Telefóica. 6 fikai AULA FINANCIERA

67 6.4 Regresió Lieal Míimo Cuadrática Capítulo 6: Coceptos estadísticos La regresió lieal míimo cuadrática os proporcioa ua recta que se aproxima e la mayor medida posible a la ube de putos que resulta al represetar los valores de dos series de datos X e Y. El criterio más extedido para el cálculo de esta recta es el Criterio Míimo Cuadrático, que cosiste e miimizar la suma de las desviacioes al cuadrado etre los putos y la recta. Ecuació de la recta de regresió ŷ (x) (para estimar los valores de Y a partir de los valores de X) S XY ŷ = a +b x, dode a = y - b x y b = S Para aalizar la fiabilidad de esta estimació, se utiliza el coeficiete de determiació dado por SXY R = rxy = S S Sus valores cumple que 0 R y represeta la proporció de iformació de la serie que queda recogida e la recta de regresió (bodad del ajuste). X Y X EJEMPLO RESUELTO Regresió lieal míimo cuadrática A partir de los datos del ejemplo resuelto aterior sobre la cotizació del Ibex-35 y los títulos de BBVA, hallar la recta de regresió que permita estimar la cotizació de u título de BBVA cuado el Ibex-35 alcace los 400 putos. La recta de regresió lieal es ŷ = a + b x, dode S = S,4696 = 9,666 XY b X = 0,00087 a = y - b x = 6,46-0, ,0 = 4,034 luego: ŷ = a + b x = 4, ,00087 x Para estimar la cotizació de BBVA para u Ibex-35 de 400, sustituimos e la recta de regresió x = 400 y obteemos: ŷ (400) = 4, , = 6,39 Si queremos aalizar la fiabilidad de esta estimació, calculamos el coeficiete de determiació R = rxy = 0,696 = 0, 4845 que os idica que el 48,45% de la iformació queda reflejada e esta recta y por tato, la predicció o es muy fiable. fikai AULA FINANCIERA 63

68 6.4. LINEA CARACTERÍSTICA DE UN TÍTULO (LCT) U ejemplo práctico de regresió lieal míimo cuadrática lo costituye la Líea Característica de u Título (LCT) o tambié llamado Modelo de Mercado de Sharpe. Se toma como variable explicada la retabilidad de u título R it y como variable explicativa la retabilidad de la cartera de mercado R Mt, realizado la siguiete regresió lieal: R it = α i + β R i Mt + u it dode R it y R Mt so, respectivamete, las retabilidades del título i y de la cartera de mercado e el mometo t ; α i y β i so la ordeada e el orige y la pediete del ajuste ; y u it es la perturbació aleatoria correspodiete al título i e el mometo t. Gráficamete: R it Líea Característica del Título i R it = α i + β R i Mt + u it α i pediete=β i R Mt La pediete de la recta LCT represetada es lo que se cooce habitualmete como el coeficiete beta del título, que es ua medida de la relació etre la evolució de la retabilidad del título y la del mercado. Las expresioes de β i y de α i obteidas a través de la regresió lieal so: cov(r,r ) σ i M im β i = = αi = Ei - βi EM σm σm siedo σ im =covariaza etre la retabilidad del título (R i ) y la del mercado (R M ) σ = variaza de la retabilidad del mercado M E i = retabilidad esperada del título E = retabilidad esperada del mercado M 64 fikai AULA FINANCIERA

69 Distiguimos así etre distitos tipos de valores e fució de su beta: Títulos agresivos (β< - o β>). Títulos más arriesgados que el ídice represetativo del mercado, ya que ua variació de u puto e el ídice provocará ua variació mayor e la retabilidad del título. So títulos muy sesibles a las oscilacioes del mercado. Títulos defesivos (-<β<). Títulos meos arriesgados que el ídice represetativo del mercado, ya que ua variació de u puto e el ídice provocará ua variació meor e la retabilidad del título. So títulos poco sesibles a las oscilacioes del mercado. Títulos eutros (β=- o β=). Títulos que varía igual que el mercado. De especial iterés, si es que existe, so los títulos co beta egativa (superdefesivos), ya que permitiría reducir el riesgo o diversificable. Su precio habrá de ser forzosamete elevado, co lo que su retabilidad será reducida. Y por las codicioes del modelo, deberá ser (caso de existir), muy pocos, ya que, lógicamete, la beta de la cartera de mercado (media poderada de las betas de los títulos que cotiza e el mercado) debe ser la uidad. El coeficiete beta opera sobre el redimieto de los títulos a modo de mecaismo que filtra, amplifica o trasmite si iterferecias las fluctuacioes del mercado, segú se trate de activos defesivos, agresivos o eutros. EJEMPLO RESUELTO Líea Característica de u Título La retabilidad media del título A es del % y la retabilidad media de mercado es del 8%. Sabiedo que la variaza de la retabilidad de mercado es 0,8 y la covariaza etre las retabilidades del título A y del mercado es 0,3, obteer la Líea Característica del Título. La Líea Característica del título A viee determiada por la expresió: dode: R = α + β R + u At A A Mt At σ AM 0,3 El coeficiete beta del título A respecto al mercado: β A = = =, 8 σ 0,8 Estamos ate u título agresivo al ser β >. M El coeficiete alfa del título A: α = E - β E = 0, -,8x0,08 0, 076 A A A M = E cosecuecia la LCT sería: R = 0,076 +,8 R + u At Mt At fikai AULA FINANCIERA 65

70 RESUMEN DE CONCEPTOS > Media aritmética: Valor promedio de ua serie de datos históricos. > Media poblacioal o esperaza: Valor esperado de ua variable cuado sólo coocemos sus posibles valores y sus probabilidades. > Desviació típica muestral: Desviació respecto a la media de ua serie de datos históricos. > Desviació típica poblacioal: Desviació respecto a la media de ua variable cuado sólo coocemos sus posibles valores y sus probabilidades. RIESGO. > Covariaza: Mide la relació etre la variació de dos series de datos. Depede de las uidades de medida. > Coeficiete de correlació: Mide el grado de relació lieal etre dos series de datos. Siempre está compredido etre y. > Recta de regresió lieal: Recta obteida a partir de dos series de datos, que os permite estimar los valores de ua de las variables a partir de los valores de la otra. > Coeficiete de determiació: Proporció de iformació de dos series de datos que queda reflejada e la recta de regresió. 66 fikai AULA FINANCIERA

71 RESUMEN DE FÓRMULAS ESTADÍSTICO DATOS FÓRMULA Media aritmética Esperaza x,x,..., x x x = + + x L x,x,..., x P(x ),P(x ),...,P(x ) E(X) = x P(x ) + L + x P(x ) Desviació muestral x,x,..., x S = (x - x) + L+ (x - x) Desviació poblacioal x P(x ),P(x,x,..., x ),...,P(x ) σ = (x -E(X)) P(x ) + L+ (x -E(X)) P(x ) Covariaza x,x,..., x (x - x) (y - y)+ L+(x S = y,y,..., y XY - x) (y - y) Coef de correlació x,x,..., x XY r XY = y,y,..., y S X S Y S Recta de regresió x y,x,..., x,y,..., y S ŷ = a + b x dode: a = y - b x b = S XY X Coef de determiació x,x,..., x S XY R = rxy = y,y,..., y S X S Y fikai AULA FINANCIERA 67

72 CUESTIONARIO Capítulo 6: CONCEPTOS ESTADÍSTICOS. Las muestras so importates porque A) E ocasioes las poblacioes so grades, o muy grades. B) Recoger iformació e las poblacioes es costoso. C) Recoger iformació de las poblacioes requiere mucho tiempo. D) Todas so ciertas.. La media aritmética es A) Ua medida alrededor de la cual se sitúa los datos. B) Ua medida de tedecia cetral. C) Gráficamete el puto de apoyo de la distribució. D) Cualquiera de las ateriores. 3. La desviació típica A) Es la media de las desviacioes al cuadrado de los valores respecto a la media. B) Es la raíz cuadrada de la variaza. C) Es la diferecia etre el valor más alto y más bajo. D) Todas so ciertas. 4. Si el coeficiete de regresió etre X = cotizació del Ibex 35 e Y = cotizació de AAA es de,0: A) Por cada puto que aumete el Ibex, la cotizació de AAA dismiuye,0 putos. B) La correlació etre X e Y es muy fuerte. C) Por cada puto que aumete el Ibex, la cotizació de AAA aumeta,0 putos. D) No existe relació etre el Ibex y AAA. 5. U cocesioario automovilístico ha vedido 4, 0, 3 y 9 automóviles e los cuatro últimos trimestres. La desviació típica de vetas trimestral es A) 5 uidades. B) 3,4 uidades. C) 4 uidades. D) 4 uidades. 6. La desviació típica es u dato clave para medir la volatilidad o riesgo e el comportamieto de ua variable. Cual de las siguietes fórmulas correspode a la desviació típica? A) Raíz cuadrada del sumatorio de las distacias de cada dato co respecto a la media, elevadas al cuadrado y divididas por el úmero de datos. B) Raíz cuadrada del sumatorio de las diferecias de cada dato co respecto a la media, elevadas al cuadrado y divididas por el úmero de datos. C) Raíz cuadrada de la variaza. D) Todas so ciertas. 7. Las cotizacioes de ABC e los cuatro últimos días ha sido: y La desviació típica de estos precios es: A) B) 3. C) 063. D) Nigua es cierta. 68 fikai AULA FINANCIERA

73 8. Para comparar distribucioes distitas es posible realizarlo co A) Las medidas de tedecia cetral. B) Co las medidas de dispersió habituales. C) Co el coeficiete de variació. D) Todas so ciertas. 9. El coeficiete de correlació está etre y +, el valor r = idica A) Relació positiva perfecta. B) Relació egativa perfecta. C) Que o existe relació. D) Nigua es cierta. 0. La teoría keyesiaa del cosumo establece que el cosumo de las familias es variable depediete de los iveles de reta de las mismas. Queremos cotrastar esta afirmació y para ello estimamos ua recta de regresió. Cual de las siguietes afirmacioes es cierta A) Podemos ver que la capacidad explicativa de la reta sobre el cosumo es alta por el coeficiete de regresió. B) El porcetaje de variabilidad del cosumo explicado por cambios e la reta vedrá medido por el coeficiete de determiació, que toma valores etre y. C) El porcetaje de variabilidad del cosumo explicado por cambios e la reta viee explicado por el coeficiete de correlació que toma valores etre 0 y. D) Nigua es correcta.. Mi cartera tiee u coeficiete de regresió, o tambié llamado coeficiete beta de sharpe, de 0,5, lo cual se iterpreta como A) Mi cartera explica el 50% de la variabilidad del mercado. B) Mi cartera es agresiva. C) Mi cartera ofrece retabilidades por ecima del mercado. D) Nigua es correcta.. Si el coeficiete de regresió vale,34, el coeficiete de correlació puede valer A) -,34 B),34 C) 0,7 D) -0,7 3. El coeficiete de correlació lieal etre dos variables es r = 0,9. Qué afirmació es falsa? A) La bodad del ajuste es del 8%. El modelo de regresió lieal explica el 8% de la iformació coteida e los datos observados. B) Ambas variables preseta ua relació positiva. C) U icremeto de la variable idepediete se traslada a la variable depediete co u factor 0,9. D) El coeficiete de correlació lieal es ua medida adimesioal compredida etre - y, idepediete de los cambios de escala e las variables. 4. Hemos estimado u modelo de regresió lieal y = 66+0,79x etre los gastos de cosumo y los igresos auales de las familias e ua zoa determiada. Para uos igresos auales de el gasto de cosumo estimado es A) B) C) 5.4 D) 34.0 fikai AULA FINANCIERA 69

74 5. Teemos la siguiete recta de regresió Y = a + b X. Las perturbacioes de la recta de regresió, o errores etre el valor estimado y el calculado debe de cumplir las siguietes codicioes A) Los residuos debe teer media cero, variaza costate (homocedásticos) y depedecia etre ellos. B) Los residuos debe teer media uo, variaza costate (homocedásticos) y depedecia etre ellos. C) Los residuos debe teer media cero, variaza costate (homocedásticos) e idepedecia etre ellos D) Los residuos debe teer media uo, variaza costate (homocedásticos) e idepedecia etre ellos. 6. Dos accioes A y B preseta el siguiete comportamieto: el día que A sube u tato por cie, B baja pero la mitad exacta e porcetaje; el día que A baja u tato por cie, B sube pero igualmete la mitad exacta e porcetaje. Qué podemos decir sobre el coeficiete de correlació r etre ambas variables y sobre la pediete de la regresió siedo p el porcetaje de variació diario. A) r =, b= 0,5 B) r =, b= -0,5 C) r =-, b= -0,5 D) r =-, b= 0,5 7. Al estudiar el grado de asociació etre dos variables A) Calculamos el coeficiete de correlació. B) Calculamos el coeficiete de regresió. C) Calculamos el coeficiete de determiació. D) Todas so ciertas. 8. Queremos aalizar como variaría el volume de iversió e activos fiacieros que dispoe uestros clietes ate cambios e sus iveles de reta. Para ello plateamos A) Calcular el coeficiete de regresió e ua relació lieal etre reta y volume de iversió, siedo la reta la variable depediete. B) Calcular el coeficiete de regresió e ua relació lieal etre reta y volume de iversió, siedo la reta la variable idepediete. C) Calcular el coeficiete de determiació e ua relació lieal etre reta y volume de iversió. D) Calcular el coeficiete de correlació e ua relació lieal etre reta y volume de iversió. 9. Mi cartera tiee u coeficiete de regresió o tambié llamado beta de Sharpe de 0,5, lo cual se iterpreta como A) Mi cartera explica el 50% de la variabilidad del mercado. B) Mi cartera sobre-reaccioa ate cambios e las retabilidades del mercado. C) Mi cartera ofrece retabilidades por ecima del mercado. D) Mi cartera es defesiva. 0. Se habla de regresió múltiple cuado A) La variable y es fució de ua variable explicativa. B) La variable y es fució de dos o más variables explicativas. C) La variable y es fució de dos o más variables depedietes. D) Todas so ciertas. 70 fikai AULA FINANCIERA

75 . U coeficiete de correlació próximo a - idica: A) Relació directa y fuerte etre las variables. B) Relació directa y débil etre las variables. C) La recta de regresió proporcioa u bue ajuste. D) Al aumetar ua de las variables, la otra variable dismiuye e ua uidad.. Las retabilidades auales observadas e los últimos años para u Fodo de Iversió ha sido: 0%, 0%, 0% y -0%. La desviació típica vale: A) 0% B),8% C) 0% D) Nigua de las ateriores es correcta. 3. El coeficiete de correlació asume, por defiició, valores compredidos etre: A) y +. B) 0 y +. C) y +, ambos iclusive. D) y +, ambos exclusive. 4. Cuál de las siguietes afirmacioes sobre la desviació estádar es icorrecta? A) Es la raíz cuadrada de la covariaza. B) Puede ser positiva o egativa. C) Es la media aritmética de las observacioes por raíz de 5 días. D) Todas las ateriores. 5. U cojuto de datos ordeados e el tiempo, procedetes ormalmete de observacioes tomadas a itervalos regulares, como sucesió de valores que toma ua magitud ecoómica de defiició costate a lo largo del tiempo, se deomia: A) Itervalo de valores. B) Variable aleatoria. C) Variable estadística. D) Serie temporal. 6. Cuál de las siguietes afirmacioes sobre el coeficiete de determiació es icorrecta? A) Es el cuadrado del coeficiete de correlació. B) Puede ser positivo o egativo. C) Represeta la proporció de iformació reflejada e la recta de regresió. D) Toma valores etre 0 y. 7. Cuál de las siguietes afirmacioes sobre la desviació estádar es correcta? A) Toma valores positivos. B) Puede ser positiva o egativa. C) Es la raíz cuadrada de la covariaza. D) Es la suma de las distacias al cuadrado de los datos a su media. fikai AULA FINANCIERA 7

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77 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo 7. Retabilidad y Riesgo 7. Retabilidad 7.. Retabilidad histórica de u activo 7.. Retabilidad esperada de u activo 7..3 Retabilidad histórica y esperada de ua cartera 7. Riesgo 7.. Volatilidad de u activo 7.. Riesgo de ua cartera de valores 7.3 Supuestos de la hipótesis de ormalidad fikai AULA FINANCIERA 73