Intervalos semicerrados o semiabiertos se definen de la manera siguiente: (a, b] = {x l a < x b} [a, b) = {x l a x < b}

Transcripción

1 DESIGUALDADES Intervalos Sean a y b dos números reales tales que a < b. entonces el intervalo abierto de a a b, denotado por (a, b), es en conjunto de todos los números reales x situados entre a y b. (a, b) = {x l x es un número real y a < x < b} El intervalo cerrado de a a b, denotado por [a, b] es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b pero también incluye a estos. [a, b] = {x l x es un número real y a x b} Intervalos semicerrados o semiabiertos se definen de la manera siguiente: (a, b] = {x l a < x b} [a, b) = {x l a x < b} Desigualdades lineales de una variable Es una desigualdad en la variable x que solo tiene dos tipos de términos, términos constantes o términos que son múltiples constantes de la variable x. Si el símbolo es > o <, se dice que es estricta. Si el símbolo es o, se dice que es débil. Regla 1. Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera.

2 Ejemplo: si a > c y c es cualquier número real, entonces Regla 2. a + c > b + c y a c > b c El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo. Ejemplo: si a > b y c es cualquier número positivo, entonces Propiedades de las desigualdades. ac > bc y a c Propiedad Ejemplos 1) Si a<b y b<c, luego a<c 2) Si 2<5 y 5<9, luego 2<9 3) Si a<b, luego a+c < b+c y a-c < b-c 4) Si 2<7, luego 2+3 < 7+3 y 2-3 < ) Si a<b y c>0, luego ac<bc y a/c < b/c. 6) Si 2<3 y 3>0, luego 2.3<5.3 y 2/3 < 5/3. 7) Si a < b y c<0, luego ac>bc y a/c > b/c 8) Si 2 < 5 y -3<0, luego 2 (-3)>5(-3) y 2/-3 > 5/-3 Desigualdades cuadráticas de una variable Una desigualdad cuadrática es una desigualdad de la forma o bien, > b c ax 2 + bx + c > 0 (o bien < 0) ax 2 + bx + c 0 (o bien 0) En donde a, b y c son constantes determinadas (a 0).

3 EJEMPLOS 1.- Solución de una desigualdad -3x + 4 < 11 Solución. -3x + 4 < 11. (-3x + 4) 4 < 11-4 Restar 4-3x < 7 Simplificar -3x / -3 > 7/-3. Dividir entre -3 invertir signo de desigualdad. X > -7/3. Simplificar. 2.- Resuelve la desigualdad 4x -3 < 2x +5 (4x 3) + 3 < 2x + 5 Solución 4x 3 < 2x + 5 dado (4x 3) + 3 < (2x + 5) + 3 sumar 3 4x < 2x + 8 Simplificar 4x -2x < (2x 8) 2x restar 2x 2x < 8 simplificar 2x/2 < 8/2 dividir entre 2 X < Solución de una desigualdad continúa. -5 4x 3x 2-5 4x 3x 2 y 4x 3x 2 < 1 < 1 dado x < 2 multiplicar por 2

4 x < 2 4 restar x < 2 simplificar x < 2 4 restar x> dividir entre -3; invertir los signos de desigualdad 14 x> x> simplificar desigualdad equivalente 4.- Solución de una desigualdad racional 1 x 2 > 0; La solución son todos los números del intervalo (2, ), y se ve de la siguiente manera. X > Resuelve la desigualdad 2x 2 x < 3 2x 2 x < 3 dado 2x 2 x < 3 igual a un lado a 0 (x + 1 ) ( 2x -3 ) < 0 factorizar (-. -1), (-1, 3/2), y (3/2, ) Valores absolutos Si x es un número real, entonces el valor absoluto de x, denotado por l x l, se define por l x l = { x si x 0 } x si x<0

5 Ejemplo: l 2x 3 l = 5 2x 3 = 5 o bien 2x 3 = -5 2x = x = x = 8 2x = -2 x = 8/2 x = -2/2 x = 4 x = -1 Ejercicios: a) Utilice el método de lista para describir los conjuntos siguientes: 1.- El conjunto de todos los enteros menores que 5 y mayores que El conjunto de todos los primos menores que 20. a) Utilice le método de la regla para describir los conjuntos siguientes: 1.- {1, 3, 5, 7, 9,..., 19} 2.- {1, 1, 1, 1,...} b) Resuelva las desigualdades siguientes: x < (x 2) (x 5) < x + 7 > 31 3x 5.- 9x > x (2x 1) > (x 1) 6.- y (2y + 1) > 6 Ejercicios: Resuelve las ecuaciones siguientes para x x = x = x + 5 = x = x + 2 = 3 x 8.- 2x x 2 = x+1 x 3 = 3x = 6 3 3x 5

6 5.- 3x 2 = 4 x x 2 x+3 = 3 Clasificación de funciones. Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor especifico de x. El conjunto de todos los valores admisibles en x se les denomina dominio de la función, y a el conjunto de los valores resultantes de y recibe el nombre de contradominio de la función. Función constante: si f (x) = c, y c es cualquier número real, entonces f es una función constante y su grafica es una recta horizontal a una distancia dirigida de c unidades a partir del eje x. Función identidad: función lineal particular definida por f (x) = x Función polinomial: si una función f se define por x n y n es un numero entero no negativo, entonces recibe el nombre de función polinomial de grado n. f(x) = x Función racional: la función puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. f(x) = x2 x 3 Función radical: La variable x se encuentra bajo el signo de radical ( ) Función racional radical: f(x) = x2 f(x) = x + 1 x 3 Función algebraica: formada por un número finito de operaciones algebraicas, las funciones polinomiales, racionales y radicales son un tipo particular de función algebraica. f(x) = (x2 3x + 1) 3 x 4 + 1

7 Ejemplos 1. Función radical f(x) = x 1 Rango (0, ) 2. Función lineal f(x) =2x y = 2x + 3 Rango (0, )

8 Terminología Definición Interpretación gráfica f es creciente en un intervalo I f (x 1 ) < f(x 2 ) siempre que x 1 < x 2 f es decreciente en un intervalo I f es constante en un intervalo I f(x1) > f(x2) siempre que x 1 < x 2 f(x1) = f(x2) siempre que x 1 y x 2 Funciones pares e impares

9 Terminología Definición Ejemplo Simetría de gráfica f es una función f(-x) = f(x) y = f(x) = x 2 Eje y par f es una función non f(-x) = - f(x) y = f(x) = x 3 El origen Ejemplo 1: Determina del tipo de función (par o impar) Determina si f es par, non o ninguna de las dos. f(x) = 3x 4 2x f(-x) = 3(-x) 4 2(-x) = 3x 4 2x 2 +5 Dado que f(-x) = f(x), f es una función par. Ejemplo 2: f(x) = 2x 5 7x 3 + 4x f(-x) = 2(-x) 5 7(-x) 3 + 4(-x) -2x 5 + 7x 3-4x Dado que f(-x) = -f(x), f es una función non. Ejemplo 3: f(x) = x 3 + x 2 f(-x) = (-x) 3 + (-x )2 f(-x) = -x 3 + x 2 f(-x) =-f(x), f es una función non.

10 Ejemplo 4: f(x) = x f(-x) = -x es non cuando x es positiva. f(-x) = -(-x) =x es par cuando x es negativa. Ejemplo 5: f(x) = x/x-1. f(-x) =-x/-x-1. Es non porque f(-x) = -f(x). Ejercicios Determina del tipo de función (par o impar) Determina si f es par, non o ninguna de las dos. 1. f(x) =x 2 + x +1/x 2. f(x) = x 3 x 2 x 1 3. f(x) = x 2 + y 2 4. f(x) = x 2 + y 2 5. f(x) = x 2 -x / x 3

11 ACTIVIDADES LUDICAS JENGA 1.- Armar equipos de 5 integrantes y pedirles que lleven su jenga Darles las etiquetas que contienen fórmulas y gráficas de clasificación de funciones. Asi mismo funciones con su nombre de acuerdo a clasificación Función f(x) = x+1 f(x) = -x + 1 f(x) = x f(x) = x Función f(x) = 1 x f(x) = x 3 +x 2 +x f(x) = = 1 x x f(x) = e 3x f(x) = -x f(x) = - x Gráfica 3.- Pegar las etiquetas en el juego de jenga. Clasificación Función racional Función polinomial. Función radical y racional. Función exponencial Función lineal con pendiente negativa. Función radical con signo negativo 4.- Empezar a jugar el clásico juego de jenga con el único plus que tienen que ir sacando la función con su grafica o con su nombre clasificado.

12 MEMORAMA CON DESIGUALDADES -Se da el ejemplo a los jóvenes de cómo hacer el memorama. En equipos de 5 integrantes encargarles un memorama y que ellos utilicen ejemplos dados para poder reforzar el tema.

13 -3x + 4 < 11 4x - 3 < 2X X - 3X /2 < 1 1 / X-2 2X 2 - X < 3

14 x > -7/3 x < 4 2/3 X > 14/3 X >2 (x + 1)(2x - 3) < 0