LIV OME - FASE CERO, COMUNIDAD DE MADRID

Transcripción

1 LIV OME - FSE ERO, OMUNIDD DE MDRID 24 de noviembre de olocamos cifras en los huecos del número 2, una en cada hueco, para formar un número de tres cifras. De cuántas formas podemos hacerlo para que el número obtenido sea mayor que 217?. Los números que cumplen la condición son todos entre 218 y 299, ambos inclusive. Es decir un total de 82 números. La respuesta es. 2. En la siguiente gráfica el punto P está en el eje OY, Q es el (4, 0) y la recta P Q pasa por el punto R(4, 2). uál es el área del triángulo OP Q? P O S R(2, 4) Q P O R(2, 4) Vemos que los triángulos OP Q y QRS son semejantes, con razón de semejanza 2, ya que OQ = 4 y OS = 2. Por tanto el área de OP Q es 4 veces el área de QRS. omo el área de QRS es 4, el área de OP Q es 16. La respuesta es E. 3. En el triángulo de la figura, el punto M es el punto medio del lado, ĈM = 30 y Ĉ = 15. uánto mide el ángulo Ĉ? Q M M on los datos del problema vemos que el triángulo M es isósceles, por lo que M = M. omo M = M, entonces M = M y el triángulo M también es isósceles. Por tanto, Ĉ = ( )/2 = 75. La respuesta es. 4. Jorge tiene 144 cubitos idénticos de 1 cm de arista. Utiliza todos para construir un prisma rectangular cuya base tiene un perímetro de 20 cm, pero hay distintas posibilidades. uál es la suma de todas las posibles alturas del prisma?

2 Si a, b y h son las dimensiones del prisma, siendo h la altura, se cumple a + b = 10. Por tanto los posibles valores de a y b son a = 1, b = 9 h = 16, a = 2, b = 8 h = 9, a = 4, b = 6 h = 6. Otros valores de a y b dan alturas no enteras. sí, la suma de las posibles alturas es = 31. La respuesta es. 5. Irene es más baja que Jorge, Francisco es más alto que Gustavo, Jorge es más alto que Francisco y Herminia es más baja que Gustavo. Quién es el más alto? Se tienen las desigualdades siguientes I < J, F > G, J > F y H < G, por lo que encadenándolas J > F > G > H, J > I. sí, Jorge es el más alto. La respuesta es E. 6. El cociente entre la longitud del lado menor de un rectángulo y la longitud del lado mayor es igual al cociente del lado mayor y la diagonal. uál es el cuadrado del cociente entre la longitud del lado menor y la diagonal? Sea a el lado mayor, b el menor y d la diagonal. Por los datos del problema se cumple b a = a d b d = a2 d 2. Por otra parte, aplicando el Teorema de Pitágoras, omo a 2 /d 2 = b/d, resulta a 2 + b 2 = d 2 b2 d 2 + a2 d 2 = 1. b 2 d + b 2 d 1 = 0 b d = La respuesta es. b2 d = 1 b 2 d = En el triángulo, = 6, = 8 y = 10. Si D es el punto medio del lado, cuál es la suma de los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos D y D? 2

3 Es fácil comprobar que el triángulo es rectángulo, de donde se deduce el siguiente dibujo D y los lados de los dos triángulos D y D resultan conocidos. Sea r 1 el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo D y r 2 el de la inscrita en el triángulo D. Sabemos que el área de un triángulo es igual al producto del semiperímetro por el radio de la circunferencia inscrita. Por tanto tenemos área D = 8r 1, área D = 9r 2. hora bien, ambos triángulos tienen igual área, igual a 12, por lo que La respuesta es D. r 1 = 3 2, r 2 = 4 3 r 1 + r 2 = = El cuadrado P QRS, de lado 42, está dividido en cuatro rectángulos del mismo perímetro, tal y como muestra la figura. uál es el área del rectángulo sombreado? Sean a, b y c los de la figura siguiente b c a 3

4 omo los rectángulos tienen el mismo perímetro y el lado del cuadrado grande es 42, se tienen las siguientes relaciones: 42 + a = b + (42 a), (42 b) + c = 42 + a b = 2a, c = 3a. Por otra parte, 2c+a = 42, sumando las tres partes en que queda dividido el lado derecho del cuadrado. Por tanto, a = 6, b = 12 y c = 18, por lo que el área del cuadrado sombreado es 540. La respuesta es E. 9. Las longitudes de los lados de un triángulo obtusángulo son: 10, 17 y x. Si x es un número entero, cuál es la suma de los posibles valores de x? Primero aplicamos la desigualdad triangular, de manera que ningún lado puede ser mayor o igual que la suma de los otros dos. sí, tenemos 10 + x > 17, > x, 7 < x < 27. hora bien, el triángulo es obstusángulo, por lo que el cuadrado del lado mayor es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Distinguimos dos casos: si el lado mayor es 17, entonces Si x es el lado mayor, entonces 17 2 > x 2 x 2 < 189 x < 14. x 2 > x 2 > 389 x > 19. Por tanto los posibles valores de x son 8 x 13 y 20 x 26. La suma de estos valores es 224. La respuesta es E. 10. La región del espacio formada por los puntos que distan 3 unidades del segmento tiene por volumen 216π. uál es la longitud de dicho segmento? La región está formada por un cilindro de radio 3, alrededor del segmento, más dos semiesferas de radio 3 en los extremos del cilindro, como en la figura. El volumen de esta figura es la suma del volumen del cilindro más el de la esfera, en total 9π π = π(9 + 26). 3 omo este volumen es 216π, se deduce que = 20. La respuesta es D. 4

5 11. onduciendo a velocidad constante, lberto tarda 3 horas en ir desde su casa a casa de sus padres. Un día empezó a conducir a su velocidad habitual pero, después de llevar la tercera parte del camino, empezó a llover y redujo su velocidad en 20 km/h, tardando en total 276 minutos. Qué distancia hay entre la casa de lberto y la de sus padres? Sea D la distancia de casa de lberto a la de sus padres y v su velocidad habitual. Por lo que nos dice el enunciado del problema resulta La respuesta es. D v = 3h y D/3 + 2/3D v v 20 = 276 h D = 135km Isa tiene 30 varillas, de longitudes enteras y diferentes, entre 1 y 30 cm. Toma tres de ellas, de longitudes 3 cm, 7 cm y 15 cm y las coloca encima de una mesa. Debe elegir una cuarta para formar con las cuatro un cuadrilátero. uántas de las 27 restantes puede elegir? plicaremos que un lado del cuadrilátero es menor que la suma de los otros tres lados. sí, si 15 es el lado mayor, tenemos Si x es el lado mayor, entonces 15 < x x 6. x < x 24. Por tanto 6 x 24 con x 7, 15. sí hay 17 soluciones posibles. La respuesta es. 13. En un triángulo rectángulo, de lados 3, 4 y 5, inscribimos de dos formas diferentes dos cuadrados. El primero, de lado x, tiene un vértice que coincide con el vértice del triángulo correspondiente al ángulo recto. El segundo, de lado y, tiene dos vértices consecutivos en la hipotenusa. uál es el valor de x/y? Hagamos un dibujo con las dos situaciones que se plantean, donde = 3, = 4 y = 5. E F E x y D G D a 5

6 En el primer caso, de la semejanza de los triángulos y ED resulta 4 x x = 4 3 x = En el segundo caso, de la semejanza de los triángulos, ED y F G se tiene a y = 4 3, y 5 a y = 4 3 y = Por tanto x/y = 37/35. La respuesta es D. 14. En el rectángulo D, = 3 y = 4. El punto E es el pie de la perpendicular desde a la diagonal. uál es el área del triángulo ED? Del siguiente dibujo D 4 3 x E y y a partir de las semejanzas entre los triángulos D, DE y DE se obtiene con facilidad x = 9/5, y = 16/5. Por otra parte, las áreas de los triángulos E y E están en la proporción de x, y, ya que tienen la misma altura, respecto a las bases x, y. omo la suma de las áreas de estos dos triángulos es igual a la de medio rectángulo, que es 6, se deduce que el área de E es 54/25. La respuesta es E. 15. Prolongamos por el diámetro, de una circunferencia de radio 2, hasta un punto D de tal forma que D = 3. Elegimos un punto E tal que ED = 5 y los segmentos ED y D sean perpendiculares. El segmento E corta a la circunferencia en el punto, entre y E. uál es el área del triángulo? Hagamos un dibujo con lo que se menciona en el enunciado del problema. 6

7 E D Vemos que los triángulos DE y son los dos rectángulos y semejantes. La razón de semejanza, r, es la que hay entre sus hipotenusas, es decir r = 74/4. Por tanto sus áreas están en proporción r 2. Puesto que el área de DE es 35/2, tenemos que el área de es 35/(2r 2 ) = 140/37. La respuesta es D. 16. uántos enteros positivos menores o iguales que 2017, escritos en la notación habitual, llevan la cifra cero? En lugar de contar los que llevan la cifra cero, contemos los que no la llevan, aunque solo para los números menores que Si son de 4 cifras, la primera es necesariamente un 1 y las otras pueden ser cualquiera, menos un 0. Por tanto hay = 729 números de 4 cifras menores que 2000 que no tienen 0 en su escritura. nálogamente, hay otros 729 números de tres cifras que no tienen el 0 en su escritura, 81 de dos cifras y 9 de una cifra. En total hay 1548 números menores que 2000 que no llevan el 0 en su escritura, por lo que hay = 451 que sí lo llevan. omo todos los números desde 2000 hasta 2017 tienen un 0 en su escritura, hay = 469 números enteros positivos menores o iguales que 2017 que llevan cero en su escritura. La respuesta es. 17. Si a y b son números reales positivos y las raíces de las ecuaciones x 2 + ax + 2b = 0 y x 2 + 2bx + a = 0 son todas reales, cuál es el menor valor posible de a + b? Para que las raíces sean reales debe cumplirse a 2 8b 0 y b 2 a 0. De ambas desigualdades se sigue que 8b a 2 b 4. Por tanto el valor más pequeño de b para el que esto se cumple es b = 2, cuando 8b = b 4. En ese caso a = 4 y por tanto el valor mínimo de a + b es 6. Otra forma de verlo es gráficamente. De hecho, las dos condiciones se cumplen en la intersección de las regiones exteriores a las parábolas a 2 8b = 0 y b 2 a = 0, que se cortan en el punto (a, b) = (4, 2), como se ve en la figura siguiente. 7

8 b 2 1 a Por tanto el valor mínimo de a + b es = 6. La respuesta es E. 18. La ecuación x 2 1 = a tiene exactamente tres raíces reales. uál es el valor de a? Hay cuatro posibles soluciones: x 2 1 = a x = a + 3 x 2 1 = a x = 3 a 2 x 1 = a x = 1 a 2 x 1 = a x = 1 + a Dos de ellas tienen que ser iguales. Si lo son las dos primeras soluciones, entonces a = 0, lo que hace que la tercera y cuarta solución también sean iguales. En este caso solo habría dos soluciones. Si la primera y tercera solución son iguales, entonces a = 1, pero a no puede ser negativo, ya que es el valor absoluto de un número real. sí, el único caso que nos queda por ver es que la segunda y la cuarta soluciones sean iguales. Entonces a = 1 y las soluciones son x = 4, x = 2 y x = 0. La respuesta es. 19. En la figura adjunta se observan dos cuadrados: el D, de área S, y el P QRT, de área S. Si los puntos de intersección dividen a los lados del cuadrado D en tres partes iguales, cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? T P Q D R ) S = S ) 2S = 3S ) 5S = 6S D) 8S = 9S E) Nada de lo anterior Designemos por x a cada una de las tres partes iguales en que quedan divididos los lados del cuadrado D y por y, z a las partes en que quedan divididos los lados del cuadrado P QRT, como se ve en el dibujo z T x y P Q D R 8

9 omo se ve, y es la diagonal de un cuadrado de lado x, por lo que y = x 2. Por otra parte, z es el lado de un cuadrado de diagonal x, por lo que z = x/ 2. Por tanto el lado del cuadrado D es 3x y el del cuadrado P QRT es 2x 2. Finalmente S = (3x) 2 = 9x 2, S = (2x 2) 2 = 8x 2. De aquí se deduce que 8S = 9S. La respuesta es D. 20. El número x es positivo y x x 2 = 7. uánto vale x5 + 1 x 5? Sea z = x + 1. Elevando al cuadrado resulta x ( z 2 = x + 1 ) 2 = x x x + 2 = 9 z = x x = 3, ya que x es positivo. Elevando ahora z al cubo tenemos ( z 3 = x + 1 ) 3 = x x x + 3z 3 x3 + 1 x = 3 z3 3z = 27 9 = 18. Finalmente ( x ) ( x ) = x x 3 x 2 x + z 5 x5 + 1 = 18 7 z = 123. x5 La respuesta es D. 21. Si x e y son números positivos que verifican [x] x = 36, [y] y = 71, x + y es igual a: ) ) ) D) E) Es inmediato ver que [x] = 6 y que [y] = 8. Por tanto x = 6, y = 71/8, por lo que x + y = /8 = 119/8. La respuesta es. 22. Pedro elige tres enteros positivos a, b y c. Quino determina el valor de a + b c y obtiene como respuesta 101. Rosa calcula a a + b + b y obtiene 68. Sara determina el valor de y c c obtiene como resultado k. uál es el valor de k? Sumemos los números que han determinado Quino y Rosa a + b c + a c + b = 169 = (a + b)(1 + c) = c. omo c y 1 + c no tienen factores primos en común, al ser c un entero positivo, tiene que ser 1 + c = 13, por lo que a + b = 13. La respuesta es. c 9

10 23. malia tiene una moneda defectuosa en la que la probabilidad de obtener cara al realizar un lanzamiento es de 1/3 y runo tiene otra en la que la probabilidad de obtener cara es de 2/5. Tira cada uno, alternativamente, su moneda empezando malia y gana el primero que obtenga cara. Si p/q, irreducible, es la probabilidad de que gane malia, q p es igual a: ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 E) 5 na gana el juego en la primera tirada con probabilidad 1/3. En caso de que no gane, tira runo, que puede ganar con probabilidad 2/5. Si no lo hace, estamos como al principio. Esta situación la podemos ver en un diagrama de árbol, donde P () es la probabilidad de que gane na, significa que gana na y que gana runo. 1/3 P () 2/3 2/5 3/5 P () De aquí podemos ver que P () = P () P () = 5 9. Por tanto q p = 9 5 = 4. La respuesta es D. 24. En el triángulo equilátero prolongamos desde el lado hasta el punto de tal manera que = 3. nálogamente en los otros dos lados: = 3 y = 3. uál es el cociente entre el área del triángulo y el área del triángulo? Supondremos, sin pérdida de generalidad, que el lado del triángulo es igual a 1. demás, por la construcción, el nuevo triángulo también va a ser equilátero, por lo que si conocemos el lado de este nuevo triángulo, que llamaremos x, las áreas estarán en proporción x 2, al suponer el lado de igual a 1. Para calcular el lado del triángulo usaremos el teorema del coseno en el triángulo de la siguiente figura 10

11 El ángulo es 120, mientras que el lado es igual a 4 y el igual a 3. Por tanto 2 = cos( ) = 37. Es decir las áreas están en proporción 37. La respuesta es E. 25. uántos triángulos hay que tengan los vértices en los puntos (i, j) donde i y j son enteros del 1 al 5, ambos inclusive? Debemos elegir tres puntos de los 25 dados que no estén alineados. Primero contaremos todas las posibles elecciones de tres puntos y luego descontaremos todos los casos en los que tres puntos estén alineados. sí, el total de elecciones de tres puntos de entre 25 dados es ( ) = = hora debemos descontar todos los casos en que los tres puntos estén alineados. Puede ser que haya 3 en la misma fila o columna y, teniendo en cuenta que hay 5 filas y 5 columnas, nos da un total de ( ) 5 10 = hora, debemos descontar los que están alineados en diagonal. quí hay dos casos, como los que se ven abajo. 11

12 En el primer caso hay 20 posibilidades de elegir los puntos alineados en las 5 diagonales y, por simetría, hay otros 20 casos cuando las diagonales van en sentido contrario. En el segundo caso, hay 3 posibilidades de elección pero, por simetría, hay otros tres casos análogos (girando la figura de 90 en 90 ). Por tanto, en diagonal hay 52 casos en los que los tres puntos están alineados. Finalmente, el total de triángulos que se pueden formar es = La repuesta es. 26. Sea S el conjunto de puntos (x, y) del plano tales que dos de los tres números, 3, (x + 2), (y + 4) son iguales y el tercero es menor o igual que esos otros dos. uál de las siguientes es una correcta descripción de S? ) S es un punto ) S es un par de rectas que se cortan ) S es un triángulo D) S es: tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos diferentes E) S es: tres semirrectas con un punto común Si x + 2 = 3, entonces x = 1 y además y + 4 3, por lo que y 1, lo que nos da la semirrecta x = 1 con y 1. Si y + 4 = 3, entonces y = 1 y además x por lo que x 1, lo que nos da la semirrecta y = 1 con x 1. Si x + 2 = y + 4, entonces x y = 2 y además 3 x + 2, por lo que x 1 y 3 y + 4, por lo que y 1. Esto nos da la semirrecta x y = 2 con x 1, y 1. sí pues, el conjunto S son tres semirrectas con el punto (1, 1) en común. La respuesta es E. 27. Los lados y del triángulo equilátero son tangentes a una circunferencia en los puntos y, respectivamente. Qué fracción del área de dicho triángulo cae fuera de la circunferencia? Nos ayudamos de un dibujo para ver mejor lo que nos piden. En el mismo hemos denotado por O al centro de la circunferencia y por P al punto interior del triángulo donde se cortan la altura desde el vértice y la circunferencia. demás, como se nos pregunta por una proporción, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que el lado del triángulo es 1. 12

13 P x O r Observemos que O es un cuadrilátero, por lo que sus ángulos interiores suman 180. Puesto que O = O = 90 y = 60, deducimos que O = 120 y, por simetría, O = O = 60. omo P es un ángulo inscrito que abarca el arco P será igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Por tanto P = 30. Es decir, el punto P es el baricentro del triángulo y OP es un rombo de lado r. Por tanto, r = 2/3h y x = h/3, siendo h la altura del triángulo. omo hemos supuesto el lado igual a 1, h = 3/2 y entonces r = 1/ 3, x = r/2. hora podemos calcular el área S de la parte de la circunferencia que se encuentra dentro del triángulo. Ésta será igual a la del sector circular O menos el área del triángulo O. omo el sector abarca un ángulo de 2π/3, resulta S = π 3 r2 x 2 = π Por otra parte, el área del triángulo es igual a 3/4, por lo que la proporción pedida es 3 π = π. La repuesta es E Los tres vértices del triángulo equilátero están en la hipérbola x y = 1, siendo uno de los vértices de la hipérbola el baricentro del triángulo. uál es el área de dicho triángulo? Los vértices de la hipérbola están en los puntos (1, 1) y ( 1, 1) como se ve en la figura. 13

14 y x -2-4 Tomemos uno de ellos como el baricentro. omo la hipérbola tiene dos ramas, dos de los vértices estarán en la rama en la que se encuentra el baricentro y el tercero en la otra rama. hora bien, la altura que pasa por el vértice que está en la rama en la que no está el baricentro es un eje de simetría del triángulo, por lo que este vértice es, necesariamente, el otro vértice de la hipérbola. La distancia entre los vértices de la hipérbola será, por tanto, dos tercios de la altura del triángulo. omo la distancia entre los vértices es 2 2, tenemos que la altura es h = 3 2 y el lado l = 2 6. sí, el área del triángulo es La respuesta es. S = = En un cuadrado de lado a trazamos dos cuadrantes de circunferencia, como muestra la figura, con centros en y D. uál es el área de la parte sombreada? D Si P es el punto donde se cortan los dos cuadrantes de circunferencia, tenemos que el triángulo P D es equilátero de lado a, por lo que su área es a 2 3/4. l área del triángulo hay que sumarle la de dos segmentos circulares, cuyo área es la del sector circular de ángulo 60 menos la del triángulo, esto es Por tanto el área soberana es ( a 2 2 La respuesta es. 6 π a2 4 a 2 6 π a ) 3 + a2 a 2 3 = 4 3 π a

15 30. Si f(x) = sen x + 2 cos x + 3 tg x (con x en radianes), en qué intervalo está el menor valor positivo de x para el que f(x) = 0? Observemos que f(x) > 0 si 0 x < π/2 y que f(x) < 0 si π/2 < x π. Por tanto la primera raíz es mayor que 3. Por otra parte f(5π/4) = sen 5π/4 + 2 cos 5π/4 + 3 tg 5π/4 = 3 3/ 2 > 0. omo f(π) < 0, la primera raíz se encuentra entre π y 5π/4. omo 5π/4 < 4, la primera raíz está en el intervalo (3, 4). La respuesta es D. 15