Profesor: Roque Molina Legaz TEMA 12: INTEGRAL MÚLTIPLE DE RIEMANN. APLICACIONES Programa detallado:

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1 Profesor: Roque Molina Legaz TEMA 12: INTEGRAL MÚLTIPLE E RIEMANN. APLICACIONES Programa detallado: Introducción Integral dole de una función acotada en un rectángulo de R 2 : efinición y propiedades Integrales iteradas: Teorema de Fuini: Teorema de Fuini en un rectángulo Integración sore regiones más generales Camio de variales en la integral múltiple. Casos particulares para las integrales doles y triples Aplicaciones de la integral múltiple: a Integral dole Integral triple. Introducción. Las integrales iteradas o integrales múltiples son una extensión natural del concepto, ya estudiado en el tema 9, de integral definida de Riemann sore un intervalo a,. Resultarán de especial interés por sus aplicaciones, las extensiones a funciones de dos variales sore dominios acotados de R 2 (integral dole) y de funciones de tres variales sore dominios acotados de R 3 (integral triple). Las notaciones usuales que se emplean para este tipo de integrales, en coordenadas cartesianas, son: FUNCIÓN OMINIO NOTACIÓN fx a, R a fxdx fx,y R 2 fx,ydxdy fx,y,z R 3 fx,y,zdxdydz fx 1,x 2,...,x n I R n I fx 1,x 2,...,x n dx 1 dx 2...dx n Como en el caso de la integral simple de Riemann, las definiciones de estas integrales a través de límites de sumas tienen un carácter astracto. No ostante, sus diversas interpretaciones darán lugar a una gran variedad de aplicaciones, sore todo en Física e Ingeniería. Como caso particular de la integral múltiple, la integral dole de Riemann vendrá a

2 formalizar un concepto sencillo e intuitivo, el de volumen, de manera que uno de los ojetivos de este tema será el de dar sentido a la expresión fx,ydxdy siendo un dominio cerrado de R 2 y f : R una función acotada en, de forma que será un número que representará, si fx,y 0, el volumen de la región de R 3 comprendido entre la superficie z fx,y y su proyección sore. a a existir una gran similitud entre las definiciones (y por tanto, de propiedades y aplicaciones), de la integral múltiple con las ya estudiadas para la integral simple de Riemann. e hecho, se intentará, en lo posile, seguir un camino totalmente paralelo: En síntesis, el proceso consistirá en plantear particiones cada vez más finas del dominio de integración, lo que permitirá definir la integral superior y la inferior; de aquí, se llegará a la definición de integral múltiple de Riemann de una función acotada en un intervalo compacto de R n a través de un límite, cuando el diámetro de la partición tiende a cero. No ostante, y aunque al introducción del concepto de integral múltiple puede hacerse directamente para R n, se introducirá por separado para la integral dole (y de forma semejante se hará para la integral triple). Como Apéndices se introducirán las integrales de línea y de superficie. Integral dole de una función acotada en un rectángulo de R 2 : efinición y propiedades. efinition Se llama rectángulo de R 2 al conjunto definido por a, c,d x,y R 2 ; a x,c y d efinition Se llama partición P del rectángulo a, c,d a un conjunto P P 1 xp 2, donde P 1 es una partición del intervalo real a, yp 2 es una partición del intervalo c,d. e esta forma, si P 1 divide a a, en m suintervalos unidimensionales y P 2 divide a c,d en n suintervalos, P P 1 xp 2 determinará una descomposición de a, c,d en m n surectángulos, a los que denotaremos por I 11,I 12,...,I mn. efinition Se llama norma de la partición P de I a, c,d, y se representa por P, al máximo área de los surectángulos en los que P divide al rectángulo I. efinition Una partición P de a, c,d se dice que es más fina que otra partición Q de a, c,d, si cada P i es más fina que la correspondiente Q i (es decir, si todo surectángulo de Q es unión de surectángulos de P ysi P Q. Lo representaremos por P Q. Sea entonces I a, c,d un rectángulo compacto de R 2, f : a, c,d R una función acotada y P una partición de I en suintervalos I 11,I 12,...,I mn. En cada uno de los surectángulos se consideran los valores extremos que alcanza f, a los que denotaremos por m ij inf fx,y; x,y I ij, M ij sup fx,y; x,y I ij.

3 efinition Llamaremos suma inferior y suma superior de la función fx,y respecto de la partición P en a, c,d, a los números reales definidos, respectivamente, por m sf,p i0 n j0 m ij x i1 x i y j1 y j ; Sf,P i0 m n j0 M ij x i1 x i y j1 y j Remark Por lo tanto, el volumen del cuerpo que limita la superficie z fx,y estará comprendido entre sf,p ysf,p, es decir sf,p Sf,P Enunciaremos ahora unas propiedades, que verifican este tipo de sumas, cuyas demostraciones son análogas a las de la integral simple de Riemann, y que serán de gran utilidad en la definición de la integral múltiple: Proposition En las anteriores condiciones, si I es el área del rectángulo compacto I a, c,d, y si denotamos por m inf fx,y; x,y I, M sup fx,y; x,y I, se verifican: (a) sf,p Sf,P. () sf,p m I. (c) Sf,P M I. es decir, m I sf,p Sf,P M I. Proposition En las anteriores condiciones, sean P y Q dos particiones del rectángulo compacto I a, c,d, conp Q. Entonces: (a) sf,p sf,q. () Sf,P Sf,Q. Proposition Si P y Q son dos particiones aritrarias del rectángulo compacto I a, c,d, siempre se verifica que sf,p Sf,Q. e esta forma, oservamos que si se toman particiones cada vez más finas del rectángulo compacto I a, c,d y con norma tendiendo a 0, se otiene una sucesión monótona creciente de sumas inferiores y una sucesión monótona decreciente de sumas superiores. Como la primera sucesión s 1 s 2... s n... está acotada superiormente por M I, y la segunda sucesión S 1 S 2... S n... está acotada inferiormente por m I, amas sucesiones serán convergentes. Así, tiene sentido considerar la siguiente definición: efinition Se llama integral inferior de Riemann de f en el rectángulo I a, c,d, y se representa por I f, al número límite de la sucesión de sumas inferiores otenidas al considerar una sucesión de particiones de I cada vez más finas y con norma tendiendo a cero; se llama integral superior de Riemann de f en I, y se representa por I f, al límite de la correspondiente

4 sucesión de sumas superiores; es decir, I f lim n sf,p n ;... P n P n 1... P 1, P n 0 y I f limn Sf,P n ;... P n P n 1... P 1, P n 0. Remark Oservemos que se verifica de forma inmediata, I f I f. efinition En las anteriores condiciones, se dice que una función acotada f : a, c,d R 2 R es integrale Riemann (o simplemente integrale) en el intervalo I si I f I f. En tal caso, al número real definido por cualquiera de ellas se le llama integral dole de Riemann de f en rectángulo compacto I a, c,d yse representa por I fx,ydxdy eamos unas propiedades análogas a las ya conocidas para el caso de la integral simple: Proposition (Criterio de integrailidad de Riemann). Sea I el rectángulo compacto I a, c,d yf: I R acotada. Entonces, f es integrale Riemann en I si y sólo si para cada 0 existe una partición P de I tal que Sf,P sf,p. Proposition En las hipótesis anteriores, si f : I R es continua en I, entonces f es integrale en I. Proposition Sean f,g : I R dos funciones acotadas e integrales en I. Entonces: (a) f g es integrale en I y I f g I f I g. () Si R, f es integrale en I y I f I f. (c) f g es integrale en I. (d) f g es integrale en I, donde se supone que gx,y k, x,y I y paraunciertok 0. (e) Si f 0enI, se tiene que I f 0. (f) Si f geni, se tiene que I f I g. (g) f es integrale en I y I f I f. (h) Si P es una partición de I en m suintervalos I 1,I 2,...,I m, fes integrale en I si y sólo si f es integrale en cada I k k 1,2,...,m, yse

5 verifica m f I Ik f. k1 Proposition (Teorema de la media) Sea f : I R continua y acotada en el rectángulo compacto I a, c,d R 2. Se verifica que existe algún punto c 1,c 2 I tal que I f fc 1,c 2 I Integrales iteradas: Teorema de Fuini. El proceso que acaamos de desarrollar para el cálculo de la integral múltiple (OJO: hasta ahora siempre hemos introducido el concepto para el caso de la integral dole, aunque de forma similar se puede hacer para la triple), tamién conocido como proceso de aproximaciones sucesivas, al igual que ocurría con el caso de la integral simple, tiene más interés teórico que práctico: asta con intentar calcular cualquier integral múltiple mediante este procedimiento para comprender que este cálculo ha de realizarse por otros procedimientos. esde el punto de vista práctico, la herramienta ásica para el cálculo de estas integrales es un resultado conocido como teorema de Fuini y que nos permitirá reducir el cálculo de integrales doles a integrales simples. Lo mismo ocurrirá en el caso de la integral triple. Teorema de Fuini en un rectángulo. Normalmente, en el caso n 2, al intervalo compacto I a, c,d, que es un rectángulo, lo representaremos por, mientras que en el caso n 3, a I, que es un paralelepípedo, lo representaremos por. Proposition (Teorema de Fuini en un rectángulo). Sea f : R una función definida, acotada e integrale en a, c,d. Supongamos que para cada x a, fijo, la integral c d fx,ydyexisteyvaleax. Entonces la integral a Axdx tamién existe y su valor coincide con fx,ydxdy, es decir fx,ydxdy a c d fx,ydy dx Análogamente, si suponemos que para cada y c,d fijo, la integral a fx,ydxexisteyvaleay, tamién existirá c d Aydy y su valor coincide con fx,ydxdy, es decir fx,ydxdy c d a fx,ydx dy Remark A las integrales a c d fx,ydy dx, c d a fx,ydx dy, si existen, se les

6 llaman integrales iteradas de f en I. Cuando f es continua, amas integrales reiteradas existen y son iguales. Example Calcular x ydxdy en 0,1 0,2. Example Calcular xy zdxdydz, siendo 0,1 1,2 2,3. Remark Notemos con este último ejemplo, que no es preciso integrar primero respecto de z, después respecto de y y por último respecto de x. Por el contrario, es aconsejale elegir las iteraciones de modo que el cálculo de cada una de las integrales iteradas sea lo más simple posile. Esto no tiene demasiada importancia cuando el dominio de integración es un rectángulo o un paralelepípedo, aunque si lo tendrá cuando consideremos dominios más generales, como se verá en la sección siguiente. Remark Normalmente, y cuando se van a calcular integrales múltiples, en lugar de expresar xy zdxdydz 0 1 xy zdz dy dx 2 o cualquier otra posile cominación existente entre las 3 variales, por comodidad y por aclarar aún más el intervalo de variación de cada variale, expresaremos xy zdxdydz dx 0 dy 1 xy zdz 2 expresando implícitamente que no se trata de un producto de tres integrales, sino que se han de calcular las integrales iteradas comenzando siempre por la situada más a la derecha. Integración sore regiones más generales. Si R n n 2o 3 en lugar de ser un intervalo compacto fuese un conjunto cualquiera de R n n 2o 3 y f : R es una función continua, el teorema de Fuini anteriormente enunciado va a poder extenderse sin dificultad a estos nuevos conjuntos siempre que el dominio cumpla alguna condición de regularidad (en nuestro caso, supondremos que su contorno estará formado por curvas continuas), como veremos a continuación. Proposition (Teorema de Fuini en dominios más generales). Sean h,g : a, R dos funciones continuas, con hx gx, x a,, ysea el conjunto x,y R 2 ; a x, hx y gx. Si f : R es una función acotada y continua en S, entonces f es integrale en y se verifica fx,ydxdy a hx gx fx,ydy dx La afirmación del teorema anterior se representa en la siguiente figura.

7 En la práctica, para hallar los límites de integración, primero se examina la variación de x (a x ); fijado entonces un valor de x aritrario entre a y, la ordenada y de los puntos de I varía entre hx y gx. Example Calcular xydxdy, siendo la región del cuadrado 0,1 0,1 comprendida entre y xylacurvay x 2. Remark No siempre es oligatorio fijar x a, y hacer variar y, sino que el mismo teorema anterior tamién es válido para el caso en que sea de la forma x,y R 2 ; hy x gy, c y d con lo que se tendría fx,ydxdy c d gx fx,ydx dy hx Remark Haitualmente, fijaremos una variale y haremos variar la otra según convenga al prolema en cuestión. Por ejemplo, en el caso anterior es indiferente cual sea la variale que se fije. Example Calcular xydxdy, siendo el dominio definido por la intersección de los círculos x 2 y 2 1, x 1 2 y 2 1. Example Calcular x e x2 y dxdy extendida a la porción del plano delimitada por x 0, y x 2, y 1, y 2. Remark El teorema de Fuini en dominios más generales puede extenderse sin dificultad a dominios de la forma x,y,z; a x, 1 x y 2 x, 1 x,y z 2 x,y o cualquier otro tipo de posiilidades entre x, y, z. La única dificultad radica en que ahora las correspondientes gráficas son en 3 dimensiones. eamos un ejemplo que nos muestre el sentido geométrico de cada elemento: Example Consideremos la pirámide limitada por los planos x 0, y 0, z 0, x y z 1, y vamos a estudiar la variailidad de cada una de las 3 variales: Sea Px,y,z un punto interior a la pirámide. Su proyección sore el plano OXY es el punto Rx,y,0, mientras que la proyección de R sore el eje OX es Sx,0,0. Como la posición de este último punto nos indica la posile variación de la coordenada x de los puntos de nuestro recinto, tendremos que 0 x 1. Puesto que la proyección de cualquier punto del recinto varía en el

8 triángulo de vértices 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1, fijado un valor para x en 0,1, la coordenada y variará entre el punto Sx,0,0 y el punto Tx,1 x,0, por lo que 0 y 1 x, para cada x 0,1. Por último, la coordenada z de un punto cualquiera P cuyas coordenadas x e y estén fijas en el triángulo de vértices 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1, variará entre la componente z de R y la componente z de Q (donde Q representa un punto del plano x y z 1, es decir, 0 z 1 x y. En resumen x,y,z; 0 x 1, 0 y 1 x, 0 z 1 x y. e esta forma, si queremos calcular zdxdydz, siendo la pirámide anterior, sólo haremos de resolver Example Calcular zdxdydz 0 1 dx 0 1 x dy 0 1 x y xydz zdxdydz siendo el tronco del cilindro x 2 y 2 1 limitado por los planos z 0, z 1. Example Calcular x 2 yz 3 dxdydz siendo el sólido limitado por el plano y 0 y las superficies x 1 2 y Example Calcular dxdydz siendo el sólido limitado por el paraoloide z 2x 2 y 2 y el cilindro z 4 y 2 en el primer octante. Camio de variales en la integral múltiple. Casos particulares. amos a desarrollar la teoría del camio de variales para el caso n 2 (de forma análoga se haría para n 3 : ada fx,ydxdy extendida a un dominio delimitado por la curva Fx,y 0, vamos a efectuar un camio de variales y pasar de las variales x,y a unas nuevas variales u,v, mediante la transformación dada por x xu,v, y yu,v, que supondremos iyectiva, al menos para los puntos x,y de, y donde tamién consideraremos que el jacoiano de la transformación

9 J x u y u es no nulo y es continuo y está acotado en cada punto de. e esta forma nos aseguraremos, en virtud del teorema de la función inversa (estudiado en el tema 11), que u y v se expresan unívocamente en función de x e y. Supongamos además x u 0yes continua en. Proposition Bajo todas las anteriores hipótesis, se verifica fx,ydxdy x v y v fxu,v,yu,v J dudv Remark Para el caso de la integral triple, tendríamos fx,y,zdxdydz fxu,v,w,yu,v,w,zu,v,w J dudvdw Caso particular: Camio de variale en la integral dole. El camio de variale más haitual en la integral dole es el camio a coordenadas polares. Especialmente este camio se utiliza en el caso en que el dominio es algún sector circular o la función a integrar es simétrica respecto del origen. Como es saido, este camio viene dado por x cos, y sin e esta manera, y al ser el jacoiano de la transformación J x,y, se tiene:, fx,ydxdy fcos,sin dd Remark En la mayor parte de los casos se toma como primera variale de integración (es decir, depende de ), de forma que 2 2 fx,ydxdy d 1 fcos,sin d 1 Example Calcular 4 x 2 y 2 dxdy, siendo el recinto limitado por la circunferencia x 2 y 2 1. Example Idem siendo el recinto limitado por la circunferencia x 2 y 2 2x. Caso particular: Camios de variales en la integral triple. En este caso podemos destacar dos casos particulares: coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas. Coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas (o polares esféricas), son análogas a las polares en el plano: cada punto P del espacio se representa por,,, donde es la distancia al origen y y vienen dadas por

10 e esta forma, el camio viene dado por x sencos y sensen z cos por lo que el jacoiano de la transformación siempre valdrá J x,y,z,, 2 sen y sustituyendo en la fórmula del camio de variales fx,y,zdxdydz fsencos,sensen,cos 2 sen ddd Remark El uso de este tipo de coordenadas está especialmente indicado cuando en la frontera de intervienen superficies esféricas y/o cónicas de eje 0Z, deido a la sencillez de sus ecuaciones: x 2 y 2 z 2 r 2 r x 2 y 2 tan 2 z 2 Example Calcular x 2 y 2 z 2 dxdydz, siendo el sólido comprendido entre x 0, y 0, z 0, x 2 y 2 z 2 1. Coordenadas cilíndricas. Cada punto se representa por,,z, siendo el par, idéntico a las coordenadas polares en el plano, y z la 3 a componente en coordenadas cartesianas. Así, se trata de realizar el camio x cos y sen z z por lo que el jacoiano de la transformación valdrá J x,y,z,,z y sustituyendo en la fórmula del camio de variales fx,y,zdxdydz fcos,sen,z dddz Remark El empleo de coordenadas cilíndricas equivale a reducir la integral triple a una integral dole sore la proyección de en el plano 0XY y a la posterior

11 resolución de ésta en coordenadas polares. Remark Las coordenadas cilíndricas resultan especialmente adecuadas para dominios de integración limitados por superficies de revolución de eje 0Z, ya que en sus ecuaciones intervienen expresiones de la forma x 2 y 2. z Example Calcular dxdydz, siendo la región del espacio comprendida x 2 y 2 entre z 0yz 4 x 2 y 2. Example Calcular dxdydz, siendo la región del cilindro x 2 y 2 2y que es interioralaesferax 2 y 2 z 2 4. Aplicaciones de la integral múltiple. Integral dole. Cálculo de volúmenes. Si tenemos una superficie representada por una función z fx,y, acotada y positiva x,y R 2, saemos que el volumen limitado por dicha superficie, el cilindro de generatrices paralelas al eje 0Z y el plano 0XY, viene dado por Example arios ejemplos. fx,ydxdy Cálculo de áreas de recintos planos. Para una región plana comprendida entre dos curvas, se verifica Area dxdy Cálculo del área de una superficie. Sea fx,y una función continua en una región acotada del plano 0XY. Eláreadeuna superficie otenida por la intersección de z fx,y con el cilindro que tiene por ase viene dada por A 1 z x 2 z y 2 dxdy Cálculo de centros de gravedad y momentos de inercia de figuras planas. Integral triple. olumen de un cuerpo. Otra forma de hallar el volumen de un cuerpo es aplicar

12 olumen dxdydz Cálculo de centros de gravedad y momentos de inercia de cuerpos en R 3.