Tema 5: Campo Gravífico

Transcripción

1 Ta 5 Ta 5: Capo Gavífico 5..- Potncial y Capo d la Gavdad. Goid Podos v la Tia coo un sólido con otación unifo. D sta foa, todo punto atial d stá staá sotido a una fuza gavitatoia dbida a la asa tst y a una fuza cntífuga dbido a studia la dináica dsd un sista d fncia no incial qu ota unido a la Tia. Dnoinaos aclación d la gavdad o capo d la gavdad, g, a la sua vctoial dl capo gavitatoio, E, y dl capo cntífugo, a c. Paa facilita los cálculos y paa pod dtina la foa d la Tia, s lacionan stos capos vctoials con funcions potncials dando luga a las siguints xpsions: T g W ET VT ac Φ dond W s l potncial d la gavdad o potncial gavífico, V T s l potncial gavitatoio y Φ s l potncial cntífugo. Estos potncials cupln la lación: W V T Φ. El opado vctoial nabla,, nos pit calcula los gadints d cada potncial y d sta foa los capos asociados. Las coponnts d st opado n coodnadas catsianas y sféicas son:,, x y z, θ, sn tilizando las xpsions antios las coponnts sféicas dl capo gavífico sán: θ λ W W θ g g θ gλ W sn θ λ

2 Ta 5 Si quos una xpsión analítica paa stas coponnts ncsitaos una xpsión analítica paa W. Esta taa s uy coplicada dbido a qu la distibución d asa d la Tia s coplja. Po llo s dtina l potncial d la gavdad paa una Tia idalizada qu s apoxi a la al. Est potncial s dnoina potncial noal,, y la gavdad noal, γ, sía su gadint. En l póxio apatado s contaán las popidads d dicho potncial y gavdad. El Goid s la supfici quipotncial d fncia dl potncial d la gavdad, W. Si sob l océano sólo actuaa la gavdad, la supfici dl iso adoptaía la foa dl Goid. El vcto gavdad s ppndicula al Goid n todos sus puntos dbido a qu s l gadint dl potncial d la gavdad. Hay qu tn n cunta, qu dos puntos sob l Goid, tnindo igual potncial d la gavdad, pudn tn difnt valo d la gavdad Gavdad noal. Elipsoids El potncial noal s laciona con l gavífico a tavés d la siguint xpsión: W T, dond T s dnoina potncial anóalo. El potncial noal, po lo tanto, staía constituido po l potncial cntífugo y l potncial gavitatoio d la Tia idalizada sindo l potncial anóalo l potncial gavitatoio d las dsviacions d la distibución d asa al d la Tia fnt a la idalizada. La apoxiación d la Tia po un lipsoid d volución s la foa goética ás usada. La xpsión analítica dl potncial noal sía ntoncs: V Ti Φ, dond VTi s l potncial gavitatoio d un lipsoid d volución con asa M (asa total d la Tia). La xpsión d V Ti s: G V [( )( ) Ti cos θ ] z x, dond s la distancia dsd l punto al cnto dl lipsoid, θ s l ángulo d colatitud dl punto, z x son

3 Ta 5 los ontos d incia con spcto al j d otación y a un j cuatoial y G s la constant d gavitación univsal. La xpsión dl potncial cntífugo s: θ Φ sn, dond s la vlocidad angula d la Tia. La xpsión po lo tanto dl potncial noal paa un lipsoid qu ota sob sí iso sá: ( )( ) [ ] θ θ x z sn cos G S dfin l facto d foa dináica d la Tia coo: x z M dond s l adio cuatoial y M s la asa d la Tia. S xpsa l facto coo: qu psnta l cocint nt la aclación cntífuga y l capo gavitatoio n l Ecuado. tilizando stos factos, la xpsión dl potncial noal sía: ( ) θ θ sn cos Sabindo qu l ángulo d colatitud, θ, s coplntaio al d latitud, φ, o sa: θ 90º - φ, tnos: ( ) φ φ cos sn

4 Ta 5 4 Podos analiza la xpsión dl potncial noal considando otos casos: a) La Tia idalizada s una sfa qu no ota sob sí isa: En st caso al s una sfa los ontos d incia son iguals: z x y s igual a co. Dbido a qu no ota su vlocidad angula s co: 0 y 0. La xpsión qudaía b) La Tia idalizada s una sfa qu ota sob sí isa: En st caso al s una sfa los ontos d incia son iguals: z x y s igual a co. Dbido a qu ota su vlocidad angula no s co: 0 y, po lo tanto, 0. La xpsión qudaía cos φ c) La Tia idalizada s un lipsoid qu no ota sob sí iso: En st caso al s un lipsoid los ontos d incia no son iguals: z x y s distinto d co. Dbido a qu no ota su vlocidad angula s co: 0 y, po lo tanto, 0. La xpsión qudaía d la siguint foa: ( sn φ ) El Elipsoid s una supfici quipotncial d fncia dl potncial noal. Vaos a consida l caso d un lipsoid hoogéno qu ota sob sí iso paa la Tia idalizada. Paa calcula la xpsión atática dl Elipsoid, tnos qu busca una supfici qu cupla qu n todos sus puntos l potncial noal s 0. Toaos coo valo d fncia l siguint:

5 Ta La xpsión dl Elipsoid qudaía hacindo algunas apoxiacions: sn φ Esta xpsión psnta un lipsoid d volución con un sij cuatoial,, y un sij pola, p, lacionados a tavés dl aplanainto, α. α p [ α sn φ] Copaando las dos xpsions paa obtnos qu l aplanainto stá lacionado con l facto d foa dináica d la Tia y con l facto : α na supfici sféica, po jplo, tin un valo d aplanainto igual a co. La gavdad noal, γ, sá l gadint d. Coo tnos una xpsión analítica d s posibl calcula una xpsión analítica paa la gavdad noal. No obstant, lo qu intsa s sab l valo d la gavdad noal n la supfici quipotncial Elipsoid. Ralizando los cálculos ptinnts s obtin la siguint xpsión paa l ódulo d la gavdad noal: γ ( sn φ sn φ ) s - dl punto., dond φ s la latitud

6 Ta 5 6 Hay difnts tipos d lipsoids, cada uno d llos dfinido po un valo d valo d aplanainto, α, sij cuatoial, y facto. La xpsión antio s fi al lipsoid GRS80 (Sista Godésico WGS84) con α , 6786 y La supfici d st lipsoid s obtndía a tavés d la siguint fóula: ( α sn φ), dond φ s la latitud dl punto, coo vios n las xpsions antios. 5. Dtinación dl Goid. Fóula d Stoks. Si hacos coincidi l valo dl Elipsoid con l dl Goid: W o o, la distancia nt stas dos supficis, N, s calculaía a tavés d la fóula d Buns: N T p /γ q En sta xpsión N sía la ondulación dl Goid, T p l potncial anóalo n l Goid y γ q l ódulo d la gavdad noal n l Elipsoid. El signo d la ondulación dl Goid dpnd d los siguints casos: Si s positiva, N > 0, iplica qu l Goid stá po ncia dl Elipsoid; Si s ngativa, N< 0, iplica qu l Goid stá po dbajo dl Elipsoid; Si s igual a co, N 0, iplica qu l Goid y l Elipsoid coincidn n l spacio paa s punto. En la Figua s psnta un punto P con ondulación positiva. P N o Elipsoid W o Goid Figua

7 Ta 5 7 Soks: Paa dtina l potncial anóalo n l Goid s utiliza la fóula d T(, θ, λ ) R 4π Ω g S( Ψ ) dω dond g s la anoalía d la gavdad paa un punto dl Goid, calculándos su valo coo: g g p - γ q, sindo g p la gavdad n un punto dl Goid y γ q la gavdad noal n l punto dl Elipsoid cospondint. R s l adio d la Tia supusta sféica paa st cálculo, dω s l difncial d ángulo sólido y S(Ψ) s la función d Stoks n función dl ángulo Ψ qu s la distancia angula nt l punto dond s qui calcula l potncial anóalo y cada punto dfinido con l dω n l cálculo d la intgal. Midindo la anoalía d la gavdad n una cuadícula d 0 x 0 gados paa calcula l potncial anóalo y la cospondint ondulación dl Goid, s obtin l siguint gáfico paa la ondulación dl Goid con l Elipsoid WGS-84: