LECCIÓN 6. INTEGRALES DE LÍNEA

Transcripción

1 LEIÓN 6. INTEGRALES DE LÍNEA Mtemátics III GI y GITI, curso INTEGRALES DE LÍNEA Muchos conceptos físicos, como el de trbjo desrrolldo por un fuerz, se expresn en términos del comportmiento de un cmpo vectoril lo lrgo de un curv, pr lo que es necesrio extender el concepto de integrl. En el curso nterior y en Mtemátics II hs estudido l integrl de un función continu f en un intervlo [, b] R y lguns de sus plicciones. En est lección estudimos ls integrles de líne, que y hs usdo en ls signturs de Físic, sustituyendo el intervlo por un curv en R 3 pr trbjr en R 2 bst con suprimir l tercer coordend y l función f por un cmpo vectoril continuo sobre es curv. En l myorí de ls plicciones de los conceptos y teorems que veremos en est lección ls vribles x, y y z representn coordends espciles, por eso trbjremos con grdientes en vez de diferenciles. Integrles de líne de cmpos vectoriles. Se un curv regulr trozos prmetrizd por r: [, b] R 3 y se F: R 3 un cmpo vectoril continuo. L integrl de líne de F sobre se define como b F d r = F rt r t dt. undo l curv es cerrd, se us un notción especil que destc este hecho: cso l integrl tmbién se denomin circulción de F lo lrgo de. F d r en cuyo Si el cmpo vectoril viene ddo por sus componentes Fx, y = P x, y, z, Qx, y, z, Rx, y, z, entonces l integrl nterior podemos escribirl como F d r = b [ P xt, yt, zt x t + Q xt, yt, zt y t + R xt, yt, zt z t ] dt por lo que otr notción muy hbitul pr ests integrles de líne es F d r = P dx + Q dy + R dz. Pr el cso bidimensionl se escribe F d r = P dx + Q dy, siendo P x, y y Qx, y ls componentes del cmpo F. Propieddes de ls integrles de líne de cmpos vectoriles. Se un curv regulr trozos prmetrizd por r: [, b] R 3 y sen F, G: R 3 cmpos vectoriles continuos. 1 Linelidd: si λ y µ son números reles entonces λ F + µ G d r = λ F d r + µ G d r 2 Aditividd: si puede escribirse como l unión de dos curvs = 1 2 entonces F d r = F d r + F d r

2 6. Integrles de líne 85 3 El vlor bsoluto de F d r, l integrl de líne de un cmpo vectoril, no depende de l prmetrizción elegid, pero su signo sí. oncretmente, si r 1 es un prmetrizción de con l mism orientción que r entonces F d r = F d r 1, mientrs que si r 2 es un prmetrizción de con orientción opuest r entonces se tiene que F d r = F d r 2. Observción. Se rt, con t [, b], un prmetrizción regulr de l curv. usndo que r t = 0, podemos escribir b F d r = F rt b r t dt = F rt r t r t r t dt. / El vector r t F r / r Entonces, r t que prece en est integrl es el vector tngente unitrio T, con lo cul = F T es l componente tngencil del cmpo F lo lrgo de l curv. Entonces F d r = b F T r t dt. El cmpo F en rojo y su componente tngencil en verde. Por su nlogí con l integrl b r t dt que nos d l longitud de, l integrl nterior se suele escribir como F T ds, o bien F T d r, donde ds y d r se leen diferencil de l longitud de rco. EJERIIOS DE LA SEIÓN 1 Ejercicio 1. Se el rco de l curv de ecución y = x 3 recorrido desde el punto 0, 0 hst el punto 1, 1. lcul l integrl de líne del cmpo vectoril Fx, y = y 3, x 3 + 3xy 2 sobre. Ejercicio 2. lcul 2xy x2, x + y 2 d r sobre ls siguientes curvs cerrds. 1 El rectángulo de vértices 0, 0, 1, 0, 1, 2 y 0, 2. 2 L curv cerrd formd por los rcos de ls prábols y = x 2 e y 2 = x. 3 El triángulo de vértices 0, 0, 1, 0 y 0, 2. Ejercicio 3. lcul ls siguientes integrles sobre ls curvs en R 2 que se indicn. 1 x3 dy y 3 dx, donde es l circunferenci de centro el origen y rdio orientd en sentido positivo. 2 2xy dx + y2 x 2 dy, donde es l crdioide de ecución r = 1 + cosθ orientd en sentido ntihorrio. 3 x2 2xy, y 2 2xy d r, donde es el rco de l prábol y = x 2 comprendido entre 1, 1 y 1, 1. Ejercicio 4. Ddos los puntos O = 0, 0, 0, A = 1, 0, 0, B = 1, 1, 0 y P = 1, 1, 1, clcul l integrl de líne y dx x y dy + x dz lo lrgo de ls curvs que tienen O como punto inicil y P como punto finl dds continución: L digonl OP, ls rists del cubo OABP y l quebrd OBP.

3 86 Mtemátics III GI y GITI, Ejercicio 5. lcul ls siguientes integrles sobre ls curvs en R 3 que se indicn. 1 yz dx + xz dy + xy dz, con rt = 1 + t, 1 + t, 1 + 2t pr t [0, 1]. 2 y dx+z dy +x dz, donde es l curv intersección de ls superficies z = xy y x2 +y 2 = 1 con orientción positiv si se mir l curv desde rrib. 3 y z dx + z x dy + x y dz, siendo el triángulo de vértices, 0, 0, 0, b, 0 y 0, 0, c recorrido en este sentido. 4 x, zy, y x2 d r, donde es l hélice rt = cost, sent, bt con t [0, 4π]. 5 z ds, siendo l hélice cónic rt = t cost, t sent, t, pr t [0, 6π]. 2. AMPOS ONSERVATIVOS Si F es un cmpo vectoril definido en un región U R 3, hy ocsiones en ls que l integrl de F lo lrgo de un curv no depende de l curv en sí, sino únicmente del extremo inicil y del extremo finl de l curv. Estos cmpos tienen un grn importnci en ls plicciones físics y reciben el nombre de cmpos conservtivos; ejemplos de cmpos conservtivos son l grvedd newtonin o l fuerz eléctric cundo no depende del tiempo. onjunto conexo. Se dice que un conjunto U R 3 es conexo si todo pr de puntos de U se puede unir medinte un curv regulr trozos contenid en U; en otrs plbrs, si ddos dos puntos culesquier A y B podemos encontrr un cmino pr ir desde A hst B sin slir de U. U es conexo. V no es conexo. Independenci del cmino. Sen A y B dos puntos de un conjunto conexo U R 3. Se dice que l integrl de líne entre A y B de un cmpo vectoril continuo F: U R 3 es independiente del cmino seguido en U pr ir desde A hst B si dds dos curvs culesquier regulres trozos 1 y 2 contenids en U y tles que mbs empiezn en A y terminn en B, entonces se tiene que 1 F d r = 2 F d r. En este cso, dich integrl de líne se suele denotr por B A F d r, notción que hce énfsis solo en los extremos inicil y finl, no en el cmino que se recorre. mpo conservtivo. Diremos que un cmpo vectoril continuo F: U R 3 es un cmpo conservtivo en un conjunto conexo U si pr cd pr de puntos A, B U l integrl de líne de F entre A y B es independiente del cmino. Es fácil ver que un cmpo vectoril F: U R 3 es conservtivo si, y solo si, l integrl de F sobre culquier curv cerrd, regulr trozos y contenid en U es cero. Regl de Brrow pr integrles de líne. Se U R 3 un conjunto conexo y se f : U R un cmpo esclr de clse 1 U. Se un curv regulr trozos prmetrizd por r: [, b] U con extremo inicil A = r y extremo finl B = rb. Entonces f d r = fb fa. En otrs plbrs, los grdientes de cmpos esclres son cmpos vectoriles conservtivos: l integrl de líne de un grdiente continuo en un conjunto conexo solo depende de los puntos inicil y finl de l curv sobre l que se integr.

4 6. Integrles de líne 87 Función potencil. Si un cmpo vectoril F es el grdiente de un cmpo esclr f en un conjunto conexo U R 3, es decir F = f en U, entonces se dice que F deriv de un potencil y l función f se llm función potencil de F. Es fácil ver que dos funciones potenciles culesquier de un mismo cmpo vectoril se diferencin en un constnte. El teorem nterior nos dice que si un cmpo vectoril F deriv de un función potencil de clse 1 en U, entonces F es conservtivo en U. Los resultdos que siguen servirán pr dilucidr l cuestión recíproc de si todo cmpo conservtivo dmite un función potencil y pr trtr de dr un condición mnejble que nos permit determinr cuándo un cmpo vectoril es un grdiente. Teorem fundmentl del cálculo pr integrles de líne. Se U R 3 un conjunto conexo y se F: U R 3 un cmpo vectoril conservtivo en U. Fijmos un punto A 0 U y definimos el cmpo esclr f : A U fa = A F d r donde A es culquier curv regulr trozos y contenid en U que un A 0 con A. Entonces f es un función potencil de F. ondiciones equivlentes l de ser un cmpo conservtivo. Sen U R 3 un conjunto conexo y F: U R 3 un cmpo vectoril continuo. Entonces ls siguientes condiciones son equivlentes: 1 F deriv de un función potencil f : U R. 2 F es conservtivo en U. 3 Si es culquier curv regulr trozos y cerrd contenid en U, entonces F d r = 0. Observciones. Si F d r 0 pr un determind curv regulr trozos y cerrd U, en virtud del resultdo nterior podemos deducir que F no es un grdiente. Ls condiciones nteriores no son demsido mnejbles pr determinr si un cmpo deriv de un potencil. El objetivo del resto de l sección será el estudir un condición necesri sobre ls derivds prciles de ls funciones componentes que es muy útil en l práctic. Los cmpos conservtivos son irrotcionles. Se U un conjunto conexo en R 3 y supongmos que F = P, Q, R: U R 3 es un cmpo vectoril de clse 1 U. Si F deriv de un potencil, entonces rot F = 0; es decir, ls derivds prciles de sus funciones componentes P, Q, y R verificn y = Q x, z = R x y Q z = R y. En el cso bidimensionl F = P, Q, l conclusión es que y = Q x. Observciones sobre un ejemplo importnte. Est condición de ser irrotcionl es necesri pero no es suficiente pr segurr que el cmpo en cuestión es conservtivo. Es decir, un cmpo puede ser irrotcionl y no ser conservtivo; el ejemplo más típico es el cmpo Fx, y = y x 2 + y 2, x x 2 + y 2 x, y 0, 0. Este cmpo cumple P y x, y = Q x x, y pr x, y 0, 0, luego rot F = 0, pero no es conservtivo en su dominio de definición porque F d r = 2π siendo l circunferenci unidd. En Físic, se dice menudo que f es l función potencil de F. Aunque ést es un cuestión mermente terminológic, obedece que poniendo el signo ls prtículs sometids un cmpo conservtivo se mueven en l dirección de menor potencil.

5 88 Mtemátics III GI y GITI, El hecho de que un cmpo se conservtivo no depende exclusivmente de ls funciones componentes, sino que tmbién depende del conjunto donde estemos considerndo el cmpo. En este ejemplo, el problem es que rode el origen, punto en el que F no está definido. Sin embrgo, si nos restringimos un dominio que no conteng el origen, entonces no hy problem. Por ejemplo, el cmpo nterior sí es conservtivo en U = [1, 2] [1, 2] donde dmite l función potencil fx, y = rc tgy/x. onjunto convexo. Un conjunto U es convexo cundo el segmento rectilíneo que une dos puntos culesquier de U siempre está contenido en U. Los conjuntos convexos son un clse especil de conjuntos conexos. U es convexo. V no es convexo. Vmos ver que si el conjunto de referenci es convexo, entonces l condición de ser irrotcionl es tmbién suficiente pr que un cmpo se conservtivo. Veremos en l Leccción 8 que esto vle tmbién en otro tipo de conjuntos conexos más generles que los convexos. Los cmpos irrotcionles son conservtivos en conjuntos convexos. Se U R 3 un conjunto convexo y se F = P, Q, R: U R 3 un cmpo vectoril de clse 1 U cuyo rotcionl es cero, o se, y = Q x, z = R x y Q z = R y. Entonces F deriv de un potencil en U. En otrs plbrs, en un conjunto convexo un cmpo es conservtivo si, y solo si, es irrotcionl. onstrucción de un potencil. Si plicndo este teorem deducimos que un cierto cmpo F = P, Q, R deriv de un potencil y queremos hllr un función potencil f, entonces podemos construir l función potencil que nos d el teorem fundmentl del cálculo pr integrles de líne integrndo lo lrgo de un segmento, por ejemplo o bien resolver el sistem de tres ecuciones diferenciles x = P, y = Q y z = R. Vemos un ejemplo. onsideremos el cmpo vectoril Fx, y, z = y senz, x senz, xy cosz, que es de clse R 3. Pr determinr si es conservtivo en R 3, que es un conjunto convexo, bstrá con verificr que es irrotcionl: rot F i j k = / x / y / z y senz x senz xy cosz = x cosz x cosz, y cosz y cosz, senz senz = 0, 0, 0. En consecuenci, F es un cmpo conservtivo en R 3.

6 6. Integrles de líne 89 Pr hllr un función potencil fx, y, z, o se, un función tl que Df = F en R 3, usmos el teorem fundmentl del cálculo pr integrles de líne: fijndo un punto P R 3, podemos obtener un función potencil de F medinte fx, y, z = F d r siendo culquier curv regulr trozos que empiece en el punto P y termine en el punto x, y, z. Por ejemplo, tommos como P el origen de coordends y como el segmento rectilíneo que une 0, 0, 0 con x, y, z, prmetrizdo por rt = tx, ty, tz con t [0, 1], y se tiene 1 fx, y, z = F d r = F rt r t dt = = ty sentz, tx sentz, txty costz x, y, z dt 2txy sentz + t 2 xyz costz dt = t 2 xy sentz t=1 t=0 = xy senz donde, pr dr el penúltimo pso, bst con integrr el primer sumndo por prtes. Otr mner de obtener un función potencil es resolver ls correspondientes ecuciones diferenciles x = y senz, y = x senz, = xy cosz. z Integrndo prcilmente l primer con respecto x nos qued fx, y, z = xy senz + cy, z, donde cy, z es l constnte de l integrción prcil con respecto x, constnte que podrí depender de y, z. Ahor, derivndo prcilmente con respecto y en est expresión de f y usndo l segund de ls ecuciones nteriores, obtenemos x senz + c y = y = x senz, de donde obtenemos que c = 0 y, por tnto, que c no depende de y sino que solo depende de z, y de mner que fx, y, z = xy senz + cz. Finlmente, derivndo con respecto z y usndo l tercer ecución, obtenemos xy cosz + c z = = xy cosz, z con lo que c z = 0 y, por tnto, c es un constnte. En definitiv, un función potencil de F es fx, y, z = xy senz + c, donde c es un constnte rbitrri. EJERIIOS DE LA SEIÓN 2 Ejercicio 1. En cd uno de los siguientes csos, determin si F es o no es el grdiente de un cmpo esclr en su dominio de definición. En cso firmtivo, clcul un función potencil. 1 Fx, y = 2xy, x Fx, y = x, y. 3 Fx, y = 3x 2 y, x 3. 4 Fx, y = seny y senx + x, cosx + x cosy + y. 5 Fx, y = x + y 2, 2xy. 6 Fx, y = x 2 + y 2, 0. 7 Fx, y, z = x + z, y z, x y.

7 90 Mtemátics III GI y GITI, Ejercicio 2. Se F: R 2 R 2 el cmpo vectoril ddo por Fx, y = x senxy + xy cosxy + by, x 2 cosxy + e t2 dt. 0 Determin los vlores de y b sbiendo que F es un cmpo conservtivo en R 2 y clcul un función potencil de F. Hll l integrl de líne F d r donde es el segmento rectilíneo que v desde A = π/2, 0 hst B = π/2, 1. Ejercicio 3. Prueb que el cmpo Fx, y = 3x 2 y + 3, x 3 + 2y + 2 es conservtivo y hll un función potencil f tl que f1, 1 = 1. Ejercicio 4. Hll los vlores de pr los que se tiene que Fx, y = x 2 y + 3, x 3 + 4y + 2 es un cmpo vectoril conservtivo en R 2 y hll un potencil f tl que f1, 1 = 3. Ejercicio 5. 1 Ddo el cmpo vectoril Fx, y = 2y 6x, 3x 4x 2 /y, definido en el semiplno R = {x, y R 2 : y > 0}, prueb que no es el grdiente de ningún cmpo esclr. 2 Encuentr un función de l form µx, y = xy de mner que µ F sí se el grdiente de un cmpo esclr y determin ls correspondientes funciones potenciles. Ejercicio 6. 1 Se F el cmpo Fx, y = y/x 2, 1/x pr x 0. Es conservtivo?, describe dominios donde lo se y hll sus funciones potenciles. 2 Siendo el rco de l prábol que v desde A = 2, 1 hst B = 2, 1 clcul F d r. Ejercicio 7. Us l regl de Brrow pr integrles de líne pr hllr l integrl de líne del grdiente del cmpo esclr fx, y = xy 2 lo lrgo del rco de l prábol que comienz en el punto 1, 1, ps por el punto 2, 3 y termin en el punto 4, 8. Ejercicio 8. Ddo el cmpo vectoril F = 2xyz, x 2 z, x 2 y, prueb que F es conservtivo en R 3 y hll un función potencil. Ejercicio 9. Sen r = x, y, z y r = r = x 2 + y 2 + z 2. Determin si los siguientes cmpos vectoriles son conservtivos en U = R 3 \ {0, 0, 0} y, en cso firmtivo, hll un función potencil. 1 F n r = r n r, donde n es un número entero. 2 F g r = gr r r siendo g un función de clse 2 R. 3. EUAIONES DIFERENIALES EXATAS Y FATORES INTEGRANTES En Mtemátics II se vieron lgunos tipos de ecuciones diferenciles de primer orden que se pueden resolver explícitmente: ls ecuciones en vribles seprds y ls ecuciones lineles. Vmos estudir, usndo l noción de potencil, otr clse de ecuciones que tmbién pueden resolverse explícitmente. Se fx, y un cmpo esclr de clse 1 U y se Dfx, y = P x, y, Qx, y su diferencil. Fijemos un curv de nivel de f, digmos fx, y = c, y supongmos que en est curv l vrible y es un función derivble y = yx de x. Entonces, l derivr fx, yx = c, obtenemos que y es un solución de l ecución diferencil P x, y + Qx, yy = 0.

8 6. Integrles de líne 91 Ecución diferencil exct. Sen P x, y y Qx, y dos cmpos esclres continuos en un conjunto conexo U R 2. Diremos que un ecución diferencil de l form P x, y + Qx, yy = 0 o bien P x, y dx + Qx, y dy = 0 es un ecución exct si el cmpo Fx, y = P x, y, Qx, y deriv de un potencil fx, y de clse 1 U. En ese cso, l solución generl de dich ecución es fx, y = c. En prticulr, pr que l ecución se exct bst con que U se un conjunto convexo en el que se verifique y = Q x. Ejemplo. L ecución y 2 e xy xyy e xy = 0 es exct porque y = y2 e xy y = Q x = 1 + xyexy x = 2y + y 2 xe xy, con lo que F = y 2 e xy, 1 + xye xy es el grdiente de un función potencil fx, y en todo el plno. Pr hllr fx, y, tenemos que resolver el sistem x = y2 e xy, y = 1 + xyexy. Integrndo con respecto x l primer ecución obtenemos fx, y = ye xy + hy donde h es un función que solo depende de y l constnte de l integrción con respecto x. Usndo l segund ecución nterior y derivndo hor con respecto y, se cumple que 1 + xye xy + h y = y = 1 + xyexy con lo cul h y = 0 y, por tnto, h es un función constnte. En resumen, l función potencil es fx, y = ye xy +c, siendo c un constnte culquier, y l solución generl de l ecución diferencil es ye xy + c = 0. Observemos lo siguiente: omo e xy 0, result que l ecución y 2 e xy xyy e xy = 0 es l mism que y xyy = 0. Sin embrgo, escrit de est últim mner, l ecución no es exct; l simplificr el fctor e xy perdemos es culidd. Por est rzón, el término e xy se llm fctor integrnte de l ecución y xyy = 0. Fctor integrnte. Sen P x, y y Qx, y dos cmpos esclres continuos en un conjunto conexo U R 2. Diremos que un función µx, y continu en U es un fctor integrnte de l ecución diferencil P x, y + Qx, yy = 0 cundo, l multiplicr por µx, y, l ecución resultnte µx, yp x, y + µx, yqx, yy = 0 es un ecución diferencil exct. En consecuenci, si se puede encontrr un fctor integrnte, entonces se puede resolver l ecución hllndo un potencil del cmpo µp, µq. álculo de un fctor integrnte. Sen P x, y y Qx, y dos cmpos esclres continuos en un conjunto conexo U R 2. Si µx, y es un fctor integrnte de P x, y + Qx, yy = 0, entonces µ y P µ Q x Q = x µ. y Por tnto, pr buscr un fctor integrnte debemos resolver est ecución, lo que no siempre es posible, ni fácil, slvo en lgunos csos especiles.

9 92 Mtemátics III GI y GITI, EJERIIOS DE LA SEIÓN 3 Ejercicio 1. Resuelve ls siguientes ecuciones diferenciles excts. 1 2x 3 + 3y + 3x + y 1 y = x y + 6y 2x + 1 y = x 3 y 12x 2 y 2 + 5x 2 + 3x y + 6x 2 y 2 8xy xy + 3y = 0. 4 e x + 3y 2 + 6xyy = 0. Ejercicio 2. Resuelve l ecución diferencil y + x y xy = 0 sbiendo que tiene un fctor integrnte que solo depende de x. Ejercicio 3. Resuelve l ecución diferencil y + 2x + 3yy = 0 sbiendo que tiene un fctor integrnte que solo depende de un vrible. Ejercicio 4. Resuelve l ecución diferencil y 3 + xy 2 + y + x 3 + x 2 y + xy = 0 sbiendo que tiene un fctor integrnte que solo depende de xy. Ejercicio 5. Resuelve l ecución diferencil 4xy + 3y 4 + 2x 2 + 5xy 3 y = 0 sbiendo que tiene un fctor integrnte de l form µx, y = x m y n. Ejercicio 6. Prueb que µx = e px dx es un fctor integrnte de l ecución diferencil linel y + pxy = qx y us este hecho pr resolver dich ecución hllndo un potencil. Alguns nots histórics. Aunque existen portciones nteriores, el primer mtemático que prece hber estudido de mner sistemátic ls integrles de líne del tipo P dx + Q dy + R dz fue Alexis lirut. En un serie de trbjos publicdos prtir de 1740 dio l primer formulción de ls condiciones pr que un cmpo P, Q derivse de un potencil en l nomencltur de l époc, que l form diferencil P dx + Qdy fuer exct. Sin embrgo, su prueb de que los cmpos irrotcionles son conservtivos no er correct, lo que fue puesto de mnifiesto por Jen D Alembert en 1768 con el mismo ejemplo que hemos visto quí. Asimismo, lirut fue, prtir de trbjos previos de Leonhrd Euler, el primero en estudir ls ecuciones diferenciles excts y l existenci de fctores integrntes. Trs los trbjos de lirut, el desrrollo de ls integrles de líne tl como lo hemos visto fue estblecido por Joseph Louis Lgrnge, Pierre S. Lplce, rl F. Guss, Augustin L. uchy y Bernhrd Riemnn, finles del siglo xviii y comienzos del xix. Fue Bernrd Bolzno el primero en conjeturr de mner precis que tod curv de Jordn regulr trozos descompone el plno en dos conjuntos conexos y disjuntos que tienen l curv como fronter común y en firmr que no es un resultdo evidente, sino que requiere un demostrción. L primer demostrción se debe l propio mille Jordn en 1887, pero dich demostrción h estdo sujet controversis sobre su completitud, unque l ide centrl se consider correct. Hoy en dí se cept que l primer prueb complet fue dd por Oswld Veblen en BIBLIOGRAFÍA G.L. Brdley y K.J. Smith, álculo, vol. 2, pítulo 14. R.E. Lrson, R.P. Hostetler y B.H. Edwrds, álculo, vol. 2, pítulo 14. G.B. Thoms, Jr., álculo, vris vribles, Secciones Págins web de interés: