PRÁCTICA # 2 FORMAS DE ONDA 1. Finalidad Esudiar la respuesa de configuraciones circuiales simples a diferenes formas de exciación. Medición del iempo de alza y de esabilización. Medición del reardo. Medición del coeficiene de amoriguamieno y de la frecuencia de oscilación naural. Familiarizarse con el uso del osciloscopio de dos canales y de la puna de prueba compensada. 2. Méodo Se conecan disinas configuraciones circuiales RC y RLC. Se observan las formas de onda de la exciación y de la respuesa y se reproducen gráficamene. Se oman mediciones con el osciloscopio y se comparan con los valores eóricos. 3. Pare Teórica 3.1. Respuesa del circuio RC pasabajos. Como primer puno se analizará el comporamieno del circuio de la figura 1 cuando se excia con una ensión v i. A ese ipo de circuio se le llama ambién filro pasa bajo, ya que deja pasar fácilmene las señales de baja frecuencia, pero aenúa las de ala frecuencia. Eso se debe a que la impedancia del condensador, y en consecuencia la ensión de salida v o, disminuye con la frecuencia. R v i C v o Figura 1: Circuio RC pasa bajos 1
3.1.1. Respuesa a un escalón de ensión Si la ensión de enrada v i, es un escalón de ensión como el de la figura 2, la ensión de salida v o, en el caso en que el condensador esé inicialmene descargado, será (ecuación 1): v o = [ 1 e ( RC ) ] [ = 1 e ( τ ) ] (1) Siendo τ = RC, la llamada consane de iempo de ese circuio. La forma de onda correspondiene se muesra en la figura 3. v i Figura 2: Escalón de ensión v o.9.5.1 a r s Figura 3: Respuesa al escalón de ensión Al inervalo a se le llama iempo de alza y se define como el iempo necesario para que la ensión v o pase del 1 % al 9 % de su valor final. Al inervalo s se le llama iempo de esabilización y se define como el iempo necesario para que la ensión v o alcance el 99 % de su valor final. El inervalo r es el reardo de la señal y se define como el iempo necesario para que la ensión v o alcance el 5 % de su valor final. 3.1.2. Respuesa a un pulso de ensión. Si la señal de enrada es un pulso de ensión de duración p, como el de la figura 4, la ensión de salida será como la mosrada en la figura 5. Las ecuaciones (2) describen la respuesa. 2
v i p Figura 4: Pulso de ensión v o p p Figura 5: Respuesa al pulso de ensión Siendo: [ v o = 1 e ( RC ) ] Para < < p ) v o = p e ( ( p) RC p = Para p < < (2) [ 1 e ( p RC ) ] (3) Obsérvese que cuano mayor es la consane de iempo RC, mayor es la disorsión del pulso de salida (es decir que la señal de la salida se asemeja menos a la señal de enrada). 3.1.3. Respuesa a un ren de pulsos de ensión. Considérese ahora una señal de enrada v i () periódica cuya ampliud es igual a 2 durane un inervalo de iempo 2, al como se muesra en la figura 6. Por lo que se dijo aneriormene, se deduce que se obendrá una reproducción relaivamene fiel de la forma de la señal de enrada si el iempo de alza ( a ) es pequeño en comparación con la duración del pulso. La respuesa permanene para ese caso, se muesra en la figura 7. Si eso no sucede la señal de salida podría ener la forma más disorsionada de la figura 8. Al inervalo de iempo d se le llama duración del pulso y se define como el inervalo de iempo enre dos punos de media ampliud ( ) 1 + 2 2. 3
v i 1 1 2 2 1 1 + 2 Figura 6: Tren de pulsos v o max max+ min 2 min d Figura 7: Respuesa al ren de pulsos v o v o1 v o2 Figura 8: Respuesa al ren de pulsos La canidad d, es úil cuando no se conoce la duración verdadera del pulso de enrada ( 1 ). A la relación 1 1 + 2 se le llama ciclo de rabajo o ambién ciclo úil (Duy cycle). Los valores max y min de la ensión de salida se pueden deerminar, para el esado esacionario, en base al siguiene razonamieno: La pare creciene de la señal de salida iene una consane de iempo RC y es de la forma que se muesra en la ecuación (4). v o1 = A + B e ( RC ) Para < < 1 (4) 4
Las consanes A y B se pueden obener si se oma en cuena que para = s, v o1 = min y que para =, v o1 = A, de manera que resula (ecuación 5): v o1 = 1 + ( min 1 ) e ( RC ) Para < < 1 (5) Analogamene, la pare decreciene de la señal de salida endrá la siguiene expresión: v o2 = 2 + ( max 2 ) e ( ( 1) RC ) Para 1 < < 1 + 2 (6) Como o1 = max para = 1 y además v o2 = min para = 1 + 2, de las dos ecuaciones resulanes pueden hallarse los valores de min y max. En el caso paricular de que la señal de enrada sea una onda cuadrada de período T, enonces 1 = 2 = T/2 y por las condiciones aneriores se cumplirá que: max = 1 + ( min 1 ) e ( T 2RC ) (7) min = 2 + ( max 2 ) e ( T 2RC ) (8) La ampliud de la señal de salida será enonces: max min = 1 e( T 2RC ) 1 + e ( T 2RC ) ( 1 2 ) = ( 1 2 ) anh ( T ) 4RC Obsérvese que si T > 4RC los pulsos no inerfieren el uno con el oro y ( max min ) ( 1 2 ). 3.2. Relación enre el iempo de alza y el ancho de banda. Exise una relación simple y a la vez muy imporane enre el iempo de alza en un circuio pasa bajos y su ancho de banda en régimen sinusoidal permanene. En efeco, para el circuio de la figura 1 y en base a la ecuación (1), el iempo de alza se calcula fácilmene y resula ser: (9) a = 2, 2 RC (1) Por oro lado, si se excia el mismo circuio con una ensión de enrada sinusoidal v i () = i sin(ω), la relación enre la ransformada o (jω) de la ensión de salida y la ransformada i (jω) de 1a ensión de enrada resula ser: o (jω) i (jω) = 1 1 + jωrc 1 El módu1o de esa relación es A = y varía con la frecuencia según se 1+(ωRC) 2 muesra en la figura 9. La frecuencia f c llamada frecuencia de core, corresponde al valor de ω para el cual A se reduce a 1 2 veces su valor máximo, y define el ancho de banda B del circuio. Es fácil comprobar a parir de la ecuación (11), que f c viene dada por la ecuación (12). (11) 5
A(f) 1 1 2 B f f = ω c 2π Figura 9: Respuesa en frecuencia del circuio RC pasa bajos f c = 1 2πRC De manera que el produco del iempo de alza por el ancho de banda es: (12) a f c = 2,2,35 (13) 2π Aún cuando la relación (13) ha sido derivada para el circuio pasa bajos simple RC, en la prácica esa relación resula válida para circuios mucho mas complicados, siempre cuando la ensión de sobrenivel sea pequeña (eso es, menos del 5 % del valor Final). De esa forma es posible esimar el ancho de banda necesario para un dado iempo de alza y viceversa. Por ejemplo, un osciloscopio con un ancho de banda de 15 MHz, iene un iempo de alza de unos 23 ns, y por esa razón no se puede usar para medir correcamene el iempo de alza o el reardo en pulsos rápidos ales como los que se encuenran en cieros circuios digiales. 3.3. Respuesa del circuio RC pasa alo. El ipo de circuio mosrado en la figura 1 posee la propiedad de dejar pasar fácilmene las señales de ala frecuencia y aenuar las de baja frecuencia. En paricular el condensador elimina la componene de corriene conínua presene en la señal de enrada y de esa forma el valor promedio de la señal de salida, después de un iempo suficienemene grande, será nulo. i C R o Figura 1: Circuio RC pasa alos 6
3.3.1. Respuesa a un escalón de ensión. Si la señal de enrada v i, es un escalón de ensión como el de la figura 11, la señal de salida v o (en el caso en que el condensador esé inicialmene descargado) será la mosrada en la ecuación (14): v o = e ( RC ) = e ( τ ) (14) La forma de onda correspondiene se muesra en la figura 12 v i Figura 11: Escalón de ensión v o,9,1 c Figura 12: Respuesa al escalón de un circuio RC pasa alos s El iempo de caída ( c ), y el iempo de esabilización ( s ) se definen en forma análoga al circuio RC pasa bajo y se muesran en la figura 12. 3.3.2. Respuesa a un pulso de ensión. Si la señal de enrada es un pulso de ensión de duración p, como el de la figura 13, la señal de salida será como la mosrada en la figura 14 para τ << p, o como la mosrada en la figura 15 para τ >> p. Obsérvese que al final del pulso de enrada, la ensión de salida disminuye bruscamene de vol, por el hecho que la ensión en el condensador no puede cambiar en forma insanánea. Para que la disorsión del pulso sea mínima, la consane de iempo 7
v i p Figura 13: Pulso de ensión v o p Figura 14: Respuesa a un pulso de ensión de un circuio RC pasa alo con τ < p v o p Figura 15: Respuesa a un pulso de ensión de un circuio RC pasa alo con τ > p RC debe ser muy grande en comparación con la duración del pulso. En cualquier caso, sin embargo, aparece una ensión negaiva de duración al que el área nea encerrada por la curva v o () sea nula (Por qué?). Si la consane RC es muy grande, solamene ocurre una pequeña inclinación del pulso, y la pare negaiva es despreciable en mag- 8
niud, (aunque desaparece lenamene ya que su área debe ser igual al área de la pare posiiva). Si la consane RC es muy pequeña, la salida consise en un pico de ensión posiivo de ampliud al inicio del pulso y de un pico de ensión negaivo de la misma ampliud al final del pulso, al como se mosró en la figura 14. La conversión de pulso en picos por medio de un circuio con una consane de iempo muy cora se uiliza mucho en elecrónica y al circuio correspondiene se le llama Diferenciador. 3.3.3. Respuesa a un ren de pulsos de ensión Cuando se aplica al circuio RC pasa alo una señal periódica como la mosrada en la figura 16 la señal de salida, en régimen esacionario, endrá la forma mosrada en la figura 17, si la consane de iempo RC es mucho mayor que la duración de los pulsos, o como la mosrada en la figura 18, si la consane de iempo RC es mucho menor que la duración de los pulsos. Obsérvese que en ambos casos la señal de salida debe ener la componene coninua nula. v i 1 1 2 2 1 1 + 2 Figura 16: Tren de pulsos v o max min 1 1 + 2 Figura 17: Respuesa de un circuio RC pasa alo a un ren de pulsos para RC > 1, 2 Los valores max y min se pueden hallar siguiendo un razonamieno análogo al del puno 1. En el caso paricular de que la señal de enrada sea una onda cuadrada de periodo T, se encuenra las ecuaciones (15) y (16). 9
v o max min 1 1 + 2 Figura 18: Respuesa de un circuio RC pasa alo a un ren de pulsos para RC < 1 En el caso en que y (18) T 2RC max = min = 1 + e ( T 2RC ) 1 + e ( T 2RC ) (15) (16) = 1, las ecuaciones aneriores se reducen a las ecuaciones (17) max = ( 1 + T ) 2 4RC min = ( 1 T ) 2 4RC La inclinación porcenual del pulso (P) se define como: (17) (18) ρ = max min 1 T 1 (19) 2RC 2 y debería ser nula para que el pulso fuera sin disorsión. 3.4. Respuesa del circuio RLC serie. A coninuación se hará el esudio del circuio RLC serie de la figura 19 sujeo a las mismas formas de exciación descrias aneriormene. 3.4.1. Respuesa a un escalón de ensión. Cuando la exciación es un escalón de ensión de ampliud, la corriene i(), en su forma mas general, endrá la siguiene expresión: i() = k 1 e (s 1) + k 2 e (s 2) (2) 1
L C v i R Figura 19: Circuio RLC de donde se obienen las raices s 1 y s 2 de la ecuación caracerísica aplicando la ecuación 21: s 1,2 = R 2L ± ( R 2L y definiendo los siguienes érminos: ) 2 1 LC (21) α = R 2L 1 ω o = LC ω n = ωo 2 α 2 coeficiene de amoriguamieno frecuencia angular de resonancia frecuencia angular naural Se presenan enonces res posibilidades: 1. Caso subamoriguado u oscilaorio (raices imaginarias α < ω ) La solución es: i() = (k 1 sin(ω n ) + k 2 cos(ω n )) e α (22) Pero, si las condiciones iniciales son nulas, resula que: i() = y el valor máximo de corriene ocurrirá para: ω n L sin(ω n) e α (23) si además ω n α enonces: an(ω n ) = ω n α i max ω n L (24) (25) 11
El valor de α en la ecuación 23 se puede obener experimenalmene en base a la siguiene relación (ecuación 26): α = 1 T n ln ( ) in i n+1 (26) Siendo i n e i n+1 dos máximos consecuivos cualesquiera, al como se muesra en la figura 2. i o i n i n+1 T n T n = 2π ω n Figura 2: Respuesa de un circuio RLC para el caso subamoriguado 2. Caso críicamene amoriguado (α = ω ) La solución es: Pero, si las condiciones iniciales son nulas, resula que: i() = (k 1 + k 2 ) e α (27) i() = L e α (28) y el valor máximo de corriene ocurrirá para = 1/α y será: i max = 2 e R =, 736 R (29) 3. Caso sobre amoriguado (α > ω o ) La solución es: i() = k 1 e (α+β) + k 2 e (α β) (3) 12
siendo: β = α 2 ω 2 Pero, si las condiciones iniciales son nulas, resula que: i() = 2L ( e (α β) e (α+β) ) (31) El valor máximo de corriene se obiene para dado por la igualdad (32): = 1 ( ) α + β 2 ln α β (32) Las curvas correspondienes a los res casos posibles se muesran en la figura 21. i o Sobre amoriguado Sub amoriguado Cricamene amoriguado T n = 2π ω n Figura 21: Respuesa de un circuio RLC para los res casos Obsérvese que la frecuencia de oscilación en el caso oscilaorio es: f n = ω n [Hz] (33) 2π Para esos ipos de respuesa no iene mucho senido hablar de iempo alza y de reardo. El iempo de esabilización s se puede definir como el iempo necesario para que la respuesa se reduzca al 1 % de su valor máximo. 3.4.2. Respuesa a un pulso de ensión Cuando se aplica un pulso de ensión de duración d, la forma de la curva de la corriene será como la de la figura 22 (caso sobreamoriguado) o de la figura 23 (caso oscilaorio). En cualquier caso debe cumplirse que el área nea debajo de la curva es cero. 13
i o Figura 22: Respuesa de un circuio RLC sobreamoriguado a un pulso de ensión i o Figura 23: Respuesa de un circuio RLC subamoriguado a un pulso de ensión 3.4.3. Respuesa a un ren de pulsos de ensión Cuando se aplica un ren de pulsos periódicos, la solución analíica puede resular basane complicada. El problema se reduce a una forma mas sencilla si la señal es una onda cuadrada y además su periodo T es mucho mayor que la consane de amoriguación α. En al caso la corriene i(), en esado esacionario, endrá la forma de la figura 24 (caso sobre amoriguado) o de la figura 25 (caso oscilaorio). Bajo esa condición los pulsos esán suficienemene separados y no inerfieren enre sí. Obsérvese que el valor promedio de la corriene debe ser cero, ya que el condensador elimina cualquier componene coninua presene en la señal de enrada. 3.4.4. Tensión en el condensador Si ineresa conocer la forma de onda de la ensión en el condensador, se puede uilizar el mismo razonamieno seguido en los casos aneriores. En paricular, si la señal de enrada es un ren de pulsos cuadrados de periodo T como el de la figura 26, si T y si además el sisema es oscilaorio, la ensión en el condensador será como la mosrada en la figura 27. Esa forma de onda aparece a menudo en los sisemas de segundo orden y para ella 14
i o T 2 T Figura 24: Respuesa de un circuio RLC sobreamoriguado a un Tren de Pulso de Tensión i o T 2 T Figura 25: Respuesa de un circuio RLC subamoriguado a un Tren de Pulso de Tensión se uilizan las definiciones que se especifican en la figura 28. v i T 2 T Figura 26: Tren de Pulsos de Tensión de periodo T La expresión de la ensión en el condensador será de la forma: v c = v c forzada + v c naural (34) Con las condiciones iniciales nulas, resula que: 15
v i T 2 T Figura 27: Tensión en el condensador de un circuio RLC a un Tren de Pulsos de Tensión de periodo T C P s, 9 b, 5 d, 1 P =Tensión pico. s =Tensión sobrenivel. b =Tensión de subnivel. d =Duración del pulso. a =Tiempo de alza. c =Tiempo de caida. a c Figura 28: Parameros de la ensión en el condensador de un circuio RLC v c = [ ( 1 cos(ω n ) + α ) ] sin(ω n ) e α ω n (35) El valor máximo ocurrirá para ω n T = π y será: v c max = El porcenaje de sobre ensión se define como: ( 1 + e ( απ ωn )) (36) S.T. = v c max En el caso paricular que α ω n : 1 = s 1 (37) c max 2 y S.T. 1 % (38) 16
4. Pare Experimenal 4.1. Maeriales y equipos disponibles 1 Generador de onda cuadrada, riangular y sinusoidal (R i = 5Ω). 1 Osciloscopio de dos canales 1 Caja de inducores GR 1491-D (1mH 1HR inernad.c. = 45Ω/H) 1 Caja de resisencias GR 1434-B (1Ω 1MΩ) 1 Caja de condensadores GR 1412-BC (1pF 1µF ) 4.2. Procedimieno en laboraorio 4.2.1. Medición de un circuio RC pasabajo Conece el circuio de la figura 29: R 6 pp 5Hz Hi Lo C Hi Lo ch A ch B G Osciloscopio Figura 29: Esquema del monaje para medir un circuio RC pasabajo Seleccione el acoplamieno DC en ambos canales, seleccione por ahora el canal A solamene, desconece la carga de los erminales del generador y ajuse la ensión del generador en vacío en 6 pp, 5Hz. Coloque la línea de referencia de en el cenro de la graícula. Observe el efeco que produce el conrol DC OFFSET del generador con acoplamieno AC y con acoplamieno DC. Ajuse la componene DC de la ensión del generador en cero. Observe y dibuje un ciclo de la onda cuadrada del generador (canal A). Para la escala verical, ome en cuena la aenuación de la puna de prueba. Indique en el dibujo la línea de referencia de. A coninuación conece el circuio RC al generador y el canal B al condensador, si el osciloscopio iene linea puneada de % y 1 % ajuse la ampliud del generador de al forma que el valor de menor ensión coincida con la linea puneada de % y el valor de máxima ensión coincida con la linea puneada de 1 % 17
seleccione los canales A y B simuláneamene. Uilice el canal A como sincronismo (Trigger A) Ajuse R en 12 Ω y C en,5 µf. Mida el iempo de alza, el iempo de esabilización y el reardo de la señal de salida (uilice las marcas de %, 1 %, 9 % y 1 % del osciloscopio). Seleccione la base de iempo más apropiada para la máxima precisión en la medida. Observe que el méodo que se uiliza en esa medición es correco, ya que el período es largo en comparación con el iempo de esabilización (de esa forma el comporamieno a una exciación escalón se puede observar por medio de una exciación por pulsos periódica). Dibuje un ciclo de la onda de salida. Indique en el dibujo la línea de (figura 2). También dibuje la forma de onda de salida para R=12Ω, C=,2µF (figura 3) y analice para R=2kΩ, C=,5µF. Analice las diferencias. 4.2.2. Medición de un circuio RC pasaalos Conece el circuio de la figura 3: 6 pp 5Hz Hi C Lo Hi Lo R ch A ch B G Osciloscopio Figura 3: Esquema del monaje para medir un circuio RC pasaalos Ajuse la ensión del generador en circuio abiero 1 = 5, 2 = 1 (refiérase a la figura 16). Para eso uilice el acoplamieno DC del osciloscopio y ajuse el conrol DC OFFSET del generador. Consule sobre esa operación con su insrucor. Ajuse R en 2kΩ, C en, 5µF y mida con el osciloscopio los valores max, min y (refiérase a la figura 17). Dibuje un ciclo de la onda de salida. Indique la línea de. Compruebe que la señal de salida posee componene coninua nula, variando el conrol DC OFFSET del generador. Dibuje ambién la forma de onda para: R = 2kΩ, C =, 2µF R = 1kΩ, C =, 2µF R = 1kΩ, C =, 2µF 18
4.2.3. Medición de un circuio RLC serie Conece el circuio de la figura 31: L C Hi Lo Hi Lo 6 pp 5Hz R ch A ch B G Osciloscopio Figura 31: Esquema del monaje para medir un circuio RLC Ajuse R en 1Ω, C en, 5µF y L en 1mH (caso oscilaorio). Mida con el osciloscopio los valores 1max, 2max y T n indicados en la figura 32. o 1max 2max T n T n Figura 32: Respuesa subamoriguada de un circuio RLC Asegúrese de no perder la primera oscilación: para eso use el rigger en canal A (generador). Dibuje la forma de onda usada para el sincronismo (canal A). Pida explicación al insrucor. Para los mismos valores de L y C aneriores, calcule el valor de R para que el sisema esé críicamene amoriguado (ome en cuena ambién la resisencia inerna del generador). Dibuje la forma de onda correspondiene. 19
4.2.4. Forma de onda en el condensador Conece el circuio mosrado en la figura 33 L R 6 pp 5Hz Hi Lo Hi Lo Hi Lo C ch A ch B G Osciloscopio Figura 33: Esquema del monaje para medir la forma de onda en el condensador de un circuio RLC Ajuse R en 4Ω, C en, µf y L en 1mH. dibuje la forma de onda en los erminales del condensador (1 ciclo). Ajuse R en 4kΩ y dibuje la nueva forma de onda. aríe la frecuencia del generador y observe la respuesa. Analícela. 2
5. Informe 1. Enumere y ponga un íulo apropiado a cada uno de los dibujos obenidos en el Laboraorio, indicando ambién los valores de R, L y C. 2. Calcule los valores eóricos del iempo de alza, de esabilización y del reardo en el circuio RC pasabajo, omando en cuena la resisencia inerna del generador y sin omarla en cuena. Compare los valores eóricos con los experimenales. Calcule el error relaivo. Analice los resulados. 3. Discua las formas de onda en los diferenes circuios RC pasabajos observadas. 4. Calcule los valores de max, min y de la inclinación porcenual del pulso en el circuio RC pasaalo y compárelos con los valores medidos. Calcule el error relaivo. 5. Discua las formas de onda en los diferenes circuios RC pasaalos observados. 6. Con los daos del experimeno del circuio RLC, calcule la frecuencia de oscilación naural, el coeficiene de amoriguamieno y la corriene máxima. Compare con los valores eóricos. Para eso omen en cuena la resisencia inerna del generador. 7. Dicua la forma de onda de la ensión en el condensador y el efeco que produce la variación de la frecuencia del generador. Si la resisencia del sisema es cero, Cuál es la ensión máxima en el condensador. 21