Capíulo 4 Modulación y demodulación digial La modulación digial es el proceso mediane el cual los símbolos digiales son ransormados en ormas de onda que son compaibles con la caracerísica especral de un canal paso banda. En el caso de la modulación paso banda, la señal de inormación deseada modula una senoide llamada onda poradora o simplemene poradora; para la ransmisión de radio recuencia (RF, la poradora es converida en un campo elecromagnéico para su propagación al desino deseado. Uno puede pregunarse por qué es necesario usar onda poradora en la ransmisión RF de señales banda base? La respuesa es que en la ransmisión de ondas elecromagnéicas es necesario uilizar anenas. Para acoplar eicienemene la onda elecromagnéica al espacio, las dimensiones de la aperura de la anena deben ser al menos an grandes como la longiud de onda de la señal ransmiida. Analice el siguiene ejemplo. Ejemplo. Longiud de anena. Considere una señal banda base de 3Hz y una señal poradora de 3GHz. Analice los requerimienos en la longiud de la anena. Considere la longiud de onda, λ, igual a c/, en donde c es la velocidad de la luz y es la recuencia. Solución Para banda base: 8 c 3X m / s l km 3 3X Hz Para la modulación paso banda: 8 c 3X m / s l cm 9 3X Hz El amaño de la anena es menor al uilizar modulación paso banda con poradora de ala recuencia. La modulación paso banda puede proporcionar oros beneicios imporanes en ransmisión de señales. Si más de una señal uilizan el mismo canal, la modulación puede ser uilizada para separar las dierenes señales. al écnica es conocida como división por muliplexión en la recuencia. En ése senido, la modulación se usa para minimizar las inererencias de oras señales. La modulación ambién puede ser uilizada para poner a la señal en una banda de recuencia en donde de 49
los requerimienos de diseño, ales como ilrado y ampliicación, pueden cumplirse ácilmene. Ese es el caso cuando una señal de RF se conviere a una recuencia inermedia (IF. 4.. SEÑALES Y RUIDO La area del demodulador o deecor es recuperar el lujo de bis a parir de la orma de onda recibida, libre de error en la medida de lo posible, sin imporar la disorsión de la señal. Exisen dos causas principales de disorsión. La primera la orman los eecos de ilrado del ransmisor, el canal, y el recepor. Como se describió en la sección 3.7, la unción de ranserencia del sisema puede ocasionar ISI. La segunda causa para la disorsión de señales es el ruido producido por dierenes uenes, ales como ruido galácico, ruido erresre, ruido en el ampliicador, y señales indeseables de oras uenes. Una causa ineviable de ruido es la movilidad de los elecrones en los medios conducores. al movilidad produce ruido érmico en los circuios elecrónicos que degrada la señal en orma adiiva; es decir, la señal recibida, r(, es la suma de la señal ransmiida, s( y del ruido érmico, n(. La esadísica del ruido ha sido desarrollada usando mecánica cuánica y es bien conocida. El ruido es una variable aleaoria y sólo puede ser modelado a ravés de su pd (igura 4.a, su auocorrelación (igura 4.b, y su densidad especral de poencia bilaeral (igura 4.c. Además, el ruido obedece a la represenación del sisema lineal de la igura 4.d. p(n R n (τ(n o /δ( N o / n n (a (b G n ( H( G no ( (c (d De la igura 4.a Figura 4.. Ruido adiivo Gausiano. n p ( n exp (4. σ σ de 49
4... Puno de visa geomérico de las señales y ruido Deinamos un espacio orogonal de dimensión N como uno caracerizado por un conjuno de N unciones linealmene independienes, {Ψ j (}, conocidas como unciones base. Cualquier unción arbiraria en el espacio deinido puede ser generada como una combinación lineal de las unciones base. Las unciones base deben saisacer las siguienes condiciones Ψj( Ψk( d ; para j, k,..., N; j k (4.a Ψj( Ψj( d kj ; para j,..., N (4.b Cuando las consane k j no son cero, el espacio de señales se le denomina orogonal. Cuando las unciones base son normalizadas de manera que cada k j, el espacio es denominado espacio oronormal. Los requerimieno principales para la orogonalidad se pueden enunciar como sigue: Cada unción Ψ j ( del conjuno de unciones base debe ser independiene de los oros miembros del conjuno. Cada unción Ψ j ( no debe inererir con ningún oro miembro del conjuno en el proceso de deección. Desde un puno de visa geomérico, cada Ψ j ( es muuamene perpendicular a cada una de las oras Ψ k ( para j k. Un ejemplo de al espacio con N3 se muesra en la igura 4., en donde los res ejes muuamene perpendiculares se han denominado como Ψ (, Ψ (, y Ψ 3 (. Si Ψ j ( corresponde a una orma de onda real de volaje o corriene, asociada con una carga resisiva de Ω, enonces la energía normalizada en joules disipada sobre la carga en segundos debido a Ψ j (, es de la ecuación 4. Ej Ψ j( d kj (4.3 Una razón para enocarnos en un espacio de señales orogonales es que las mediciones por disancia Euclidianas, undamenales en el proceso de deección, se ormulan de orma sencilla en al espacio. Sin embargo, aún si las ormas de onda no cumplen con al conjuno orogonal, esas pueden ser ransormadas en combinaciones lineales de ormas de onda orogonales. Se puede demosrar que cualquier conjuno inio de ormas de onda {s i (} (i,..., M, en donde cada miembro del conjuno es ísicamene realizable y con duración, puede ser expresado como una combinación lineal de N ormas de onda orogonales Ψ (,..., Ψ N (, en donde N M, al que s (a Ψ (a Ψ (... a N Ψ N ( s (a Ψ (a Ψ (... a N Ψ N ( s M (a M Ψ (a M Ψ (... a MN Ψ N ( ales relaciones se expresan de orma más compaca en donde N si( aijψj( ; N M; i,..., M (4.4 j a ij k s i j d 3 de 49
El coeiciene a ij es el acor de escala de Ψ j ( para la componene de señal s j (. La orma del conjuno{ψ j (} no es especíica; es elegida por conveniencia y dependerá ueremene de las ormas de onda prooipos. El conjuno de ormas de onda {s i (}, puede ser visa enonces como un conjuno de vecores {s i }{a i, a i,..., a in }. Si por ejemplo, N3, podemos graicar el vecor s m correspondiene a la orma de onda s m (a m Ψ (a m Ψ (... a mn Ψ N ( como un puno en el espacio Euclidiano ridimensional con coordenadas (a m, a m, a m3, como se muesra en la igura 4.. a m3 Ψ ( a m Vecor s m Ψ ( Ψ 3 ( a m Figura 4.. Represenación geomérica de la orma de onda s m (. La orienación a lo largo de los vecores de señal describe la relación de señales enre ellas (con respeco a ase o recuencia, y la ampliud de cada vecor en el conjuno {s i } es una medida de la energía de la señal ransmiida durane el inervalo de duración del símbolo. En general, una vez que se ha adopado un conjuno de N unciones orogonales, cada una de las ormas de onda ransmiidas, s i (, esa compleamene deinida por el vecor de sus coeicienes s i (a i, a i,..., a in ; i,..., M (4.6 Emplearemos la noación vecorial, {s}, o uncional, {s(}, según convenga. Un problema ípico de deección, viso por conveniencia en el espacio vecorial, se muesra en la igura 4.3. Los vecores s j y s k represenan los prooipos de las ormas de onda o señales de reerencia que perenecen a un conjuno de ormas de onda ransmiidas {s i (}. El recepor conoce a priori, la localidad en el espacio de vecores de cada vecor prooipo que perenece al conjuno M-ario. Durane la ransmisión de cualquier señal, ésa es perurbada por ruido de manera que el vecor resulane que se esa recibiendo realmene es una versión perurbada del original (s j n o s k n, en donde n represena el vecor de ruido. El ruido es adiivo y Gausiano; por lo ano, la disribución resulane de las posibles señales recibidas es una nube Gausiana de punos alrededor de s j y s k. La nube es densa en el cenro y se esparce conorme se incremena la disancia al prooipo. La lecha marcada con r represena un vecor de señal que puede llegar al recepor durane algún inervalo del símbolo. La area del recepor es decidir si r iene una remembranza más cercana al prooipo s j, a s k o a oro prooipo de señal en el conjuno M-ario. La medida de remembranza puede ser visa como una medición de disancia. La preguna que el deecor debe resolver es: Cuál de los prooipos denro del espacio de señales esá más cercano en disancia al vecor recibido r? El análisis de odos los esquemas de demodulación o deección involucran ése concepo de disancia enre una orma de onda recibida y un conjuno posible de ormas de onda ransmiidas. Una regla simple que debe 4 de 49
seguir el deecor es decidir que r perenece a la misma clase de su vecino más cercano (vecor prooipo más cercano. Ψ ( s k n s j n r Ψ ( Ψ 3 ( Figura 4.3. Señales y ruido en el espacio ridimensional. 4... Energía de la orma de onda Por deinición, la energía de la orma de onda, E i, es susiuyendo la ecuación 4.4 E E i j E i si ( d aijψj( d (4.7 i j k Ei j k aijψj( aikψk( d (4.8 aija ik Ψj( Ψk( d (4.9 susiuyendo 4. Ei aijaikkj para jk (4. j k Ei N j a ij kj i,..., M (4. La ecuación 4. es un caso especial del eorema de Parseval que relaciona la inegral del cuadrado de s i (, con la suma del cuadrado de los coeicienes de la serie orogonal. Si se uilizan unciones oronormales (k j, la energía normalizada sobre una duración del símbolo,, es N Ei aij j (4. Si exise igual energía E en cada una de las ormas de onda s i (, la ecuación 4. se simpliica a 5 de 49
E N j aij para oda i (4.3 4..3. Generalización de la ransormada de Fourier La ransormación descria por las ecuaciones 4., 4.4 y 4.5 se conoce como la generalización de la ransormada de Fourier. En el caso de la ransormada de Fourier rigonomérica, el conjuno {Ψ j (} esa compueso de unciones armónicas seno y coseno. Pero en el caso generalizado, el conjuno {Ψ j (} no esa resringido a una orma especíica; sólo debe saisacer la ecuación 4.. Cualquier conjuno de unciones inegrable, incluyendo el ruido, pueden represenarse como una combinación lineal de unciones orogonales a ravés de la generalización descria. Por lo ano, en al espacio orogonal, se jusiica el uso del crierio de decisión para la deección sobre la base de la disancia Euclidiana. La aplicación más imporane de esa ransormación orogonal iene que ver con la orma en la que las señales son ransmiidas y recibidas. La ransmisión de un conjuno de ormas de onda no orogonales esa acompañada generalmene con el sopesado de los componenes orogonales de la poradora. Por ejemplo, en la sección 4.4.3, se mosrará que las señales mulinivel moduladas en ase MPSK esan compleamene caracerizadas por las componenes sopesadas seno y coseno de la poradora. Ejemplo. Represenación orogonal de ormas de onda. La igura 4.4 muesra ormas de onda arbirarias que pueden represenar un conjuno orogonal o que pueden ser represenadas como una combinación lineal de un conjuno orogonal. (a Demuesre que las ormas de onda en la igura 4.4a no orman un conjuno orogonal. (b Demuesre que las ormas de onda en la igura 4.4b orman un conjuno orogonal. (c Muesre que las ormas de onda de la igura 4.4a se pueden represenar como una combinación lineal de las ormas de onda en la igura 4.4b. Solución. (a Aplicando la deinición para orogonalidad en la ecuación 4.a / s( s( / s ( s( d s( s( d / s ( s( d ( ( d ( 3( d / Como el resulado es dierene de cero, el conjuno de señales no es orogonal y no iene caso examinar las siguienes condiciones en 4.a y 4.b. (b Aplicando la deinición para orogonalidad en la ecuación 4.a / / Ψ ( Ψ( d (( d ( ( d Aplicando la deinición para orogonalidad en la ecuación 4.b / Ψ ( Ψ( d (( d ( ( d / d 6 de 49
Ψ ( Ψ( d (( d s ( / - - -3 s ( s 3 ( - - -3 / / Ψ ( - Ψ ( - / / Figura 4.4. Ejemplo de conjunos de señales. (a Conjuno no orogonal. (b Conjuno orogonal. Como se cumplen las condiciones expuesas en 4.a y 4.b, el conjuno de señales es orogonal. (c Uilizando la ecuación 4.5 con k j / a s( Ψ( d ( ( d ( 3( d / / a s( Ψ( d ( ( d ( 3( d / / a s( Ψ( d (( d (( d / / a s( Ψ( d (( d (( d / / a3 s3( Ψ( d (( d ( 3( d / / a3 s3( Ψ( d (( d ( 3( d / 7 de 49
Por lo ano, susiuyendo en 4.4 s (Ψ (-Ψ ( s (Ψ (Ψ ( s 3 (Ψ (-Ψ ( De esa orma se expresa el conjuno de ormas de onda {s i (} como una combinación lineal del conjuno orogonal {Ψ j (}. Si deseamos una comunicación usando las ormas de onda s (, s ( y s 3 (, el ransmisor y el recepor necesian implemenar solamene las dos unciones base Ψ ( y Ψ (, en lugar de las res originales. Una orma conveniene para seleccionar unciones base apropiadas a parir del conjuno de señales {s i (} se conoce con el nombre de procedimieno de orogonalización Gram-Schmid (ver Proakis. 4..4. Represenación del ruido mediane ormas de onda orogonales El proceso AWGN puede expresarse como una combinación lineal de ormas de onda orogonales de la misma orma que las señales. Para el problema de deección de señales, el ruido puede paricionarse en dos componenes en donde n ( nˆ( n~ ( (4.4 N njψj( j nˆ ( (4.5 es el ruido denro del espacio de señales, o la proyección de las componenes del ruido en las coordenadas de señal Ψ (,..., Ψ N (, y n ~ ( n( nˆ( (4.6 se deine como el ruido uera del espacio de señales. En oras palabras, n ~ ( puede ser viso como el ruido que no es sinonizado por el deecor. El símbolo n ˆ( represena el ruido que ineriere con el proceso de deección. Enonces podemos expresar la orma de onda del ruido, n(, como sigue N n( n Ψj( j j n~ ( (4.7 en donde y Ψj nj n( ( d ; para oda j (4.8 n~ ( Ψj( d (4.9 8 de 49
La porción del ruido que ineriere, n ˆ(, expresada en la ecuación 4.5 puede ser reerida de ahora en adelane como n(. Se puede expresar n( mediane un vecor de sus coeicienes en orma similar a las señales en la ecuación 4.6, de la siguiene orma n(n, n,..., n N (4. en donde n es un vecor aleaorio con media cero y disribución Gausiana, y en donde las componenes del ruido n i (i,..., N son independienes. El ruido blanco es un proceso ideal con densidad de poencia bilaeral consane e igual a N o / para odas las recuencias desde - a. Por lo ano, la varianza del ruido (poencia promedio, con media cero es No Pn σ var[ n( ] GN( d d (4. No obsane que la varianza del AWGN es ininia, la varianza del ruido ilrado es inia. Por ejemplo, si el AWGN es correlacionado con una unción de un conjuno orogonal Ψ j (, la varianza a la salida del correlador esa dada por No σ var( n j E n( Ψj( d (4. La demosración de la ecuación 4. se puede consular en el Apéndice C del Sklar. Para simpliicar el análisis, se puede asumir que el ruido de inerés en el proceso de deección es el ruido a la salida del correlador o del ilro acoplado con varianza como lo expresa la ecuación 4.. 4.. ÉCNICAS DE MODULACIÓN DIGIAL La modulación analógica paso banda (analógica o digial es el proceso mediane el cual una señal de inormación se conviere a una orma de onda senoidal; para la modulación digial, al inormación senoidal de duración segundos es conocida como símbolo digial. La senoidal iene jusamene res caracerísicas que pueden ser usadas para disinguirla de oras senoides: ampliud, recuencia y ase. Enonces la modulación paso banda puede ser deinida como el proceso en donde la ampliud, recuencia o ase de una poradora de RF, o una combinación de ellas es variada de acuerdo con la inormación a ser ransmiida. La orma general de una poradora senoidal, s(, es como sigue s(a(cosθ( (4.3 en donde A( es la ampliud variane con el iempo y θ( es el ángulo variane con el iempo. Es conveniene escribir de manera que θ(ω o φ( (4.4 s(a(cos[ω o φ(] (4.5 En donde ω o es la recuencia en radianes de la poradora y φ( es la ase. Los érminos y ω se usan para denoar la recuencia. Cuando se usa, la recuencia es en herz; cuando se usa ω la recuencia esa en radianes por segundo. Los dos parámeros esan relacionados por ω. 9 de 49
Los ipos básicos de modulación se lisan en la abla 4.. Cuando el recepor exploa el conocimieno de la ase de la poradora para deecar las señales, al proceso se le conoce como deección coherene; cuando el recepor no uiliza al inormación de reerencia de ase, el proceso es llamado deección no coherene. En comunicaciones digiales, los érminos demodulación y deección son usados en orma inercambiable, no obsane que la demodulación enaiza en la eliminación de la poradora, y la deección involucra el proceso de decisión. En la deección coherene ideal, en el recepor esa disponible el prooipo de cada señal que llega. Esas ormas de onda prooipo inenan duplicar el conjuno de señales ransmiidas en cualquier aspeco, inclusive en ase RF. Enonces se dice que el recepor esa amarrado en ase (phase locked a la señal de llegada. Durane la deección, el recepor muliplica e inegra (correlaciona la señal de llegada con cada una de sus réplicas prooipo. Coherene No coherene Phase Shi Keying (PSK Dierenial Phase Shi Keying (DPSK Frecuency Shi Keying (FSK Frecuency Shi Keying (FSK Ampliude Shi Keying (ASK Ampliude Shi Keying (ASK Coninuous Phase Modulaion (CPM Coninuous Phase Modulaion (CPM Híbridos Híbridos abla 4.. ipos de modulación digial paso banda. La deección no coherene se reiere a los sisemas que emplean demoduladores que esan diseñados para operar sin el conocimieno del valor absoluo de la ase de la señal que llega.; por lo ano, no se requiere la esimación de ase. Enonces la venaja de los sisemas no coherenes sobre los coherenes es la reducción en complejidad, y el precio pagado es el incremeno en la probabilidad de error (P E. Esamos involucrados en que la inormación de la ase no es usada en la recepción no coherene; Cómo se oma en cuena el hecho de que exise una orma de modulación en ase (PSK en la deección no coherene? Eso resula de que una orma imporane de PSK se puede clasiicar como no coherene (o dierencialmene coherene ya que esa no requiere una ase de reerencia con la poradora recibida. Esa pseudo PSK, conocida como PSK dierencial (DPSK, uiliza la inormación de ase del símbolo anerior como una ase de reerencia para deecar el símbolo acual. La igura 4.5 muesra algunos ejemplos de los ormaos de modulación más comunes: PSK, FSK, ASK. En el caso de codiicación general M-aria, el procesador acepa grupos de k bis e insruye al modulador para producir una de las ormas de onda disponibles del conjuno de M k. La modulación binaria, en donde k, es sólo un caso especial de modulación M-aria. Analíico Forma de onda Vecor E ( i si( cos ωo M i,,..., M 3 s M s ψ ( (a de 49
E si( cos φ i,,..., M ( ω i 3 (b ψ ( s M3 s 3 ψ 3 ( s ψ ( Ei( si( cos φ i,,..., M ( ωo 3 (c Figura 4.5. ipos de modulación digial. (a PSK. (b FSK. (c ASK. s M s ψ ( 4... Modulación digial en ase (PSK La modulación digial en ase (PSK ue desarrollada durane los primero días del programa espacial; PSK es uilizada acualmene en sisemas de comunicación miliares y comerciales. La expresión analíica general para PSK es E i,,..., M si( cos[ ω o φ i( ] (4.6 en donde el érmino de ase, φ i (, coniene M valores discreos, ípicamene dados por ( i φ i M i,..., M Para el ejemplo de PSK binario de la igura 4.5a (BPSK, M. El parámero E es la energía del símbolo, es la duración emporal del símbolo y. En la modulación BPSK, la señal de daos moduladora desplaza la orma de onda s i (, en uno de dos esados, ya sea o (8. La orma de onda de la igura 4.5aa muesra una señal BPSK con cambios abrupos de ase en ransiciones de símbolo; si el lujo de daos modulador consisiera de unos y ceros alernados, habría cambios abrupos en cada ransición. Las ormas de onda pueden ser represenadas como vecores en una gráica polar; la longiud del vecor corresponde a la ampliud de la señal, y la dirección del vecor, para el caso general M-ario, corresponde a la ase de la señal relaiva a la ora señal M- del conjuno. Para el caso paricular de BPSK, la represenación gráica muesra dos vecores opuesos de 49
8. Los conjunos de señales que pueden ser represenados con ales vecores opuesos son conocidos con el nombre de conjunos de señales anipodales. 4... Modulación digial en recuencia (FSK La expresión analíica general para la modulación digial FSK es E i,,..., M si( cos( ω i φ (4.7 en donde el érmino de recuencia, ω i, coniene M valores discreos, y el érmino de ase, φ, es una consane arbiraria. La orma de onda FSK de la igura 4.5b muesra cambios de recuencia abrupos en cada ransición enre símbolos. En ese ejemplo, M ha sido elegido igual a 3, correspondiendo al mismo número de ipos de orma de onda (3-ario; noe que la elección de M3 para FSK ha sido seleccionado para enaizar la perpendicularidad muua enre ejes. En la prácica, M es usualmene una poencia de (, 4, 8, 6,... El conjuno de señales esa caracerizado por coordenadas caresianas, de manera que los ejes muuamene perpendiculares represenan una senoidal con recuencia dierene. Como se discuió en la sección 4.., los conjunos de señales que pueden ser caracerizados mediane vecores muuamene perpendiculares son denominados como señales orogonales. 4..3. Modulación digial en ampliud (ASK La expresión general para la modulación digial en ampliud es Ei( i,,..., M si( cos( ω o φ (4.8 En donde E i ( represena la ampliud variane en el iempo, ω o la recuencia consane de la poradora y φ la consane arbiraria de ase. En el ejemplo de la igura 4.5a, se ha elegido M, de manera que la ampliud se alerna enre dos niveles de volaje. 4.3. DEECCIÓN DE SEÑALES EN RUIDO GAUSIANO 4.3.. Regiones de decisión Considere que el espacio de dos dimensiones de la igura 4.6 es el lugar geomérico del vecores prooipo binarios perurbados por AWGN (s n y (s n. El vecor de ruido, n, es un vecor aleaorio con media cero; por lo ano, el vecor recibido r es un vecor aleaorio con media s o s. La area del deecor, después de recibir r, es decidir cual de las señales s ( o s ( ue realmene ransmiida. El méodo es usualmene decidir en la clasiicación de señales que proporcione el mínimo P E esperado. Para el caso M, con s y s igualmene probables, veremos que la regla de decisión de mínimo error es equivalene a elegir la clase de señal al que la disancia d(r, s i r-s i es minimizada, en donde x es conocida como la norma o magniud del vecor x. Esa regla es usada recuenemene en érminos de regiones de decisión. En la igura 4.6, consruyamos regiones de decisión de la siguiene manera. Dibuje una línea conecando las cabezas de los vecores prooipo s y s. A coninuación, consruya el bisecor perpendicular a la línea anerior. Noe que al bisecor pasa a ravés del origen del espacio si s y s son de la misma ampliud. Para ese ejemplo con M en la igura 4.6, el bisecor perpendicular consruido represena el lugar geomérico de los punos equidisanes enre s y s ; por lo ano, el bisecor describe el límie enre las regiones de decisión y. La regla de decisión para el deecor, declarada en érminos de las regiones de de 49
decisión, es: Siempre y cuando la señal recibida r ese localizada en la región, elija la señal s ; cuando ese localizada en la región, elija la señal s. ψ ( s n r-s rs i n s s n θ s r-s ψ ( Región Región Figura 4.6. Espacio de señales de dos dimensiones, con vecores de igual ampliud. 4.3.. Recepor con correlador En la sección 3.5 se rao con la deección de señales banda base en un canal AWGN. Ya que la deección banda base emplea los mismos concepos, sólo se resumirán los concepos clave de esa sección. Se enocará paricularmene en la realización del ilro acoplado como correlador. Adicionalmene a la deección binaria, se considerará ambién el caso general de deección M-aria. Asumiremos que la única degradación posible es debida al AWGN. La señal recibida, r(, es la suma de la orma de onda prooipo ransmiida mas el ruido aleaorio r(s i (n( i,..., M; (4.33 Dada al señal recibida, el proceso de deección consise de dos pasos básicos. En el primer paso, la orma de onda recibida, r(, se reduce a una variable aleaoria real, z(z, o a un conjuno de variables aleaorias, z i ( (i,..., M, ormada a la salida de los correladores en el iempo, en donde es la duración del símbolo. En el segundo paso, se realiza una decisión de símbolo, sobre la base de la comparación de z( con un umbral o sobre la base de elegir la máxima z i (. El paso puede ser viso como la ransormación de una orma de onda a un puno en el espacio de decisión. El paso puede ser viso como la deerminación de en qué región de decisión se localiza el puno. Para que el deecor sea ópimo (en el senido de minimizar la probabilidad de bi erróneo, es necesario opimizar la ransormación orma de onda variable aleaoria, al uilizar los correladores o ilros acoplados del paso, y ambién al opimizar el crierio de decisión del paso. En la sección 3.5 enconramos que el ilro acoplado proporciona la máxima SNR a la salida del mismo en el iempo. Se describió la realización del ilro acoplado como un correlador. Enonces podemos deinir un recepor con correlador comprendido por M correladores, como se muesra en la igura 4.7a, que ransorma una orma de onda recibida, r(, a una secuencia de M números o salidas del correlador, z i ( (i,..., M. Cada salida del correlador esa caracerizada por la siguiene inegral de produco o correlación con la señal recibida zi( ( d i,..., M (4.34 r( si 3 de 49
El verbo correlacionar signiica emparejar. Los correladores inenan emparejar o enconrar el mejor emparejamieno de la señal recibida, r(, con cada una de las ormas de onda prooipo candidaas, s i (, conocidas de anemano de muuo acuerdo por el recepor. Una regla de decisión razonable es elegir la orma de onda, s i (, que se empareja mejor o que iene la mayor correlación con r(. En oras palabras, la regla de decisión es Elegir la s i ( cuyo índice corresponde a la máxima z i ( (4.35 Siguiendo la ecuación 4.4, cualquier conjuno de señales, {s i (} (i,..., M, puede expresarse en érminos de unciones base, {ψ j (} (j,..., N, en donde N M. Enonces el banco de M correladores de la igura 4.7a puede reemplazarse con el banco de N correladores, mosrado en la igura 4.7b, en donde el conjuno de unciones base {ψ j (} orman las unciones de reerencia. La eapa de decisión de ese recepor consise de circuios lógicos para la elección de la señal s i (. La elección de s i ( se hace de acuerdo al mejor emparejamieno de los coeicienes, a ij, de la ecuación 4.4, con el conjuno de salidas {z j (}. Cuando el conjuno de ormas de onda prooipo, {s i (}, esa en un conjuno orogonal, la implemenación del recepor de la igura 4.7a es idénica a la igura 4.7b (diiriendo sólo en un acor de escala. Sin embargo, cuando {s i (} no esa en un conjuno orogonal, el recepor de la igura 4.7b, puede represenar un ahorro al usar N correladores en lugar de M. Señales de reerencia s ( z ( Eapa de decisión r(... s M ( Comparador Selecciona s i ( con máxima z i ( si ˆ ( z M ( Señales de reerencia ψ ( (a z ( Eapa de decisión r( N M... ψ N ( Circuio lógico Selecciona s i ( cuyos componenes a ij se emparejen mejor a {z i (} si ˆ ( z N ( (b Figura 4.7. Correlador. (a Correlador con señales de reerencia {s i (}. (b Correlador con señales de reerencia {ψ j (}. 4 de 49
En el caso de deección binaria, el recepor con correlador puede conigurarse como un solo ilro acoplado o correlador, como se muesra en la igura 4.8a, con una señal de reerencia s (-s (. La salida del correlador, z(, es alimenada direcamene a la eapa de decisión. Para la deección binaria, el recepor con correlador ambién se puede implemenar mediane el esquema de la igura 4.8b, usando dos ilros acoplados o correladores, cada uno de los cuales con señales de reerencia s ( y s ( respecivamene. La eapa de decisión puede ser conigurada enonces siguiendo la regla de la ecuación 4.35, o las salidas del correlador, z i ( (i,, pueden ser resadas para ormar z(z (-z ( (4.36 Como se muesra en la igura 4.8b. Enonces, z(, conocida como la prueba esadísica, es alimenada a la eapa de decisión, como en el caso de un solo correlador. En la ausencia de ruido, una orma de onda de enrada, s i (, proporciona una salida z(a i (, con componene de señal únicamene. El ruido de enrada, n(, es un proceso Gausiano. Dado que el correlador es un disposiivo lineal, la salida del correlador ambién es un proceso Gausiano. Enonces la salida del correlador, muesreado en, proporciona z(a (n o ( i, en donde n o ( es la componene del ruido. Para simpliicar la noación, la ecuación anerior generalmene se escribe como za n o i, La componene de ruido, n o, es una variable aleaoria Gausiana con media cero, y por lo ano z( es una variable aleaoria Gausiana con media ya sea a o a dependiendo de si ue enviado el dígio binario uno o cero. Señal de reerencia Eapa de decisión s (- s ( H r( z( z( > γ < si ˆ ( H (a Señales de reerencia s ( z ( Eapa de decisión r( s ( - z( H > z( γ < H si ˆ ( z ( (b Figura 4.8. Correlador binario. (a Usando un solo correlador. (b Usando dos correladores. 5 de 49
4.3.3. Umbral de decisión binario Para la variable aleaoria z(, la igura 4.9 muesra las dos unciones de densidad de probabilidad condicional p(z s y p(z s, con valores medios a y a, respecivamene (esas pd s ambién son conocidas como la probabilidad de s y la probabilidad de s, respecivamene z a p( z s exp σo σo z a p( z s exp σo σo (4.37a (4.37b Probabilidad Probabilidad de s Probabilidad de s p(z s p(z s p p a z a ( a γ o z( Figura 4.9. Funciones de densidad de probabilidad condicional. en donde σ o es la varianza del ruido. En la igura 4.9 la probabilidad de la derecha, p(z s muesra la densidad de probabilidad de la salida del deecor, z(, dado que s ( ue ransmiida. En orma similar, la probabilidad de la izquierda p(z s, muesra la densidad de probabilidad de la salida del deecor, z(, dado que s ( ue ransmiida. La abscisa, z(, represena el rango compleo de valores de muesras de salida posibles del recepor con correlador de la igura 4.8. Con el objeivo de opimizar el umbral de decisión para decidir la localización de la región de una señal recibida, se enconró en la sección 3.5. que el crierio de mínimo error para señales igualmene probables degradadas por AWGN se expresa como z( H > a a < H γo (4.38 en donde a es la componene de señal de z( cuando se ransmiió s (, y a es la componene de señal de z( cuando se ransmiió s (. El nivel de comparación γ o, es el umbral ópimo para minimizar la probabilidad de hacer una decisión incorreca para señales igualmene probables con probabilidades siméricas. La regla de decisión en la ecuación 4.48 menciona que la hipóesis H se debe seleccionar [equivalene a decidir que s ( ue enviada] si z(>γ o, y que la hipóesis H se debe seleccionar [equivalene a decidir que s ( ue enviada] si z(<γ o. Si z( γ o, la regla de decisión puede ser arbiraria. Para señales de igual energía, igual probabilidad, y anipodales (en dónde a -a, la regla de decisión ópima se conviere en 6 de 49
H z ( > γo < H (4.39a o de ora orma Decide s ( si z (> z ( Decide s ( de ora orma (4.39b En la siguiene sección se ilusrará el uso de correladores para la deección coherene de PSK y FSK. En oras secciones se considerará la deección no coherene, y se raará con el desempeño en error para varios ipos de modulación. 4.4. DEECCIÓN COHERENE 4.4.. Deección coherene PSK (M El deecor mosrado en la igura 4.7 puede ser uilizado para la deección coherene de cualquier orma de onda digial. al recepor con correlador es conocido como deecor de máxima probabilidad. Considere el siguiene ejemplo PSK binario (BPSK E s( cos( ω o φ (4.4a E s( cos( ω o φ E s( cos( ω o φ (4.4b n( proceso aleaorio AWGN con media cero en donde el érmino de ase, φ, es una consane arbiraria, de manera que para el análisis se puede considerar φ. El parámero E, es la energía de la señal por símbolo, y es la duración del símbolo. Para ese caso anipodal, sólo es necesaria una unción base. Si se asume un espacio orogonal como el de las ecuaciones 4.4 y 4.5, con k j, la unción base ψ es Ψ( cos( ω o (4.4 Expresando las ormas de onda ransmiidas en unción de la unción base y los coeicienes a i s i (a i ψ ( (4.4a s (a ψ ( EΨ ( s (a ψ ( EΨ( (4.4b (4.4c 7 de 49
Asuma que se ransmie s (. Enonces los valores esperados de los inegradores de produco del correlador de la igura 4.7b, con señales de reerencia ψ ( y -ψ (, se encuenran de la siguiene manera a E{z s }E{z s }E{z s } en donde E{.} es el operador valor esperado y { z s } E Ψ r( ( d E E [ s ( n( ] Ψ( [ EΨ ( n( ] Ψ Ψ E{ z s} E Ψ ( d E E ( d n( ( d (4.43a de orma similar E{ z s} E E Ψ Ψ ( d n( ( d (4.43b En las ecuaciones 4.43a y 4.43b la primera inegral, por deinición, es y la segunda inegral es cero (el área bajo la curva del ruido con media cero es cero. E E { z s } E (4.44a { z s } E (4.44b La eapa de decisión debe decidir que señal ue ransmiida al deerminar su posición en el espacio de decisión. Para ese ejemplo d de orma similar a E{z s }E{z s }E{z s } a E{z s }E{z s }E{z s } E ( E E ( E E E de manera que el deecor debe comparar conra el umbral ópimo γ o (a a /. 4.4.. Filro acoplado muesreador En la sección 3.5.3 discuimos las caracerísicas básicas del ilro acoplado, es decir, el sisema cuya respuesa al impulso es una versión reardada de la imagen espejo (roada sobre el eje de la señal de enrada. Por lo ano, si la señal de enrada es s(, su imagen espejo es s(- y la imagen espejo reardada segundos es s(-. La respuesa al impulso, h(, del ilro acoplado a s( es descria por s( h ( (4.45 de ora orma La igura 4. muesra como se puede implemenar un ilro acoplado usando hardware digial. La señal de enrada, r(, esa compuesa por la orma de onda prooipo, s(, más ruido, n(. El ancho de banda de la señal es W/ s en donde s W/ s es la asa de muesreo de Nyquis; por lo ano el inervalo de muesreo es igual a s. Cuando en el muesreador s, la señal analógica es 8 de 49
muesreada y las muesras son desplazadas de derecha a izquierda hacia el regisro de la igura 4.. El regisro de desplazamieno sopesa las muesras por los coeicienes c n. Una vez que la señal recibida ha sido muesreada, la noación del iempo coninuo se cambia por k s, o simplemene k r(ks(kn(k k,,... Filro idelal Muesreador r( -W W k s c c c N- z(k Figura 4.. Filro acoplado muesreador. en donde k represena el índice de la muesra. La salida, z(k, del ilro acoplado muesreador, en el iempo correspondiene a la k-esima muesra es N n z ( k r( k n cn ; k,,,..., módulo-n (4.46 en dónde x módulo-y se deine como el residuo de dividir x por y. Para la aplicación de demodulación binaria, las salidas z i (k (i, son comparadas con un umbral en cada valor de kn- correspondiene al inal del símbolo. Los valores c n son los pesos del ilro, consiuyendo la respuesa al impulso que es emparejada a la señal, en donde n es el índice de los pesos y de las eapas índice (de izquierda a derecha y k es el índice de las muesras conorme se producen por el muesreador. Uno puede ver la similiud enre la inegral de convolución de la ecuación 3.56 y la sumaoria de la ecuación 4.46, especialmene con consideración a la roación de la imagen espejo de una de las unciones anes de la muliplicación. Ya que asumimos AWGN con media cero, el valor esperado de una muesra recibida para el caso binario se expresa como E{r(k}s i (k i, (4.47 Si s ( ha sido ransmiida, las salidas esperadas del ilro acoplado serían N i( k} s ( k n cn n E { z (4.48 en donde los pesos del ilro, c n, son acoplados a la s i (k correspondiene para cada eapa. Ejemplo. Filro acoplado muesreador. Considere el conjuno de ormas de onda BPSK s (cosω s (-cosω 9 de 49
Muesre como se puede uilizar el ilro acoplado muesreador de la igura 4. en ausencia de ruido. Solución. omando en cuena que s(r(, primero, la orma de onda es muesreada de manera que s ( se ransorma en un conjuno de muesras, {s (k}. El recepor se puede implemenar con dos eapas, como la implemenación analógica de la igura 4.8b, igura 4.. La eapa superior consise de regisros y coeicienes acoplados a las muesras {s (k}. Los cuaro punos de muesras igualmene espaciados (k,,, 3, para cada una de las {s i (k} son como sigue s ( 3 s (k s (k s (k- s (k3 - s ( 3 s (k- s (k s (k s (k3 - r(3 r( r( r( k s r( Pesos del ilro acoplados a s ( c c - c c 3 z (k r(3 r( r( r( k s Pesos del ilro acoplados a s ( c c c c 3 - z (k Figura 4.. Filro acoplado muesreador binario. de 49
Los coeicienes c n represenan la roación de la imagen espejo reardada de la señal a la cual el ilro es emparejado. Por lo ano, c n s i (N--n, en donde n,..., N-, y podemos escribir c s i (3, c s i (, c s i (, c 3 s i (. Es aquí en donde el lecor puede observar como la operación de convolución (con su imagen espejo roada resula en el apropiado enlace de las muesras de la señal recibida con los pesos en los coeicienes (señal de reerencia. Considere la eapa superior de la igura 4.. En el iempo k, la primera muesra, s (k, enra a la posición más a la izquierda de cada paso del regisro. En el siguiene iempo, la segunda muesra, s (k, enra a la posición más a la izquierda de cada regisro; en ese iempo la primera muesra ha sido desplazada al siguiene paso hacia la derecha de cada regisro, y así sucesivamene. En el iempo k3 la muesra s (k3, enra a la eapa más a la izquierda del regisro; para ese iempo la primera muesra, s (k, ha sido desplazada hasa el exremo derecho del regisro. Las cuaras muesras esan ahora localizadas en los regisros en un arreglo espejo comparadas a la orma en que se dibujan las ormas de onda, s (, en la igura 4.. La area del demodulador es el mejor emparejamieno a la señal de enrada; El demodulador empareja los coeicienes de reerencia de cada eapa con las muesras de enrada, en el orden en el cual las muesras llegan. Así la operación de convolución es una expresión apropiada para describir el alineamieno de las muesras de la orma de onda de enrada con los coeicienes de reerencia, para maximizar la correlación en la eapa apropiada. Para ilusrar la deección considere los siguienes casos en donde n(.. Considere que se ransmie s (. Enonces de la ecuación 4.46 z z N s(3 n cn ( ( ( (( (( k 3 n N s(3 n cn ( ( ( (( (( k 3 n Se elige s ( como unción prooipo, ya que z >z (>-.. Considere que se ransmie s (. Enonces de la ecuación 4.46 z z N s(3 n cn ( (( (( ( ( k 3 n N s(3 n cn ( (( (( ( ( k 3 n Se elige s ( como unción prooipo, ya que z >z (>-. 4.4.3. Deección coherene de MPSK La igura 4. muesra el espacio de señales para el conjuno de señales MPSK; la igura describe PSK de cuaro niveles (4-ario. Los dígios binarios uene se agrupan dos al mismo iempo, y para cada inervalo del símbolo, los dos dígios secuenciales insruyen al demodulador para saber que orma de onda los produce. Para un sisema M-ario PSK ípico (MPSK, s i ( puede expresarse como de 49
ψ ( Región Fronera de decisión s Región 3 Región ψ ( s 3 s s 4 Región 4 Fronera de decisión Figura 4.. Espacio de señales y regiones de decisión para un sisema QPSK. E ( i i,,..., M si( cos ω o (4.49 M en donde E es el conenido de energía de s i ( sobre cada duración del símbolo, y ω o es la recuencia poradora. Si se asume un espacio de señales orogonal como el indicado por las ecuaciones 4.4 y 4.5, se puede asumir el siguiene conjuno conveniene de unciones base Ψ ( cos ( ωo (4.5a Ψ ( sen ω ( o (4.5b en donde la ampliud (/ / se ha elegido para normalizar el valor esperado a la salida del deecor. Ahora s i ( puede escribirse en érminos de las coordenadas oronormales como s i (a i Ψ (a i Ψ (; ; i,..., M (4.5a si ( i ( i ( E cos Ψ( E sen Ψ( M M (4.5b Noe que la ecuación 4.5 describe un conjuno de M ormas de onda múliples (inrínsecamene no orogonales en érminos de sólo dos ormas de onda poradoras con componenes orogonales. El caso M4 (QPSK es único en el senido que el conjuno de ormas de onda QPSK se represena por una combinación de miembros orogonales y anipodales. Las roneras de decisión paricionan el espacio de señales en M4 regiones; la consrucción es similar al procedimieno descrio en la sección 4.3. y en la igura 4.6. para M. La regla de decisión para el deecor (ver igura 4. es decidir que se ransmiió s ( si el vecor de la señal recibida cae en la región y así sucesivamene para odas las ormas de onda y regiones. En oras palabras, la regla de decisión es elegir la i-esima orma de onda si z i ( es la más grande de las salidas del correlador de la igura 4.7. de 49
La orma del correlador mosrado en la igura 4.7a implica que exisen M correladores de produco usados en la demodulación de señales MPSK. De la igura se deduce que para cada una de las M eapas, se conigura una señal de reerencia con el desplazamieno de ase apropiado. En la prácica, la implemenación del demodulador MPSK sigue la coniguración de la igura 4.7b, requiriendo de sólo N inegradores de produco en lugar de los M correladores. El ahorro en implemenación es posible debido a que cualquier conjuno de ormas de onda inegrables puede expresarse como una combinación lineal de ormas de onda orogonales, como se demosró en la sección 4... La igura 4.3 muesra al demodulador. La señal recibida, r(, puede expresarse al combinar las ecuaciones 4.5 y 4.5 como en donde E i,,..., M r( (cosφ i cosωo senφ isenωo n( (4.5 ( i φi M y n( es un proceso AWGN con media cero. Noe en la igura 4.3 que exisen sólo dos ormas de onda de reerencia o unciones base, ψ ( y ψ ( para cada correlador, superior e inerior. El correlador superior calcula y el correlador inerior calcula X r( Ψ ( d (4.53 Y r( Ψ ( d (4.54 ψ ( X r( ψ ( Y an X φˆ Calcula φi φˆ Elige el menor si ˆ ( Y Figura 4.3. Demodulador MPSK. La igura 4.4 muesra que el cálculo del ángulo de ase recibido φˆ puede ser implemenado al calcular la an - de Y/X, en donde X puede ser viso como la componene en ase de la señal recibida, Y su componene en cuadraura, y φˆ es la componene ruidosa de la φ i ransmiida. En oras palabras, el correlador superior de la igura 4.3 produce una salida X, la magniud de la proyección en ase del vecor r, y el correlador inerior produce una salida Y, la magniud de la proyección en cuadraura del vecor r. Las salidas X y Y de los correladores se alimenan al bloque marcado como an - (Y/X. El valor resulane del ángulo φˆ se compara con cada uno de los ángulos de ase 3 de 49
prooipos almacenados, φ i. El demodulador selecciona el φ i que esa más cercano a φˆ. En oras palabras, el demodulador calcula φi φˆ para cada uno de los prooipos φ i dando la menor salida. senω o r φ i X r cosφ i Y r senφ i cosω o Figura 4.4. Componenes en ase y en cuadraura del vecor recibido r. Ejemplo. Deecor QPSK. Veriique el desempeño del deecor QPSK de la igura 4.3. Solución. Para QPSK, M4, k. Las ormas de onda a ransmiir, de la ecuación 4.5b ( Ψ( E sen( Ψ ( s( E cos s( EΨ( s( EΨ( s3( EΨ( gráicamene s4( EΨ( ψ ( s ψ ( s 3 s 4 s Si ransmiimos s ( con n(, la señal recibida r( r( s( n( EΨ( de las ecuaciones 4.53 y 4.54, las componenes en ase y en cuadraura X r( Ψ ( d EΨ( Ψ( d E 4 de 49
Y r( Ψ ( d EΨ( Ψ( d ya que ψ y ψ son unciones orogonales. De la igura 4.3, el ángulo de ase ˆ Y φ an an rad X E Comparando con los ángulos de ase prooipos: φ, φ /, φ 3, φ 4 3/, se elige φ, ya que es con el cual se obiene la menor dierencia. Por lo ano se elige s ( como orma de onda ransmiida. En una orma similar, es sencillo demosrar la deección para cuando se ransmie s (, s 3 ( y s 4 (. 4.4.4. Deección coherene de FSK La modulación FSK esa caracerizada por la inormación conenida en la recuencia de la poradora. Un conjuno ípico de ormas de onda FSK ue descrio en la ecuación 4.7 como E si( cos φ ( ω i i,,..., M en donde E es el conenido de energía de s i ( en cada duración del símbolo, y (ω i -ω i se asume ípicamene como un enero de /. El érmino de ase, φ, es una consane arbiraria y puede ser igualada a cero. Asumiendo que las unciones base ψ (, ψ (,..., ψ N ( orman un conjuno orogonal, la orma más úil para {ψ j (} es Ψj ( cosω j j,..., N (4.55 en donde la ampliud (/ / normaliza el valor esperado a la salida del deecor. De la ecuación 4.5 se puede escribir Por lo ano E Ψj( ij j cos( ω cos( ω d (4.56 E para i j aij (4.57 oro caso En oras palabras, el i-ésimo vecor de señal prooipo esa localizado en el i-ésimo eje coordenado en un desplazamieno E a parir del origen del espacio de señales. En ese esquema, para el caso M-ario, la disancia enre dos vecores de señal prooipo s i y s j es consane d( s i, sj si, sj E para i j (4.58 La igura 4.5 muesra los vecores de señales prooipo y las regiones de decisión para un sisema de deección coherene 3-ario FSK (M3. Como en el caso PSK, el espacio de señales es paricionado en M regiones disinas, cada una coneniendo un vecor de señal prooipo; aquí, 5 de 49
debido a que la región de decisión es ridimensional, las roneras de decisión son planos en vez de líneas. La regla de decisión ópima es decidir que la señal recibida perenece a la clase de señal cuyo índice de la región coincide al lugar en donde se enconró el vecor recibido. En la igura 4.5, se muesra un vecor de señal recibida, r, en la región. Uilizando la regla de decisión descria arriba, el deecor clasiica r como una señal s. Debido a que el ruido es un vecor aleaorio Gausiano, exise una probabilidad mayor a cero de que r haya sido producida por alguna ora señal dierene a s. Por ejemplo, si el ransmisor ha enviado s, enonces r será la suma de señal más ruido, s n a, y la decisión de elegir s será correca; sin embargo, si el ransmisor ha enviado en realidad s 3, enonces r será la suma de señal más ruido, s 3 n b y la decisión de seleccionar s será un error. Region E s Ψ ( n a rs i n Region E s Ψ ( n b s 3 Ψ 3 ( E Region 3 Figura 4.5. Parición del espacio de señales para modulación FSK, M3. 4.5. DEECCIÓN NO COHERENE 4.5.. Deección no coherene de PSK dierencial (DPSK El nombre PSK dierencial (DPSK a veces necesia ser clariicado ya que se reiere a dos aspecos separados del ormao modulación/demodulación: el procedimieno de codiicación y el procedimieno de deección. El érmino codiicación dierencial se reiere al procedimieno de codiicar los daos dierencialmene; eso es, la presencia de un cero o uno binario se maniiesa por la similiud o la dierencia del símbolo cuando es comparado con el símbolo precedene. El érmino deección dierencial coherene de una PSK codiicada dierencialmene, el signiicado usual de DPSK, se reiere al esquema de deección recuenemene clasiicado como no coherene debido a que ese no requiere una ase de reerencia con la poradora recibida. Algunas veces, las señales PSK codiicadas dierencialmene se deecan coherenemene. Eso se verá en la sección 4.6.. Con sisemas no coherenes, no se iene inención en deerminar el valor real de la ase en la señal de llegada. Por lo ano, si la orma de onda ransmiida es E si( cos[ ωo φ i( ] la señal recibida puede caracerizarse por i,,..., M E i,,..., M r( cos[ ω o θ i( α] n( (4.59 6 de 49
en donde α es una consane arbiraria y ípicamene se asume como una variable aleaoria uniormemene disribuida enre y, y n( es un proceso AWGN. Para deección coherene, se uilizan ilros acoplados (o sus equivalencias; para deección no coherene, eso no es posible debido a que la salida del ilro acoplado es una unción del ángulo desconocido α. Sin embargo, si se asume que α varia lenamene en relación con dos periodos (, como se muesra en la igura 4.6, la dierencia de ase enre dos ormas de onda sucesivas, θ j ( y θ k ( es independiene de α, es decir [θ k ( α]-[θ j ( α]θ k ( -θ j ( φ i ( (4.6 θ j θ k Figura 4.6. Variación de la ase enre dos ormas de onda consecuivas. La base para la deección dierencial coherene de PSK con codiicación dierencial (DPSK es la siguiene. La ase de la poradora de la orma de onda en el inervalo previo puede ser usada como ase de reerencia para la demodulación. Su uso requiere de codiicación dierencial del mensaje en el ransmisor desde que la inormación es porada por la dierencia enre dos ormas de onda sucesivas. Para enviar el i-ésimo mensaje (i,,..., M, la orma de onda acual debe ener su ase avanzada por φ i (i-/m radianes sobre la orma de onda previa. El deecor, en general, calcula las coordenadas de la señal de llegada al correlacionarla con ormas de onda localmene generadas ales como / cosω o y / senω o. El deecor enonces mide el ángulo enre el vecor acual de señal recibido y el vecor de señal previamene recibido, como se muesra en la igura 4.7. (a, b Vecor acual de señal recibido ψ ( Ángulo medido por el deecor φ i (a, b Vecor previo almacenado en memoria ψ ( Figura 4.7. Espacio de señales para DPSK. En general, el ormao DPSK se desempeña menos eicienemene que PSK, debido a que los errores en DPSK ienden a propagarse (en inervalos de símbolo adyacenes debido a la correlación enre ormas de onda. Una orma de ver la dierencia enre PSK y DPSK es que en el inicio se compara la señal recibida con una reerencia limpia; en los siguienes, no obsane, dos señales ruidosas son comparadas enre sí. Podemos decir que exise dos veces más ruido asociado con el 7 de 49
ormao DPSK comparado con PSK. En consecuencia, como un primer indicio, podemos esimar que DPSK maniiesa una degradación de aproximadamene 3dB comparada con PSK; esa degradación decrece rápidamene con el incremeno en la SNR. El compromiso para esa pérdida en el desempeño es reducir la complejidad del sisema. El desempeño en error para DPSK es raado en la sección 4.6.5. 4.5.. Ejemplo de DPSK dierencial binario La esencia de la deección coherene dierencial en DPSK es que la idenidad de los daos se iniere a parir de los cambios en ase de un símbolo a oro. Por lo ano, desde que los daos son deecados al examinar dierencialmene la orma de onda, la orma de onda ransmiida deberá ser primero codiicada en orma dierencial. La abla 4. muesra una codiicación dierencial para un mensaje en orma de lujo de daos, m(k, en donde k es el índice de la muesra emporal. La codiicación dierencial comienza (ercer renglón en la igura con el primer bi de la secuencia codiicada, c(k, elegido arbirariamene (uno, en el ejemplo. Enonces la secuencia de bis codiicados, c(k, puede en general, ser codiicada en alguna de las dos ormas siguienes c( k c( k m( k (4.6 c( k c( k m( k (4.6 en donde el símbolo represena la suma módulo (operación OR exclusiva y la barra superior denoa el complemeno (operación NO. En la abla 4. el mensaje codiicado dierencialmene ue obenido usando la ecuación 4.6. En oras palabras, el bi codiicado acual, c(k, es uno si el bi de mensaje, m(k, y el bi previamene codiicado, c(k-, son los mismos, de ora orma c(k es cero. El cuaro renglón ransorma la secuencia de bis codiicados, c(k, en una secuencia de desplazamienos de ase, θ(k, en donde en uno es caracerizado por un desplazamieno en ase de 8, y un cero es caracerizado por un desplazamieno de ase de. La igura 4.8 muesra el esquema de deección binaria DPSK en diagrama a bloques. Noe que el inegrador básico de produco de la igura 4.7 es la esencia de ese proceso de deección; como en PSK coherene, se sigue inenando correlacionar la señal recibida con una reerencia. La dierencia ineresane aquí es que la señal de reerencia es simplemene una versión reardada de la señal recibida. En oras palabras, durane el inervalo del símbolo, se empareja un símbolo recibido con el símbolo previo y se busca por un correlación o auocorrelación (8 uera de ase. Indice de muesra, k 3 4 5 6 7 8 9 Mensaje de inormación, m(k Mensaje codiicado dierencialmene, c(k Desplazamieno de ase correspondiene, θ(k abla 4.. Codiicación dierencial. r(k r( Eapa de decisión si ˆ ( Reardo segundos Reerencia Deecor coherene Figura 4.8. Deección coherene dierencial. 8 de 49