MATEMÁTICA - 6 A C y D - Prof. Sandra M. Corti

TEMA: Derivada La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente Sea f(x) una función continua en un intervalo real [x 1 ; x 2 ], se denomina incremento de x o x a la variación que experimenta la variable independiente x al pasar de x 1 (abscisa inicial) a x 2 (abscisa final): x = x 2 x 1. En correspondencia con ella la variable dependiente y experimenta otra variación y = y 2 y 1 = f(x 2 ) - f(x 1 ) denominada incremento de y. Derivada de una función: En toda función f(x), continua en el intervalo [x; x 2 ]; los puntos p 1 = (x 1 ;x 2 ) y p 2 = (x 2 ;y 2 ) determinan una recta secante a f(x) cuya pendiente es: m = = = Si se piensa a p 2 moviéndose hacia a p 1, considerado fijo, a lo largo de la curva representativa de f(x), se obtienen infinitas secantes que pasan por p 1. Dichas secantes tienen distintas pendientes, ya que x va disminuyendo a medida que p 2 se acerca a p 1. Para el caso extremo en que p 2 tiende a p 1, se obtiene la recta tangente a f(x) en x 1 cuya pendiente, si existe, es: m = lím Se denomina derivada de una función y = f(x) al límite del cociente incremental cuando x tiende a cero y se simboliza f (x). Si este límite existe, se dice que la función es derivable o admite derivada. f (x) = lím = lím Definición de derivada de una función Aclaración: definición de RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO: es una recta que toca a la curva en el punto dado, el punto de tangencia. Observación: La tangente no siempre existe, aún en el caso en que la función sea continua. Interpretación geométrica de la derivada: La derivada de f(x) cuando x = x 1, es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en el punto de abscisa x = x 1. Ejemplo: La derivada de f(x) = x 2 es: f (x) o (x 2 ) f (x) = lím = lím x 0 x 0 = lím. = lím x 0 x 0 = lím x 0 x 0 x 0 = lím 2x + lím x x 0 x 0 x 0. f (x) = 2x f (1) = 2.1 = 2 Valor de la pendiente de la recta tangente en x = 1. Página 1 de 8

Otro ejemplo: Sea f(x) = -2x + 3, en x 1 = 4 f (x) = lím = lím. = lím. x 0 x 0 x 0 f (x) = -2 es f (4) = -2 1) Calcula x y y en cada uno de los siguientes casos. a) f(1) = 3 y f(5) = 10 b) f(-2) = -1 y f(2) = 1 c) f(-6) = 2 y f(-1) = 0 x = x = x = y = y = y = 2) Halla la derivada de cada una de las siguientes funciones en el punto que se indica en cada caso. a) f(x) = -3x - 1; en x = -2 b) f(x) = -x 2 + 2 ; en x = -1 c) f(x) = x 3 2x ; en x = -2 d) f(x) = ; en x = 3 Derivada de funciones elementales: El procedimiento para calcular la derivada de una función aplicando siempre la definición en poco práctico. Por tal motivo, se pueden utilizar reglas y derivar directamente. Dichas reglas y derivadas surgen de aplicar la definición. Nota: denotaremos con a, b y k a constantes (números reales), y con u y v a funciones. 1) Derivada de una constante: f(x) = k f (x) = 0 Ej: f(x) = 5 f(x) = 0 2) Derivada de x: f(x) = x f (x) = 1 3) Derivada de una función lineal: f(x) = ax + b f (x) = a Ej: f(x) = 5x 3 f (x) = 5 4) Derivada de una potencia: f(x) = u k f (x) = k.u k-1.u Si el coeficiente es diferente de uno, la generalización de su derivada es: f(x) =a.x n f (x) = n.ax n-1 Ej: f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 f(x) = -4x 7 f (x) = -28x 6 f(x) = 2(3x-1) 4 = 8(3x-1) 3.3 = 24(3x-1) 3 5) Derivada de una raíz cuadrada: f(x) = f (x) = Ej: f(x) = 3 1 f (x) =. 6) Derivada de una raíz de índice k: f(x) = Ej: f(x)= 2 4 f (x) =! Operaciones con derivadas: Derivada de una constante por una función f(x) = k. u f (x) = k. u Ejemplo: f(x) = -2x 2 f (x)= -2. 2x = -4x f (x) =. Derivada de una suma o resta de funciones La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función. f(x) = u ± v f (x) = u ± v Ejemplo: f(x) = 3x 3 2x 2-5x + 2 f (x) = 9x 2 4x 5 Derivada de un producto f(x) = u. v f (x) = u. v + u. v Ejemplo: f(x) = (x 2 1). (x 3 + 3x) f (x) = 2x. (x 3 + 3x) + (x 2 1). (3x 2 + 3) = -2 Página 2 de 8

Derivada de una función dividida por una constante f(x) = " " f (x) = Ejemplo: f(x) = f (x) = Derivada de una constante divida por una función f(x) = f (x) =." " " Ejemplo: f(x) =.# f (x) = = - $! Derivada del cociente de dos funciones f(x) = f (x) = " Ejemplo: f(x) =! % ( % %."." " 3) Deriva las siguientes funciones: f (x) = &$ '.&% '&! '.( % = % $ % ( ( ( % = a) f(x) = x 3 + 5x 2 + 2x b) f(x) = % + 7x4 c) f(x) = d) f(x) = 4x 5 + x 3 + 4 e) f(x) = % + % g) f(x) = (x+1) 7 h) f(x) =! j) f(x) = 2x+4 Página 3 de 8 f) f(x) =! + % i) f(x) = (x 6 +3x 4-5x) 8 k) f(x) = +3 l) f(x) = x + m) f(x) = (x 2-1). (x-1) n) f(x) = x 2. (7x 7 + 8) ñ) f(x) = (x 3 + 7x).(x 7 +5x 2 ) o) f(x) = p) f(x) = q) f(x) =!!! r) f(x) =! s) f(x) = t) f(x) = Otras derivadas de funciones especiales Derivada de la función exponencial f(x) = a u f (x) = u.a u.ln a Ejemplo: f(x) = 2 f (x) = 2x. 2. ln 2 Derivada de la función exponencial de base e f(x) = e u f (x) = u. e u Ejemplos: f(x) = e f (x) = 2. e 2x Derivada de un logaritmo f(x) = log a u f (x) = +. log a e + Ejemplo: f(x) = log 2 (x 4-3x) f (x) =!. log 2 e Derivada de un logaritmo neperiano f(x) = ln u f (x) = + + Ejemplo: f(x) = ln 2x f (x) = = Derivada de funciones trigonométricas - Función seno: f(x) = sen u f (x) = u. cos u - Función coseno: f(x) = cos u f (x) = -u. sen u - Función tangente: f(x) = tg u f (x) =,-. + Ejemplos: f(x) = sen 4x f (x) = 4.cos 4x f(x) = cos x 4 f (x) = -4x 3. sen x 4 f(x) = tg x f (x) =,-. +

4) Usando las reglas de derivación anteriores deriva las siguientes funciones: a) f(x) = e! b) f(x) = 3 2x+1 c) f(x) = ln / d) f(x) = 2! e) f(x) = e + e x+1 + 5 f) f(x) = x 4. e 3x + x. e x+1 g) f(x) = 4 x + 7 h) f(x) = &2 ' i) f(x) = ln (3x-1) j) f(x) = log 2 (6x-5) k) f(x) = log 3 (3x 2 -x 6 ) l) f(x) = ln /! % 0 m) f(x) = ln / 0 n) f(x) = cos (3x) ñ) f(x) = sen (3x2-2) o) f(x) = 4 sen x 3 cos x p) f(x) = tan (x 3 + 2) q) f(x) = sen/ 0 Derivadas sucesivas: Si derivamos la derivada de una función, derivada primera f (x), obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x). Es decir: (f (x)) = f (x) (derivada segunda de f) Como f es también una función de x puede tener a su vez una derivada, si esto ocurre llamamos a esta última derivada, derivada tercera de f. Es decir (f (x)) = f (x) (derivada tercera de f) Análogamente se definen las demás derivadas sucesivas de f obteniéndose a partir de la derivación de la derivada de un cierto orden n, la derivada de orden n+1. Ejemplo: Obtener las derivadas sucesivas de f(x) = x 5 f (x) = 5x 4 f (x) = 20x 3 f (x) = 60x 2 f iv (x) = 120x f v (x) = 120 f vi (x) = 0 A partir de la derivada de orden 6, son todas las derivadas sucesivas iguales a cero. 5) Halla las derivadas sucesivas de las siguientes funciones hasta el orden indicado en cada caso: a) f (x) f(x) = 3x 3 b) f IV (x) f(x) = x 4 + 2x 2 1 c) f (x) f(x) = (x+3) 3 d) f V (x) f(x) = -2senx + 1 cos x e) f (x) f(x) =! Recta tangente y recta normal Recta tangente a una curva en un punto de la misma El valor de la derivada de una función f(x) en un punto x = x 1 de la misma, es la pendiente de la recta tangente a la curva representativa de la función en dicho punto. m = f (x 1 ) La ecuación de la recta tangente a la función que pasa por el punto p 1 = (x 1 ;y 1 ) es: y y 1 = f (x 1 ). (x x 1 ) Recordemos que: la fórmula de la recta que pasa por un punto, conociendo la pendiente es: y y 1 = m. (x x 1 ) Ejemplo: recta que pasa por el punto (-1;2) y pendiente 2. y - 2 = 2. (x+1) y = 2x + 2 + 2 y = 2x + 4 Recta normal a una curva en un punto de la misma La recta normal a la curva representativa de f(x) en el punto p 1 = (x 1 ;y 1 ) es la perpendicular a la recta tangente La ecuación de la recta normal a la curva representativa de f(x) en el punto p 1 = (x 1 ;y 1 ) es: y y 1 = - 2 3. (x x 1) Página 4 de 8

MATEMÁTICA - 6 A C y D - Prof. Sandra M. Corti Ejemplo: Si f(x) = -2x3, para hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la misma en el punto de abscisa x1 = -1, se debe calcular el valor de su derivada primera en dicho punto para obtener las pendientes de ambas rectas. f (x) = -6x m = f (-1) = -6(-1)2 m= -6 La ordenada del punto por el que pasan ambas rectas es y = f(-1). f(-1) = -2.(-1)3 = 2 p = (-1;2) Ecuación de la recta tangente: y y1 = m (x x1) y 2 = -6(x+1) y = -6x 4 Ecuación de la recta normal: y y1 = - 4 (x x1) y 2 = # (x + 1) y = # x+ # 6) Encuentra y grafica las rectas tangentes y normal a la curva: a) f(x) = x2 2; en los puntos de abscisas x1 = -2 y x2 = 2. 5 5 b) f(x) = 2.sen x ; en x1 = y en x2 = c) f(x) = ln(x+2) ; en x1 = -1. Halla también la normal y grafícala. Extremos relativos Crecimiento y decrecimiento de una función: Una función f(x) es creciente, en un intervalo de su dominio, si al aumentar el valor de la variable independiente siempre aumenta el valor de la función. f es creciente x2 > x1 f(x2) > f(x1) Y es decreciente si al aumentar el valor de la variable independiente, siempre disminuye el valor de la función. f es decreciente x2 > x1 f(x2) < f(x1) 7 Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente m = lím es positiva en el intervalo creciente de una x 0 3 función, y negativa en el decreciente. Una función es creciente, en un intervalo de su dominio, cuando el valor de su derivada primera en dicho intervalo es positivo, y decreciente cuando es negativo. Extremos relativos Una función alcanza un máximo relativo en x1 si y solo si f (x1) = 0, f (x) > 0 (creciente) a la izquierda de x1 y f (x) < 0 (decreciente) a la derecha de x1. Una función alcanza un mínimo relativo en x2 si y solo si f (x2) = 0, f (x) < 0 (decreciente) a la izquierda de x2 y f (x) > 0 (creciente) a la derecha de x2. Ejemplo: f(x) = -x2 + x 1 f (x) = -2x + 1 f (x) = 0-2x + 1 = 0 x= y=- f (0) = 1 f (0) > 0 f (1) = -1 f (1) < 0 1 3 p = /2 ; 40 es un máximo de f(x) Página 5 de 8

MATEMÁTICA - 6 A C y D - Prof. Sandra M. Corti Existen funciones tales que para algún punto de su dominio la derivada primera se anula pero dicho punto no es un extremo relativo. Ejemplo: f(x) = (x 1) 3 f (x) = 3 (x-1)2 f (x) = 0 3 (x-1)2 = 0 x = 1 f (0) = 3 f (0) > 0 f (2) = 3 f (2) > 0 La función es siempre creciente. p (1;0) no es un extremo relativo 7) Investiga si x = -1 es la abscisa de un extremo relativo de la función f(x) = x2 + 2x + 1. 8) Encuentra, de ser posible, los máximos y/o mínimos relativos de cada una de las siguientes funciones y grafícalas. a) f(x) = - (x-1)2 b) f(x) = cos x x [0;2π] c) f(x) = sen x - 1 x [0;2π] Concavidad En una función f(x), en general, las pendientes de las rectas tangentes en cada uno de los puntos de su curva representativa son diferentes. Si dichas rectas quedan por debajo de la curva, se dice que la misma es cóncava hacia arriba (concavidad positiva), y si quedan por encima en cóncava hacia abajo (concavidad negativa). En los puntos de la curva en los cuales la concavidad es negativa, los valores de las pendientes de las rectas tangentes disminuyen al aumentar el valor de x, y esto implica que f (x) es decreciente en dicho tramo, por lo cual la derivada segunda es negativa. 1 En cambio, en los puntos en los cuales la concavidad es positiva, las pendientes de las rectas tangentes aumentan y esto implica que f (x) es creciente en dicho tramo, por lo cual la derivada segunda es positiva. Una función tiene concavidad positiva en un intervalo de su dominio si f (x) > 0 en dicho intervalo, y concavidad negativa si f (x) < 0. Los máximos relativos de una función pertenecen al intervalo del dominio donde la concavidad de la función es negativa y los mínimos relativos, donde es positiva. Las condiciones suficientes para la existencia de extremos relativos de una función son: - f (x1) = 0 f (x1) < 0 f(x1) es un máximo relativo - f (x2) = 0 f (x2) > 0 f(x2) es un mínimo relativo Ejemplo: f(x) = (x-2)2 + 1 f (x) = 2(x-2) f (x) = 0 2(x-2) = 0 x = 2 f(2) = 1 f (x) = 2 f (x) > 0 La derivada segunda es siempre positiva. La curva es cóncava hacia arriba. Por lo tanto p= (2;1) es un mínimo relativo 1 La derivada segunda de una función mide la tasa de variación de la 1er. derivada, es decir, mide la tasa de variación de la pendiente de la recta tangente. Página 6 de 8

Punto de inflexión: Un punto de inflexión es aquel en el cual la curva representativa de la función cambia su concavidad. Cuando la curva representativa de la función pasa por un punto de inflexión, la derivada segunda cambia de signo en ese punto, por lo tanto f (x) = 0. Ejemplo: f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 f (x) = 0 3x 2 = 0 x = 0 f(0) = 0 f (x) = 6x 6x = 0 x = 0 f (-0,1) < 0 y f (0,1) > 0, por lo tanto cambia de concavidad. De modo que p = (0;0) es un punto de inflexión. Los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión se denominan puntos críticos de una función. Otra forma de verificar si hay punto de inflexión: - Halla la primera derivada. - Encuentra la segunda derivada de tu función. - Iguala la segunda derivada a cero y resuelve la ecuación resultante. La respuesta que obtengas será un posible punto de inflexión. - Encuentra la tercera derivada de tu función, para comprobar si tu respuesta realmente es un punto de inflexión. - La regla estándar para evaluar un posible punto de inflexión es así: Si la tercera derivada no es igual a cero, f (x) 0, el posible punto de inflexión realmente es un punto de inflexión. Ejemplo: f(x) = x 3 + 2x - 1 f (x) = 3x 2 + 2 f (x) = 6x 6x = 0 x = 0 (posible punto de inflexión) f (x) = 6 como la derivada tercera es distinta de cero existe un punto de inflexión Cuando se calculó la segunda derivada, se encontró que x = 0. Por lo tanto, se debe encontrar f(0) para determinar las coordenadas f(0) = 0 3 +2.0 1 = 1. Resumiendo: - Si f es cóncava hacia arriba (concavidad positiva), entonces f (x) >0 - Si f es cóncava hacia abajo (concavidad negativa), entonces f (x) < 0 - Si f (x 0 ) = 0, la curva cambia de concavidad, o sea que en x = x 0, existe un punto de inflexión. Sea x 0 un punto crítico de f, es decir f (x 0 ) = 0; entonces: - Si f tiene mínimo relativo en x = x 0, entonces f (x 0 ) > 0 - Si f tiene máximo relativo en x = x 0, entonces f (x 0 ) < 0 9) Halla los puntos críticos de cada una de las siguientes funciones. a) f(x) = x 3 3x + 4 b) f(x) = - x 3 3x 2 + 2 c) f(x) = x 4 4x 2 + 4 10) Dadas las siguientes funciones obtiene en cada caso: a) Puntos críticos, sus máximos y mínimos. b) Indica intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Determina dónde son cóncavas hacia arriba y dónde hacia abajo, como así también los puntos de inflexión. d) Grafica las funciones en el intervalo dado. 10.1) f(x)= -x 2 + 6x + 7 en el [0;5] 10.2) f(x)= x 3 3x 2 + 4 en el [-2;4] 10.3) f(x)= x 3 + 3x en el [-3;3] Página 7 de 8

Diferencial de una función: Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) h. Se representa por dy. dy = f (x). h dy = f (x). dx Demostración: f (x) = tg β = 9: = 9: ;: < QR = f (x). h dx (diferencial de x) y QR = dy (diferencial de y) dy = f (x). dx como h es el incremento, lo llamamos La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente. Ó dicho de otra forma: la diferencial representa el incremento de la variable dependiente, pero no hasta la curva, sino hasta la tangente. Nota: La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado. Ejemplos: a) f(x) = 3x 2 + 5x 6 df(x) = (6x + 5).dx b) Para calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1 mm su lado: S = x 2 ds = 2x. dx (área del cuadrado: x 2 ) d(s)= 2 2 0.001 = 0.004 m 2 (reemplazamos x por los 2 m del lado del cuadrado y dx por el incremento sufrido por el lado 1mm = 0,001 m) Rta.: Si en un cuadrado de 2m de lado, se incrementa el mismo en 1mm, la superficie total del mismo se verá incrementada en 0,004 m 2. c) Un instrumento de medida que aproxima sólo hasta los milímetros proporciona para el radio de un círculo una longitud de 14 m. Estimar el error absoluto máximo esperable en el cálculo del área del círculo. Rta.: El área del círculo A = π.r 2. Por tanto hemos de hallar la variación del área para una variación de r = 0,001 mm, para lo que calcularemos da: Error absoluto máximo esperable da = A (r). dr = 2.π.r.dr = 2.π.14.0,001 = 0,08796 m 2. 11) Resuelve los siguientes problemas aplicando la diferencial de una función: a) Un depósito tiene forma de esfera de 3 m de radio. Estimar cuánto aumentará el volumen del depósito si el radio aumenta 5 cm. (Nota: la fórmula del volumen de una esfera es: v = π. r 3 ) b) Se sabe que en determinadas placas cuadradas para circuitos impresos, con el aumento de temperatura en el funcionamiento del procesador se produce una dilatación lineal de los lados de las placas del 0,4 %. El lado de cada placa mide 7 mm. Calcular aproximadamente el aumento en el área de la placa. c) Un móvil se mueve según la relación s = 5t 2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre 7 segundos y (7 + 1/3) segundos. d) Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0,2 cm su longitud. Página 8 de 8