4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES Dr. http://math.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ

41 4.1 Espacio Muestral y Evetos 4.1.1 1 Experimetos Aleatorios y Espacios Muestrales U experimeto es ua observació de u feómeo que ocurre e la aturaleza. Tipos de experimetos: Experimetos Determiísticos: So aquellos e dode o hay icertidumbre acerca del resultado que ocurrirá cuado éstos so repetidos varias veces. Experimetos Aleatorios: So aquellos e dode o se puede aticipar el resultado que ocurrirá, pero si se tiee ua completa idea acerca de todos los resultados posibles del experimeto cuado éste es ejecutado. 2

4.1 Espacio Muestral y Evetos Espacio Muestral: Es el cojuto de posibles resultados de u experimeto aleatorio. Represetaremos el espacio muestral S y cada elemeto de él es llamado u puto muestral. Ejemplo: Exp2: Lazar u par de moedas y aotar el resultado que sale Exp 5: Se aota el tiempo que hay que esperar para ser atedidos e u Baco S { CC, CX, XC, XX} = 2 s = { t : 0} [ 0, ) 5 t Tipos de espacios muestrales: Espacios muestrales discretos: So espacios muestrales cuyos elemetos resulta de hacer coteos, y por lo geeral so subcojutos de los úmeros eteros. Espacios muestrales cotiuos: So espacios muestrales cuyos elemetos resulta de hacer medicioes, y por lo geeral so itervalos e la recta Real. 3

4.1.2. Evetos U Eveto es u resultado particular de u experimeto aleatorio. E térmios de cojutos, u eveto es u subcojuto del espacio muestral. Por lo geeral se le represeta por las primeras letras del alfabeto. Ejemplo: A: Que salga u úmero par al lazar u dado. E: Que haya que esperar más de 10 miutos para ser atedidos. Eveto Nulo: Es aquél que o tiee elemetos. Se represeta por φ. Eveto Seguro: Es el espacio muestral que puede ser cosiderado como u eveto. 4

4.1.3. Relacioes etre evetos Uió de evetos: Dados dos evetos A y B de u mismo espacio muestral su uió se represeta pora B y es el eveto que cotiee los elemetos que está eaa oeb, B o e ambos. El eveto ocurre si al meos uo de los dos evetos ocurre. Dada ua coleccióa,... de evetos, su uió deotada por U 1, A A i ocurre si al meos uo de los,(1 i ) ocurre. i =1 Itersecció de evetos: Dados dos evetos A y B de u mismo espacio muestral su itersecció se represeta por A B y es el eveto que cotiee los elemetos que está eaa y B al mismo tiempo. El eveto ocurre cuado los evetos ocurre simultáeamete. Dada ua colecció A 1,..., A de evetos, su itersecció deotada por I A i ocurre si todos los i=1 evetos A, (1 i ) ocurre a la vez. A i A i 5

4.1.3. Relacioes etre evetos Eveto Complemeto: El complemeto de u eveto A se represeta por A y es el eveto que cotiee todos los elemetos que o está e A. El eveto A ocurre si A o ocurre. Propiedades de relacioes etre evetos: Sea A, B y C elemetos de u mismo espacio muestral S etoces: 1) Propiedad Comutativa: A B = B A, A B = 2) Propiedad Asociativa: A B C) = ( A B) C, A 3) Propiedad Distributiva: A ( B C) = ( A B) ( A C), 4) Leyes de De Morga: A B = A B, B A ( ( B C) = ( A B) C A ( B C) = ( A B) ( A C) A B = A B Todas estas propiedades se puede aplicar a más de dos evetos. 6

4.2 Métodos de asigar Probabilidades 4.2.1 Método Axiomático: La Probabilidad es cosiderada como ua fució de valor real defiida sobre ua colecció de evetos de u espacio muestral S que satisface los siguietes axiomas: 1. P( S) = 1 2. Si A es u eveto de S etoces P ( A ) 0. 3. Si, A i es ua colecció de evetos disjutos (por pares) etoces P( U Ai ) = P( Ai ). Esta es llamada el axioma de aditividad i= 1 i= 1 cotable. Asumiedo que A + 1 = A + 2 =... =φ se sigue del axioma 3 que P(U Ai ) = P( Ai ), ésta es llamada la propiedad de aditividad i= 1 i= 1 fiita. 7

Propiedades de la probabilidad P (φφ ) = 0 P( A) = 1 P( A) P( AUB) = P( A) + P( B) P( A B) 8

Ejemplo 4.1. Jua y Luis está solicitado ser admitidos e ua uiversidad. La probabilidad de que Jua sea admitido es 07ylaprobabilidad 0.7 de que Luis sea admitido es 0.6. La probabilidad de que ambos sea admitidos es.45. a) Cuál es la probabilidad de que solamete uo de ellos sea admitido? b) Cuál es la probabilidad bilid d de que al meos uo de ellos sea admitido? id c) Cuál es la probabilidad de que iguo de los dos sea admitido? 9

S J L.25.45.15.15 Diagrama de Ve para el ejemplo 4.1 J No J L.45.15.6 No L.25.15.4.7.3 1.00 Tabla de clasificacio cruzada para el ejemplo 4.1 10

Ejemplo 4.2. Ua empresa tiee dos maeras A y B de presetar u uevo producto al mercado. Si preseta el producto de la maera A la probabilidad de que el producto sea exitoso es 0.44 y si lo preseta de la maera B la probabilidad de éxito se reduce a 0.29. La probabilidad de que el producto fracase co ambas maeras de presetació es 0.37. Cuál es la probabilidad de que el producto sea exitoso co ambas formas de presetació? Solució: Los evetos so: A: Que el producto sea exitoso co la maera A y B: que el producto seaexitosocolamaerab. Teemos que hallar P ( A B) ) El problema puede ser resuelto aplicado la Ley de Morga y la regla aditiva pero usaremos e su lugar diagramas de Ve y tabla de clasificacio cruzada. 11

S A B.34.10.19.37 Diagrama de Ve para el ejemplo 4.2 A A B 0.10 0.19 0.29 B 0.34 0.37 0.71 044 0.44 056 0.56 100 1.00 Tabla de clasificacio cruzada para ejemplo 4.2 12

4.2.2. Método Clásico U espacio muestral fiito S = { w 1,..., w } se dice que es Equiprobable si cada uo de sus elemetos tiee la misma 1 probabilidad de ocurrecia, es decir para todo P w i ), ( = i = 1,..., Ejemplo 4.4. Se laza u par de dados legales y distiguibles, etoces su espacio muestral ldado d por: S = {( i, j) : i, j = 1,2,3,4,5,6 } tiee 36 resultados, cada uo de ellos co probabilidad de ocurrecia 1/36. 13

4.2.2. Probabilidades- Método Clásico Defiició. Si u experimeto aleatorio tiee u espacio muestral equiprobable S que cotiee# ( S ) elemetos y A es u eveto de S que ocurre de #( A) maeras distitas etoces la probabilidad de ocurrecia de A es: P ( A) = #( A) #( S) Ejemplo 4.6. Cuál es la probabilidad de que salga suma mayor que 7 al lazar u par de dados? Solució: El eveto A: Suma mayor que 7, icluye los resultados que da suma 8, 9, 10, 11 ó 12 y éstos ocurre de 5, 4, 3, 2 y 1 maeras repectivamete. Luego #( A ) = 15, por lo tato P( A) = 15 36. 14

4.2.3 Probabilidades-Método Frecuecial Si u experimeto se repite veces y (A) de esas veces ocurre el eveto A, etoces la frecuecia relativa de A se dfi ( A defie por ) f A =. Se puede otar que: a) f S = 1 b) f A 0 c) Si A y B so evetos disjutos etoces f A B = fa + fb Es decir satisface los axiomas de probabilidad. bilid d Defiició. La probabilidad del eveto A es el valor al cual se aproxima f A cuado el experimeto se ha repetido u gra úmero de veces. O sea: ( A ) ( A ) P 15

4.2.5 Probabilidades-Método Subjetivo Alguas persoas de acuerdo a su propio criterio geeralmete basado e su experiecia, asiga probabilidades a evetos, éstas so llamadas probabilidades subjetivas. Por ejemplo: La Probabilidad de que llueva mañaa es 40%. La Probabilidad de que haya u terremoto e Puerto Rico ates del 2000 es casi cero. La Probabilidad de que el caballo Camioero gae el clásico del domigo es 75%. 16

4.3 Probabilidad Codicioal Sea A y B dos evetos de u mismo espacio muestral S. La probabilidad codicioal de A dado que B ha ocurrido esta dado por: P( A/ B) = P( A B) #( A B) = P ( B ) #( B ) Ejemplo 4.11. Se laza u par de dados legales y distiguibles. Cuál es la probabilidad de que solamete uo de los dos dados sea par si se sabe que la suma de los dos es mayor que 8? Solució: Sea los evetos A: Que solamete uo de los dos dados sea par y el eveto codicioate B: Que la suma sea mayor que 8. Claramete # B = y #( A B) = 6. Luego P( A/ B) = 6 10. ( ) 10 17

Ejemplo 4.13 E ua ciudad se hizo ua ecuesta acerca de la opiió de las persoas adultas co respecto a ua ley del gobiero. La siguiete tabla muestra los resultados de la ecuesta clasificados segú el sexo del etrevistado. A favor E cotra Absteidos Total Hombre 12 28 8 48 Mujer 10 15 12 37 Total 22 43 20 85 Se elige al azar ua persoa a) Cuál es la probabilidad de que favorezca la ley si resulta ser mujer? b) Cuál es la probabilidad de que sea mujer si resulta estar e cotra de la ley? c) Cuál es la probabilidad de que sea hombre si la persoa elegida o se abstuvo de opiar? 18

4.3.1 Regla del Producto. Dados los evetos A y B de u mismo espacio muestral, la probabilidad de que ambos ocurra esta dado por: P ( A B) = P( A) P( B / A) Ejemplo 4.15. Segú la Comisió Electoral de u país, el 90 por cieto de las esposas vota si sus esposos lo hace, y el 20 por cieto vota si su esposo o lo hace. Además el 70 por cieto de los hombres casados vota. Se elige al azar u matrimoio. Cuál es la probabilidad de que: a) ambos esposos vote? b) sólo uo de los esposos vote? c) vote la esposa? d) al meos uo de los esposos vote?. 19

Esposo Vota Esposo Vota P(V 1 V 2 )=(.7)(.9)=.6.3.9.7 P(V 1 )=(.7)(.1)=.07.1 P(V 2 )=(.3)(.2)=.06.3.2.8 P()=(.3)(.8)=.24 20

4.3.2 Probabilidad Total y Regla de Bayes Regla de la Probabilidad Total: Sea B1,,B, ua colecció de evetos que forma ua partició del espacio muestral S esto es U B i = S y B i B j = φ para i j. Sea A otro eveto i = 1 defiido sobre S etoces: P( A) = P( Bi ) P( A / B i ) i= 1 (UU i i= 1 Notar que: A = A S = A ( B ). Aplicado la propiedad Distributiva: A = P( A) U A B i, la uió es disjuta, y y aplicado el tercer axioma: i=1 = P( A B i ). Fialmete se aplica la regla del producto a cada i = 1 térmio de la suma. Para ua partició de S e dos evetos B y se obtiee: P ( A ) = P ( B ) P ( A/ B ) + P ( B ) P ( A/ B ) B 21

Ejemplo 4.17 El 70 % de los pacietes de u hospital so mujeres y el 20% de ellas so fumadoras. Por otro lado el 40 % de los pacietes hombres so fumadores. Se elige al azar u paciete del hospital. Cuál es la probabilidad de que sea fumador? Solució: Sea los evetos F: Que el paciete sea fumador, H:Queel el paciete sea hombre y M: Que el paciete sea mujer. Claramete, P ( F) = PM ( ) PF ( / M) + PH ( ) PF ( / H), luego se tiee: ( M ) =. 7, P P ( H ) =. 3 P ( F / M ) =. 2 y P( F / H ) =. 4, sustituyedo estos valores e la fórmula aterior: P( F ) =. 7.2 +.3.4 =. 26, 22

Diagrama de árbol para el ejemplo 4.17 23

La Regla de Bayes Bajo las mismas codicioes de la regla de probabilidad total, se cumple que: P( B j / A) = P( B ) P( A/ B ) i= 1 j P ( B ) P ( A / B ) i B i j P( B j A) Por defiició de probabilidad codicioal P( B j / A) = y P( B) aplicado la regla del producto e el umerador y probabilidad total e el deomiador se obtiee la regla de Bayes. La fórmula permite calcular facilmete probabilidades codicioales, llamadas probabilidades aposteriori siempre y cuado se coozca las probabilidades a priori P ( B j ), y las probabilidades codicioales P A / B ) ( j 24

Ejemplo 4.21 Supoga que los chips de u circuito itegrado so probados co cierto istrumeto y la probabilidad de que se detecte los defectuosos es.99. Por otro lado hay ua probabilidad de.95 de que u chip sea declarado como bueo si efectivamete lo es. Si el 1% de todos los chips so defectuosos. Cuál es la probabilidad de que u chip que es declarado como defectuoso sea e realidad bueo? Solució: Sea los evetos M: Que el chip sea declarado defectuoso por el istrumeto, D: Que el chip sea realmete defectuoso y B: Que el chip sea realmete bueo, etoes se tiee:, además 25

4.4 Evetos Idepedietes Dos evetos A y B so idepedietes si la ocurrecia de uo de ellos o afecta la probabilidad de ocurrecia del otro. O sea: De la defiició de probabilidad codicioal se obtiee la siguiete defiició equivalete: Dos evetos A ybsoidepedietes di si: 26

Ejemplo 4.24 U tirador hace dos disparos a u blaco. La probabilidad de que acierte e el blaco es.8, idepedietemete del disparo que haga. Cuál es la probabilidad de que el tirador: a) Acierte ambos disparos? b) Acierte sólo uo de los dos disparos? c) Acierte por lo meos u disparo? d) No acierte iguo de los dos disparos? Solució: Sea los evetos Ai: Que el tirador da e el blaco e el disparo i (i =1, 2). Por aplicació directa de la propiedad 5 se obtiee: 27

4.5. Aplicació de técicas de coteo al Cálculo de Probabilidades 4.5.1 Regla Multiplicativa del coteo: Si u experimeto I ocurre de m maeras distitas y u experimeto II ocurre de maeras distitas etoces, el experimeto compuesto de I seguido de II ocurre de maeras. La regla multiplicativa se puede geeralizar de la siguiete maera: Si u experimeto compuesto de k experimetos simples, cada uo de los cuales se puede efectuar de i,(1 i k) maeras distitas, etoces el experimeto compuesto se puede efectuar de 1 2... k maeras distitas. 28

Ejemplo 4.28 Ua cotraseña para accesar a ua computadora cosiste de 36 caracteres que puede ser letras (26) o úmeros (10). a) Cuátas cotraseñas distitas se puede formar? b) Cuátas cotraseñas distitas se puede formar coteiedo sólo úmeros? c) Cuátas cotraseñas distitas se puede formar si debe teer por lo meos ua letra? Solució: 29

4.5.2 Permutacioes Ua permutació es u arreglo ordeado de objetos distitos. Por ejemplo, las permutacioes de tamaño 2 que se puede hacer co las letras A, B y C so: AB, AC, BC, BA, CA y CB. Haciedo uso de la regla multiplicativa del aálisis combiatorio se desprede que: i) El úmero de permutacioes de objetos tomados todos a la vez está dado por P, =! = 1 2... ( ) ( )( ) 1 ii) El úmero de permutacioes de objetos distitos tomados de r e r está dado por:! P (, r) = ( 1)...( r + 1) = ( r )! Recordar que 0! = 1. 30

Ejemplo 4.30 Ocho atletas compite e la fial olímpica de los 110 metros co vallas. Asumiedo que ellos cruza la meta e distitos istates. Cuátas maeras distitas hay para etregar las medallas de oro, de plata y de broce? Solució: El primer premio puede ser etregado de 8 maeras, el segudo de 7 y el tercero de 6, luego por la regla multiplicativa hay maeras distitas de etregar los premios. Claramete, esto es: P (,3 ) 8 = 8 5!! 31

4.5.3 Combiacioes Ua combiació es ua selecció de objetos dode el orde e que estos ha sido escogidos o iteresa. Por ejemplo, las combiacioes que se puede hacer co los objetos: A, B y C elegidos de dos e dos so: AB, AC y BC. Observe que el úmero de permutacioes obteidas ateriormete fue el doble. El úmero de combiacioes de objetos tomado de r e r está dado por: = r! P (, r ) = r!( r )! r! Como 0! = 1, se tiee que = 0 = 1 32

Ejemplo 4.36 Ua señora tiee 8 amigas y desea ivitar a 5 de ellas a ua fiesta. De cuátas maeras puede hacerlo si dos de ellas está eojadas etre si y o puede ser ivitadas jutas? Solució: 6 Hay = 20 ivitacioes posibles dode las dos persoas e 3 disputa puede ser ivitadasi jutas, y hay u total de 8 = 56 ivitacioes que se puede hacer. 5 Luego, usado complemeto hay 56 20 = 36 ivitacioes dode las dos persoas eemistadas o aparece jutas. 33