Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria de Febrero 27 de Enero de 26 Nombre y Apellidos: DNI: 6.25 p.) ) Se considera la función f : [, ) R definida por x si x fx) = si x > x.75 p.) a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f. Calcular f en los puntos en los que exista..25 p.) b) Calcular los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Hallar los valores máximo y mínimo absolutos alcanzados por f en [, ). p.) c) Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de f..75 p.) d) Estudiar si la gráfica de la función f tiene alguna asíntota horizontal y representar de forma aproximada dicha gráfica..25 p.) e) Calcular fx) dx. Estudiar si converge la integral impropia fx) dx..25 p.) f) Determinar el polinomio de Taylor de grado 2 de f centrado en x =. Utilizarlo para aproximar el valor de 2 y dar una cota del error cometido en dicha aproximación..75 p.) 2) Se considera la ecuación e x = 4x x 2 2..75 p.) a) Probar que tiene una única solución en el intervalo [/2, ]. p.) b) Demostrar que la sucesión definida a partir de x = por la recurrencia x n+ = 2 + x 2 4 n + e xn), n =,, 2,..., converge a la única solución de la ecuación en [/2, ]. 2 p.) 3) p.) a) Sea x n una serie convergente de términos positivos. Estudiar la convergencia de las siguientes series: i) e xn ; ii) x 2 n ; iii) xn. p.) b) Estudiar para qué valores de x R converge la serie de potencias + n n 2 2 n x 2)n.
SOLUCIONES PROBLEMA. a) La función f es continua en [, ) por ser composición de funciones continuas. En, ) también es continua por ser cociente de funciones continuas cuyo denominador no se anula en el intervalo considerado. Por otra parte, fx) = x = x x fx) = = ln) =. x + x + x Por tanto x fx) = = f), de donde se deduce que f también es continua en x =. Luego f es continua en todo el intervalo de definición [, ). Usando las reglas de derivación, se obtiene que f es derivable en [, ), ) y f 2 si x < x x) = x 2 si x > Veamos que f no es derivable en x = ya que no existe la derivada por la izquierda de f en ese punto: fx) f) x x = = x x x x x x = =. x x Por tanto, f es derivable en todo el dominio de definición excepto en x =. b) Estudiamos en primer lugar el intervalo [, ). En este caso, f x) = 2 >, x [, ), x y por tanto f es estrictamente creciente en [, ). En el intervalo, ), la derivada de f es f x) = )/x 2, que sólo se anula cuando =, es decir, para x = e. Como f x) = 2 3)/x 3, x >, se tiene que f e) = /e 3 <, y por tanto f alcanza en x = e un máximo relativo estricto. Por otra parte, x 2 > < x < e, de tal forma que f es creciente en, e) y decreciente en e, ). En resumen, f es creciente en [, e) y decreciente en e, ), con lo que los únicos extremos relativos se alcanzan en x = extremo inferior del intervalo de definición) y x = e. Dado que f ) = 2, fe) = /e y fx) >, x > e, se deduce que el mínimo absoluto alcanzado por f es f ) = 2 y el máximo absoluto es fe) = /e. 2
c) Los puntos de inflexión de f se calculan entre las raíces de f siempre que la función sea dos veces derivable. Por tanto, el punto x = donde f no es derivable) hay que estudiarlo directamente. Para x [, ), f x) = /4) x) 3/2 > y por tanto f es convexa en [, ). Para x >, f x) = 2 3 x 3 = = 3 2 x = e3/2. Además, f x) < si x, e 3/2 ) y f x) > si x > e 3/2. En consecuencia, f es cóncava en, e 3/2 ) y convexa en e 3/2, ). Los puntos de inflexión son x = y x = e 3/2, donde la función cambia respectivamente de convexa a cóncava y de cóncava a convexa. d) La única posible asíntota horizontal se obtiene calculando el límite de fx) cuando x tiende a +. Usando la regla de L Hôpital, tenemos: /x fx) = = x x x x =. Por tanto, la recta x = es una asíntota horizontal de f en +. Teniendo en cuenta los apartados anteriores, la gráfica de f tiene aproximadamente la siguiente forma: - e e 3/2 - e) Como f está definida de dos maneras distintas en los intervalos [, ] y [, e], separamos la integral en dos sumandos: fx) dx + x) dx + x dx. Ambas integrales son inmediatas: F x) = 2/3) x) 3/2 es una primitiva de x) y Gx) = ) 2 /2 es una primitiva de /x. Por tanto, Finalmente, x) dx = F ) F ) = 2 3 x) dx + 3 ; x x dx = Ge) G) = 2. 2 dx = 3 + 2 = 6.
La integral impropia fx) dx es divergente ya que fx) dx + 2 3 + b b = 2 3 + 2 Gb) G)) = b 3 + lnb)) 2 b 2 =. f) El polinomio de Taylor de grado 2 de f centrado en x = viene dado por p 2 x) = f) + f )x + f ) x 2. 2! Como fx) = x, x [, ], sus derivadas son f x) = f x) = 2 x, 4 x) 3/2. Así pues, f) =, f ) = /2, f ) = /4, y en consecuencia Como p 2 x) = + 2 x + 8 x2. Para aproximar el valor de 2, observemos que f ) = 2, y por tanto 2 = f ) p2 ) = 2 + ) = 8 8 =.375. Finalmente, para dar una estimación del error, recordemos que f ) p 2 ) = f iii) ξ) ) 3, ξ, ). 3! f iii) x) = 3 8 x) 5, que es positiva y creciente en, ) se deduce que f iii) x) f iii) ) = 3 8, x, ). Finalmente, 2 8 = f ) p 2 ) 3 8 3!) = 6 =.625. 4
PROBLEMA 2. a) Consideramos la función gx) = e x 4x + x 2 + 2 y aplicamos el teorema de Bolzano en el intervalo [/2, ], donde g es continua. Tenemos: g/2) = e /2 2 + /4) + 2 = e /2 + /4) > g) = e 4 + + 2 = /e) <. Por tanto, existe al menos un punto x /2, ) tal que gx ) =, que claramente es una solución de la ecuación. Veamos que es única; para ello estudiamos el signo de la derivada de g: g x) = e x 4 + 2x ; g x) = e x + 2. Dado que g x) > para todo x, g es creciente y g x) g ) = 2 e <, x /2, ). El Teorema de Rolle permite concluir que g no puede tener más de una raíz en el intervalo /2, ), y por tanto la ecuación e x = 4x x 2 2 tiene una única solución en /2, ). b) Consideremos la sucesión definida a partir de x = por la recurrencia x n+ = 4 2 + x 2 n + e xn), n =,, 2,..., Se puede escribir como x n+ = F x n ), donde F x) = /4)2 + x 2 + e x ). Para probar que la sucesión es convergente, comprobamos que F es creciente en /2, ), F /2) > /2 y F ) <. En efecto, dado que F x) = 4 2x e x ) ; F x) = 4 2 + e x ) >, se tiene que F es creciente y por tanto F x) F /2) = ) e >, x /2, ). 4 En consecuencia, F es creciente en /2, ). Por otra parte, 2 + 4 ) + e /2 F /2) = 4 > 2 4 = 2 F ) = 4 2 + + e ) = 3 + e 4 De lo anterior se deduce que la sucesión {x n } converge a un punto fijo de F en /2, ). Veamos que este punto fijo es la única solución de la ecuación e x = 4x x 2 2 en /2, ): F x) = x 4 <. 2 + x 2 + e x) = x 2 + x 2 + e x = 4x e x = 4x x 2 2. 5
PROBLEMA 3. a) Como i) x n es convergente, en particular x n =. Entonces: n «n e xn = e x n n = e = y en consecuencia la serie ii) Utilizamos el criterio de comparación por paso al límite: e xn es divergente. Como x 2 n = n x x n =. n n x n es convergente, también es convergente x 2 n. iii) En este caso la serie puede ser convergente o divergente. Por ejemplo, si x n = /n 2 entonces xn = /n es divergente. Sin embargo, si x n = /n 4 entonces xn = /n 2 es convergente. b) Se trata de una serie de potencias centrada en x = 2 y con término general El radio de convergencia es a n = + n n 2 2 n. a n + n)n + ) 2 2 n+ 2n + ) 3 r = = n a n+ n 2 + n)n 2 2 n = n 2 + n)n 2 = 2n 3 + 6n 2 + 6n + 2 n n 3 + 2n 2 = 2. En consecuencia, la serie converge absolutamente si x 2 < 2, es decir en el intervalo, 4). Para x = 4, la serie es la serie es divergente por serlo Para x =, la serie es Obsérvese que n + n n 2 + n n 2 n. Como + n n 2 n n. + n = =, n n ) n + n n 2. = y { + n)/n 2 } = {/n 2 ) + /n)} es una sucesión estrictamente decreciente. Por tanto, del criterio de Leibniz se deduce que la serie converge. En resumen, la serie de potencias es convergente para x [, 4). 6