Recibido: 1 de febrero de 11 Aceptdo: 7 de mrzo de 11 TOOLS EJS 3D / MATLAB FOR THE CONTROL OF THE APPLIED NON LINEAL SYSTEM TO THE INVERTED PENDULUM ON CAR SLIDE HERRAMIENTAS EJS 3D/ MATLAB PARA EL CONTROL DEL SISTEMA NO LINEAL APLICADO AL PÉNDULO INVERTIDO SOBRE CARRO DESLIZANTE MSc. Oscr Oswldo Rodríguez*, Ing. Ronld Fernndo Pined Pinto* PhD (c). Pedro Fbián Cárdens** *Universidd Pedgógic y Tecnológic de Colombi, **Universidd Ncionl Escuel de Ingenierí Electrónic, Sogmoso, Boycá, Tel.: (578) 77545, Ext. 14. E-mil: oscr.rodriguez@uptc.edu.co, roferpined@yhoo.com, pfcrdensh@unl.edu.co Abstrct: In this pper is showed didctic tool for the utomtic control teching bsed on the inverted pendulum on sliding cr, which is developed in virtul prototype, simulting the nonliner model in Mtlb nd presented the result in the jv 3D environment. To give solution to the control problem it is necessry to hve in considertion two principl nd importnt spects s the swing up (to tke the pendulum to verticl position) nd the swinging (to mintin the pendulum in the verticl position). The grph user interfce (GUI) serches to fcilitte the lerning of the bsic concepts of control system for ungrdute nd posgrdute students, serching to minimize costs nd time in the teching. Keywords: EJS, jv, spce of sttes, stbility, Mtlb, control, nonliner. Resumen: En este rtículo se present un herrmient didáctic pr l enseñnz del control utomático bsdo en el péndulo invertido sobre crro desliznte, el cul se desrroll sobre un prototipo virtul, simulndo el modelo no linel en mtlb y presentdo en un entorno jv de 3D. Pr dr solución l problem del control, se tienen en cuent dos spectos principles como los son el swing up (llevr el péndulo posición verticl) y el blnceo (mntener el péndulo en l posición verticl). L interfz l usurio (GUI) busc fcilitr el prendizje de los conceptos básicos de un sistem de control pr estudintes de pregrdo y posgrdo, buscndo minimizr costos y tiempo en l enseñnz. Plbrs clve: EJS, jv, espcio de estdos, controlbilidd, Mtlb, control, no linel. 1. INTRODUCCIÓN Ls pltforms virtules son plicciones Web dedicds l enseñnz. Su objetivo se bs en l intercción que tiene el usurio con el softwre de tl mner que el resultdo finl de ést se el prendizje. Existen vris pltforms virtules y con vridos enfoques formtivos como lo son el prendizje del idiom ingles, ls ciencis nturles, ls mtemátics, entre otrs. Alguns de ls plicciones existentes presentn desrrollos teóricos, imágenes, evluciones, experimentos y un muy importnte, los simuldores como se evidenci en el trbjo desrrolldo por (Delgdo, 9) (Arndet l., 3) 8
Actulmente en ls instituciones de educción superior del mundo, l enseñnz gir lrededor de los simuldores (pltforms virtules), con el fin de proporcionr en el estudinte un experienci en el mnejo y control de sistems y procesos sin l necesidd de su construcción físic. Los estudios relizdos presentn generlmente modelmientos que describen el comportmiento físico de estos sistems reles, por medio de ecuciones mtemátics, dichs ecuciones son solucionds por softwre y los resultdos de ests ecuciones son visulizdos en pntll, de tl mner que se pued obtener un resultdo muy proximdo l rel, y sí el usurio teng l experienci de trbjr y prender en pltform. Los simuldores son tributos de importnci en ls pltforms virtules, se pueden ver como herrmients encrgds de reproducir sensciones que relmente no están existiendo y sin embrgo brcn l cpcidd cerebrl como si el evento ocurrier en relidd, lo cul llev consigo crcterístics prticulres que tienen muchs plicciones, como por ejemplo en pilotos de vión, ellos tienen vuelos simuldos donde vribles importntes como el clim, vrín corde situciones que en un futuro probble pueden vivir, como es de esperr, est formción le entreg l usurio un grn ventj en cunto l relidd, no rriesgn l vid, no gstn el dinero de un vuelo norml, y el tiempo de enseñnz se optimiz. El desrrollo de este trbjo que como fin muestr l creción de un simuldor pr el áre de controlque tiene dos bses, l visulizción del prototipo y los cálculos pertinentes. L visulizción se desrroll en un plicción jv de tipo estudintil conocid como EJS (Esy Jv Simultions) (Esquembre y Snchez.5) l cul cuent con herrmients de diseño D y 3D, permite de form sencill l creción de pplets que son rchivos pr l red, y cuent con conexión Mtlb. Los cálculos se relizn por medio de Mtlb (lbortorio de mtrices). El problem de control no linel trbjdo con EJS y Mtlb corresponde l péndulo invertido sobre crro desliznte, este modelo tiene sus orígenes en el blnceo necesrio pr misiles militres sí como en los cohetes espciles (Sultn). Un diseño rel de este péndulo tiene vrios componentes que vrín entre un diseñdor y otro, como por ejemplo, l trnsferenci de movimiento que se puede dr por un corre, cden o inclusive poles; pero todos ellos poseen lgunos elementles entre los que se encuentrn un motor pr generr el movimiento, un crro donde se sustentr el péndulo, uno o dos rieles donde se moverá el crro y por supuesto un péndulo. El péndulo guí o bse en este rtículo (Cely H. et l., 11) contiene todos los elementos ntes menciondos. El modeldo mtemático del péndulo se compone de tres trbjos y desrrolldos (Sultn, Lm, Cip y Rodríguez. 9) y bs sus cálculos en ecuciones físics pr el movimiento rotcionl sí como ls leyes de Newton. En el primer cso, se obtienen dos ecuciones diferenciles de segundo orden que están en términos de l ms del crro, l ms del péndulo, l posición y l fuerz plicd l crro, pr este cso se trbj con vribles físicmente medibles y que más delnte se puedn comprr con dtos reles, se us un trnsformción de l fuerz en voltje plicdo l motor. El problem de control pr este modelo no linel se compone de dos fses el swing up (Brdshw y Sho, 1996) y el blnceo. El objetivo del swing up es el de llevr el péndulo de l posición verticl bjo l posición verticl rrib, como referenci l posición verticl bjo seri ls 6.3 Hors y l posición verticl rrib 1 hors en un reloj convencionl. El blnceo es el control necesrio pr mntener el péndulo en l vecindd cercn l posición verticl rrib, y es de considerr que este control es del tipo linel, mientrs el nterior es no linel, por lo cul se hce necesrio linelizr este sistem entorno l punto de equilibrio inestble. L solución de ls ecuciones y lguns simulciones se desrrolln en el softwre de Mtlb, el cul cuent con l herrmient llmd S-Function y que demás permite l conexión con otros progrms como en este cso jv (Específicmente EJS).. MODELADO MATEMÁTICO DEL PÉNDULO INVERTIDO SOBRE CARRO DESLIZANTE.1 Descripción El modelo mtemático correspondiente hce referenci l gráfic de l figur 1 (Fuente: SultnKhlil) 9
3. OBTENCIÓN MODELO LINEAL Y CONTROLABILIDAD 3.1 Modelo Linel Fig. 1. Descripción físic péndulo invertido sobre crro desliznte De l figur 1 se observ que el sistem se compone de dos elementos principles que son el crro y el péndulo demás de l fricción que se d en l unión de estos. L form en que funcion el péndulo es l siguiente: independiente de ls condiciones iníciles donde se encuentre el péndulo, el crro comenzr moverse sobre su riel (control no linel) grcis l cción del motor, este movimiento es horizontl, debido l cción nterior prte de l energí se trnsfiere l péndulo el cul empezr movimiento en form de circunferenci, el movimiento seguirá hst que entre en l vecindd cercn l punto de equilibrio inestble (posición verticl rrib), en este punto entr en juego l cción de control de blnceo.. Modelo Mtemático En bse ls ecuciones de movimiento rotcionl, ls leyes de Newton (Serwy R. y Fughn J. 5) y teniendo en cuent ls fricciones significtivsse lleg ls dos ecuciones que describen l nturlez Físico-Mtemátic del péndulo. Ests ecuciones están en términos de l fuerz plicd l crro, por lo cul se procede l trnsformción de l fuerz en el voltje plicdo l motor. El control en l vecindd del punto de equilibrio inestble es de crácter linel, es necesrio llevr el modelo descrito por ls ecuciones (1) y () un modelo linel representdo en espcio de estdos. Pr plicr ls técnics de control y usr Mtlb, se llev tmbién el modelo linel su representción en espcio de estdos que es de l form de l ecución (4) x & Ax + Bu y Cx + Du (4) Considerndo el porte suministrdo en los trbjos de (Boris y Pul ), (Doyle y Frncis 199) junto con los dtos del péndulo guí (Cely H. et l., 11) que se observ en l figur, se us Mtlb pr obtener el modelo linel en espcio de estdos el cul tiene los siguientes resultdos: Mtriz A: 1 11 1 13 14 1 3 4 3gm 4e 3 33 l 4m + m 31 34 ( 4M + m) 3g 9gm 3e 4 4l 4l 41 44 Mtriz B: b1 b 1 KmK g b3 m l R r M + m l + ml 43 ( 4M + m) l( 4M + m) b4 mlkmkg ( ) m l l + ml Rr M + m l + ml ( M + m) x& + bx + mlθ cosθ mlθ sinθ F & & (1) ( l + ml ) θ θ ml & x cosθ b x& + mgl sin () KmKg KmK g F V x& (3) Rr Rr Donde F es fuerz plicd l crro debido l cción del motor, M Ms del crro, m Ms del péndulo, x Posición horizontl del crro,? Angulo del péndulo, b Fricción del crro, l Longitud medi del péndulo,b Fricción entre el crro y el péndulo, K m Constnte de torque del motor, K g Rdio de l cj de engrnjes, R Resistenci de rmdur del motor, r Rdio del piñon, V Voltje plicdo l motor Fig.. Péndulo Rel bse pr los dtos físicos. Fuente (Cely H. et l., 11). 3. Controlbilidd y Observbilidd Pr determinr el criterio de controlbilidd y observbilidd (Doyle y Frncis199) se cude l 3
yud de Mtlb, donde se construyen ls mtrices de controlbilidd y observbilidd según criterios en el punto de operción, determinndo que el rngo de l mtriz de controlbilidd es 4, de igul form con l mtriz de observbilidd grntizndo que el sistem es controlble y observble. movimiento, inicindo en un posición diferente l equilibrio, el péndulo con el tiempo se deteng. 4. DISEÑO CONTROLADORES El primer objetivo es llevr el péndulo dentro de l vecindd l punto verticl rrib pr lo cul se puede usr l técnic de modos deslizntes (Cip J y Rodríguez J. 9). Por otro ldo, cundo el péndulo se encuentr en l vecindd desed entr en juego ls técnics de control linel, objetivo de este trbjo, pr el cso prticulr se h escogido l relimentción por vribles de estdo (Boris y Pul ). (Doyle y Frncis 199). 4.1 Relimentción por Vribles de Estdo Est técnic de control es un de ls más usds debido sus prticulres crcterístics, ell permite ubicr los polos del sistem en lzo cerrdo en un lugr escogido por el diseñdor (que por supuesto no hrá l sistem inestble), dndo como resultdo un vector de gnncis pr cd un de ls vribles de estdo. Con l yud de Mtlb y los trbjos relizdos en este cmpo se lleg l vector de gnncis correspondiente, pr el péndulo guí: V gnncis [K 1 K K 3 K 4 ] El vector de gnncisse puede vrir desde l interfz gráfic de usurio, permitiendo clrr los conceptos dquiridos en un sistem de control, verificndo previmente que ocurre en el sistem si lgun de ls gnncistom vlores grndes o pequeños. Fig. 3. Esquem pr simulr el modelo mtemático del péndulo en bse l S-function Centimetros 4Segundos6 8 1 Fig. 4. Movimiento del crro nte un condición inicil diferente de cero. Centimetros 6 4 1 9 8 7 6 5 4 Desplzmiento del Crro Desplzmiento Pendulo 3 4 6 8 1 Segundos Fig 5. Movimiento del péndulo nte un condición inicil diferente de cero En l figur 5 se observ que el péndulo tiene un movimiento osciltorio con mplitud descendiente hst llegr cero, lo cul corrobor l prticulridd cerc del modelo mtemático que se está trbjndo, es decir el péndulo en el punto de equilibrio estble como un foco estble. 5. SIMULACIÓN DEL PÉNDULO INVERTIDO SOBRE CARRO DESLIZANTE Un de ls forms de corroborr que el modelo mtemático usdo es el propido,se bs en simulciones con Mtlb grcis l yud de ls S-function, l cul puede verse como un plntill que suministr Mtlb pr hcer trbjo sobre modelos no lineles. En l figur 3 se present el esquem de l simulción (Fuente: utores), ls vribles de slid pr posición del péndulo y del crro en ls figur 4 y 5 (Fuente: utores) donde pretende verse que luego de drle l péndulo 31 6. EASY JAVA SIMULATIONS (EJS) EJS es un producto desrrolldopor un grupo crgo de Frncisco Esquembre, es un progrm bsdo en lenguje jv que tiene como finlidd simulr modelos físicos reles en y 3 dimensiones, un de sus principles crcterísticses l conexión con progrms desrrolldos en Mtlb (Esquembre F. y Sánchez J., 5) y jv convencionl. En est sección se presentn los prtes de l interctividd y uso de EJS.
6.1 Ventn Principl de EJS L grfic de l figur 7 (Fuente: Autores) muestr l ventn principl de l plicción EJS.Como se observ, l ventn se compone de 3 etiquets principles llmds Descripción, Modelo y Vist. En l etiquet Descripción se ubic todo lo referente l notción del trbjo que se h relizdo, como por ejemplo l teorí y prtes de los utores. En l etiquet Modelo se ubic lo referente l progrmción o generción de l simulción, por ejemplo l ubicción de vribles, l relción entre vribles, l form en que ls vribles cmbin o evolucionn, l conexión de vribles con otros progrms y los sub progrms que se pueden usr internmente credos en versión jv. Por último está l etiquet Vist, l cul cuent con ls herrmients necesris pr crer l interfz grfic de usurio (GUI), donde se encuentrn ls opciones de gráficos y 3D entre otrs. 6. Diseño del prototipo virtul del Péndulo invertido sobre crro desliznte Usndo l sección Vist de EJS se genero el modelo tridimensionl pr el péndulo, como puede verse en l figur 6, (Fuente: Autores) el cul se bs en el prototipo rel de l figur. Se observ con clridd l existenci de los dos rieles, el crro, el péndulo y los fines de curso, elementos básicos del sistem. donde se observ el árbol generl del modelo 3D pr el péndulo se observ en l figur 7 (Fuente: utores). Fig. 7. Hoj que contiene el árbol pr el modelo 3D del péndulo trtdo. De l figur 7 se observ l existenci de vrios elementos y menciondos como el Cilindro3D el cul pr este cso se llm Pendulo, este tiene entre sus crcterístics el que se puede mnipulr con vribles lo cul se observ en un sección posterior. En est grfic se precin los deslizdores llmdos RielLong y LonPen los cules son vribles que cmbin en form de brr deslizdor, un cmbio en ells es un cmbio en el modelo generdo en mtlb del péndulo no linel en cuestión. 6.3 Definición de vribles En l gráfic de l figur 8 (Fuente: Autores) se muestr l ventn correspondiente l etiquet Modelo sección vribles, en ell se observn ls correspondientes vribles que se usron pr generr el modelo del péndulo y poner su crro en movimiento de cuerdo un oscilción sinusoidl, cred desde un rchivo Simulink/Mtlb. Fig. 6. Prototipo tridimensionl de péndulo invertido sobre crro desliznte. L form en que se genero el modelo tiene como principl crcterístic el uso del elemento Grupo3D, herrmient de l etiquet vist, el cul permite en su interior ubicr otros elementos como Cj3D y Cilindro3Dlos cules son l bse pr tener el resultdo observdo en l figur 6. Est metodologí permite trtr cd elemento de form independiente, o todos como uno solo en función de l necesidd del progrmdor. L hoj 3 Fig. 8. Ventn de vribles usds en el prototipo tridimensionl del péndulo.
De l gráfic de l figur 8 resltn dos spectos importntes que se encuentrn dentro de los recudros. El superior hce referenci l ubicción (extern EJS) donde se encuentr el modelo de Simulink generdo en Mtlb, sin est dirección el modelo de EJS no podrí relizr l conexión. En el recudro inferior se observ que l vrible, usd pr ubicr l posición horizontl del crro, está conectd output1 (Product), l cul es un slid del sistem hecho en Simulink 6.4 Conexión EJS Mtlb Ahor se muestr cómo se mueve el crro del péndulo con un función sinusoidl de Simulink, lo cul llev interno l conexión de los menciondos progrms. L figur 9 (Fuente: utores) muestr el movimiento del crro del péndulo y l gráfic de l señl sinusoidl que se les está plicndo desde Mtlb, los vlores de l señl se cpturn de Mtlb y se muestrn en EJS. EJS permite l creción de un prototipo tridimensionl del péndulo invertido sobre crro, pr en el desrrollr simulciones. EJS permite l vinculción de vribles propis de Mtlb y sen de extensión.m o.mdl El trbjo desrrolldo permite relizr nlogís con péndulos físicos de este tipo, dndo un vist previ de los resultdos reles que se podrín obtener. El trbjo desrrolldo es un herrmient de interctividd entre el simuldor y el estudinte, optimizndo su prendizje. RECONOCIMIENTO Este trbjo se pudo desrrollr grcis l Ingeniero Jhon Cip por su yud con Mtlb. A los ingenieros KhlilSultn, Aln Brdshw y Jindisho, por su yud con los modelos mtemáticos. Por último, l ingeniero Frncisco Esquembre, por su desrrollo del trbjo EJS. REFERENCIAS Fig9. Resultdo de l de l intercción entre Mtlb y EJS. 7. CONCLUSIONES El modelo mtemático no linel implementdo cumple ls condiciones mínims pr relizr un prototipo virtul del péndulo invertido sobre crro desliznte. Pr que el modelo mtemático se lo más rel posible es necesrio tener en cuent ls fricciones que resltn en su estructur. L técnic de control RVE permite mntener l péndulo dentro de l vecindd del punto de equilibrio inestble. Prdo G., A. y Díz R., J. L. (4). Aplicciones de los convertidores de frecuenci, Estrtegis PWM, Editoril Jv E. U., Colombi. Delgdo M. (9). Lbortorio virtul de control inteligente, Universidd utónom de occidente fcultd de ingenierí, Colombi. Arnd J., Dormido S., Muñoz R., Chos D., Diz J. (3). Entorno de Simulción Interctiv pr el control de Posicionmiento Dinámico de un Pltform Mrin Amrrd., Espñ. Esquembre F., Snchez J. (5). Esy Jv Simultions,Using Ejs to run Simulink models inn interctive wyfor version 3.4, Espñ. Sultán K. (5).InvertedPendulum. Pkistn. Cely H., Riño J., Rodriguez O. (11) Modeldo, diseño y control de swing up y blnceo del pendulo invertido sobre crro desliznte. Universidd Pedgógic y tecnológic de Colombi, Colombi Lm J. Control of An Inverted Pendulum Cip J., Rodríguez J. (9). Modeldo, diseño y control de swing up y blnceo del péndulo invertido rotcionl. Universidd Pedgógic y tecnológic de Colombi, Colombi. 33
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