Asignaura: Ingeniería Indusrial Índice de Conenidos 1 Inroducción... 2 2 Tiempo de vida... 3 3 Función de fiabilidad... 4 4 Vida media... 6 5 Tasa de fallo... 9 6 Relación enre concepos... 12 7 Observaciones censuradas... 13
1 Inroducción La gran mayoría de los disposiivos físicos o angibles sufren un proceso de degradación causado por el paso del iempo y/o por su uilización. También los disposiivos no angibles, como el sofware informáico, por ejemplo, ienden a mosrar siuaciones de fallo (funcionamieno no correco) con su uso. Ello significa que, a menos que se omen medidas de manenimieno eficaces, cualquier disposiivo (componene o sisema) acabará fallando, i.e.: evenualmene, el disposiivo dejará de ser operaivo (dejará de realizar correcamene la función que le había sido asignada). La fiabilidad de un disposiivo (componene o sisema), someido a unas condiciones de rabajo concreas, es la probabilidad de que ése funcione correcamene ( sobreviva sin fallar) durane un deerminado período de iempo. Así pues, la fiabilidad consiuye un aspeco fundamenal de la calidad de odo disposiivo. Por al moivo, resula especialmene ineresane la cuanificación de dicha fiabilidad, de forma que sea posible hacer esimaciones sobre la vida úil del produco. Así, por ejemplo, en el caso de una avionea monomoor, será de gran conveniencia conocer la probabilidad de que ése falle en diferenes eapas de su vida (ras 500 horas de funcionamieno, ras 800 horas de funcionamieno, ec.). Obener una buena esimación de la fiabilidad del moor, posibiliará la oma de decisiones racionales acerca de cuándo conviene revisarlo o cambiarlo por oro nuevo. Muchas de las écnicas que se presenan a lo largo de ese módulo, en especial las no paraméricas, fueron inicialmene desarrolladas para su uso en esudios médicos y biológicos (es decir, considerando enidades orgánicas en lugar de disposiivos) bajo el nombre genérico de análisis de supervivencia (comparación de diferenes raamienos médicos, deerminación de los facores que inervienen en la supervivencia de los peces de un río, ec.). En la acualidad, sin embargo, la aplicación de dichas écnicas, en especial las paraméricas, se ha exendido a oras A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 2 de 17
áreas como la económica o la indusrial bajo el nombre de análisis de iempos de fallo (esablecimieno de períodos de garanía de un produco, diseño de planes de manenimieno prevenivo, ec.). Hay una caracerísica común a los daos que aparecen en la mayoría de los esudios sobre la fiabilidad de un disposiivo. Se raa del hecho de que conengan observaciones censuradas: supongamos que se lleva a cabo una invesigación, de duración predeerminada, para analizar la efecividad de un nuevo méodo de producción de bombillas. La variable de inerés en ese caso sería el número de días que cada una de las bombillas sobrevive (funciona correcamene, sin fallos). A primera visa, parecería sensao uilizar los méodos esadísicos radicionales (ano paraméricos como no paraméricos) con objeo de describir el iempo medio de supervivencia y comparar el nuevo méodo de producción con los méodos aneriores. Sin embargo, al final de la invesigación, es probable que siga habiendo bombillas que funcionen correcamene, y el invesigador no será capaz de esimar con precisión cuáno iempo más permanecerán sin fallar. Para rabajar con ese ipo de daos con información parcial no servirán pues los méodos radicionales, sino que serán necesarias écnicas específicas como las que presenamos en ese módulo. 2 Tiempo de vida Tiempo hasa el fallo El iempo de vida o iempo hasa el fallo de un disposiivo (componene o sisema) hace referencia a la longiud del inervalo emporal en que dicho disposiivo esá funcionando correcamene, i.e., esá operaivo y cumpliendo la función para la que fue diseñado. Ese concepo de iempo hasa el fallo (enendiendo por fallo el suceso causane de que el disposiivo deje de funcionar correcamene), puede represenarse mediane una variable aleaoria coninua y no negaiva T, cuyas funciones de densidad y de disribución se denoarán por f () y F() respecivamene, por lo que se cumplirá: A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 3 de 17
F() = P( T ) = f( u) du 0 df() b f() = Pa ( T b) f( d ) d = a Habiualmene, se considera = 0 como el insane inicial (insane en que el disposiivo fue pueso en marcha). Observar, sin embargo, que ambién sería posible usar oras unidades de medida, disinas de las emporales, para represenar el uso de un deerminado disposiivo (número de ciclos realizados, frecuencia absolua de uso, número de kilómeros recorridos, ec.). Noación Dado 0 < p < 1, por p se denoará al cuanil p de F(), i.e., p será el menor insane emporal al que F() = P( T ) p. 3 Función de fiabilidad Fiabilidad en un insane objeivo Dado un disposiivo someido a unas condiciones de rabajo específicas, y dado un A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 4 de 17
insane emporal 0 0, se define el concepo de fiabilidad del disposiivo en el insane-objeivo 0, R( 0), como la probabilidad de que dicho disposiivo siga funcionando correcamene en ese insane, i.e.: R( ) = P( T > ) = 1 F( ) 0 0 0 Función de fiabilidad A parir de la definición anerior, es posible considerar la función de fiabilidad o función de supervivencia del disposiivo, R(), como la función complemenaria de F() = P( T ), i.e.: 0, R() = P( T > ) = 1 F() La función R() proporciona la probabilidad de que el disposiivo sobreviva al insane. Observar, asimismo, que esa función deermina la proporción de disposiivos iniciales que seguirán funcionando correcamene en el insane. Ejemplo 1: Función de fiabilidad Supongamos que la función de fiabilidad de un deerminado produco viene dada A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 5 de 17
por la ecuación: 2 R () = 2 + 3 donde viene expresada en años. Se sabe que dicho produco iene una garanía de seis meses. Se desea deerminar: a) La probabilidad de que el produco falle durane el período de garanía: 2 PT ( 0.5) = 1 PT ( > 0.5) = 1 R(0.5) = 1 = 0.0588 3 2+ 0.5 b) El período de garanía que debería esablecer el fabricane para que la probabilidad de que el produco fallase durane dicho período fuese de 0.01 (i.e.: sólo el 1% de las unidades fallarían durane el período de garanía): Se desea hallar ahora el valor 0.01 al que PT ( 0.01) = 0.01, i.e.: 2 PT ( > ) = R ( ) = 0.99 =, de donde: + 0.01 0.01 3 2 0.01 0.01 1/3 2 = 2 = 0.272 0.99 años En oras palabras, sería necesario esablecer un período de garanía ligeramene superior a los res meses (0.272 años x 12 meses/año = 3.264 meses) para conseguir que (aproximadamene) sólo un 1% de las unidades fallarían durane el período de garanía. 4 Vida media Tiempo medio hasa el fallo Se llama vida media o iempo medio hasa el fallo (Mean Time To Failure) de un disposiivo a la esperanza de la variable aleaoria T, i.e., la vida media de un disposiivo deermina su iempo de duración esperado: A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 6 de 17
[ ] 0 MTTF = E T = f () d Cuando se consideran políicas de manenimieno basadas en reparar o susiuir un disposiivo en el momeno en que ése falle, se suele hablar de iempo medio enre fallos (MTBF). Proposición 1. Vida media y área El iempo medio hasa el fallo coincide con el área encerrada enre la función R() y el semieje horizonal en el inervalo [ 0, ). Demosración En efeco, uilizando el méodo de inegración por pares, y eniendo en cuena que R() 0, se iene que: [ ] [ ] 0 0 MTTF= f() d= F () Fd () = (1 R ()) (1 R ()) d= 0 0 0 [ ] [ ] 0 0 = (1 R ( )) + Rd ( ) = R ( ) + Rd ( ) = Rd ( ) 0 0 0 Ejemplo 2: Vida media En la figura siguiene, queda claro que R2() R1(), 0. Eso significa que, para cualquier insane-objeivo que consideremos, el disposiivo 2, cuya función de fiabilidad es R 2 (), endrá una mayor fiabilidad que el disposiivo 1, asociado a R (). Además, el área encerrada por R () es mayor que la encerrada por R (), lo 1 2 1 que significa que el disposiivo 2 endrá una vida media superior al disposiivo 1. A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 7 de 17
La figura siguiene represena dos disposiivos con una vida media similar (las áreas encerradas por ambas funciones de fiabilidad son similares). Sin embargo, para valores de pequeños (valores inferiores a 3.5, aproximadamene), el disposiivo 2 se compora con mayor fiabilidad que el disposiivo 1, mienras que para valores grandes de, ocurre odo lo conrario. A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 8 de 17
5 Tasa de fallo Tasa de fallo media Se define la asa de fallo media en el inervalo ( ab, ) como: R( a) R( b) hab (, ) = ( b a) R( a) Observar que: Ra ( ) Rb ( ) Pa ( < T b) = = PT ( b T> a) Ra ( ) PT ( > a) Es decir, la asa de fallo media en un inervalo ( ab, ) proporciona la probabilidad condicionada media de que un disposiivo falle en cada uno de los subinervalos uniarios en los que se divide el inervalo ( ab, ) (enendiendo por subinervalo uniario aquel formado por dos insanes consecuivos). Tasa de fallo insanánea A parir de la definición de asa de fallo media, si se hace ender b hacia a se obiene la asa de fallo o asa de riesgo en el insane a : R( a) R( b) R ( a) F ( a) f( a) ha ( ) = lim = = = b a ( b ara ) ( ) Ra ( ) Ra ( ) Ra ( ) La asa de fallo (insanánea) puede inerprearse como la velocidad a la cual se producen los fallos en el insane a, i.e.: es una medida de lo propenso que resula el disposiivo a fallar en función de su edad. En la mayoría de los disposiivos se produce un efeco desgase debido al paso del iempo, por lo que la función asa de fallo asociada, h (), suele ener forma de bañera: A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 9 de 17
ETAPA DE VIDA ÚTIL T suele seguir una Exponencial o Weibull Tasa de fallo h() PERÍODO DE DESGASTE T suele seguir una Weibull PERÍODO INFANTIL T suele seguir una Weibull Tiempo En efeco, cuando se inicia la vida de un disposiivo, la asa de fallo insanánea suele ser relaivamene ala (es lo que se denomina "moralidad infanil"); una vez que el disposiivo enra en una fase más esable, la asa de fallo suele ser relaivamene consane y baja (eapa de vida úil ); más adelane, ras un iempo de funcionamieno, la asa de fallo vuelve a incremenarse ( efeco envejecimieno ) hasa que, evenualmene, el disposiivo acabará fallando. Ejemplo 3: Eapas en la vida de un disposiivo Muchos auomóviles nuevos suelen presenar pequeños defecos de funcionamieno al poco de comprarse (elevada asa de fallos inicial o moralidad infanil ). Una vez solvenados ales defecos, es de esperar que el vehículo proporcione un largo período de funcionamieno correco (baja asa de fallos inermedia o eapa de vida úil ). Mas arde, conforme pasan los años, el auomóvil se vuelve más propenso a sufrir averías hasa que, finalmene, después de 10 o 15 años, prácicamene odos los vehículos esán inservibles (elevada asa de fallos final o efeco envejecimieno ). Ejemplo 4: Curva de la bañera Una familia de funciones asa de fallo con forma de bañera vendría dada por la expresión paramerizada: A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 10 de 17
λ + c0( 0 ) 0 0 h ( ) = λ 0 < 1 λ + c1( 1) > 1 donde λ, c 0 y c 1 son consanes posiivas, y 0, 1 son insanes emporales concreos. Para cada valor de los parámeros aneriores obendríamos una función definida a rozos, siendo cada rozo una expresión lineal. La figura siguiene muesra h () para los valores λ = 2, c 0 = 1, c 1 = 3, 0 = 5 y 1 = 15 : En principio, cualquier disribución de probabilidad coninua que proporcione valores no negaivos (exponencial, Weibull, log-normal, k-erlang, ec.) podría ser usada a la hora de modelar la variable aleaoria T (iempo hasa el fallo del disposiivo). Desde un puno de visa cualiaivo, algunas disribuciones parecen ener más senido que oras en deerminadas circunsancias. Así por ejemplo, al considerar un sisema formado por componenes elecrónicos y mecánicos, es alamene probable que sea necesario usar disribuciones disinas para modelar componenes disinos: la propiedad fala de memoria de la disribución exponencial (propiedad que se explicará en el próximo capíulo), la conviere en una disribución ineresane a la hora de modelar los iempos de fallo de algunos componenes elecrónicos, ya que en ese ipo de componenes la asa de fallo suele ser aproximadamene consane en el iempo y, por ano, el suceso fallo A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 11 de 17
puede ocurrir con la misma probabilidad en cualquiera de los inervalos uniarios fuuros (caso de no haberse producido odavía); sin embargo, no es posible suponer asas de fallo consane (modelo exponencial) cuando se rabaja con componenes mecánicos, los cuales se ven considerablemene afecados por el efeco desgase, causado por el paso del iempo, de forma que la asa de fallo enderá a incremenarse conforme aumena el iempo de vida del componene. Por ora pare, ambién puede darse el caso de componenes con asas de fallo decrecienes (al menos en las primeras eapas de su vida, cuando son relaivamene nuevos), los cuales ambién necesiarán una disribución disina de la exponencial (como la Weibull, la log-normal, la Gamma, ec.) para el modelado de sus iempos de fallo. En odo caso, será necesario realizar un es esadísico para comprobar la bondad del ajuse del modelo seleccionado para los iempos de fallo de cada componene. 6 Relación enre concepos Conviene esablecer claramene las relaciones enre las disinas funciones (concepos) que se han ido inroduciendo hasa el momeno: Proposición 2. Fiabilidad y asa de fallo Es posible expresar R() como función de h () de la siguiene manera: R { h u du 0 } () exp ( ) = Demosración A parir de la definición de la asa de fallo (insanánea), se iene que: df() f () 1 dr() dr() h () = = d = hd () = R() R() R() d R() Tomando inegrales en ambas pares: A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 12 de 17
dr( u) h( u) du = du = [ log R( u) ] 0 = log R( ) Ru ( ) 0 0 de donde: R { h u du 0 } () exp ( ) = Así pues, se puede afirmar que ano R() como F() = 1 R() vienen unívocamene deerminadas por h (). La abla siguiene resume las relaciones enre odas esas funciones. F() f () R() h () F() = f ( udu ) 0 d f () = F () d R() = 1 F( ) f ( udu ) () 1 R( ) 1 exp { ( ) 0 } hudu d R h () exp { hudu ( ) } d 0 exp { ( ) 0 } hudu h () = df() d 1 F( ) f() f ( udu ) d ln R( ) d 7 Observaciones censuradas Normalmene, los esudios de fiabilidad ienen una duración predeerminada, por lo que no odos los disposiivos analizados habrán fallado a su conclusión. Por ano, el invesigador sabrá que un ciero número de disposiivos han sobrevivido durane el período de iempo que ha durado el es, pero desconocerá el momeno exaco en que hubieran fallado si el esudio se hubiese prolongado de forma indefinida. A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 13 de 17
Observaciones censuradas En Teoría de la Fiabilidad (o Supervivencia), se denominan observaciones censuradas aquellas que sólo aporan información parcial sobre la vida (iempo hasa el fallo) de la enidad considerada. Censura por iempo (ipo I) y censura por fallos (ipo II) Las observaciones de censura por iempo o de ipo I aparecen al finalizar un es de duración predeerminada: de los disposiivos supervivienes sólo se sabe que no han fallado hasa ese momeno. En ese caso, el iempo de duración del es es fijo, mienras que el número de producos que fallan es una variable aleaoria. Por conra, las observaciones de censura por fallos o de ipo II aparecen cuando el es coninúa hasa que una proporción predeerminada de disposiivos hayan fallado. Ahora, el número de producos que fallan es fijo, siendo el iempo de duración del es una variable aleaoria. En los gráficos siguienes se muesran los dos ipos de censura: en el primero, el experimeno ermina cuando se llega al insane 0 ; en el segundo, el experimeno ermina cuando falla un deerminado porcenaje de disposiivos, en ese caso el 60% (3 de los 5): CENSURA TIPO I CENSURA TIPO II 1 2 60% 3 4 5 0 Tiempo Tiempo El símbolo denoa un fallo observado A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 14 de 17
Censura a derecha, censura a izquierda y censura por inervalos Supóngase que en = 0 se inicia un experimeno para esudiar la fiabilidad de un conjuno de disposiivos. Cuando la censura ocurre para un valor > 0 (i.e., algunos disposiivos siguen funcionando, no se sabe hasa cuando, ras finalizar el experimeno) se habla de censura a la derecha. Por el conrario, cuando la censura ocurre para un valor < 0 (i.e., algunos disposiivos ya esaban funcionando, no se sabe desde cuando, anes de iniciar el experimeno) se habla de censura a la izquierda Finalmene, se habla de censura por inervalos cuando se consideran observaciones que han sido censuradas ano a derecha como a izquierda (es decir, cuando haya disposiivos que ya esaban funcionando anes de comenzar el experimeno y que siguen funcionando cuando ése finaliza). Ejemplo 5: Censura a izquierda En una invesigación médica sobre el cáncer, se puede saber que el paciene ingresó en el hospial en una fecha deerminada (fecha de inicio del experimeno), y que sobrevivió durane un inervalo emporal definido; sin embargo, probablemene no se conocerá cuándo aparecieron por primera vez los sínomas de la enfermedad. Se raaría, por ano, de una censura a izquierda. A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 15 de 17
CENSURA A DCHA. CENSURA A IZQUDA. 1 2 3 4 5 Tiempo Tiempo El símbolo denoa un fallo observado El símbolo denoa un fallo no observado CENSURA POR INTERVALOS 1 2 3 4 5 Tiempo Censura simple y censura múliple Finalmene, se puede ener censura simple, si el experimeno finaliza en el mismo insane para odos los disposiivos observados, o censura múliple, cuando el experimeno finaliza en insanes disinos según sea el disposiivo considerado. Ejemplo 6: Censura múliple Se endría censura múliple en un experimeno médico en el cual los pacienes abandonasen el hospial en insanes diferenes (bien por esar recuperados, bien por irse a oro cenro, ec.). A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 16 de 17
CENSURA SIMPLE CENSURA MÚLTIPLE 1 2 3 4 5 Tiempo El símbolo denoa un fallo observado Tiempo El símbolo denoa un fallo no observado A. JUAN & C. SERRAT, UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA, 2006 17 de 17