Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291) I. Combinación Lineal Definición: Sean v 1, v 2, v 3,, v n vectores en el espacio vectorial V. Entonces cualquier expresión de la forma a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + + a n v n donde a 1, a 2, a 3,, a n son escalares se llama una combinación lineal de v 1, v 2, v 3,, v n. En R 2 y R 3 se puede visualizar geométricamente como el las figuras6.4-6.6 de las páginas 283-284 del texto. Ejemplos(para discusión): 1) Considera los vectores (1, 0)=i y (0, 1)= j de R 2. Entonces todo vector de R 2 es combinación lineal de ellos dos. a) Sea (a, b) elemento de R 2, entonces (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). b) Sea (-5, 3) elemento de R 2, entonces (-5, 3) = -5i + 3j=-5(1, 0) + 3(0, 1). Nota: El vector (1, 0) se puede representar con la letra i y al vector (0, 1) con la letra j. 2) Considera los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en R 3. Entonces todo vector de R 3 es combinación lineal de estos tres vectores. Por ejemplo; el vector (5, 1, -3) = 5i + j -3k= 5(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + -3(0, 0, 1). Nota: El vector (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) se puede representar con las letras i, j, k respectivamente. 3) Considera los vectores (1, 0) y (3, 0). Entonces el vector (0, 1) NO es combinación lineal de (1, 0) y (3, 0). Observa que: (0, 1) = a (1, 0) + b(3, 0) = (a, 0) + (3b, 0) = (a + 3b, 0) Lo cual implica que 1 = 0, pero esto es imposible. 4) 7 5 7 2 y 3 En R 3, 7 es una combinación lineal de 4 1 ya que: 7 5 7 2 2 3 7 4 1. 5) Escribe el vector (1, -2, 5) como una combinación lineal de los vectores (1, 1, 1), (1, 2, 3) y (2, -1, 1) para obtener el sistema de ecuaciones con
variables: c 1, c 2, c 3. (Verifica la solución: c 1 = -6, c 2 =3, c 3 = 2). Herramienta para reducir matriz aumentada: http://www.math.purdue.edu/~dvb/matrix.html 6) Será el vector (2, -5, 3) de R 3 una combinación lineal de los vectores (1, -3, 2), (2, -4, -1) y (1, -5, 7)? a) Halla el sistema de ecuaciones b) Verifica que No tiene solución 7) En P n, todo polinomio se puede expresar como una combinación lineal de los monomios 1, x, x 2, x 3,, x n. Recuerda que los polinomios son de la forma a n x n + a n-1 x n-1 + + ax + a 0. 8) Indica si el polinomio x 2 + 4x 3 es una combinación lineal de los polinomios {x 2 2x + 5, 2x 2 3x, 6x 8}. 9) 3 1 Será la matriz una combinación lineal de las siguientes matrices: 1 2,. 1? (solución del sistema de ecuaciones dado para cada elemento de la matriz.) Resumen: Para contestar los ejemplos se obtiene un sistema de ecuaciones de forma Ac = b. El sistema de ecuaciones se obtiene conforme al espacio vectorial V, por ejemplo: Para matrices (M mn ), el sistema de ecuaciones se obtiene de una ecuación por cada elemento Para polinomios el sistema de ecuaciones se obtiene por términos semejantes, Para vectores, una ecuación por componente. Definición: Sean v 1, v 2, v 3,, v n vectores en el espacio vectorial V. Los vectores son linealmente independientes cuando la combinación lineal: c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 + + c n v n = 0, si y solo si c 1 =c 2 = c 3 = = c n =0. De lo contrario si existen n escalares c 1, c 2, c 3,, c n,no todos ceros, tal que c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 + + c n v n = 0, los vectores v 1, v 2, v 3,, v n son linealmente dependientes. (Geometría: ver figuras de páginas 297 y 298 del Texto). Procedimiento: Para determinar dependencia/independencia lineal se halla la solución en (c 1, c n ) a un sistema de ecuaciones homogéneo (Ac = 0) para cada espacio vectorial. Si la solución es c 1 = =c n = 0 (solución trivial) entonces el conjunto es Linealmente Independiente. El sistema de ecuaciones se obtiene conforme al espacio vectorial V, por ejemplo:
Para matrices (M mn ), el sistema de ecuaciones homogéneo (Ac=0) es una ecuación por cada elemento Para polinomios el sistema de ecuaciones se obtiene por términos semejantes, Para vectores, una ecuación por componente. Ejemplos (para discusión): 0 2 1 4 0 1 10) A1, A2 y A3 En M 23 sea 3 1 2 3 1 2 1. Determina si A 1, A 2 y A 3 son linealmente independientes o dependientes. Usamos la combinación lineal: c 1 A 1 + c 2 A 2 + c 3 A 3 a) de la posición a 12 note que c 2 = 0 b) de la posición a 11 note que c 1 = c 3 c) de a 21 note que 3c 1 = c 3 (contradicción ><) 11) Determina si los polinomios: 1, x, x 2 y x 3 en P 3 son linealmente independientes o dependientes. SI (un sistema de ecuaciones por término es la identidad matriz identidad: Ic=0, por lo tanto c=0). 12) Determina si los siguientes polinomios : {x 2x 2, x 2 4x, -7x + 8x 2 } en P 2 son linealmente independientes o dependientes Usamos la combinación lineal: c 1 p 1 + c 2 p 2 + c 3 p 3 a) obtenemos una matriz aumentada 2 x 4 (reducir: http://www.math.purdue.edu/~dvb/matrix.html ) b) Solución: c 2 = (-6/7)c 3, c 1 = (25/7) c 3, entonces sea c 3 = 7 verifica que una solución es: c 3 = 7, c 2 = -6, c 1 = 25 c) Como las constantes No son todas cero, es conjunto linealmente dependiente. (i.e. puedes escribir uno de estos polinomios en términos de los otros dos) NOTA: Un conjunto linealmente independiente nunca incluye al vector 0 pues c 1 v 1 + +c n v n + c n+1 0 = 0, es linealmente dependiente ya que c n+1 0 es solución. Además todo vector que se expresa como combinación lineal de otros vectores es linealmente dependiente de ésos. II. S = SPAN de V Definición: Los vectores S = {v 1, v 2, v 3,, v n } en un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V puede escribirse como una combinación lineal de ellos. Esto es, para todo v V, existen a 1, a 2, a 3,, a n tal que : v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + + a n v n. Definición: Sea S={v 1, v 2, v 3,, v n } vectores en el espacio vectorial V. El espacio generado por S, gen S, es el conjunto de vectores que son combinación lineal de v 1, v 2, v 3,, v n. Esto es: Gen S =Span {v 1, v 2, v 3,, v n } = {v v= a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + + a n v n } donde a 1, a 2, a 3,, a n son escalares.
Procedimiento para verificar si un grupo de vectores S genera V: Nombra un vector arbitrario x V Expresa x = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n, (esto es, como un sistema de ecuaciones Ac = b obtenido de la combinación lineal en el espacio V) Si el sistema tiene una solución, entonces S genera a todo vector v V Ejemplos (para discusión): 13) Los vectores i=(1, 0) y j= (0, 1) generan a R 2 ya que todo vector (a, b) elemento de R 2 se puede expresar como combinación lineal de ellos dos. Esto es, (a, b) = ai + bj. 14) Los vectores i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0) y k=(0, 0, 1) generan a R 3. Todo vector (a, b, c) elemento de R 3 se puede expresar como combinación lineal de ellos tres. Esto es, (a, b, c) = ai + bj + ck. 15) Sean e 1 = (1, 0, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0, 0,, 0), e 3 = (0, 0, 1, 0,, 0),, e n = (0, 0, 0,, 0, 1), entonces los vectores e 1, e 2, e 3,, e n generan a R n. Sea a elemento de R n, entonces a = (a 1, a 2, a 3,, a n ). Luego podemos expresar a = (a 1, a 2, a 3,, a n ) como: (a 1, 0, 0,,0) + (0, a 2, 0,, 0) + (0, 0, a 3, 0,, 0) + + (0, 0,, 0, a n ) = a 1 (1,0,0,,0) + a 2 (0,1, 0,,0) + a 3 (0, 0, 1,0,,0) + + a n (0, 0, 0,,0,1) = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + + a n e n. 16) Los vectores {(1, 0), (3, 0)} no generan a R 2. Podemos encontrar vectores como (0, 1) R 2, del ejemplo 3, que no podemos expresar como combinación lineal de (1, 0) y (3, 0). De manera general, sea v=(x, y) elemento de R 2, notar que: (x, y) = a(1, 0) + b(3, 0) = (a, 0) + (3b, 0) = (a + 3b, 0) Lo cual indica que y = 0, pero no genera vectores que tienen y 0. 17) Los monomios 1, x, x 2, x 3,, x n. generan a P n, pues cualquier polinomio se puede expresar como combinación lieal de estos monomios. 18) a b 0 1 a b c d Como c d 0 1 vemos que las
0 1,,, matrices 0 0 1 generan a M 22. Teorema: Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en R n generan a R n. Ejemplo (para discusión) : 19) Determina si el siguiente conjunto de vectores {(2, -1, 13), (1, 0, 2), (3, -1, 5)} genera a R 3. a) Verifica que es un conjunto de 3 vectores linealmente independientes usando rref = Identidad. Teorema: Span {v 1, v 2, v 3,, v n } es un subespacio de V. (Esto es, tiene las propiedades de clausura de suma y producto por un escalar). Ejercicios: 1) Expresa (1, 7, -4) como combinación lineal de (1, -3, 2) y (2, -1, 1) en R 3. 2) Escribe el polinomio 3x 2 + 8x 5 como combinación lineal de los polinomios 2x 2 + 3x 4 y x 2 2x 3. 3) 3 Se podrá expresar 2 como combinación lineal de 1 1 1, y? 4) Determina si el siguiente conjunto de vectores {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, -1) generan a R 3. Esto es, que todo vector (a, b, c) en R 3 se puede escribir como combinación lineal de los vectores dados. 5) Cuál(es) de los siguientes conjuntos de vectores generan a R 2? a) {(1, 2), (-1, 1)} b) {(2, 4), (1, 2)} Solución del ejemplo 12: 12) Verifica que : c 1 = 3, c 2 = -2, c 3 = -1.
Contestaciones: 1) c 1 = -3, c 2 = 2. 2) c 1 = 2, c 2 = -1. 3) Sí, pues c 1 = 2, c 2 = -1, c 3 = 2. 4) Sí, pues estos vectores son columnas linealmente independientes de una matriz A (puedes usar el rref = Identidad). Para cualquier vector (a,b,c): c 1 =a, c 2 = (b+c)/2 a, y c 3 =(b-c)/2 5) a. es linealmente dependiente, pero en b. el primer vector es 2 veces el segundo.