LA RECTA INTRODUCCIÓN.

LA RECTA INTRODUCCIÓN. En la vida diaria es cmún escuchar eclamar alguna de las siguiente frases esta calle está mu inclinada ó bien la siguiente esta calle tiene mucha pendiente en las que siempre tmams cm referencia la hrizntal. En frma intuitiva ns estams refiriend al ángul que frma la calle cn la hrizntal se usa la palabra pendiente para referirns a la inclinación, l cual lleva implícit el hech del ángul que frma la calle cn la hrizntal. Así mism ls cncepts de paralelism perpendicularidad ls tenems presentes al hacer referencia a calles paralelas calles que se cruzan que sn perpendiculares, diagnales, etc. En Gemetría Analítica se tienen definicines que ns permiten determinar numéricamente ls cncepts de inclinación pendiente. Primeramente, cnsiderems el siguiente hech: Ds rectas dirigidas, al crtarse frman ds pares de ánguls puests pr el vértice ls cuales frman parejas de ánguls suplementaris, ánguls aguds ánguls btuss puests pr el punt de intersección de las rectas. Cnsiderems a una recta L del plan cartesian, definims su Angul de inclinación. Al ángul frmad pr una recta L cn el Eje X en su dirección psitiva. Y L.m X

Pendiente de la recta L. La pendiente ( m ) de una recta se define cm la tangente trignmétrica de su ángul de inclinación.. m tan( ) entre entre Si el ángul está cmprendid entre 0 90 la pendiente es psitiva si el ángul está 90 180 la pendiente es negativa. El ángul de inclinación de una recta está cmprendid 0 0 &180, El tmar ánguls mares de 180 cm ánguls de inclinación trae cm cnsecuencia el tmar cm ángul de inclinación al btenid de la peración 180. Pr l tant siempre cnsiderarems al ángul de inclinación cn valres dentr del interval antes mencinad. Tda recta paralela al eje Y es perpendicular al eje X, pr l tant su ángul de inclinación es igual a 90 grads, cm la tangente trignmétrica del ángul de 90 grads es indeterminada (ó infinita) entnces direms que una recta vertical n tiene pendiente (en vez de decir que tiene pendiente infinita), adicinalmente tda recta hrizntal tiene pendiente cer su ángul de inclinación es bien cer grads ó 180 grads dependiend de cóm se cnsidere la dirección de la recta L. Cnsiderems a una recta L del plan que pasa pr ls punts P(1,1) & Q(,) la pendiente de L es: m 1 1 1 Tracems la recta en el plan así cm a ls punts P & Q de acuerd a la grafica 5. El ángul de inclinación de la recta L es el ángul del vértice P del triángul frmad pr BQP es igual al ángul de inclinación, ls catets del triángul BQP sn: Catet puest = - 1 & catet adacente = - 1 pr l tant

1 Tg pr l tant la pendiente de la recta es 1 m 1 1 1 m 1 Q(, ) Tan( a ) = (catet puest) / (catet adacente) - 1-1 catet puest Tan (a ) = ( - 1 ) / ( - 1 ) P(1, 1) a 1-1 catet adacente B(, 1) a - 1 1 Ejempl 1.- Halla la pendiente el ángul de inclinación de la recta que pasa pr ls punts dads. T( 4, -3). a.- L1: P(, 1) Q( 6, 5) b.- L: A(-3, -) D(4, ) c.- L3: S(-4 5) Respuestas: grads. 1 5 1 4 a.- Para L1; aplicams la frmula de la pendiente: m 1 1 6 4 La pendiente es m = 1 para btener el ángul de inclinación aplicams la tangente inversa tg 1 ( m) atan( m) atan(1) 45 pr l tant el ángul de inclinación es de 45 b.- Para L; 1 ( ) 4 m el ángul de inclinación es 1 4 ( 3) 7 4 a tan a tan(0.5714) (9.74) 7

3 5 8 c.- Para L3; m 1 el ángul de inclinación es: 4 ( 4) 8 1 a tan 135 el trazad de ls punts las rectas se presentan en la siguiente gráfica. S(-4, 5) 7 6 5 4 Q(6, 5) m = 1 L1 L m = 4 / 7 3 1-17 -16-15 -14-13 -1-11 -10-9 -8-7 -6-5 -4-3 - -1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17-1 A ( -3, -) B(4, ) P(, 1 ) O(0,0) - -3-4 T(4-3 ) -5-6 -7 m = - 1 L3 ANGULO ENTRE RECTAS. Cnsiderems a rectas L1 & L cn ánguls de inclinación 1& respectivamente, cnsiderems al ángul que frma la recta L1 cn L ( recrdems que ls ánguls de inclinación n sn mares de 180 grads) es igual a: 1 Llamems a L1 recta inicial a ( 1 ) ángul de inclinación inicial; L recta final a ángul de inclinación final entnces pdems epresar que: El ángul que entre rectas es igual al ángul de inclinación de la recta final mens el ángul de inclinación de la recta inicial. En términs de las pendientes m1 & m tenems: tan tan1 m m1 tan( ) tan( 1) m 1m 1 1 (tan1)(tan ) 1 m1m

el ángul frmad pr las ds rectas es: m m1 tan 1 1 m1m Ejempl L:m m Angul m1 L1:m1 O(0,0) Ejempl.- Determina el ángul que frman las rectas: a.- L1: cn pendiente m1 = 8 / 7 L: cn pendiente m = - 3 /4 b.- L1 cn ángul de inclinación de 35 L: cn ángul de inclinación de 150 Respuestas: Para reslver ests prblemas, aplicams la fórmula para determinar el ángul entre las rectas: m m1 m m1 tan bien tan 1 1 m1m 1 m1m

a).- El ángul que frman las rectas L1 & L es: tan 3 8 4 7 8 3 1 7 4 tan 31 4 8 tan 8 4 8 55 8 1 55 tan tan 4 4 8 1 1 1 1 (13.75) 180 tan 1 (13.75) 180 85.8403 0 94.1596 94.1596 b).- En este prblema cncems a 1 35 & 150 pr l tant: 150 35 115 Ejempl 3.- Determina el ángul que frman las rectas que pasan pr ls punts: P( -3, 5) ; Q(, -4) & A(-3, -6); B( 4,5) Asignams L1 la recta que pasa pr P&Q L la recta que pasa pr A&B Antes de aplicar la frmula para determinar el ángul entre L1 & L debems determinar sus pendientes m1 & m, para est aplicams la frmula de la pendiente: 1 m 1 4 5 9 9 9 Para la recta L1; m 1 L1: m 1 ( 3) 5 5 5 Para la recta L; 5 ( 6) 11 m L: 4 ( 3) 7 11 m 7 Ahra si aplicams la fórmula del ángul:

tan 1 11 9 7 5 tan 9 11 1 5 7 1 55 63 35 tan 99 1 35 1 118 35 1 118 1 59 tan tan 64 64 3 35 180 tan 1 (1.8437) 118.474 pr l tant el ángul entre L1 & L es: 118.474 Cuand en ángul inicial 1 es MAYOR que el ángul final, el ángul que frman las rectas L1 cn L crrespnde al ángul suplementari de la recta L1 sumad al ángul de L (Ver gráfica.) pr l que se tiene: (180 1) 1180 pr l tant: ( 1) 180 pr l tant: tan tan ( 1) 180 tan( 1) tan( 1) tan(180 ) 1 tan( 1) tan(180 ) m m1 tan 1 m1m ---------- ( VI ).

Y 180 1 1 (180 1) X Gráfica m m1 Del análisis de la fórmula btenems la siguiente infrmación: 1 m1m a).- Ds rectas sn paralelas si el ángul que frman es de cer grads en este cas el numeradr de la fórmula VI es igual a cer es decir: m - m1 = 0 pr l tant la frma de identificar si ds rectas sn paralelas la hacems si sus pendientes sn iguales m1 = m. Rectas Paralelas: m1 m b.- Ds rectas sn perpendiculares si frman un ángul de 90 grads, en este cas la tangente de 90 grads es indeterminad ó infinita l cual curre si el denminadr de la fórmula es cer, es decir, 1 + m1m = 0 pr l tant, ds rectas sn perpendiculares si:

m 1* m 1 bien : 1 1 m1 ó m m m1 PROBLEMAS 1.- Determina las crdenadas (,) de ls punt que dividen al segment AB A( 3, 1) & B(9,7) en 3 partes iguales..- El segment AB A(, 1) & B(3,3) se prlnga hasta un punt C(, ), sabiend que BC 3AB determina las crdenadas del punt C. 3.- Determina las crdenadas del punt medi de ls segments cus etrems sn ls punts dads. a.- A( 5, 3) & B( 8, -) b.- P( -, 6) & Q( 3, 4) c.- T( 8, ) W( -3, - 5) 4.- Un etrem de un diámetr de una circunferencia es el punt A(, 6) el centr es el punt C(- 4, 1), halla las crdenadas del tr etrem. 5.- Determina el ángul ls ánguls que frman las rectas de acuerd a la infrmación dada. a.- L1: Pasa pr el punt A(, 3) tiene un ángul de inclinación Q(-3, -) & 0 135 b.- L1: Pasa pr el punt P(, -5) 0 30 L: pasa pr el punt 0 45 L: Pasa pr ls punts Q ( 4, 3) & R ( -5, - 4). c.- L1: Pasa pr ls punts: S( -7, 3) & T( 4, - 6 ) L: pasa pr A( 1,) & (3, -4 ). 6.- Determina el ángul que frman las rectas L 1 : pasa pr S(,3) m 3/ & L : T(-1, -1 ) & m =- 4/3 pasa pr el punt 7.- Determina ls ánguls interires del triángul cus vértices sn: A( 3, ) B( 5, -4) & C( -3, 3) LA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO. Que representa un lugar gemétric (LG)?, l pdems definir cm el cnjunt de punts (, ) del plan que cumplen cn una cndición gemétrica C(,). Td punt del plan ce crdenadas (, ) que cumple cn la cndición gemétrica pertenece al lugar gemétric ( LG) recíprcamente, td punt del lugar gemétric (LG) cumple cn la cndición C(,)

En términs de cnjunts pdems epresar este hech en la siguiente frma: LG = P (, ) (, ).. cumple.. cn.. C(, ) La epresión algebraica btenida mediante la transfrmación de la cndición C(,) representa la Ecuación del Lugar Gemétric. La gráfica del lugar gemétric es la traza en el plan XY del cnjunt de punts P(, ), el trazad de ls punts la hacems mediante la asignación de valres para a partir de la ecuación btenems ls crrespndientes valres de, para la cual frmams un tabla cm se indica en la figura siguiente. 1 3 4 5 6 7... n = Ecuación 1 3 4 5 6 7... n L cual define a ls punts P, ), P (, )... P (, ). 1( 1 1 n n n Cm ejempl cnsiderems el siguiente enunciad de lugar gemétric: El cnjunt de punts (, ) del plan que equidistan de ls punts A(3,) & B(-4,5). El lugar gemétric crrespnde de ls punts P del plan tal que sus distancias a ls punts A & B sn iguales, entnces, la cndición gemétrica de LG es d(p, A) = d(p, B), la representación de este enunciad en términs de cnjunts es: Dads ls punts A(3,) & B(-4,5); LG = P (, ) d( P, A) d( P, B) Aplicand las fórmulas de la distancia transfrmams la cndición gemétrica en una epresión algebraica. simplificand ls radicales: ( 3) ( ) ( ( 4)) ( ( 3) ( ) ( 4) ( 5) Agrupand términs: ( 3) ( 4) ( ) ( 5) 0 desarrllams ls binmis btenems: ( 6 9 4 4 ) ( 6 8) ( 8 16 5) 10 5 ) ( 4 10) (9 4 16 5) 0 simplificand btenems la epresión: 14 6 8 0 pr l que la ecuación queda: 14 6 8 0

Gráficamente tenems: Observams que en particular, el punt medi PM( - ½, 7/ ) del segment AB pertenece al Lugar Gemétric a que d(pm(ab), A ) = d(pm(ab), B ) sus crdenadas satisfacen (cumplen cn ) la ecuación de la recta, para cmprbar est sustituims = - ½ & = 7/ en 14 6 +8 = 0: 14 (- ½ ) -6 ( 7/ ) + 8 = - 7-4/ + 8 = - 7 1 + 8 = -8 + 8 = 0 Pdems definir la recta cm Lugar Gemétric de acuerd al siguiente enunciad: Dad un punt Q(1, 1 ) la pendiente m de la recta, la recta es el lugar gemétric de ls punts P(, ) del plan tales que la pendiente m1 del punt P(, ) cn Q(1, 1) es siempre igual a la pendiente dada m. En términs de ntación de cnjunts tenems: Recta = P (, ) m1( PQ) m La pendiente m1(p, Q) = 1 m 1 1 1 pr l tant la cndición Gemétrica se transfrma en: de dnde btenems la epresión algebraica 1 m( 1) que representa a la ecuación del lugar gemétric recta. A la ecuación:

1 m( 1) Ecuación --------------- ( I ) Se le llama Ecuación Punt Pendiente de la recta. Ejempl 4.- Determina la ecuación de la recta que pasa pr el punt Q( 3, - 4 ) tiene una pendiente m = 4. Las crdenadas del punt Q sn 1 = 3 & 1 = - 4, para btener la ecuación sustituims ests dats en la frmula de la recta Punt Pendiente: ( 4) 4( 3) 4 4 1 4 16 0 la ecuación de la recta que pasa pr Q(3, -4) tiene pendiente m = 4 es: 4 16 0

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR PUNTOS La ecuación de una recta que pasa pr punts Q1( 1, 1 ) & Q(, ) la btenems a partir de la ecuación ( I ) en dnde primeramente calculams la pendiente a partir de Q1 & Q; 1 m( PQ) 1 Entnces la ecuación I se transfrma en: 1 1 ( 1) 1 -------- Ecuación ( II ) A esta ecuación se le llama ecuación de la recta que pasa pr punts dads. Si en vez de tmar al punt Q1(1, 1) cm base para determinar la ecuación II tmams al punt Q (, ), btenems la ecuación II : 1 ( ) 1 ------ Ecuación ( II ) La ecuación resultante es la misma. Ejempl 5.- Determina la ecuación de la recta que pasa pr ls punts A( 5, - ) & B( 4, 4 ). Primeramente tmems al punt A( 5, - ) cm base para aplicar la fórmula II Entnces: A(5, - ) crrespnde a 1 = 5 & 1 = -, aplicams la fórmula: 4 ( ) ( ) ( 5) 4 5 (6/ 1)( 5) 6( 5) 6 30 pasams td al lad izquierd: 6 8 0 Ecuación de la recta. Si tmams al punt B( 4, 4) cm base para btener la ecuación de la recta tenems = 4 & = 4, entnces:

4 ( ) 4 ( 4) 4 5 4 6( 4) 4 6 4 pr l tant la ecuación resultante es: 6 8 0 es la misma que la ecuación anterir. Gráfica del ejempl 5 Tda recta n paralela a ls ejes crdenads X & Y crta a dichs ejes en punts de crdenadas Q1 (0, b ) & Q (a, 0 ); a b se le llama Ordenada al Origen & a a se le llama Abscisa al Origen, las ecuacines de las rectas que pasan pr ests punts tienen una característica especial la cual se detalla a cntinuación. Cnsiderems primeramente a la recta que pasa pr el punt Q1 ( 0, b) tiene una pendiente cncida m determinarems su ecuación aplicand la fórmula ( I ) de Punt-Pendiente despejand a tenems: 1 m( 1) sustituend 1 = b m btenems: b m( 0) b m m b

----- Ecuación ( III ) A esta ecuación se le llama ecuación Pendiente Ordenada la Origen. Determinams ahra la ecuación de la recta que pasa pr ls punts Q1 ( a, 0 ) & Q ( 0, b ) aplicand la fórmula 1 1 ( 1) sustituend las crdenadas de Q1 & Q 1 b 0 b 0 ( a) de dnde tenems: ( a) 0 a a a b ab pr l tant: b a ab ; dividiend pr ( ab ) tenems: a b 1 Ecuación ( IV ) A esta ecuación se le llama frma simétrica de la recta. En particular, las rectas paralelas a ls ejes crdenads cumplen cn las siguientes definicines de lugares gemétrics: * Recta paralela al eje X =P, ) XY k..&.. R ( es el cnjunt de punts del plan tales que su Ordenada es siempre cnstante ( k ), esta situación indica que puede tmar tds ls valres del cnjunt de númers reales, pr l tant, un punt P(, ) pertenece a la recta paralela al eje X si su rdenada es igual a k. Ecuación: = k * Recta paralela al eje Y = P, ) XY h..&.. R (, es el cnjunt de punts del plan tales que su Abscisa es siempre cnstante ( h ), esta situación indica que puede tmar tds ls valres del cnjunt de númers reales, pr l tant un punt Q(, ) pertenece a la recta paralela al eje Y si su abscisa es igual a h Ecuación: = h En particular, las ecuacines de ls ejes crdenads X & Y sn Eje Y: = 0 & Eje X: = 0.

. = 0. = k (h, k). = 0. = h Ejempl 6.- Determina la ecuación de la recta cua Ordenada al Origen es 4 su pendiente es m = -3. Primeramente trazams la recta en el plan cartesian: Y X Para determinar la ecuación de la recta aplicams la fórmula = -3 + 4 Epresada en la frma general tenems: 3 + - 4 = 0. = m + b btenems:

Ejempl 7.- Determina la ecuación de la recta cua Abscisa al Origen es 5 Ordenada al Origen es - 6. Aplicams directamente la frmula de la ecuación simétrica de la recta. a b 1 btenems: 1 5 6 sacand cmún denminadr de dnde tenems la ecuación general: 6 5 1 30 6 5 30 6 5 30 0 6 5 30 0 de la cal btenems la frma general: Y X Gráfica del ejempl 7. Ejempls 8.- Determina la ecuación de la recta que pasa pr el punt A( -, 3) es paralela a la recta L1: cua pendiente es m1 = -3 Cm las rectas sn paralelas las pendientes sn iguales entnces, m = m1 implica que m = - 3 Pr l tant la ecuación es: - 1 = m ( 1) - 3 = - 3 ( ( - ) ) 3 = - 3-6

3 + + 3 = 0 Ejempl 9.- Determina la ecuación de la recta que pasa pr el punt B ( 3, - 5) es perpendicular a la recta cua pendiente es m1 = / 3. Cm las rectas sn perpendiculares entnces: 1 1 3 m m 1 3 entnces la ecuación de la recta es: 1 m( 1) 3 ( 5) ( 3) 10 3 9 3 1 0 PROBLEMAS 1.- Determina la Ecuación de la recta de acuerd a la infrmación que se te presenta: a.- A( 5, 3) & m = 4/3 d.- Q( -3, -8 ) m = 14 /15. b.- P( -, 6) & 0 30 c.- W( -3, - 5) m = - 3/.- Determina la ecuación de la recta que pasa pr ls punts dads: a.- A( -, - ) & B( 4, 1) b.- Q(3, -) T( -, 1) c.- R( -1 3) es paralela a 4 8 5 = 0 d.- W( 0, 3 ) es paralela a la recta que pasa pr ls punts C( 3,-) & D( -1, ). e.- Z( -3, -5) es perpendicular a la recta que pasa pr ls punts: A(,) & B( 4, 3). 3.- Determina la ecuación simétrica de las restas del prblema. 4.- Determina la pendiente el ángul de inclinación de las rectas cuas ecuacines se te presentan: a.- - - 5 =0 b.- 13 8 1 = 0 c.- 4 + 3 + 7 = 0 5 + + 9 = 0 5.- Determina la pendiente Ordenada al Origen de cada una de las siguientes rectas cua ecuación general se te presenta. a.- L1: 6-3 - 1 = 0 b.- L: 9 + 1 + 4 = 0 c.- 4 8 5 = 0 d.- 13 8 1 = 0

6.- Determina la distancia del punt a la recta de acuerd a la infrmación que se te presenta. a.- Punt P(, -4) L1: 6-3 - 5 = 0 b.- Q( -, 4) L: 9 + 1-4 = 0 c.- Punt R( 3, 7) L: 13-8 + 4 = 0

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Tda ecuación de la recta la pdems epresar en la frma: A + B + C = 0 ------------------------ (V ). En dnde A, B & C sn númers reales. A esta ecuación se le llama Ecuación General de la Recta pr l tant, tda recta tiene una ecuación de la frma V recíprcamente, tda ecuación de la frma V representa a una recta en el plan cartesian. Para verificar demstrar si un punt Z( 1, 1) del plan pertenece a una recta dada cua ecuación está dada en la frma (V) debems sustituir ls valres de las crdenadas 1 & 1 en la ecuación si esta se cumple ( satisface ) entnces el punt pertenece a la recta, en cas cntrari el punt n pertenece a la recta. A partir de la ecuación de la recta pdems determinar sus características tales cm: Pendiente Ordenada al Origen Abscisa al Origen Angul de inclinación mas punts pr dnde pasa la recta. Angul que frman rectas L1 & L. Además de la traza de su gráfica en el plan cartesian. Esta infrmación la btenems mediante la transfrmación de la ecuación (V) a las frmas : m b a b para transfrmar a la ecuación ( V ) A B C 0 a la frma m b despejams a la variable A C de dnde : la pendiente es B B 1 m A su rdenada al rigen es: B C b B pr l tant, a partir de la ecuación general de la recta btenems su pendiente su rdenada al rigen mediante su transfrmación a la frma pendiente - rdenada al rigen. De la misma frma, mediante la transfrmación de la ecuación general de la recta a la frma simétrica: 1 pdems determinar la Abscisa Ordenada al Origen pr l tant ls punts de a b intersección de la recta cn ls ejes crdenads X & Y A( a, 0 ) & B( 0, b ), para est, primeramente pasams al términ cnstante al segund lad de la igualdad después dividims pr el términ cnstante:

A B C 0 A B C A C B C 1 tmams ls inverss de ls ceficientes de & a fin de pder epresar la ultima epresión en la frma: 1 A B C C A B de dnde btenems que la Abscisa al Origen es a la Ordenada al Origen es b pr C C l tant, ls punts en dnde la recta crta a ls ejes crdenads sn: A B A, 0 & B0,. C C Ejempls.- Determina la ecuación de la recta de acuerd a la infrmación que se presenta. 10.- Pasa pr el punt A (, - 5 ) es paralela a la recta cua ecuación es 3-7 + 18 = 0. Para determinar a la recta que pasa pr el punt A (, - 5) debems cncer a su pendiente m esta recta es paralela a la recta 3 7 + 18 = 0 de la cual, btenems el valr de la pendiente m1 despejand a la variable entnces, = - 3/(- 7) - 18/(- 7) bien, = 3/7 + 18/7 de dnde btenems que m1 = 3/7, además, la cndición de rectas paralelas indican que m = m1 = 3/7. De l anterir, cntams cn la infrmación necesaria para btener la ecuación de la recta slicitada: Dats: Punt A (, - 5) m = 3/7 aplicams la fórmula - 1 = m ( 1 ): 3 ( 5) ( ) de dnde 7 3 5 ( ) 7 multiplicams en ambs lads de la igualdad pr ( 7 ) btenems: 7 35 3 6 pasand ls términs del primer miembr al segund miembr tenems: 0 3 6 7 35

simplificand btenems la ecuación de la recta.: 3 7 41 0. 3-7+18=0 (,) = (,-5) 3-7-41=0 Y X Gráfica rectas paralelas. 11.- Determina la ecuación de la recta que pasa pr el punt B ( -3, -) es perpendicular a la recta de ecuación 5 + 3-15 = 0. Determinams la pendiente de la recta cua ecuación ns dan, para esta despejams a la variable & btenems: de dnde tenems m = - ( 5 / 3 ). La cndición de rectas perpendiculares es es: 3 = - 5 + 15 = - (5 / 3) + 5 1 m1 pr l tant la pendiente de la recta que pasa pr B m 1 3 m 1 ; 5 5 3 3 m 1 5 Ahra a cncems el punt B( - 3, - ) la pendiente m1 = 3 / 5, aplicand la fórmula punt-pendiente: 1 = m ( 1 ). 3 ( ) ( ( 3)) 5 su ecuación la btenems

5 10 3 9 3 5 1 0 5+3-15=0 (,) = (-3,-) 3-5-1=0 Y X Gráfica: Rectas Perpendiculares. 1- Determina la pendiente, ángul de inclinación Ordenada al Origen de la recta cua ecuación es: 4 + 9-5 = 0. Despejams a la variable en la Ecuación General: de dnde btenems: 9 4 5 4 9 5 9 pendiente m = - 4 / 9 pr l tant, el ángul de inclinación es: 1 4 tan 180 9 tan 1 4 180 9 la Ordenada al Origen es b = 5 / 9. 3.964 156.0375 Para ds rectas paralelas L1: A1 + B1 + C1 = 0 & L: A + B + C = 0 se cumplen las siguientes relacines entre ls valres de A1, A, B1, B, C1 & C:

1. A1B AB1 0. A1 ka...&... B1 kb... k 0 3. C1& C.. tienen.. signs.. iguales.. si.. las.. rectas.. es tan.. del.. mism.. lad.. del.. rigen. 4. C1& C.. tienen.. signs.. cntraris.. si.. las.. rectas.. es tan.. en.. lads.. puestas.. del.. rigen. 4+3-1=0 4+3-1=0 4+3-1=0 4+3+1=0 cntraris. C1 & C cn Signs iguales C1 & C cn signs

4-3-1=0 4-3-1=0 4-3+1=0 4-3-1=0 cntraris. C1 & C cn mism sign C1 & C cn signs ANGULO ENTRE RECTAS A PARTIR DE LA ECUACIÓN GENERAL Cnsiderems a las rectas L1: A1 + B1 + C1 = 0 L: A + B + C = 0, determinarems la epresión para determinar el ángul que frma L1 cn L epresads en términs de ls ceficientes de sus Ecuacines, para est, las pendientes de las rectas las btenems mediante la transfrmación de cada ecuación en la frma = m + b entnces: Para L1: A1 + B1 + C1 = 0; = (- A1 / B1 ) + (-C1/ B1) de dnde: m1 = (- A1 / B1 ) Para L: A + B + C = 0; = (-A / B ) + (C / B) de dnde: m = ( -A / B ) Cncidas las pendientes, aplicams la frmula: m m1 tan 1 m1m sustituims las pendientes en términ de sus ceficientes btenems:

A A1 B B1 tan A1 A 1 B1 B AB1 A1B B1B B1B A1 A B1B A1B AB1 A1 A B1B de dnde tenems la fórmula del ángul entre las rectas epresada en términ de ls ceficientes de sus ecuacines. tan A1B AB1 A1 A B1B De dnde btenems las cndicines que deben cumplir ests ceficientes para rectas paralelas rectas perpendiculares: a).- Ds Rectas sn paralelas si sus ceficientes cumplen cn: A1B A B1 = 0 A1 B1 de dnde se btiene : k est indica que A1 es múltipl de A A B B1 es Múltipl de B cn k cm cnstante de multiplicidad. b).- Ds rectas sn perpendiculares si sus ceficientes cumplen cn la cndición A1A + B1B = 0. Ejempl 13.- Determina el ángul que frman las rectas L1: 3-7 + 5 = 0 & L: 5 + 8-1 = 0. Para determinar el ángul usarems ls métds, el crrespndiente a las pendientes el de la Tabla I. a).- Us de las pendientes: determinams las pendientes m1 & m de las rectas despejand a la variable en cada una de las ecuacines: Para L1: 7 3 5 ; 3 5 de dnde 7 7 3 5 3 entnces m 1 7 7 7 Para L: 8 5 1; 1 5 de dnde 8 8 m 5 8 Aplicams la frmula de las pendientes btenems:

5 3 m m1 tan t 8 7 1 m1m 3 5 1 7 8 35 4 56 56 15 56 59 41 1 59 tan 180 41 entnces 14.7960 1 59 tan 180 41 tan 1 (1.4390) 180 55.3039 14.7960 3-7+5=0 5+8-1=0 Gráfica El estudiante pdrá aplicar cualquiera de ls prcedimients para determinar el ángul entre las ds rectas.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Cnsiderems A la recta L cn ecuación general A B C 0 un punt P( 1,1 ) del plan, se define la distancia del punt P a la recta L cm la Mínima de tdas las distancias eistentes entre el punt P( 1, 1 ) cada Punt de la recta, esta distancia crrespnde a la lngitud del segment perpendicular a la recta L que tiene etrems a P (1, 1 ) el punt crrespndiente a la recta Q (0, 0 ). A cntinuación se señalan ls pass que se tienen que seguir para btener la fórmula crrespndiente en el APÉNDICE,1 se presenta la demstración crrespndiente. Pas1.- Se determina la pendiente de la recta L: m1 = - A / B Pas.-El segment perpendicular a L tiene pendiente m = B / A (m = -1/ m1). Pas 3.- Se determina la ecuación de la recta crrespndiente al segment que pasa pr Q(1, 1).. - 1 = m ( - 1) Pas 4.-Se btiene el punt de intersección de las rectas perpendiculares el cual crrespnde a Q ( 0, 0). Pas 5.- Se determina la distancia entre ls punts P(1, 1 ) Q ( 0, 0). La fórmula resultante es: d( P : L) A1 B1 C A B ) --------( VII Ejempl 14.- Determina la distancia del punt P( -3, -5 ) a la recta L: 5 + 4-0 = 0. Aplicams la fórmula VII dnde X1 = -3 1 = -5 A = 5 & B = 4; d( P : L) (5)( 3) (4)( 5) 0 5 4 15 0 0 5 16 55 41 55 41 55 41 Unidades. 41

55 41 d( P : L) U. 41 (,) = (-3,-5) 5+4-0=0 DISTANCIA DE UNA RECTA AL ORIGEN Tmems cm cas especial el cálcul de la distancia de un punt a una recta cuand el punt es el Origen O( 0,0) la recta L : A1 + B1 + C = 0, en esta cas la distancia queda determinada pr : d( L, O) A C B Ejempl 15: Determina la distancia de la reta L: 4 10-5 = 0 al Origen O( 0, 0) Aplicams la frmula btenems: 5 5 d ( L, O) 10.77 unidades. 4 ( 10) 116

DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS Ls ceficientes de las ecuacines de rectas paralelas L1: A1 + B1 + C1 = 0 & L: A + B + C = 0 Cumplen cn la relación: A B A B 1 A1 A 1 1 B B. 1 1 0... ó.. bien... (1) k... entnces... () A ka...&... B 1 kb... (3) Aplicand la relación 3 en las ecuacines de las rectas L1 ó L, las pdems representar de tal frma que sus ceficientes siempre sean iguales, pr l tant las ecuacines quedan: L1: A B C1 0 L : A B C dnde... C 1 1 1 C k para determinar la distancia entre las rectas, cnsiderems la distancia dirigida del Origen a cada una de las rectas L1 & L, (la distancia dirigida puede ser psitiva negativa dependiend del sign del termin C1 & C de las ecuacines.) entnces la distancia la btenems a partir de la fórmula: 0 d( L1, L) C ' A C 1 B 1 Ejempl 16: determina la distancia entre las rectas paralelas dadas: 1.- L1: 3 + 5 + 5 = 0 & L : 3 + 5-15 = 0 Estas rectas sn paralelas a que A1B - AB1 = 0 (3)(5) - (3)(5) = 0. 15 5 40 40 40 34 Entnces: d ( L1, L)... unidades 3 5 34 34 34 Ejempl 17.- L1: 5 4-18 = 0 & L: 10-8 + 4 = 0. Las rectas sn paralelas a que cumplen cn: A1B - AB1 = 0. En este cas antes de aplicar la fórmula, debems transfrmar a las ecuacines de tal frma que ls ceficientes A & B sean iguales, est l btenems a sea multiplicand a la ecuación de L1 pr ( ) ó dividiend la ecuación de L pr ( ). hagams el primer cas btenems:

L1: 10-8 - 36 = 0 & L: 10 8 + 4 = 0, aplicams la fórmula: 4 ( 36) 78 d ( L1, L) 100 64 164 entnces, la distancia entre las rectas L1 & L es: 78 164 164 78 d ( L1, L) 164 6.0908.. Unidades 164

5-4-18=0 10-8+4=0