GUIA 7 La tranformada de Laplace. Concepto de la tranformada de Laplace Definición. Una función u(t) definida en t < tiene tranformada de Laplace i exite un real a > tal que la integral e t u(t) dt converge para > a. En ete cao, la tranformada de Laplace de la función u e la función û definida en el intervalo a < < cuyo valor en cada etá dado por û() = e t u(t) dt. () A vece conviene denotar la tranformada de Laplace û de u mediante L {u}. Recuérdee que la integral impropia e t u(t) dt converge i la integral finita B B e t u(t) dt exite para todo B > y i lím B e t u(t) dt exite y e finito. Entonce, por definición, B e t u(t) dt = lím e t u(t) dt B Ejemplo. (Función contante). La función contante u(t) = tiene tranformada de Laplace û() = definida en < <. En efecto, û() = B e t dt = lím e t ( e B dt = lím B B + ) =, para < <. Se oberva que la integral e t dt diverge para. (Función exponencial). La función u(t) = e at tiene tranformada de Laplace û() = definida en a < <. En ete cao, a û() = e t e at dt = e (a )t dt = a para > a. (Función t n, n > entero). La función u(t) = t n (n > entero) tiene tranformada de Laplace û() = n! definida en < <. n+ Primero, para n =, integrando por parte obtenemo L {t} = t e t dt = lím B ( t e t t=b t= ) + e t dt =
para < <. Para n >, la integración por parte da L {t n } = + n Y aplicando eto repetidamente, obtenemo para < <. t n e t dt = lím B ( tn e t t=b t= ). L {t n } = n L { t n } = = = (Funcione eno y coeno). Se tiene L {co at} = para < <, donde a. Integrando por parte obtenemo L {co a t} = + a t n e t dt = n L { t n }. n(n ) L { t n } n(n )(n )... n L {} = n! n+ + a, L {en at} = a + a Y volviendo a integrar por parte, Luego L {en a t} = a e t co a t dt = a e t en a t t= t= e t en a t dt = a L {en a t}. () e t en a t dt = a e t co at t= t= e t co a t dt = a L {co a t}. a L {en a t} = a L {en a t} a De aquí e obtiene la expreión para L{en a t} y de () e obtiene la expreión para L {co a t}. (Función de Heaviide). La función ecalón de Heaviide o alto unitario e la función H definida para todo t, < t <, por {, t < H(t) =, t
a t Figura : Función de Heaviide de alto unitario La función alto unitario en a e la tranlación H(t a) de H (véae figura ): {, t < a H(t a) =, t a Para a > y < <, e tiene En general E decir, L{H(t a)} = L{H(t a) u(t a)} = = a e t dt = e a. a e t u(t a) dt e (x+a) u(x) dx = e a L {u}. L{H(t a) u(t a)} = e a L {u}, para a >, < <. (Una función in tranformada de Laplace). La función u(t) = e t no tiene tranformada de Laplace. Pue la integral e t e t dt = e 4 e (t ) dt diverge para todo. Para cuále funcione u(t) exite la tranformada de la Laplace? Lo ejemplo anteriore ugieren el iguiente criterio: Teorema (Criterio de Exitencia). Supóngae que u(t) e una función definida en t < que atiface la iguiente condicione: 3
L Cada intervalo finito [, B] e puede dividir en un número finito de intervalo [b, b ] = [, b ], [b, b ],... [b n, b n ] = [b n, B] tale que u(t) e continua en ( b k, b k ) y lím t b + u(t), lím k t b u(t) exiten y on finito. k L Exiten contante, a real y M >,tale que u(t) Me at para t <. Entonce u(t) tiene tranformada de Laplace û() definida en el intervalo a < <. Demotración. Eto e conecuencia del criterio de comparación para la convergencia de integrale impropia, pue por la condición (L) e tiene e t u(t) dt e t Me at dt = M e ( a) t dt = M a para a < <. La condición (L) garantiza que la integrale finita B e t u(t) dt exiten para todo B >. Funcione de orden exponencial. La funcione u(t) definida en t < que atifacen la condicione (L) y (L) e denominan funcione continua por tramo de orden exponencial en t <. Para abreviar la denominaremo funcione de orden exponencial. El Criterio de Exitencia e puede enunciar brevemente diciendo: Toda función u(t) de orden exponencial en t < tiene tranformada de Laplace û() definida en algún intervalo a < <. El mimo argumento utilizado para etablecer el Criterio de Exitencia demuetra la iguiente propiedad que e oberva en lo ejemplo al 4 (Anulación de û en ): (Anulación de û en ) Para toda función u(t)de orden exponencial en t <, la tranformada de Laplace û() atiface lím û() = Utilizando argumento un poco má ofiticado e puede demotrar que la propiedad de anulación de û en e válida para toda función u que poea tranformada de Laplace. Eta propiedad irve para determinar que cierta funcione no on una tranformada de Laplace: 4
Si g() e una función definida en un intervalo a < < tal que lím g() no exite o lím g(), entonce g() no e tranformada de Laplace de función alguna Por ejemplo, la funcione detallada a continuación no on tranformada de Laplace de función alguna: Polinómica p() = n a k k, k= Trigonométrica, exponenciale y logarítmica Racionale, p() q() co ω, en ω, e a (a > ), ln,, con grado(p) grado (q).. Propiedade báica de la tranformada de Laplace Conviene imaginar la tranformada de Laplace como un operador u L {u} = û que a cada función u(t) definida en t < y de orden exponencial la tranforma en una función û() definida en algún intervalo a < <. Ete operador tiene la iguiente propiedade báica que, en particular, lo hacen de utilidad en el cálculo de olucione de problema de valor inicial para ecuacione diferenciale lineale con coeficiente contante. Teorema. (Propiedade báica). Sean u(t), v(t) funcione de orden exponencial en t < y a, b contante reale.. ( Linealidad). L{au + bv} = al{u} + bl{v}.. (Tranlación). Si û() =L{u(t)}() etá definida en el intervalo b < <, entonce L{e at u(t)}() = û( a) para a + b < <. 5
3. (Tranlación y truncamiento). Si a > L{H(t a) u(t a)}() = e a L {u} (). 4. (Tranformada de la derivada). L{u (t)} = L{u} u(). En general, para n N L{u (n) (t)} = n L {u} n u() n u ()... u (n ) () u (n ) (). 5. (Derivada de la tranformada). L{tu(t)} = d L{u}. En general, para n N d L{t n u(t)} = d d L{tn u(t)} = ( ) d d L{tn u(t)} =. = ( ) n dn d n L {u}. 6. (Tranformada de la integral). L{ u(r) dr} = L{u}. 7. (Periodicidad). Si u(t) e periódica con período p >, e decir, u(t + p) = u(t) para todo t, y i u(t) e continua en [, p], entonce L {u} = p e t u(t) dt e p. Demotración. Toda eta propiedade on conecuencia directa de la definición. A modo de ejemplo, verificaremo dede 4 al 7. 4. Por encillez, upondremo que u (t) e continua en t <. Integrando por parte L{u (t)} = e t u (t) dt = e t u(t) t= t= + L{u (t)} = u() + L {u}. e t u(t) dt Aquí e ua el hecho de que u(t) Me at, eto implica que e t u(t) t= = lím t e t u(t) =, para > a. La identidad para L{u (n) (t)} e obtiene aplicando repetidamente la identidad para L{u (t)}. 6
5. Suponiendo que e válido el intercambiar el orden de la derivación y la integración en d L{u}, e obtiene d d d L {u} = d d e t u(t) dt = d d e t u(t) dt = te t u(t) dt d L {u} = L{tu(t)} d La identidad para n > e obtiene aplicando repetidamente el cao n =. 6. Se deduce de (iv) tomando u(r) dr en vez de u. 7. Se tiene L {u} = L {u} = e t u(t) dt = k= (k+) p kp p e kp e t u(t) dt = k= e t u(t) dt p e t u(t) dt e p, para > a >. Aquí utilizamo primero el hecho de que mediante el cambio de variable r = t kp, (k+) p kp y, egundo, que e t u(t) dt = p p e ( r+kp) u( r + kp) dr = e kp e t u(r) dr, k= x k = x para x < con x = e p. Cálculo de tranformada de Laplace. Con ayuda de la definición, de un pequeño repertorio o tabla de tranformada de Laplace, y de la propiedade báica e puede calcular fácilmente la tranformada de Laplace de la funcione elementale de uo corriente en la olución de problema de valor inicial para ecuacione lineale con coeficiente contante. Ejemplo. (Polinomio). L { t 3 t + } = L { t 3} L {t} + L {} = 3! 4 + = 6 4 + para >, utilizando la linealidad de L y L {t n } = n! n+. 7
3 4 5 Figura : Función encendido-apagado (Seno y coeno hiperbólico). Si coh at = eat +e at y enh at = eat e at, entonce por la linealidad y el ejemplo () de la ección, ( L { e at } + L { e at}) = L {coh at} = ( a + ) = + a a, para > a Análogamente, L {enh at} = a para > a. a (Onda cuadrada entre a y b, < a < b). La función u(t) definida (conviene trazar u gráfica) { i t < a ó t b u(t) = i a t < b e puede exprear en término de la función de Heaviide como u(t) = H(t a) H(t b). Entonce por la linealidad de L y el ejemplo (4) de la ección, (Otra funcione de interé) û() = e a e b L {ten at} = d L {en at} = d ( a ) = a d d +a ( ( +a ) L {t n e at } = ( ) n dn L {e at } = ( ) n dn ) d n d n a = n! ( a) n+ > a (Función encendido-apagado). La función (veáe figura.) u(t) = ( + ( )[ at ] ) = {, ka t < (k + ) a, (k + ) a t < (k + ) a k entero. e periódica con período p = a. Aquí [ x ] denota el mayor entero n menor o igual que x. 8
Por la propiedad de periodicidad (vii), L {u} = e a a e t u(t) dt = e a a e t dt L {u} = e a ( e a ) = ( + e a ) Producto de tranformada de Laplace. El ejemplo de u(t) = v(t) = t muetra que, en general, L{u v} = L{u} L{v}. Sin embargo, e puede exprear L{u}L{v} como tranformada de Laplace de una función obtenida a partir de u y v como igue. Primero, ( L{u}L{v} = = { ) ( e x u(x) dx e (x+y) u(x)v(y) dx}dy ) e y v(y) dy Ahora, para cada y fijo ( y ), hacemo el cambio de variable t = x + y en la integral interna, de modo que x = t y, dt = dx, t = y cuando x =, t = cuando x =, y Luego L{u}L{v} = y e t u(t y) v(y) dt. { y e t u(t y) v(y) dt}dy. Supongamo ahora que e poible coniderar eta integral iterada como una integral doble obre la región R = {(t, y) y <, y t < } = {(t, y) t <, y t}, y que e poible invertir el orden de integración. Entonce L{u}L{v} = e t u(t y) v(y) dt dy = { R e t u(t y) v(y) dy}dt = =L{ e t { u(t y) v(y) dy}. u(t y) v(y) dy}dt Definición.(Convolución). La convolución de do funcione u(t), v(t) continua por tramo de orden exponencial en t < e la función u v definida en t < por (u v)(t) = u(t y) v(y) dy. Suponiendo válido el cambio de orden en la integración indicado ante podemo etablecer el iguiente teorema. 9
Teorema 3 ( Propiedad de convolución) Ejemplo. Sea u(t) = t y v(t) = en at. Entonce u v(t) = L{u v} = L{u}L{v} (t y) en ay dy = t a en at, a L{u v} = L{ t a a en at} = L{t}L{en at} = a 3. Tranformada invera de Laplace Una propiedad fundamental de la tranformada de Laplace e: t (t + a ). Teorema 4. (Propiedad de inverión). Sean u (t) y u (t) funcione continua por tramo de orden exponencial en t <. Si L{u }() = L{u }() en un intervalo a < <, entonce en cada intervalo finito [, B]e tiene u (t) = u (t), alvo a lo má en un número finito de punto. La demotración de ete reultado requiere técnica de análii que no etán al alcance de ete curo. (Ver: R.V. Churchill. Operational Mathematic., McGraw-Hill, New York, 97.) La propiedad de inverión implica que dada una función v() definida en un intervalo a < <, i exite una función u(t) definida en t < tal que L{u} = v, entonce la función u e eencialmente única. Eto ignifica que i u e otra función tal que L{u } = v, entonce en cada intervalo [, B] la funcione u y u coinciden, con la poible excepción de un número finito de punto. Por ejemplo, e fácil verificar que, para a >, la funcione H(t a) = {, t < a, t a, H (t) = H (t) = {, t < a ó t Z, en otra parte {, t a, t > a,
on tre funcione diferente eencialmente iguale en t < tale que L{H(t a)} = L{H } = L{H } =. En lo que igue no ditinguiremo entre funcione que ean eencialmente iguale. Definición. Una función v() definida en un intervalo a < < tiene tranformada invera de Laplace i exite una función u(t) definida en t < tal que L{u} = v, En ete cao e dice que u e la tranformada invera de Laplace de v y e denota por L {v}. Recordamo que por la propiedad de anulación de la tranformada de Laplace en, una condición necearia para que una función v() poea tranformada invera de Laplace e que lím v() =. También, la propiedade báica de la tranformada de Laplace implican propiedade de la tranformada invera de Laplace. Por ejemplo, i v y w tienen tranformada invera, e tiene: (Linealidad) L {av + bw} = al {u} + bl {w}. (Tranlación) (Derivada) (Integración ) (Convolución) (Integración ) L {v( a)} = e a L {v}. L { dn d n v()} = ( )n t n L {v}. L { v() } = L {v}(r) dr. L {v()w()} = L {v} L {w}. L { La última relación e conecuencia de: (Integral de una tranformada). v(r) dr} = t L {v}. L{u}(γ) dγ = L{ u(t) }. t La cual e válida para u(t) tal que lím t + u(t) t exita y ea finito.
4. Método de Heaviide Ete método e aplica al cálculo de olucione de problema lineale de valor inicial. Supóngae que e deea hallar la olución x(t) en t < de un problema de valor inicial para una ecuación lineal con coeficiente contante x + ax + bx = f(t), x() = x, x () = x (3) El fíico-matemático e ingeniero inglé Oliver Heaviide propuo la iguiente idea. Primero, e aplica tranformada de Laplace a la ecuación L{x + ax + bx} = L{f(t)}. Entonce, por la propiedade (i) y (iv) de tranformada de Laplace, la ecuación e reduce a L{x} x() x ()) + a(l{x} x()) + bl{x} = L{f} ( + a + b)l{x} = L{f} + x() + ax() + x (). Aí, la tranformada de Laplace de la olución x(t) de (3) e L{x} = L{f} ( + a + b) + x() + ax() + x (). ( + a + b) La olución x(t) de (3) en t < e obtiene mediante la tranformada invera { x(t) = L L{f} ( + a + b) + x() + ax() + } x (). ( + a + b) Ejemplo. Bucaremo la olución de dx dt + x =, x() =. Aplicando tranformada a la ecuación, e obtiene De donde (uando fraccione parciale) L{x} = L{x} x() + L{x} =. ( + ) + + = ( ) + + +, L{x} = ( + 9 ) para t <. +
Finalmente, la olución x(t) en t < e x(t) = L { ( + 9 + )} = L { } + 9 L { + } x(t) = + 9 e t. Ejemplo. No proponemo determinar el movimiento dede el equilibrio de un ocilador lineal no amortiguado con maa m y contante de rigidez k ometido a una fuerza externa variable F (t) que e anula ante del intante t > y que e contante e igual a F depué del intante t : {, t < F (t) = F H(t t ) =. F, t t El problema de valor inicial correpondiente e con ω = k m d x dt + ω x = F m H(t t ), x() =, x () =,. Tomando tranformada de Laplace, la ecuación e reduce a L{x} x() x () + ω L{x} = F m L{H(t t )}. Utilizando la condicione iniciale, x() = x () =, e obtiene L{x}() = F m + ω L{H(t t )}, y por tanto x(t) = F m L { + ω L{H(t t )}}. Por la propiedad de convolución de L y obervando que e tiene que Luego, + ω = L{ en ωt}, ω + ω L{H(t t )} = ω L{en ωt}l{h(t t )}} = ω L{ en ωt H(t t )} = ω L{ x(t) = F m ω en ω(t z)h(z t )dz} en ω(t z)h(z t )dz, para t <. 3
F O H( t t O ) F O x O t x(t) FO mω t O t Figura 3: Ocilacione bajo una fuerza repentina Para evaluar la integral en eta expreión para x(t), obervamo que cuando t < t, z t < t implica H(z t ) =, y cuando t t z t implica z < t con H(z t ) = ó t z t con H(z t ) =. Aí que { en ω(t z)h(z t ) dz = en ω(t z)h(z t ) dz =, t < t t t en ω(t z) dz, t t, {, t < t ω ) ), t t, Se concluye que la olución x(t) en t < etá dada por {, t < t x(t) = F ( co ω(t t m ω ) ), t t. Eta olución repreenta un movimiento del ocilador en el cual en auencia de fuerza externa la maa permanece en repoo en la poición de equilibrio x = hata el intante t cuando empieza a obrar la fuerza contante F. A partir del intante t, la maa inicia una ocilación armónica con frecuencia igual a la frecuencia natural ω del ocilador libre en la cual la maa cada π unidade de tiempo e deplaza F ω m ω unidade de ditancia en la dirección de la fuerza F y vuelve luego a la poición de equilibrio x = ( véae figura 3). 4
5. Reumen 5.. Tranformada de Laplace. Definición: L{f(t)}() = e t f(t) dt.. Linealidad: L{α f(t) + β g(t)}() = α L{f}() + β L{g}(). 3. Tranlación: i û() = L{u(t)}() entonce û( a) = L{e at u(t)}(). 4. Tranlación y truncamiento: L{H(t a)u(t a)}() = e a L{u}(). 5. Derivada n-eima: L{f (t)}() = L{f}() f( + ). L{f (t)}() = L{f}() f( + ) f ( + ). L{f (n) (t)}() = n L{f}() n f( + ) n f ( + ) f (n ) ( + ). 6. Tranformada de la integral: { } t L f(r) dr () = L{f}() a L f(t)dt... dt () = L{f}(). } {{ } n n-vece L{u}(γ) dγ = L{ u(t) } (). t 7. Producto y convolución a f(t) dt. L{u}L{v} = L{ u(t y)v(y) dy}. L{u v} = L{u}L{v}, donde (u v)(t) = u(t y)v(y) dy. 8. Tranformada de una función periódica f() con período p > L{f(t)}() = p e t f(t) dt e p. 9. Propiedade varia L{e at f(t)}() = L(f)( a). L{t n f(t)}() = ( ) n dn L{f}(). d n L{H(t a)g(t)}() = e a L{g(t + a)}(). L{ f(t) }() = L{f}d, i lím f(t) t t + t 5 exite.
5.. Tranformada invera de Laplace. Linealidad de la tranformad invera: L {α f(t) + β g(t)} = α L {f} + β L {g}.. Tranlación: L {v( a)} = e a L {v}. 3. Derivada de la tranformada invera: L { dn d n v()} = ( )n t n L {v}. 4. Integral 5. Convolución: L { v() } = L {v}(r) dr. L { v(r) dr } = t L {v}. L {v()w()} = L {v} L {w}. A continuación preentamo una breve tabla de la tranformada de Laplace de alguna funcione L{} =, L{δ(t)} = L{e at } =, L{δ(t a)} = e a a L{t n } = n! n+, L{ tn e at (n )! } = ( a) n (n ) L{en at} = a +a, L{ a 3 (en at at co at)} = ( +a ) L{co at} = +a, L{ a 3 (en a t + a t co a t)} = L{enh at} = a a, L{ a ( +a ) t n L [ ] dt} = ( +a ) n ( +a ) n+ L{coh at} = a, L{ t n L [ ( +a ) n ]} = ( +a ) n+ Nota:La función δ(t t ) e la función Delta de Dirac definida como igue y ademá { i t = t δ(t t ) = i t t δ(t t ) dt =. 6
Ejercicio. Hallar la tranformada de Laplace de cada una de la iguiente funcione a. e t en 3t, b. 3e t co t, c. t 3 en 3t, d. t e t co t, e. e 3t co (t + 4), f. a r co r dr, g. en t, h. co t,.. Calcule la tranformada invera de la iguiente funcione a., b. 3 5, c., d., a, b contante, (+) ( ) ( 5) ( a)( b) e., f., g. +e e, h.. +4+9 ( +) 4 + 3. Hallar la tranformada de Laplace de f(t) := {, t + t t >, g(t) := { t, t t >. 4. Hallar la tranformada de Laplace de la función ecalera f(t) = n +, i n < t n +, n =,,,...,. 5. Reolver cada una de la iguiente ecuacione uando tranformada de Laplace a. dy dt + 3y = t en at y() =, a contante, b. d y dy + y = t dt dt et en t y() =, y () =, c. d y + r dy + dt dt { ω y = A δ(t t ) y() =, y () =, t contante, d. d4 y, t + y = y() = y dt 4 t t > () = y () = y () =, e. dy + y + y() d = co t y() =. dt Repueta.. 3 3(+) a., b., c. 73 648, d. 3 6 +4, 9+( ) 4+(+) ( +9) 4 (+( ) ) 3 (+3) co 4 en 4 e., f. +(+ ) co a+a en a, g., h. (e π +). 4+(+3) (+ ) ( +4) (e π )(+ ) a. e t, b. 3e t t, c. e5t +5t+5e 5t t, d. eat e bt, 5 a b e. 5 e t en 5t, f. t en t, ( ) ( ) g. + H(t ), h. e t co π + t 4 t e co 3π + t 4 H(t ). 3. L{f}() = e ( +3 ), L{g}() = e e 7
4. L{f}() = e k k=. 5. a. (9+a ) ((8 6 a + 8 a + a 4 )e 3 t a((9 + a )t 6) co a t + (a 9 + 7 t + 3 a t)en a t), b. y (t) = e t e t co t e t t en t, c. y (t) = A H(t t ) (e (t t )(r r w ) r w e (t t )(r+ r w ) ), d. (t e t en( π t 4 ) + e t en( 3π + t 4 ))H(t ), e. y (t) = e t t e t + co t. 8