PÁGINA: 1 de 8 Nombres y Apellidos del Estudiante: Docente: Área: Matemáticas Grado: OCTAVO Periodo: TERCERO - GUIA4 Duración: 5 horas Asignatura: Matemáticas ESTÁNDAR: Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y proponer a prueba conjeturas INDICADORES DE DESEMPEÑO: Factoriza Expresiones algebraicas EJE(S) TEMÁTICO(S): FACTORIZACION DE BINOMIOS MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía. Isócrates ORIENTACIONES Lee atentamente la guía. Sigue las instrucciones dadas por el docente. Resuelve en el cuaderno las actividades propuestas en esta guía. EXPLORACIÓN El papiro de Rhind es considerado el primer documento histórico que da muestra de la existencia de la matemática en la antigüedad; actualmente, es una de las piezas de colección del Museo Británico. Está escrito en forma de jeroglífico y en él se recopilan varios problemas que datan de Egipto. La mayoría de los problemas propuestos eran de tipo aritmético y estaban relaciona-dos con situaciones cotidianas. Sin embargo, también aparecían algunos problemas que se podían clasificar como algebraicos y que estaban relacionados con lo que hoy se conoce como la solución de una ecuación. CONCEPTUALIZACIÓN
I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO PÁGINA: 2 de 8 1. DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS Expresiones como diferencias de cuadrados perfectos, pues los términos que las forman tienen raíz cuadrada exacta., - m 2 n 2 son denominadas Factorizar una diferencia de cuadrados perfectos es el proceso inverso a encontrar la suma por la diferencia de dos cantidades. La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos binomios; uno con suma y el otro con resta. Los términos de estos binomios son las raíces cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia planteada inicialmente. x 2 - y 2 = (x + y)(x - y) expresión factorizada EJERCICIO RESUELTO Factorizar las siguientes expresiones. a. 4a 2 b 2-9x 2 y 4 b. Solución a. 4a 2 b 2-9x 2 y 4 Se buscan las raíces cuadradas ( )( ) Se factoriza la expresión De donde, 4a 2 b 2-9x 2 y 4 = ( )( ) Factorizar, como una diferencia de cuadrados, la expresión 2 a Aparentemente la expresión 2 - a no es una diferencia de cuadrados perfectos, pero si se dejan indicadas las raíces de los números, sí lo es. Así, ( ) ( ) Es decir, ( ) ( )( ) Factorizar, como una diferencia de cuadrados, la expresión 9x 2 5 Se calculan las raíces cuadradas ( )( ) Se factoriza la ecuación De donde, ( )( ) 2. SUMA O DIFERENCIAS DE CUBOS PERFECTOS A partir del trabajo con cocientes notables (unidad 4) se sabe que:
PÁGINA: 3 de 8 Además, como las expresiones anteriores son cocientes exactos en cada una de ellas se verifica: Es decir, la suma o la diferencia de cuadrados perfectos se pueden escribir como el producto de dos factores: La suma de dos cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores: el primer factor es la suma de las raíces cúbicas. el segundo factor es el cuadrado de la primera raíz menos, el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. EJERCICIO RESUELTO Factorizar la siguiente expresión. Se buscan las raíces cubicas de cada termino., Se factoriza y se resuelven las operaciones indicadas. Así, ( )[ ] ( )( ) Factorizar La diferencia de cubos perfectos se factoriza como el producto de dos factores: el primer factor es la diferencia de las raíces cúbicas. el segundo factor es el cuadrado de la primera raíz, más el producto entre las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. Se buscan las raíces cubicas de cada termino Se factoriza y se resuelven las ecuaciones indicadas. ( ) [ ]
PÁGINA: 4 de 8 3. SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES Antes de plantear una regla general para factorizar expresiones de la forma, es importante recordar algunas conclusiones planteadas en la unidad 4 con respecto a los cocientes de la forma. Es divisible entre x a, si y solo si n es impar Es divisible entre Es divisible entre Las expresiones de la forma siguiente regla. para todo valor de n (par o impar) si y solo si n es par. se pueden factorizar teniendo en cuenta las anteriores conclusiones y la EJERCICIO RESUELTO Factorizar Si x n ± a n es divisible entre x ± a, entonces, x n ± a n se puede expresar como el producto de dos factores. Así: el primer factor es de la forma x ± a. el segundo factor es un polinomio de n términos con las siguientes características el primer termino es x n y el ultimo es a n los otros términos son productos d e x y a en donde los exponentes de x disminuyen de uno en uno a partir del primer término, y los exponentes de a aumentan de uno en uno a partir del segundo término si x - a es un factor de x n ± a n, los signos del segundo factor son todos + si x + a es un factor de x n ± a n los signos del segundo factor se escriben alternados.. a. m 5 + n 5 b. 243w 5-32z 5 a. m 5 + n 5 Si se tienen en cuenta las condiciones anteriores m 5 + n 5 no es divisible entre m n Así, que m 5 + n 5 sólo es divisible entre m + n. Por lo tanto, (m 5 + n 5 ) = (m + n)(m 4 - m 3 n + m 2 n 2 mn 3 + n 4 ) b. 243w 5-32z 5 se puede escribir como 3 5 w 5-2 5 z 5 = (3w) 5 - (2z) 5
PÁGINA: 5 de 8 (3w) 5 - (2z) 5 es divisible entre 3w - 2z.. Por lo tanto, (3w) 5 - ( 2 z ) 5 = (3w - 2z)[(3w) 4 + ( 3 w ) 3 (2 z ) + (3w) 2 (2z) 2 + (3w)-(2z) 3 (2z) 4 ] = (3w - 2z)(81w 4 + 54w 3 z + 36w 2 z 2 + 24wz 3 + 16z 4 ) ACTIVIDADES DE APROPIACION Marcar, entre las opciones, la raíz cuadrada que corresponde a cada monomio. Responder si al cuadrado de la figura se le quitan nueve cuadrados del lado B; es cierto que el área restante está dada por (A 3B) (A + 3B)? a) b) 225z 8 m 10 c)289b 4x y 12n 8xy 2 15z 4 m 5 17b 2x y 4n 4xy 2 15z 3 m 10 17b 2x y 6n 4x 4 y 5 15z 16 m 20 17b 4x y 12n d) e) 0,0625x 16 y 4n f) 36(w y) 64 0,25x 8 y 2n 18 (w y) 8 0,25x 16 y 2n 6 (w y) 3 2 0,3125x 4 y 2n 6 (w y) 8 Factorizar cada expresión. PARA PENSAR. Factorizar las fracciones que sean cuadrados perfectos. a) ( ) b) ( ) c) d) ( ) d) e) a) t 4 16 b) x 2-25 c) 4w 2 9 d) 36 49z 8 e) x 2 z 4 100 f) m 10 81n 12 g) 1 16x 2 h) x 4 1 i) w 4 n z 8 n j) 3 x k) 9 w l) s 4 Escribir dos factores cuyo producto sea el indicado. a) b) c) d)
PÁGINA: 6 de 8 Completa la tabla. Término 27x 9 y 21-729w 21 p 15 0,216x 54 Raíz Cúbica 2m 3 n 4 q 0,1m 2 w 5 - Factorizar cada binomio. a) 1 + w 3 b) 1 x 3 c) m 3 + n 3 d) z 3 1 e) x 6 + 8 f) 64 a 12 g)8p 3 1 h)1 27z 6 i) -216z 9 + 1 j)x 3 y 6 z 12 512 k)27a 6 + 343b 9 l)125 w 18 z 36 m) w 3 0,008t 3 n 6 n) 0,001x 6 1.000q 3 o)0,027x 9-8 p)4,913m 15 +8w 9 z 21 q) 64+0,125y 9 r) 0,027k 9 0,064t 12 s)3,375 a 15 t) 8x 6 0,064m 9 Escribir que le hace falta a cada expresión para ser factorizada como una suma o una diferencia de cubos. Luego, acomodar condiciones y factorizarlas. a) 68 + 27x 6 b) y 2 8w 3 c) 1 + 4n 12 d) -214z 6 + 1 e) (a + b) 4 9x 3 f) (x y) 4 (x + y) 5 Factorizar como una suma o una diferencia de cubos perfectos cada expresión. a) 1 a b) a 1 c) 1 + a d) x 3 2 e) 2 - x 3 f) 8 x g) x 8 h) 8 + x g) h) i) j) 18m 3 k) l) PARA PENSAR. Marcar con una x las dimensiones correspondientes de cada terreno.
PÁGINA: 7 de 8 ( ) ( ) Factorizar cada binomio. a) w 5 +1 i) z 5 1 b)w 7 +x 7 j)t 9 + 1 c)c 5 +a 15 k)m 6 x 36 d)n 7 +128 l)64 x 6 e)1-10.000x 8 m)243b 5 + 1 f)1 16n 4 n)512p 9 +a 27 g)a 21 b 7 +2.187c 7 o)0,008t 9 + z 3 h)0.0001w 8 z 4 p)b 15 y 10 0,00243p 5 Expresar cada binomio como el producto de dos factores. a) e) b) f) c) g) d) h) Escribir V, si la expresión es verdadera, o F, si es falsa. Justificar tu respuesta. a) Uno de los factores de t 10 +32 tiene cuatro términos. b) Uno de los factores de 5y 5 3.125 es 5. c) n 4 1 = (n 2 +1) (n+1) (n 1) d) w 4 x 4 = (w 2 x 2 ) 2 e) La expresión 3z 5 729 se descompone en tres factores. f) 2(w 2)(w 5 + 2w 4 + 4w 3 +8w 2 +16w+32) = 2w 6 128 PARA PENSAR. Factorizar si es posible cada binomio. a) c) b) d)
PÁGINA: 8 de 8 * *Para factorizar un polimonio por agrupación de términos es necesario que el número de términos que la componen no sea primo. *Los diferentes tipos de binomios se factorizan así: a 2 b 2 = (a + b) (a b) a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) SOCIALIZACIÓN Resolver en el aula los ejercicios con la finalidad de aclarar las dudas presentadas y posteriormente presentar la evaluación del tema en las fechas establecidas. COMPROMISO Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas determinadas por el docente. ELABORÓ REVISÓ APROBÓ NOMBRES Yaira Lizet Rincón R Alexandra Uribe Rozo CARGO Docentes de Área Jefe de Área 19 06 2014 19 06 2014