Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante observación. Después, se idealizan sirven de modelos para las grandes amilias de unciones que se conocen de cursos anteriores. Veamos el concepto de unción algunas de las amilias de unciones más conocidas. Concepto de unción Una unción real de variable real es una aplicación de en, de tal manera que a cada número real Dom le hace corresponder un único número real, llamando también imagen de. Recuerda que Dom es un subconjunto de, llamado dominio de la unción, el cual representa el conjunto de números reales de los que tiene sentido calcular la imagen. El conjunto de todos los números reales que son imagen de los elementos del dominio se le llama imagen de se representa por Im. Normalmente a la variable, se le llama variable independiente a la variable, variable dependiente. Simbólicamente, una unción se representa así: Funciones lineales : Dom Se describen mediante ecuaciones de primer grado, m n, su representación gráica es una recta. Recordemos que al coeiciente m se le llama pendiente de la recta al término independiente, n, ordenada en el origen. Si n 0 la unción lineal queda de la orma m, la recta pasa por el origen de coordenadas. Si m 0, la unción es n, cua representación es una recta vertical que pasa por el punto 0,n. Además, si m 0, la unción lineal es creciente; si m 0 Para hacer la representación gráica de una unción lineal basta con obtener dos puntos de la misma: representarlos en unos ejes de coordenadas unirlos mediante una recta. El dominio de una unción lineal es todo. Funciones cuadráticas, es decreciente.,,,, Se describen mediante ecuaciones de segundo grado, a b c ( a 0 ). Su representación gráica es una parábola. Recordemos que si a 0 la parábola se abre hacia arriba, si a 0 la parábola se abre hacia abajo. El vértice de la b parábola es el punto más alto o más bajo de la parábola, cua coordenada viene dada por la epresión. Por tanto, a b b las coordenadas del vértice son, a a. La parábola corta al eje Y en el punto de coordenadas 0,c al eje X en los puntos,0,0, donde son las soluciones de la ecuación a b c 0. Si la ecuación anterior tiene una única solución, sólo habrá un punto de corte con el eje X,,0, la parábola será tangente al eje X. Si la ecuación a b c 0 no tiene soluciones reales, la parábola no corta al eje X, estará toda ella por encima o por debajo b b del eje X. Se llama eje de la parábola a la recta, que es una recta vertical que pasa por el punto,0. El eje a a de la parábola pasa por el vértice divide a ésta en dos ramas simétricas. Es como un espejo en el que el relejo de una rama de la parábola es la otra rama de la parábola. El dominio de una unción cuadrática es todo. Funciones polinómicas La ecuación de una unción polinómica viene dada mediante un polinomio de grado n : n n an an a a a0 Su representación gráica es una curva que se dobla varias veces, dependiendo del grado del polinomio. Su dominio también es todo el conjunto de los números reales. Funciones Página
Funciones de proporcionalidad inversa Son unciones cua ecuación es de la orma son la recta horizontal a c, la recta vertical Las hipérbolas más sencillas son de la orma a b c d, con c 0 d. c Matemáticas I - º Bachillerato. Su representación gráica es una hipérbola cuas asíntotas k k, las ramas de la hipérbola se encuentran en el primer tercer cuadrantes, si k 0 coordenadas. En este caso, si 0 ramas de la hipérbola se encuentran en el segundo cuarto cuadrantes. El dominio de una unción de proporcionalidad inversa,, cua representación gráica son hipérbolas cuas asíntotas son los ejes de a b c d, es d c, a que el punto d c denominador, sabemos que cuando el denominador es cero la epresión correspondiente no eiste o no tiene sentido. Funciones racionales La ecuación de una unción racional viene dada por una racción algebraica, es decir, polinomios. El dominio de una unción racional es todo el conjunto de los números reales, salvo aquéllos que anulan el denominador. p, donde q, las anula el p q son Dom : q 0. Es decir, el dominio está ormado por Las unciones raciones tienen representaciones gráicas mu variadas. Para poder hacer la representación gráica de una unción racional debemos hacer un estudio detallado de la unción: puntos de corte con los ejes, simetría, asíntotas, tendencias, monotonía, etremos, puntos de inleión, etc. Todo ellos se verá en los dos temas siguientes. Funciones raíz o unciones radicales Son unciones de la orma donde es una unción elemental cualquiera (por ejemplo, de las vistas anteriormente). Su dominio es Dom : 0 (recuérdese que la raíz cuadrada no es un número real si el radicando es menor que cero). Por tanto para calcular el dominio debemos resolver la inecuación 0. El intervalo o intervalos solución de esta inecuación coincide justamente con el dominio de la unción. Las unciones raíz también tienen representaciones gráicas mu variadas. Para hacernos una idea de la representación gráica, al igual que ocurre con las racionales, hemos de estudiar detalladamente la unción, para eso debemos tener en cuenta los contenidos de los dos temas siguientes. De todas ormas, un caso particular mu sencillo son la amilia de unciones del tipo k, donde k es un número real. Su representación gráica es una rama de parábola que se encuentra por encima del eje X cuo eje es precisamente el eje X. Un ejemplo es la unción. Su representación gráica es la siguiente: Funciones Página
Funciones deinidas por trozos Matemáticas I - º Bachillerato A veces un enómeno cambia drásticamente con el tiempo, por tanto, también su representación gráica sure cambios bruscos. Esa es la razón por la que conviene epresar la unción mediante varios trozos. Una unción deinida por trozos será entonces algo así como varias unciones elementales, pero epresadas de una sola vez. Representar la gráica de un unción deinida por trozos será sencillo si sabemos representar cada uno de los tramos o trozos correspondientes. Además tendremos que tener especial cuidado en aquellos puntos en donde termina un trozo comienza otro, puntos que a veces estarán en contacto a veces no. Como ejemplo vamos a dar dos unciones deinidas por trozos su correspondiente representación gráica si 3, 0 si 0,3 4 si 3, 7 Observa que, empezando por la izquierda, el primer trozo (la recta inclinada) corresponde a la unción, el segundo trozo (la parábola) a la unción, el tercer trozo (la recta horizontal) a la unción constante 4. Observa que la primera se encuentra en la ranja del eje X entre 3 0, la segunda en la ranja entre 0 3 la tercera en la ranja situada entre 3 7. Además es conveniente observar que en los puntos en que la unción pasa de un trozo al siguiente los trozos o ramas correspondientes pegan bien, es decir, en esos puntos la unción es continua. g si si En este caso la recta es la gráica de la unción, la parábola es la gráica de la unción Funciones Página 3. La primera está deinida para valores de menores que, la segunda para valores de maores o iguales que. En este caso los trozos no pegan bien cuando se pasa de la primera a la segunda se dice que la unción no es continua en el punto.
Valor absoluto de una unción Matemáticas I - º Bachillerato Recordemos que el valor absoluto de un número coincide con el propio si éste es positivo o cero, o con su opuesto, si es negativo. Por tanto la unción valor absoluto de, se deine de la siguiente manera: si 0 si 0 Obsérvese que esta es una unción deinida por trozos. Su representación gráica es: En general, la unción valor absoluto de una unción cualquiera Para representarla gráicamente, se representa la unción de la gráica de se deine así: si 0 si 0 se traslada, tomando como eje de simetría el eje X, la parte que esté debajo del mismo, justamente por encima. Como ejemplo representaremos gráicamente las 3 3 3 3. 3 3 unciones, su valor absoluto Funciones Página 4
Transormaciones elementales de unciones Matemáticas I - º Bachillerato Traslaciones verticales Dada una unción cualquiera k son como la de un número real positivo, 0 k, k, la gráica de las unciones pero trasladadas k unidades hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. = ( ) +3 = ( ) = ( ) 3 Traslaciones horizontales son como la de Dada una unción cualquiera k un número real positivo, 0 k, la gráica de las unciones k, pero trasladadas k unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente. = ( +3 ) = ( ) = ( 3 ) Funciones Página 5
Simetría respecto del eje Y La gráica de la unción es simétrica a la de Matemáticas I - º Bachillerato respecto del eje Y (es como si el eje Y actuara como un 3 espejo). Un ejemplo son las unciones 3 3 3 3 3 3 : 3 3 = ( ) = ( ) Si una unción cumple que, para todo, entonces se dirá que es una unción par su propia gráica será simétrica respecto del eje Y (es decir, si doblamos por el eje Y, las ramas de la gráica de la unción coinciden). Por ejemplo, la unción 6 4 es par, a que 4 ( compruébalo!). Su gráica es: Si una unción cumple que, para todo, entonces se dirá que es una unción impar su propia gráica será simétrica respecto del origen de coordenadas. Esto quiere decir que si doblamos dos veces, una por el eje X, otra 3 por el eje Y, las ramas de la unción coinciden. Por ejemplo la unción es impar a que 3 ( compruébalo!). Su gráica es: Funciones Página 6
Matemáticas I - º Bachillerato Composición de unciones. Función inversa de una unción Composición de unciones Dadas dos unciones g se denomina unción compuesta de g, se designa por g Dom en g g. Observa el siguiente esquema:, a la unción que transorma Funciones Página 7 g g La epresión g se lee compuesta con g. Se nombra en primer lugar a la unción que está a la derecha porque es la primera en actuar sobre. Obsérvese que para que la unción compuesta g tenga sentido se debe de cumplir que Dom g Dadas las unciones. Veamos un ejemplo. 3 6 g, vamos a hallar g. g g 3 6 6 3 6 3 g g 36 36 Observa que no se cumple en general que g g Función inversa o recíproca de una unción Se llama unción inversa de una unción a otra unción, que designaremos por a Dom a Como consecuencia de la deinición anterior se dan las relaciones siguientes: La unción inversa de, es decir, la composición de unciones no es conmutativa. b, entonces b a, cumpliendo la siguiente condición: ; es, a su vez,. Por eso se dice, simplemente, que las unciones Es necesario hacer una observación: para que una unción tenga inversa ha de ser inectiva, es decir, cada valor son inversas o recíprocas. ha de corresponder a un único valor de, es decir, no puede haber dos valores distintos del dominio de,, tales que pues, si así uera, la unción inversa cumpliría lo siguiente: Lo cual es absurdo pues hemos supuesto que son distintos. El procedimiento práctico para hallar la inversa de posteriormente la variable en esta última epresión. Veamos un ejemplo. consiste en intercambiar las variables e, despejando Para hallar la inversa de la unción g del ejemplo anterior procedemos así. Llamamos g Intercambiamos las variables: g :.. Despejamos :. Por tanto la unción inversa de g es. Comprobamos inalmente que así es: g g g g g g g g g g
La unción eponencial Matemáticas I - º Bachillerato Una unción eponencial es de la orma eponencial son las siguientes: a, donde a 0 a. Las propiedades o características de la unción. Son continuas en todo el conjunto de los números reales (que es su dominio de deinición), pasan por los puntos 0,a, a que a a a 0,. 0,. La imagen de la unción eponencial es siempre el intervalo 0,. 3. Si. De aquí se deduce que siempre cortan al eje Y en el punto a son crecientes, tanto más cuanto maor sea a. El crecimiento de cualquiera de ellas llega a ser mu rápido, n k. Es por ello que la epresión crecimiento eponencial es a, se dan las siguientes tendencias: superando incluso a cualquier unción potencial del tipo sinónimo de crecimiento mu rápido. Además, si 4. Si 0a a 0 ; a son decrecientes. Además se dan las siguientes tendencias: 5. Se abren siempre hacia arriba, es decir, son cóncavas. a ; a 0 6. Se acercan indeinidamente al eje X sin llegar a cortarlo; por la izquierda si a por la derecha si 0a. Es decir, el eje X es una asíntota horizontal. 7. En matemáticas superiores la unción e es etraordinariamente importante. Tanto es así que cuando se habla de la unción eponencial, sin mencionar cuál es su base, se está haciendo reerencia a ella. 8. También son eponenciales las unciones del tipo de base k a. Como ejemplo representaremos a continuación las unciones k k k a, a que a a,, es decir, k a es la unción eponencial Funciones Página 8
La unción logarítmica Matemáticas I - º Bachillerato, donde a 0 a. La unción logarítmica de base a es la inversa de Una unción logarítmica es de la orma log a la unción eponencial vista anteriormente, g a. Es ácil demostrar que, eectivamente, Las propiedades o características de la unción logarítmica son las siguientes:. Son continuas el intervalo log 0 a log 0, (que es su dominio de deinición), pasan por los puntos a a. De aquí se deduce que siempre cortan al eje X en el punto, 0.. La imagen de la unción logarítmica es todo el conjunto de los números reales. 3. Si g g., 0 a,, a que a son crecientes. Su crecimiento es mu lento, tanto más cuanto maor sea a. Para valores mu grandes de llegan n, por grande que sea n. Además, si a, se dan a tomar valores mucho menores que los de cualquier unción raíz las siguientes tendencias: 4. Si 0a 5. Si son decrecientes. Además se dan las siguientes tendencias: a se abren hacia abajo, es decir, son conveas. Y si 0a se abren hacia arriba, es decir, son cóncavas. 6. Se acercan indeinidamente al eje Y sin llegar a tocarlo; para valores de negativos sin a, para valores de positivos si 0a. Es decir, el eje Y es una asíntota vertical. 7. En matemáticas superiores la unción log e ln. Es la unción inversa de la eponencial de base e. Como ejemplo representaremos a continuación las unciones log log es mu importante. Se le llama logaritmo neperiano se designa por Funciones Página 9
Funciones trigonométricas Matemáticas I - º Bachillerato k Veremos las tres unciones trigonométricas más importantes: seno, coseno tangente. Sabemos que los ángulos son iguales en el sentido de que tienen las mismas razones trigonométricas. Por tanto la gráica de las unciones trigonométricas se repetirá periódicamente en cada intervalo de longitud (cada vuelta completa). Función seno Función coseno Función tangente Funciones Página 0