SGUICES07MT-A16V1 SOLUCIONARIO Congruencia de triángulos 1
TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS Ítem Alternativa 1 D Comprensión C 3 C 4 E Comprensión 5 E Comprensión 6 E Comprensión 7 E 8 B 9 A Aplicación 10 B 11 E 1 D 13 C 14 A Aplicación 15 C Aplicación 16 E 17 C 18 B 19 A 0 B 1 C E 3 A 4 B 5 D
1. La alternativa correcta es D. Comprensión Analizando cada alternativa: La alternativa A no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen solo un ángulo y un lado congruentes. La alternativa B no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen solo un ángulo y un lado congruentes. La alternativa C no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen dos ángulos congruentes (y el tercero también), pero no se indica información acerca de los lados (solo podría establecerse que son semejantes). La alternativa D es siempre verdadera, ya que pueden darse dos situaciones: Si son los catetos respectivamente congruentes, como el ángulo entre ellos es recto en ambos triángulos, entonces se puede aplicar el criterio LAL. Por otro lado, si es un cateto y la hipotenusa respectivamente congruentes, como el ángulo opuesto al mayor de ellos (la hipotenusa) es recto en ambos triángulos, entonces se puede aplicar el criterio LLA. La alternativa E no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen solo un ángulo congruente. Por lo tanto, la alternativa D es siempre verdadera.. La alternativa correcta es C. P M β β β β β N β En la figura, se esquematizan los ángulos interiores del triángulo PQS. Recordar que los segmentos MN, NR y MR son medianas del triángulo PQS, por lo que lo dividen en cuatro triángulos congruentes. Como el segmento PR es perpendicular al segmento QS, se tiene que ( + β) = 90. Luego: Q R S 3
I) Verdadera, ya que los tres lados son respectivamente congruentes y el orden de los vértices se corresponden en ambos triángulos (orden de ángulos para ambos triángulos es β). II) Falsa, ya que el orden de los vértices en el segundo triángulo no se corresponde con el orden en el primer triángulo (orden de ángulos para MPR es β β, en tanto para RNP es β β). Para que fuera correcta debería decir MPR NPR o MPR NRP. III) Verdadera, ya que los tres lados son respectivamente congruentes y el orden de los vértices se corresponden en ambos triángulos (orden de ángulos para ambos triángulos es β 90 ). Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 3. La alternativa correcta es C. Como Δ DEF es isósceles en D, entonces FD DE. Dado que EH HF, FD DE DH es un lado común, entonces Δ DHF Δ DHE. Como DH cae sobre el punto medio de EF y parte desde el ángulo ubicado en el vértice D, entonces también es altura de Δ DEF. La medida de los segmentos y de los ángulos se esquematiza en la figura adjunta, luego: F y H D β β I) Verdadera, ya que son ángulos que se encuentran frente a lados homólogos en triángulos congruentes. II) Verdadera, ya que FHD y DHE son ángulos que se encuentran frente a lados homólogos en triángulos congruentes, luego son congruentes. Como además son adyacentes, entonces cada uno de ellos mide 90º. E 4
III) Falsa, ya que solo se cumpliría si el Δ DEF fuera triángulo rectángulo en D, lo que no se menciona ni en el enunciado ni en la figura. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 4. La alternativa correcta es E. Comprensión Como el triángulo ABC es isósceles en C, entonces AC BC, lo que implica que el triángulo ABC tiene un eje de simetría que pasa por el vértice C y por el punto medio del lado AB. Entonces, los elementos secundarios relacionados con ese vértice y con ese lado coinciden en un mismo segmento. Esta condición no se cumple para los otros lados y los otros vértices del triángulo. Luego: I) Falsa, ya que si los lados AB y CB no son iguales, entonces los triángulos ABD y CBD no son congruentes. II) III) Falsa, ya que no existen datos para determinar si los triángulos son isósceles. Falsa, ya que si los lados AB y CB no son iguales, entonces la bisectriz no coincide con la altura. Por lo tanto, ninguna de las proposiciones es siempre verdadera. 5. La alternativa correcta es E. Comprensión En un rectángulo, las diagonales forman pares de triángulos isósceles congruentes entre sí. Luego: I) Verdadera, ya que AED BEC II) III) Verdadera, ya que DEC AEB Verdadera, ya que CAD ACB Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 5
6. La alternativa correcta es E. Comprensión Considerando que en el rombo las diagonales son perpendiculares entre sí y bisectrices de los ángulos, siendo además los ángulos opuestos iguales, entonces se forman 4 triángulos rectángulos congruentes. Luego: I) Verdadera, ya que los vértices están en el orden es el correcto. II) III) Verdadera, ya que los vértices están en el orden es el correcto. Verdadera, ya que las diagonales son perpendiculares. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 7. La alternativa correcta es E. Como ADE EDC, DEA CED y el segmento DE es un lado en común, entonces por el criterio ALA se cumple que DEC DEA. Luego, DC DA. Como ADE EDC, DC DA y el segmento DB es un lado en común, entonces por el criterio LAL se cumple que DBC DBA. Por lo tanto, la alternativa que es siempre verdadera es la E. 6
8. La alternativa correcta es B. Como EBA DCE, entonces AB = EC = 5, EA = ED = 6 y EB = DC = 8, además de AEB EDC, BAE CED y EBA = DCE =. Luego: I) Falsa, ya que CB = EB EC = 8 5 = 3. II) Falsa, ya que solo ocurriría si AEB fuera congruente con DCE, lo que no necesariamente se cumple. III) Verdadera, ya que AEB + BAE + EBA = 180 AEB + CED + = 180 AED = 180 Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera. 9. La alternativa correcta es A. Aplicación Por suma de ángulos interiores, se puede determinar en el triángulo del enunciado que el ángulo entre m y b mide 80º. Además, por la desigualdad los ángulos opuestos, se cumple que b < m < p. Existen cuatro criterios de congruencia: LLL, ALA, LAL y LLA. Luego: A) Se puede aplicar el criterio LLA, ya que tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al mayor de ellos es congruente. B) NO se puede aplicar el criterio ALA, ya que el lado entre 60º y 80º debería medir b. C) NO se puede aplicar el criterio LAL, ya que el ángulo entre m y p debería medir 40º. D) NO se puede aplicar el criterio LAL, ya que el ángulo entre b y p debería medir 60º. E) NO se puede aplicar criterio de congruencia, ya que el ángulo frente a b debería medir 40º. Por lo tanto, el triángulo que es siempre congruente con el de la figura, se encuentra en la alternativa A. 7
10. La alternativa correcta es B. En un hexágono regular, todos sus lados y sus ángulos interiores son congruentes. Además, las tres diagonales que pasan por el centro son congruentes entre sí, y las seis diagonales que no pasan por el centro son congruentes entre sí. Luego, analizando cada una de las alternativas: Alternativa A: Δ AFE Δ CBA Verdadera, ya que AF EF AB BC pues corresponden a lados del hexágono, y AFE CBA pues corresponden a ángulos interiores del hexágono. Entonces, por el criterio LAL, los triángulos son congruentes. Alternativa B: Δ PAC Δ ABE Falsa, ya que si bien los tres ángulos son congruentes, los lados respectivos no lo son (por ejemplo, el lado AC corresponde a la hipotenusa en el Δ PAC, y es distinto al lado EB que corresponde a la hipotenusa en el Δ ABE). Entonces, los triángulos no son congruentes. Alternativa C: Δ ABR Δ CBR Verdadera, ya que AR CR pues R es punto medio de AC, AB BC pues corresponden a lados del hexágono y el lado BR es común. Entonces, por el criterio LLL, los triángulos son congruentes. Alternativa D: Δ FPE Δ QPE Verdadera, ya que el triángulo FQE es equilátero y P es punto medio de FQ. Entonces EP divide al triángulo FQE en dos triángulos congruentes. Alternativa E: Δ APF Δ CRQ Verdadera, ya que ambos son mitades de triángulos equiláteros congruentes (Δ FQA Δ QBC). Entonces los triángulos son congruentes. Por lo tanto, solo es falsa la congruencia Δ PAC Δ ABE, alternativa B. 8
11. La alternativa correcta es E. Como ABCD rectángulo, DP PQ QR RC y D P R C AR BP, entonces Δ ADP Δ AQP Δ BQR Δ BCR, por el criterio LLA. Q Entonces, AD AQ BQ BC. Luego: I) Falsa, ya que si bien los triángulos son congruentes, el orden en que se mencionan los vértices no corresponde. A B II) Verdadera, ya que ADR = AQB = 90º y AD AQ. Además, como PQR es isósceles rectángulo, entonces DRA = RAD = BAR = 45º. Luego, por el criterio ALA, los triángulos son congruentes. III) Verdadera, ya que PQ RC, AD AQ BC y PQA = RCB = 90º. Luego, por el criterio LAL, los triángulos son congruentes. Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas. 1. La alternativa correcta es D. Como Δ ABD Δ CDB y el triángulo ABD es isósceles en B, entonces el triángulo BDC es isósceles en D. Luego, se pueden establecer las siguientes congruencias de lados y de ángulos: y A D x x x y B C I) Falsa, ya que según las relaciones indicadas en el dibujo, el perímetro de cada triángulo ( x y) es (x + y), en cambio la mitad del perímetro del cuadrilátero es = (x + y). 9
II) Verdadera, ya que ADB CBD AD // BC y DBA BDC AB // DC. Entonces, como el cuadrilátero ABCD tiene las dos parejas de lados opuestos paralelos, es un paralelógramo. III) Verdadera, ya que ADB CBD por la congruencia, y BAD ADB por ser el triángulo ABD isósceles. Entonces BAD CBD. Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas. 13. La alternativa correcta es C. Como PTS y QTR son dos triángulos rectángulos isósceles en T, congruentes entre sí, y STR es un triángulo equilátero, entonces TPS = PST = RQT = TRQ = 45, STP = QTR = 90 y TSR = RTS = SRT = 60. Entonces, PTQ = 360 QTP = 360 (90 + 90 + 60 ) = 360 40 = 10 y QPT = TQP = 30. Luego: I) Falsa, ya que PSR = PST + TSR = 45 + 60 = 105 y PTQ = 10. II) Verdadera, ya que al dividir ambos triángulos por su eje de simetría se forman triángulos congruentes entre sí. III) Verdadera, ya que 3 3 3 3 QPS = ( QPT + TPS) = (30 + 45 ) = 75 = 45 = TPS. 5 5 5 5 Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas. 10
14. La alternativa correcta es A. Aplicación Si Δ QRP Δ DFE, entonces es posible afirmar que: Luego, FEH = 180º 86º = 94º QPR DEF PRQ EFD RQP FDE 15. La alternativa correcta es C. Geometría de Proporción Aplicación Si ABC DEF, entonces AB = DE. Aplicando teorema de Pitágoras, al triangulo rectángulo FED, se tiene que un cateto vale el triple del otro, luego el valor de la hipotenusa es 15 10, entonces EF = 15 10. 16. La alternativa correcta es E. Geometría de Proporción. Como FGJ JHI, entonces FG FJ JH JI y JG = HI = JH. Luego: JG = JH + HG (Reemplazando) JH = JH + 1 (Despejando JH ) JH JH = 1 JH 1 = 1 JH = JH = 1 1 1 1 JH = 1 1 1 (Racionalizando) 11
Luego, JG = HI = JH = 1 Por lo tanto, la medida de HI es. 17. La alternativa correcta es C. Como ABCD y PQRS son cuadrados, entonces Δ DPA Δ AQB Δ BRC Δ CSD. Como PA AQ 4 3, entonces PA = 4k y AQ = 3k, con k constante de proporcionalidad. Luego, BQ = PA = 4k. Dado que Δ AQB es rectángulo en Q, entonces por trío pitagórico AB = 5k. Como el perímetro del cuadrado ABCD mide cm, entonces AB = 1 cm. 4 Luego, AB = 5k = 1 k = 10 1. 4 3 4 3 7 Entonces PA = cm y AQ = cm PQ = cm. 10 10 10 10 10 7 14 Por lo tanto, el perímetro del cuadrado PQRS mide 4 cm. 10 5 1
18. La alternativa correcta es B. Como el triángulo ABE es isósceles en E, entonces por lo cual AB DB, BE BC y AE DC. AE EB. Además, ABE DBC, Luego, nombrando a AE = EB = DC = CB = p y AB = DB = m. Entonces, DE = (DB EB) = (m p), y los perímetros quedan representados por: Perímetro DBC = DB + DC + CB = m + p + p = m + p = 18 cm Perímetro ABCDE = AB + AE + DE + DC + CB = m + p + (m p) + p + p = m + p = 6 cm Esto significa que el perímetro del polígono es m cm mayor que el perímetro de cada triángulo. Como la diferencia entre ambos perímetros es (6 18) = 8 cm, entonces m = 8cm. Reemplazando en cualquiera de las dos expresiones, por ejemplo en el perímetro del triángulo, es posible determinar que (8 + p) = 18 p = (18 8) = 10 p = 5 cm. Por lo tanto, el segmento DE mide (8 5) = 3 cm. 19. La alternativa correcta es A. Como EFI HFG, entonces IFE GFH, y dado que EG es un segmento recto, entonces IFE = GFH = 90º. Luego, EFI y HFG cumplen con la relación métrica 30º/60º/90º. a a 3 Es decir, si EI = HG = a, entonces EF = HF = y FI = FG =. Luego, la razón pedida se puede plantear IH EG FI HF EF FG a 3 a a a 3 IH 3 1 3 1 Por lo tanto, al amplificar por, queda. a EG 1 3 3 1 13
0. La alternativa correcta es B. Como MNQ NMP y pitagórico). Además, MQ QN, entonces MP = QN = 3 y MQ = PN = 4 (por trío MR RN y PR RQ. Sea MR = RN = a y PR = RQ = b, entonces (a + b) = 4. Además, aplicando Teorema de Pitágoras en el RQN, se cumple que (3² + b²) = a². Resolviendo el sistema planteado resulta: (3² + b²) = a² a² b² = 9 (a b)(a + b) = 9 (a b) = Luego, (a + b) + (a b) = 4 + 4 9 a = 4 5 a = 8 5 9 ( a b) 9 4 Por lo tanto, el valor del segmento MR es 8 5. 1. La alternativa correcta es C. Como PQR TQS, y ambos son isósceles rectángulos, entonces PQ = TQ = 1 cm y PR = RQ = TS = SQ = rectángulo, entonces cm. Luego, TR = (TQ RQ) = 1 cm. Dado que PRTU es un UP TR y UT PR. Por lo tanto, el perímetro del rectángulo PRTU mide (PR + UP + UT + TR) = 1 1 = cm. Por lo tanto, el perímetro del rectángulo PRTU mide cm. 14
. La alternativa correcta es E. Como ABCD es un cuadrado de lado, entonces su diagonal AC vale. Por otro lado, dado que DPC es un triángulo isósceles en C, entonces DC = PC =. Luego, QC = (AC AQ) = ( ). Dado que DCP BAQ, entonces AQ PC y AP QC. Luego, PQ = (PC QC) = ( ( )) = ( + ) = (4 ) Por lo tanto, el valor de PQ es (4 ). 3. La alternativa correcta es A. Sean y ángulos interiores del MNT, isósceles en T, y considerando que MNT NSR y MN // RS, resulta: Por la suma de ángulos interiores en el MNT + = 180º (1) Por paralelismo, SRT NMT = () Reemplazando () en (1) + = 180º 5 = 180º = 180 º = 36º 5 Entonces, según (), = 36º = 7º M R T N S Según la figura, el ángulo RMN es adyacente con el ángulo NMT (). Por lo tanto, el ángulo RMN mide (180º ) = (180º 7º) = 108º. 15
4. La alternativa correcta es B. (1) Tienen sus tres ángulos respectivamente congruentes. Con esta información, no es posible determinar si los triángulos son congruentes, ya que solo se puede determinar que los triángulos son semejantes. () Tienen sus tres lados respectivamente congruentes. Con esta información, sí es posible determinar si los triángulos son congruentes, ya que corresponde a la definición del criterio LLL. Por lo tanto, la respuesta es: () por sí sola. 5. La alternativa correcta es D. (1) AD // CB y AD CB. Con esta información, es posible determinar que ADC BCD, ya que si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e iguales es un paralelógramo, y en todo paralelógramo una diagonal lo divide en dos triángulos congruentes. () AC // DB y AC DB. Con esta información, es posible determinar que ADC BCD, ya que si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e iguales es un paralelógramo, y en todo paralelógramo una diagonal lo divide en dos triángulos congruentes. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. 16