c) r = 2,1 : 1,4 = 3 : 2 = 1,5 b) r = 5 : 2,5 = 13 : 6,5 = 7 : 3,5 = 2 : 1 = 2

Transcripción

1 Matemática 2º medio, Puentes del Saber Solucionario UNIDAD 3 Página 165 Imagen 1: Largo: aprox. 8 cm; Ancho: aprox. 6 cm b) Imagen 2: Largo: aprox. 6,5 cm; Ancho: aprox. 5 cm Ancho: 6/5 = 1,2 (aprox.) b) Largo: 8/6,5 = 1,23 (aprox.) Página C A B D C D A Página B D C D 1 El triángulo EFD es isósceles y cada ángulo basal mide 62. Los lados AC y FD son iguales y los ángulos basales entre los triángulos también son iguales. Entonces, cada triángulo tiene dos ángulos y el lado común a ellos respectivamente iguales; por lo tanto, según el criterio ángulo- lado- ángulo (ALA), los triángulos EFD y BCA son congruentes. Página 168 La letra dibujada en la opción 2 no es semejante a la letra original. La letra dibujada en la opción 1 es semejante a la letra original. La letra dibujada en la opción 2 no es semejante a la letra original. Página 169 r = 5 : 15 = 2 : 6 = 1 : 3 = 0, 3 c) r = 2,1 : 1,4 = 3 : 2 = 1,5 b) r = 5 : 2,5 = 13 : 6,5 = 7 : 3,5 = 2 : 1 = 2 d) r = 7 : 12 = 0,58 3 y = 37 ; z = 53 ; falta información para determinar el valor de x. b) x = 1,6 cm; y = 70 ; z = 6 cm.

2 Página 170 F, ya que la razón se calcula como: r = 12/5 = 2,4 cm; por lo tanto, la razón es mayor que b) V, ya que la razón se calcula como: r = 10/5 = 2 cm; por lo tanto, la razón es mayor que c) F, ya que la razón se calcula como: r = 5/12 = 0,42 cm; por lo tanto, la razón es menor que d) V, ya que la razón se calcula como: r = 5/10 = 0,2 cm; por lo tanto, la razón es menor que 4. La primera fotografía tendrá las dimensiones de 40 cm y 50 cm; mientras que la segunda tendrá como dimensiones 40 cm y 40 cm. Página AB Æ PQ BC Æ QR CD Æ RS DA Æ SP b) CBA Æ RQP DCB Æ SRQ ADC Æ PSR BAD Æ QPS c) PQ = 8/3 cm QR = (10/3) cm 6. El área del cuadrado es 9 cm b) Los lados miden 6 cm y 8 cm. Página 172 Los ángulos ECD y BCA son congruentes. X Los lados BC y DE son correspondientes. r = m( EC )/m( CB ) = 10/5 = 2 RS = (14/3) cm SP = 2 cm

3 r = m( DC )/m( CA ) = 6/3 = 2 r = m( ED )/m( AB ) = 8/4 = 2 La razón entre lados correspondientes es la misma, los ángulos BCA y ECD son congruentes, al igual que los ángulos BAC y EDC; por lo tanto, los ángulos CBA y CED también son iguales. Como los triángulos tienen todos sus ángulos congruentes y la razón entre sus lados es la misma, se puede afirmar que los triángulos ACB y DCE son semejantes. Página 173 Las razones entre los triángulos ABC y A B C son: r = m( AB )/m( A B ) = 4/3 = 1, 3 r = m( BC )/m( B C ) = 7/6 = 1,1 6 r = m( AC )/m( A C ) = 10/15 = 0, 6 Como las razones entre los lados correspondientes no son iguales, entonces los triángulos no son semejantes. b) Al calcular las razones entre los lados se tiene: r = m( a )/m( a ) = 3/12 = 0,25 r = m( b )/m( b ) = 4/16 = 0,25 r = m( c )/m( c ) = 5/21 = 0,238 Como la razón entre c y c es distinta a las razones de los otros lados, entonces los triángulos no son semejantes. c) Las medidas son: a = 9 cm, b = 30 cm y c = 24 cm. d) 3,6 cm 6 cm e) El área es (75 55 )/4 cm

4 Página 174 V Justificación: al ser triángulos rectángulos y uno de sus ángulos agudos congruentes, necesariamente el otro ángulo deber ser también congruente (la suma de ambos ángulos agudos debe ser 90 ); por lo tanto, son dos ángulos agudos congruentes correspondientes; entonces son semejantes por el criterio AA. b) F Justificación: debe cumplirse que todos los lados correspondientes sean proporcionales. c) V Justificación: como sus lados correspondientes son semejantes, entonces las diagonales correspondientes también lo son. d) V Justificación: al tener sus ángulos no basales congruentes y ser triángulos isósceles, necesariamente los ángulos basales correspondientes son congruentes; por lo tanto, son triángulos semejantes según el criterio AA. e) V Justificación: si la recta es paralela a un lado, entonces se forma un triángulo que tiene el ángulo opuesto al lado como ángulo común y al ser la recta paralela con el lado, los valores de los ángulos del triángulo son los mismos. Por lo tanto, tenemos que los ángulos correspondientes son congruentes y según el criterio AA, los triángulos son semejantes. Al ser semejantes, implica que los lados son proporcionales; por lo tanto, la recta paralela ha dividido a los lados proporcionalmente. f) F Justificación: no todos los triángulos rectángulos tienen los mismos ángulos agudos correspondientes ni sus lados son proporcionales; por lo tanto, no necesariamente son semejantes. g) V Justificación: sus ángulos agudos correspondientes son congruentes, por lo tanto, por el criterio AA, los triángulos rectángulos isósceles con semejantes. Las figuras no son semejantes. Página 175 b) r = 10 : 4 = 2,5

5 4. x = 7,5 cm; y = 8 cm b) x = 1,5 cm; y = 1,25 cm c) x = 24 cm; y = 30 cm d) x = 15 cm; y = 15 cm Página Los ángulos ACB y DCE son iguales, ya que es un ángulo común entre ambos triángulos. Al ser los segmentos AB y DE paralelos, los CAB y CDE miden lo mismo, al igual que los CBA y CED. Como tienen dos ángulos correspondientes congruentes, por criterio AA, los triángulos ABC y DEC son semejantes. b) Como ABC es un triángulo rectángulo, entonces CAB y ABC deben sumar 90, por lo tanto, son ángulos complementarios. Además, el triángulo CDA es rectángulo en D, por lo tanto, DCA es el complemento de DAC; que a su vez es igual ABC. De la misma forma ocurre con el triángulo BDC, donde BCD es el complemento de CBD, que mide lo mismo que BAC. Por criterio AA, los triángulos CDB y ADC son semejantes. 6. Los triángulos tienen como ángulo común a QPO. Al ser los segmentos QO y RS paralelos, PSR y PQO miden lo mismo, al igual que PRS y POQ. Como tienen dos ángulos correspondientes congruentes, por criterio AA, los triángulos OPQ y RPS son semejantes. La razón de semejanza de 5 : 6 y el valor de x es 8 cm. Página Si los triángulos son semejantes, entonces los ABC y ADE son congruentes; al igual que los ACB y AED. Sin los ángulos son congruentes, entonces los segmentos ED y CB tienen la misma inclinación respecto de los lados AB y AC; por lo tanto, necesariamente los lados CB y ED son paralelos. 8. Al ser un paralelogramo, los BAD y DCB son iguales y la diagonal segmenta a estos ángulos, formando los EAC, BAC, DCA y FCA que corresponden a ángulos alternos internos; por lo tanto, FCA y DCA. Además, FNC por ser ángulos opuestos por el vértice. Por lo tanto, como los triángulos AEN y FCN tienen sus tres ángulos correspondientes congruentes, por criterio AA, son triángulos semejantes. b) Para cualquier cuadrilátero se cumpliría la semejanza de los triángulos AEN y FCN, ya que siempre la suma de sus ángulos internos es 360, la diagonal segmenta a los ángulos formando ángulos alternos internos y FNC por ser ángulos opuestos por el vértice; por lo tanto, los triángulos AEN y FCN que se formen serán semejantes.

6 Página 178 Figura 1 Æ Hexágono irregular Figura 2 Æ Hexágono irregular Utilizando el criterio LAL, se obtiene que el triángulo ABC es semejante con el A B C. X El ABC no es semejante con el A B C, ya que no cumple ningún criterio de semejanza. Los triángulos que componen la figura 1 son semejantes con los de la figura Página 179 b) Son figuras semejantes, ya que todos sus lados correspondientes son proporcionales. b) No se puede determinar la semejanza, ya que los triángulos son semejantes por el criterio AA, pero el rectángulo no tiene información sobre sus lados. Por lo tanto, como no se puede determinar si los rectángulos son semejantes, entonces no se puede determinar si la figura es semejante. r = 9/4 b) r = 7/4 Página 180 La altura del edificio es de 30 metros. X El triángulo formado por el edificio y su sombra y el del tronco y su sombra no son semejantes. 1 : 6 Página 181 El ancho del río es de 4,8 m b) La altura de la torre es de 8,11 m c) La profundidad del pozo es de 24,6 m d) Se usó la escala 1 : Página 182 e) La parcela tiene 30 m de largo y 20 m de ancho.

7 f) g) h) i) La distancia real es de 200 km 1 : Las dimensiones de la avioneta son: 16 m de largo, 12 m de ancho y 4 m de largo. El monumento mide 56 m Página 183 El problema se puede representar mediante esta figura, donde la distancia desde la persona a la Luna es aproximadamente de km y la distancia entre la persona y la moneda es la incógnita que se debe medir. El diámetro de la Luna es de aproximadamente 500 km. El largo mide 1,3 m; el alto mide 1,2 m y el ancho mide 60 cm. b) Cada puerta tiene 60 cm de largo y 55 cm de alto. c) El volumen de cada cajón es de cm3 o 0,108 m Página 184 ABC ~ A B C, ya que se cumple el criterio LAL. X ABC ~ A B C y el valor de la razón de semejanza es 0,25. 7 cm Página 185 k = 3, corresponde a una dilatación. b) k = 0,2, corresponde a una contracción.

8 b) Página 186 k = 2/3 b) k = 1,5 4. V Justificación: la figura imagen está orientada en sentido contrario a la figura original, por lo tanto, la razón de homotecia es negativa. b) F Justificación: como la razón de homotecia es negativa, el centro de homotecia se encuentra entre la figura original y la figura imagen. Página El perímetro de la figura es 96 cm y el área es 576 cm 6. El centro de homotecia corresponde a la pupila, ya que en ella se intersectan las rectas que unen a los puntos extremos de la figura, la cual varía el tamaño, pero no su forma, produciendo una homotecia. b) La razón de homotecia es un número negativo, ya que la figura imagen queda al lado opuesto de la figura original, respecto de la pupila, que es el centro de homotecia. 7. Al triángulo ABC se le ha realizado una homotecia con centro O y razón k > Como la razón de homotecia es k, se tiene que: A B = k AB A C = k AC B C = k BC En otras palabras: A B / AB = k A C / AC = k B C / BC = k Por lo tanto: A B / AB = A C / AC = B C / BC Por criterio de semejanza LLL, los triángulos ABC y A B C son semejantes.

9 Página 188 X Al calcular AB/BC se obtiene el mismo resultado que al calcular EF/DE. X Al calcular AB/AC se obtiene el mismo resultado que al calcular DE/EF. Al calcular AB/AC se obtiene el mismo resultado que al calcular DE/DF. Página 190 Sí b) Sí c) No d) Sí e) No f) No x = 28/5 cm b) x = 15/4 cm c) x = 45/2 cm d) x = 27/20 cm Página 191 Sí, L1 es una recta paralela al lado AB (6 : 4,8 = 5 : 4). b) El edificio mide 7,2 m. c) La altura del edificio es de 7,88 m. Página cm b) 34 cm c) 8 cm 5. Se obtienen longitudes negativas, lo cual es imposible. b) x = 37,5 m; y = 25 m Página 193 c) AB = 5 cm; EB = 4 cm d) 18,75 metros cm b) 9 cm Página 194 La razón entre los segmentos PQ y PT es 12 : 4. X La razón entre los segmentos PT y TQ es 4 : 1 El valor de la razón entre los segmentos PT y TQ es 0,5. d) 13 cm

10 Página 195 4/3 12 cm b) 11/4 c) 3/7 d) 7/8 b) 3,5 cm b) e) 15/7 f) 9 Página 196 El segmento AP mide 14 cm. La razón entre los segmentos AP y BP es 14 : 4. X La razón entre los segmentos AP y BP es 10 : 4. X El valor de la razón entre los segmentos AP y PB es 2,5. X El valor de la razón entre los segmentos AP y PB es menor que Página 197 r = 3,5 b)r = 5/9 La distancia entre P y A es de 20/3 cm. b) r = 35/21 b) Página 198 Afirmación m( CDA) = 90 m( ACB) = 90 CDA CDA ACB ~ ADC AC/AD = AB/AC Æ b/q = c/ b b/q = c/b Æ b2 = c q Justificación Por hipótesis, hc altura respecto del vértice C. Por hipótesis, ACB es rectángulo en C. Por afirmaciones 1 y Por principio de identidad. Por criterio de semejanza AA. Por afirmación 5. Por afirmación 6. (Queda demostrado)

11 Página 199 Hipótesis: ABC es rectángulo en C y de altura hc. Tesis: a2 = c p Afirmación Justificación Por criterio de semejanza AA. ABC ~ CDB CB/BD = AB/CB Por afirmación a/p = c/a Por afirmación 2 4. a = c p Por afirmación Por lo tanto, se cumple que el cuadrado de uno de sus catetos es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre esta. b) Hipótesis: ABC es rectángulo en C y de altura hc. Tesis: a b = c hc Afirmación Justificación Por criterio de semejanza AA. ABC ~ CDB AC/AB = CD/CB Por afirmación b/c = hc/a Por afirmación 4. a b = c hc Por afirmación Por lo tanto, se cumple que el producto de los catetos del triángulo ABC es igual al producto de su hipotenusa por su altura trazada desde el ángulo recto. Página 200 h = 4,8 cm; p = 6,4 cm; q = 3,6 cm b) c = 25,25 cm; h = 8,1 cm; b = 18,1 cm; q = 16,25 cm c) p = 49/ 113 cm; q = 64/ 113 cm; h = 56/ 113 cm d) c = 256/9 cm; p = 175/9 cm; hc = 175 La altura es h = 10 cm. b) El cateto de menor longitud mide (56 10 /3) cm Página 201 c) La distancia entre A y B es de 76,3 km y entre A y C es de 45 km. d) Los cables miden 15 m y 20 m. e) La longitud del tobogán es de 10 m. f) La altura h mide 4 cm.

12 Página 202 a2 + b2 = c(p + c) 2 a + b2 = c(p + c) X a2 + b2 = p(c + q) a2 + b2 = c c a2 + b2 = p p a2 + b2 = c2 a2 + b2 = p2 Página 203 x = 234 cm b) z = 10 3 cm Es un trío pitagórico. c) y = 40 cm d) c = 4 30 cm b) Es un trío pitagórico. Página 204 Hipótesis: la suma de los cuadrados de los lados menores es igual al cuadrado del lado mayor en el triángulo ABC. Tesis: ABC es rectángulo en el vértice A. Justificación: el teorema recíproco de Pitágoras dice que si las longitudes de los tres lados de un triángulo satisfacen la relación de Pitágoras, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Por lo tanto, se debe demostrar que el triángulo es rectángulo (tesis); partiendo de que los lados de un triángulo cumplen la relación pitagórica (hipótesis). 4. No es un triángulo rectángulo, ya que los lados no cumplen con la relación de Pitágoras. b) Sí es un triángulo rectángulo, ya que los lados cumplen con la relación de Pitágoras. c) No es un triángulo rectángulo, ya que los lados no cumplen con la relación de Pitágoras. Página Se encuentra a 18, 75 ª 4,3 m del piso. b) El perímetro del cuadrado es de 16 cm. c) El poste mide 80 cm. d) El otro lado de la cancha mide 24 m. e) El área del cuadrado ABCD es (a2 + b2) cm Página B C B C B B C

13 Página B Página 210 X 9 C 10 C 11 C 12 C 13 B 14 A 15 C X La persona dibujó un punto como referencia y puso en él un clavo. Luego, tomó un trozo de cuerda, lo ató al clavo y al lápiz y fue haciendo marcas; de manera que la cuerda estuviera extendida y el lápiz estuviera en paralelo con el clavo. Clavó diversos clavos sobre algunas marcas y midió la distancia entre ellos y el clavo central con el trozo de cuerda. Una vez corroborada que la distancia era igual; amarró el lápiz a la cuerda y al clavo central y comenzó a repasar por sobre todas las marcas, de manera de formar un círculo. Página 211 b) c) e) d) f) F b) F c) F d) F Página 212 La medida del ángulo AOB es b. X La medida del ángulo QPR es g. m( ACB)) es menor que m( AOB). e) V

14 Página 213 a = 116 b) a = 116 ; b = 58 c) a = 47 d) a = 53 ; b = 63,5 e) a = 45 f) a = 17 ; b = 17 Página 214 m( COH) = 120 b) m( CBA) = 6 ; m( COA) = 12 c) a = 60 d) x = 22 e) a = 20 ; b = 40 Página 215 m( DCB) = 115 b) m( DBC) = 53 c) a + b = 137 d) m( BCA) = 75 Página 216 La medida del ángulo DAB es a. X La medida del ángulo BAC es a. El DAB tiene una parte dentro y una fuera de la circunferencia. Página 217 Hipótesis: DAB es un ángulo semiinscrito y el punto O es el centro de la circunferencia. Suponiendo estas afirmaciones se puede comenzar a desarrollar la demostración. Tesis: el DAB mide la mitad del arco ªAB comprendido entre sus lados. Se demostró que el DAB mide la mitad del ángulo central AOB y se sabe que este ángulo mide lo mismo que el arco que comprende; por lo tanto, el ángulo semiinscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados. a = 43 b) b = 100 ; g = 40 c) b = 60 Página 218 d) a = 27 e) a = 43 ; b = 86 f) a = 120

15 a = 61,5 b) x = 75,5 Página 219 c) b = 61,5 d) m( BAC) = 58 e) m( ACB) = 70 f) m( ABD) = 77 (considerando que la medida del ángulo ODB es el suplemento de 318º) Página 220 En la figura 1 se tiene que x = a + b. X En la figura 2 se tiene que x = a + b. En la figura 1 el ángulo x es un ángulo interior de la circunferencia. Página 221 Falta información. b) m( DEC) = 96,5 c) m( BEA) = 20 d) m( AOD) = 176 ª ) = 100 ; m( DC ª ) = 50 e) m( BA Página 222 BPC X DPB ~ BOP por criterio AA. DPB ~ APD por criterio AA. Debido a que BPC ~ APD, se cumple que PB/PA = PC/PD fi PC PA = PB PD. Página 223 PC = 17/2 m EA = 3 cm b) PC = 6 m b) x = 0,5 cm

16 c) Hipótesis: RS y TU son cuerdas perpendiculares. Tesis: A = (PT2 PU)/(2 PS) Afirmación UPS PU PT = PS PR PU/PS = PR/PT 4. PC altura de RPT 5. RT = RC + CT 6. RCP ~ PCT 7. PR2 = RT RC fi RC = PR2/RT 8. PT2 = RT CT fi CT = PT2/RT 9. h2 = (PR2 PT2)/RT2 fi h = (PR PT)/RT 10. A = [(PR PT/RT) RT]/2 1 A = [(PR/PT) PT2]/2 1 A = (PU/PS) (PT2/2) Página 224 DEB Justificación Hipótesis. Por hipótesis. Por afirmación Por construcción. Por afirmación 4. Por criterio de semejanza AA. Teorema de Euclides. Teorema de Euclides. Teorema de Euclides. Definición área de un triángulo. Por afirmación 10. Por afirmación 3, queda demostrado. X FDB ~ FDB por criterio AA. ECB ~ ADC por criterio AA. Debido a que ECB ~ ADC, se cumple que DC/BC = AC/EC fi DC EC = AC BC. Página 225 x = 9,5 m 8 cm b) 13 cm c) 4,1 cm b) 9 m d) 21 cm e) 6 cm f) 9,6 cm Página 226 ª )/2, por el teorema del ángulo inscrito. m( ACB) = m( BA ª )/2, por el teorema del ángulo inscrito. X m( BAP) = m( BA APC Por criterio AA, se cumple que CPA ~ BPA, se cumple que: AP/CP = BP/AP fi AP2 = CP BP.

17 Página 227 El segmento QR mide 9 cm. b) El segmento DE mide aproximadamente 2,75 cm. c) El radio mide 3,9 cm. d) El segmento AD mide 8 2 cm. Página 228 e) El segmento BP mide ( 199 7) cm. f) El segmento AP mide 73,5 cm. g) El segmento CP mide 315/8 cm. h) El segmento CD mide 12 cm. i) El segmento AD mide 7,2 cm. Página km ª km b) 12 cm Hipótesis: O es centro de la circunferencia, r es el radio, PT es tangente en T y PO es secante a la circunferencia. Tesis: PT elevado al cuadrado equivale al producto entre las medidas de OP y QP. Afirmación Justificación Por hipótesis. m( PTO) = 90 OQ = r Por hipótesis. Ángulo común. PTQ Ángulos inscrito y semiinscrito en el mismo arco. 4. PTO Por criterio de semejanza AA. 5. PTO ~ PTQ 6. PO/PT = PT/PQ Por afirmación PT2 = PQ PO = PQ (PQ + OQ) Por afirmación a = x(x + r) Por afirmación 7, queda demostrado. Página 233 Para resolver el problema se utiliza principalmente la semejanza de triángulos, proyecciones de segmentos y el teorema de Pitágoras. Para crear este túnel habría que tener conocimiento de su distancia, de la funcionalidad que se le daría, del tiempo de trabajo y de la ruta a seguir por los trabajadores para excavar por ella misma y no desviarse.

18 Para encontrar la solución al problema, se utilizó nociones geométricas referentes a la construcción de polígonos; para luego formar triángulos rectángulos en los cuales se pudiera aplicar la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras. Con estos elementos se podía identificar la ruta en línea recta que se debía seguir para excavar el túnel. Página A Página D 2 A 3 C 4 D 5 C 6 A D B A B D Página D D C A C Página D C B C 2 Las medidas son 8 m y 3,5 m. 24. El área del departamento es de 28 m Página 238 x = 7,5 cm; y = 8 cm b) x = 24 cm; y = 30 cm k = 7/2 = 3,5 > 1, por lo tanto, corresponde a una dilatación. b) k = 4/12 = 0, 3 < 1, por lo tanto, corresponde a una contracción. 14 m b) 15 cm Página cm 5. x = 120 b) 32,5 cm b) 3 13 cm c) 100 d) PC = 9m; PC = 9 m 18 A