Materia: Matemática de 5to Tema: Rectas paralelas y perpendiculares Marco Teórico Consideramos dos líneas. Hay tres formas de que las dos pueden interactuar: 1. Son paralelas y por lo que nunca se cruzan. 2. Son perpendiculares y por lo que se intersecan en un ángulo recto. 3. Se cruzan, pero no son perpendiculares. Recordemos que la pendiente de una recta es una medida de su pendiente. Para una línea escrita en forma, " " es la pendiente. Dadas dos líneas, sus laderas pueden ayudar a determinar si las líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna. Dos líneas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. En el Ejemplo A y Práctica guiada # 1, se probarán. Dos rectas son perpendiculares si y sólo si tienen pendientes que son recíprocos opuestos. Esto significa que si la pendiente de una línea es, la pendiente de una línea perpendicular a ella será. Otra forma de pensar acerca de esto es que el producto de las pendientes de rectas perpendiculares siempre será -1. (Ten en cuenta que probarán. ). En los Ejemplos B y C y Práctica guiada # 2 y # 3, se Ejemplo A Consideramos dos líneas y con. Ten en cuenta que estas dos líneas tienen la misma pendiente,. 1. Cómo sabes que las dos líneas son distintas (no es la misma línea)? 2. Utilizar el álgebra para encontrar el punto de intersección de las rectas. Qué sucede? Solución: a) Las dos líneas son diferentes porque tienen diferentes intersecciones. La primera línea tiene un intercepto en y la segunda línea tiene un intercepto en.
b) Se puede utilizar la sustitución para tratar de encontrar el punto de intersección. Por lo tanto: y Esta es una contradicción, porque se dijo que. Por lo tanto, estas dos líneas no tienen un punto de intersección. Esto significa que las líneas deben ser paralelas. Esto demuestra que si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas. Vas a demostrar el recíproco de esta declaración en Práctica guiada # 1. Ejemplo B Considera rectángulo con y y líneas perpendiculares. Encontrar la longitud de. A continuación, muestran que es similar a. Solución: Debido a que es un rectángulo, semejantes porque tienen ángulos congruentes. Dejado los ángulos de la imagen en términos de.. Los dos triángulos son y etiquetar todos
Se puede ver que cada uno de los tres triángulos en la imagen tienen las mismas medidas de los ángulos, por lo que todos deben ser similares. En particular, similar al. es Ejemplo C Utiliza el hecho de que es similar a la de encontrar la longitud de A continuación, encontrar las pendientes de las rectas y y demostrar que su producto es -1. Solución: Debido a que es similar a la siguiente proporción es cierto: Resolviendo esta proporción tiene que Las pendientes de las líneas se pueden encontrar usando recta es y la pendiente de es.. La pendiente de la El producto de las pendientes es. Esto demuestra que si dos rectas son perpendiculares, entonces sus pendientes serán recíprocos opuestos (el producto de las pistas será -1). Vas a demostrar el recíproco de esta declaración en la Práctica guiada # 2 y # 3. Problema Concepto Para encontrar la ecuación de la recta paralela a la que pasa por el punto, recuerda que las líneas paralelas deben tener la misma pendiente. Esto significa que la nueva línea debe tener una pendiente de y pasar a través del punto. Todo lo que necesitas hacer es resolver la intersección. La ecuación de la recta es.
Para hallar la ecuación de la recta perpendicular al que pasa por el punto, recuerda que las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas opuestas. Esto significa que la nueva línea debe tener una pendiente de y pasar por el punto. Una vez más, todo lo que tiene que hacer es resolver el intercepto. La ecuación de la recta es Las dos líneas que se encontraron y también son perpendiculares. Ten en cuenta que se tienen pendientes recíprocas opuestas. Palabras Clave La pendiente de una recta es una medida de su pendiente. Una forma de encontrar la pendiente de una recta es calcular o por dos puntos de la línea. Dos rectas son paralelas si nunca se cruzan. Las líneas paralelas tienen pendientes que son iguales. Dos líneas son perpendiculares si se intersecan en un ángulo recto. Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocos opuestos. Además, todas las líneas verticales son perpendiculares a todas las líneas horizontales. Ejercicios Resueltos 1. Consideramos dos líneas paralelas y con. Demostrar que.
Respuestas: 1. Supongamos. Puede resolver un sistema de ecuaciones para encontrar el punto de intersección de las dos líneas. Por lo tanto: y Si, entonces existe este punto por lo que las líneas se cruzan. Esta es una contradicción, porque se dijo que las líneas eran paralelas. Por lo tanto, debe ser igual. Esto demuestra que si dos rectas son paralelas, entonces deben tener la misma pendiente. Ejercicios 1. Describe las tres formas en que dos líneas podrían interactuar. Haz un dibujo de cada uno. 2. Qué significa que dos líneas sean paralelas? Cómo se relacionan las pendientes de rectas paralelas? 3. Qué significa que dos líneas sean perpendiculares? Cómo se relacionan las pendientes de rectas perpendiculares? 4. Utilizar el álgebra para mostrar por qué las líneas y (líneas con la misma pendiente) deben ser paralelas. 5. Utiliza el método del Ejemplo B Ejemplo C para mostrar por qué las pendientes de las líneas y deben ser recíprocos opuestos. Supongamos que es un rectángulo.
6. Busca la línea paralela a la que pasa a través de 7. Busca la línea perpendicular que pasa por 8. Busca la línea paralela a la que pasa a través de 9. Busca la línea perpendicular que pasa por 10. Busca la línea paralela a la que pasa a través de 11. Busca la línea perpendicular que pasa por 12. Busca la línea paralela a la que pasa a través de 13. Busca la línea perpendicular que pasa por 14. Line pasa por el punto y. Línea atraviesa puntos y. Son las líneas y paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas? 15. Línea pasa por el punto y. Línea pasa a través de los puntos y. Son líneas y paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas?