Universidad de Buenos Aires - CONICET Semana de la Matemática - 2009
Algunos ejemplos Vamos a hacer algunos dibujos usando un papel, un lápiz, un compás y una regla sin medidas marcadas.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 1: Marcamos primero con el lápiz dos puntos A y B en el papel.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 1: Marcamos primero con el lápiz dos puntos A y B en el papel.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos. Con nuestra construcción aparecieron cuatro nuevos puntos: C, D, E y F.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro E y que pasa por A.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro E y que pasa por A.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro E y que pasa por A. Ahora aparecieron los puntos G, H e I.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 4: Finalmente unimos los puntos B, C, G, E, H y D:
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 4: Finalmente unimos los puntos B, C, G, E, H y D:
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Paso 4: Finalmente unimos los puntos B, C, G, E, H y D: Hemos dibujado un hexágono regular.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Otro posible paso 4: O bien unimos los puntos B, G, y H.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Otro posible paso 4: O bien unimos los puntos B, G, y H.
Algunos ejemplos 1. Dos poĺıgonos regulares Otro posible paso 4: O bien unimos los puntos B, G, y H. Hemos dibujado un triángulo equilátero.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 1: Marcamos primero con el lápiz tres puntos A, B y C y dibujamos el ángulo BAC que forman en el papel.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 1: Marcamos primero con el lápiz tres puntos A, B y C y dibujamos el ángulo BAC que forman en el papel.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en A y que pasa por alguno de ellos (en este caso B).
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en A y que pasa por alguno de ellos (en este caso B).
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en A y que pasa por alguno de ellos (en este caso B). Obtenemos así el punto E.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 3: Trazamos la circunferencia con centro en B y que pasa por A.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 3: Trazamos la circunferencia con centro en B y que pasa por A.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 4: Trazamos también la circunferencia con centro en E y que pasa por A.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 4: Trazamos también la circunferencia con centro en E y que pasa por A.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 4: Trazamos también la circunferencia con centro en E y que pasa por A. Al punto de corte lo llamamos F.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 5: Finalmente, trazamos la semirrecta AF.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 5: Finalmente, trazamos la semirrecta AF.
Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 5: Finalmente, trazamos la semirrecta AF. Esta semirrecta parte al ángulo BAC en dos ángulos iguales BAF y FAC (y se llama la bisectriz de BAC).
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos Si a los ángulos centrales del hexágono regular los partimos por la mitad, construimos un dodecágono regular.
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos Si a los ángulos centrales del hexágono regular los partimos por la mitad, construimos un dodecágono regular.
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos Si a los ángulos centrales del hexágono regular los partimos por la mitad, construimos un dodecágono regular. Si seguimos bisecando ángulos, vamos a poder construir poĺıgonos regulares de 24, 48, 96,... lados.
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos Y, si tomamos un vértice de cada tres del dodecágono regular, obtenemos un cuadrado:
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos Y, si tomamos un vértice de cada tres del dodecágono regular, obtenemos un cuadrado:
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos Nuevamente, si a los ángulos centrales del cuadrado los partimos por la mitad, construimos un octógono regular:
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos Nuevamente, si a los ángulos centrales del cuadrado los partimos por la mitad, construimos un octógono regular:
Algunos ejemplos 3. Poĺıgonos + bisectrices = Más poĺıgonos Nuevamente, si a los ángulos centrales del cuadrado los partimos por la mitad, construimos un octógono regular: Y, si seguimos bisecando ángulos, vamos a poder construir poĺıgonos regulares de 16, 32, 64,... lados.
Reglas básicas
Reglas básicas Las reglas del juego o qué se puede hacer? (y qué no)
Reglas básicas Las reglas del juego o qué se puede hacer? (y qué no) Tenemos entonces una regla sin marcas, un compás, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son:
Reglas básicas Las reglas del juego o qué se puede hacer? (y qué no) Tenemos entonces una regla sin marcas, un compás, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son: Marcamos dos puntos en la hoja para empezar.
Reglas básicas Las reglas del juego o qué se puede hacer? (y qué no) Tenemos entonces una regla sin marcas, un compás, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son: Marcamos dos puntos en la hoja para empezar. Podemos trazar la recta que une a dos puntos marcados.
Reglas básicas Las reglas del juego o qué se puede hacer? (y qué no) Tenemos entonces una regla sin marcas, un compás, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son: Marcamos dos puntos en la hoja para empezar. Podemos trazar la recta que une a dos puntos marcados. Podemos trazar la circunferencia con centro en un punto marcado y radio la distancia entre dos puntos marcados.
Reglas básicas Las reglas del juego o qué se puede hacer? (y qué no) Tenemos entonces una regla sin marcas, un compás, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son: Marcamos dos puntos en la hoja para empezar. Podemos trazar la recta que une a dos puntos marcados. Podemos trazar la circunferencia con centro en un punto marcado y radio la distancia entre dos puntos marcados. Todos los puntos que se obtengan del corte de dos rectas, dos circunferencias o una recta y una circunferencia que pudimos dibujar, pasan a ser puntos marcados y los podemos usar para seguir dibujando.
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo: J resulta construible siguiendo las reglas establecidas.
Reglas básicas - Definiciones
Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compás y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamarán puntos construibles.
Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compás y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamarán puntos construibles. Como ejemplo, con las construcciones anteriores hemos visto:
Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compás y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamarán puntos construibles. Como ejemplo, con las construcciones anteriores hemos visto: Que los poĺıgonos regulares de 3, 6, 12, 24,... (en general, los de 3 2 n con n 1) lados son construibles con regla y compás.
Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compás y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamarán puntos construibles. Como ejemplo, con las construcciones anteriores hemos visto: Que los poĺıgonos regulares de 3, 6, 12, 24,... (en general, los de 3 2 n con n 1) lados son construibles con regla y compás. Que los poĺıgonos regulares de 4, 8, 16, 32,... (en general, los de 2 n con n 2 ) lados son construibles con regla y compás.
Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compás y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamarán puntos construibles. Como ejemplo, con las construcciones anteriores hemos visto: Que los poĺıgonos regulares de 3, 6, 12, 24,... (en general, los de 3 2 n con n 1) lados son construibles con regla y compás. Que los poĺıgonos regulares de 4, 8, 16, 32,... (en general, los de 2 n con n 2 ) lados son construibles con regla y compás. Que si nos dan tres puntos construibles, se puede bisecar el ángulo que determinan usando regla y compás.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Se puede construir con regla y compás la perpendicular por un punto a una recta dada por otros dos puntos.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y C en el papel y la recta que pasa por A y B.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y C en el papel y la recta que pasa por A y B.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en B que pasa por C.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en B que pasa por C.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y que pasa por C.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y que pasa por C.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y que pasa por C. Llamemos D al punto de corte.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 4: Trazamos la recta que une C y D.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 4: Trazamos la recta que une C y D.
Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 4: Trazamos la recta que une C y D. La recta CD es la perpendicular a AB que pasa por C.
Más construcciones posibles 2. Paralelas También se puede construir con regla y compás la paralela por un punto a una recta dada por otros dos puntos.
Más construcciones posibles 2. Paralelas
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y C en el papel y la recta que pasa por A y B.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y C en el papel y la recta que pasa por A y B.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 2: Aprovechemos la construcción anterior de la perpendicular CD.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 2: Aprovechemos la construcción anterior de la perpendicular CD.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 2: Aprovechemos la construcción anterior de la perpendicular CD. Llamemos E al punto de corte de las dos rectas.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y radio igual a la distancia de C a E.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y radio igual a la distancia de C a E.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 4: Ahora trazamos la circunferencia con centro C y radio igual a la distancia de A a E.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 4: Ahora trazamos la circunferencia con centro C y radio igual a la distancia de A a E.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 4: Ahora trazamos la circunferencia con centro C y radio igual a la distancia de A a E. Llamemos F al punto de corte de las dos circunferencias.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 5: Ahora trazamos la recta CF.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 5: Ahora trazamos la recta CF.
Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 5: Ahora trazamos la recta CF. La recta CF es la paralela a AB que pasa por C.
Preguntas posibles
Preguntas posibles La primera pregunta que surge es: Podremos dibujar lo que se nos ocurra usando estas reglas? Y si no, cuáles construcciones podremos hacer y cuáles no?
Preguntas posibles La primera pregunta que surge es: Podremos dibujar lo que se nos ocurra usando estas reglas? Y si no, cuáles construcciones podremos hacer y cuáles no? Algunas de estas preguntas fueron formuladas ya por los matemáticos de la Grecia clásica hace más de 2000 años. Los griegos pensaban que la recta y la circunferencia eran curvas perfectas, y las construcciones que sólo se basaran en ellas también serían perfectas.
Preguntas posibles La primera pregunta que surge es: Podremos dibujar lo que se nos ocurra usando estas reglas? Y si no, cuáles construcciones podremos hacer y cuáles no? Algunas de estas preguntas fueron formuladas ya por los matemáticos de la Grecia clásica hace más de 2000 años. Los griegos pensaban que la recta y la circunferencia eran curvas perfectas, y las construcciones que sólo se basaran en ellas también serían perfectas. Esencialmente, los griegos dejaron abiertos tres problemas sobre construcciones con regla y compás que fueron completamente resueltos recién en el siglo XIX.
Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo
Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el ángulo que forman usando las reglas establecidas.
Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el ángulo que forman usando las reglas establecidas. Un problema que trataron de responder los griegos es si hay alguna forma de, dados tres puntos, dividir el ángulo que forman en tres partes iguales utilizando sólo regla y compás.
Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el ángulo que forman usando las reglas establecidas. Un problema que trataron de responder los griegos es si hay alguna forma de, dados tres puntos, dividir el ángulo que forman en tres partes iguales utilizando sólo regla y compás.
Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el ángulo que forman usando las reglas establecidas. Un problema que trataron de responder los griegos es si hay alguna forma de, dados tres puntos, dividir el ángulo que forman en tres partes iguales utilizando sólo regla y compás. Éste se conoce como el problema de la trisección del ángulo.
Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo
Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo En el año 429 a. C. una peste asolaba a Atenas.
Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo En el año 429 a. C. una peste asolaba a Atenas. El Oráculo de Apolo fue consultado y la respuesta fue que, para detener la enfermedad, debían elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplicara el del altar cúbico ya existente.
Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo En el año 429 a. C. una peste asolaba a Atenas. El Oráculo de Apolo fue consultado y la respuesta fue que, para detener la enfermedad, debían elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplicara el del altar cúbico ya existente. Lo intentaron pero no pudieron. La peste desapareció pero el problema matemático no.
Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo En el año 429 a. C. una peste asolaba a Atenas. El Oráculo de Apolo fue consultado y la respuesta fue que, para detener la enfermedad, debían elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplicara el del altar cúbico ya existente. Lo intentaron pero no pudieron. La peste desapareció pero el problema matemático no. En términos de geometría plana, podemos plantear el problema de la siguiente manera:
Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo
Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo:
Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo:
Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo: Será posible armar otra plantilla a partir de ésta usando regla y compás de forma tal que el nuevo cubo obtenido tenga exactamente el doble del volumen del original?
Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo: Será posible armar otra plantilla a partir de ésta usando regla y compás de forma tal que el nuevo cubo obtenido tenga exactamente el doble del volumen del original? Éste se conoce como el problema de la duplicación del cubo.
Problemas griegos: 3. Cuadratura del círculo
Problemas griegos: 3. Cuadratura del círculo Como para los griegos, el círculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado sería perfecto si tuviese su misma superficie.
Problemas griegos: 3. Cuadratura del círculo Como para los griegos, el círculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado sería perfecto si tuviese su misma superficie.
Problemas griegos: 3. Cuadratura del círculo Como para los griegos, el círculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado sería perfecto si tuviese su misma superficie. Será posible construir, usando regla y compás, un cuadrado a partir de un círculo con exactamente la misma superficie?
Problemas griegos: 3. Cuadratura del círculo Como para los griegos, el círculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado sería perfecto si tuviese su misma superficie. Será posible construir, usando regla y compás, un cuadrado a partir de un círculo con exactamente la misma superficie? Éste se conoce como el problema de la cuadratura del círculo.
Otro problema: Poĺıgonos
Otro problema: Poĺıgonos Aunque no fue expĺıcitamente planteada por los griegos, otra pregunta que uno puede hacerse está relacionada con los poĺıgonos regulares.
Otro problema: Poĺıgonos Aunque no fue expĺıcitamente planteada por los griegos, otra pregunta que uno puede hacerse está relacionada con los poĺıgonos regulares. Ya vimos que los poĺıgonos de 3, 6, 12, 24... lados son construibles con regla y compás. Y también los de 4, 8, 16, 32,... lados. Pero, y el pentágono? Y los demás?
Otro problema: Poĺıgonos Aunque no fue expĺıcitamente planteada por los griegos, otra pregunta que uno puede hacerse está relacionada con los poĺıgonos regulares. Ya vimos que los poĺıgonos de 3, 6, 12, 24... lados son construibles con regla y compás. Y también los de 4, 8, 16, 32,... lados. Pero, y el pentágono? Y los demás? La pregunta concreta es:
Otro problema: Poĺıgonos Aunque no fue expĺıcitamente planteada por los griegos, otra pregunta que uno puede hacerse está relacionada con los poĺıgonos regulares. Ya vimos que los poĺıgonos de 3, 6, 12, 24... lados son construibles con regla y compás. Y también los de 4, 8, 16, 32,... lados. Pero, y el pentágono? Y los demás? La pregunta concreta es: Para qué valores de n se puede construir un poĺıgono regular de n lados con regla y compás?
Un enfoque moderno: Coordenadas
Un enfoque moderno: Coordenadas Vamos a relacionar la geometría con los números. Y para eso vamos a trabajar en un par de ejes de coordenadas cartesianas.
Un enfoque moderno: Coordenadas Vamos a relacionar la geometría con los números. Y para eso vamos a trabajar en un par de ejes de coordenadas cartesianas.
Un enfoque moderno: Coordenadas Vamos a relacionar la geometría con los números. Y para eso vamos a trabajar en un par de ejes de coordenadas cartesianas. Como siempre partimos de un par de puntos A y B, podemos pensar que esos puntos son el (0, 0) y el (1, 0) en el plano.
Números construibles
Números construibles Definición: Se dice que un número real positivo es construible si es la distancia entre dos puntos construibles.
Números construibles Definición: Se dice que un número real positivo es construible si es la distancia entre dos puntos construibles. Ejemplo 1:
Números construibles Definición: Se dice que un número real positivo es construible si es la distancia entre dos puntos construibles. Ejemplo 1:
Números construibles Definición: Se dice que un número real positivo es construible si es la distancia entre dos puntos construibles. Ejemplo 1: 1, 2, 3, 4,... son números construibles pues son las distancias al (0, 0) de los puntos construidos sobre el eje x.
Números construibles
Números construibles Ejemplo 2:
Números construibles Ejemplo 2: Volvamos por un momento al cuadrado que construimos:
Números construibles Ejemplo 2: Volvamos por un momento al cuadrado que construimos:
Números construibles Ejemplo 2: Observemos el triángulo rectángulo ABC
Números construibles Ejemplo 2: Observemos el triángulo rectángulo ABC
Números construibles Ejemplo 2: Observemos el triángulo rectángulo ABC El segmento BC es su hipotenusa. Aplicando Pitágoras:
Números construibles Ejemplo 2: Observemos el triángulo rectángulo ABC El segmento BC es su hipotenusa. Aplicando Pitágoras: d(b, C) = 1 2 + 1 2 = 2
Números construibles Ejemplo 2: Observemos el triángulo rectángulo ABC El segmento BC es su hipotenusa. Aplicando Pitágoras: d(b, C) = 1 2 + 1 2 = 2 Por lo tanto, 2 resulta ser un número construible.
Números construibles
Números construibles Ejemplo 3:
Números construibles Ejemplo 3: Consideremos ahora dos puntos A y B que estén a distancia a.
Números construibles Ejemplo 3: Consideremos ahora dos puntos A y B que estén a distancia a.
Números construibles Ejemplo 3: Y otros dos puntos C y D que estén a una distancia b menor.
Números construibles Ejemplo 3: Y otros dos puntos C y D que estén a una distancia b menor.
Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la recta que pasa por A y B.
Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la recta que pasa por A y B.
Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la circunferencia con centro B y radio b = d(c, D).
Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la circunferencia con centro B y radio b = d(c, D).
Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la circunferencia con centro B y radio b = d(c, D). Llamemos E y F a los puntos de corte:
Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la circunferencia con centro B y radio b = d(c, D). Llamemos E y F a los puntos de corte: d(a, E) = a + b d(a, F ) = a b
Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la circunferencia con centro B y radio b = d(c, D). Llamemos E y F a los puntos de corte: d(a, E) = a + b d(a, F ) = a b Si a > b son construibles, entonces a + b y a b son construibles.
Números construibles: Resultado central
Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4,...), las operaciones +,,, y la raíz cuadrada
Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4,...), las operaciones +,,, y la raíz cuadrada Por ejemplo,
Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4,...), las operaciones +,,, y la raíz cuadrada Por ejemplo, 5, 4 7, 2,
Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4,...), las operaciones +,,, y la raíz cuadrada Por ejemplo, 5, 4 7, 2, 5 1 4
Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4,...), las operaciones +,,, y la raíz cuadrada Por ejemplo, 5, 4 7, 2, 5 1 4 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 2 17+ 17 + 3 17 34 2 17 2 34 + 2 17 + 1 8
Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4,...), las operaciones +,,, y la raíz cuadrada Por ejemplo, 5, 4 7, 2, 5 1 4 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 2 17+ 17 + 3 17 34 2 17 2 34 + 2 17 + 1 8 resultan ser números construibles.
Números no construibles A partir de la caracterización anterior, se puede probar usando álgebra moderna que hay números no construibles.
Números no construibles A partir de la caracterización anterior, se puede probar usando álgebra moderna que hay números no construibles. Por ejemplo, tomemos una ecuación
Números no construibles A partir de la caracterización anterior, se puede probar usando álgebra moderna que hay números no construibles. Por ejemplo, tomemos una ecuación ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
Números no construibles A partir de la caracterización anterior, se puede probar usando álgebra moderna que hay números no construibles. Por ejemplo, tomemos una ecuación ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 donde a, b, c y d son números enteros, a 0.
Números no construibles A partir de la caracterización anterior, se puede probar usando álgebra moderna que hay números no construibles. Por ejemplo, tomemos una ecuación ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 donde a, b, c y d son números enteros, a 0. Teorema Si la ecuación no tiene soluciones del tipo e f con e y f enteros, entonces sus soluciones positivas son números no construibles.
Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación:
Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: X 3 2 = 0
Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: X 3 2 = 0 Sus coeficientes son enteros (1 para X 3, 0 para X 2 y para X y 2 sin X ).
Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: X 3 2 = 0 Sus coeficientes son enteros (1 para X 3, 0 para X 2 y para X y 2 sin X ). Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que las únicas soluciones racionales posibles son ±1 o ±2 pero ninguna sirve.
Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: X 3 2 = 0 Sus coeficientes son enteros (1 para X 3, 0 para X 2 y para X y 2 sin X ). Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que las únicas soluciones racionales posibles son ±1 o ±2 pero ninguna sirve. 3 2 es positivo y es solución de la ecuación.
Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: X 3 2 = 0 Sus coeficientes son enteros (1 para X 3, 0 para X 2 y para X y 2 sin X ). Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que las únicas soluciones racionales posibles son ±1 o ±2 pero ninguna sirve. 3 2 es positivo y es solución de la ecuación. Corolario 3 2 no es un número construible (es decir, no puede escribirse usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4,...), las operaciones +,,, y la raíz cuadrada )
Problemas griegos: Respuestas
Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo:
Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo:
Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Si consideramos la plantilla donde A = (0, 0) y B = (1, 0), el lado del cubo mide entonces 1.
Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Si consideramos la plantilla donde A = (0, 0) y B = (1, 0), el lado del cubo mide entonces 1. Su volumen es V = l 3 = 1 3 = 1.
Problemas griegos: Respuestas
Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo:
Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Por lo tanto, si queremos duplicar su volumen, tendríamos que tener un cubo de volumen V = l 3 = 2
Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Por lo tanto, si queremos duplicar su volumen, tendríamos que tener un cubo de volumen V = l 3 = 2 Para eso, deberíamos poder construir un cubo de lado l = 3 2.
Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Por lo tanto, si queremos duplicar su volumen, tendríamos que tener un cubo de volumen V = l 3 = 2 Para eso, deberíamos poder construir un cubo de lado l = 3 2. Pero acabamos de ver que 3 2 no es construible!
Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Por lo tanto, si queremos duplicar su volumen, tendríamos que tener un cubo de volumen V = l 3 = 2 Para eso, deberíamos poder construir un cubo de lado l = 3 2. Pero acabamos de ver que 3 2 no es construible! Corolario No se puede duplicar el cubo con regla y compás.
Problemas griegos: Respuestas
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo:
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Supongamos que queremos trisecar el ángulo BAG de 120.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Supongamos que queremos trisecar el ángulo BAG de 120.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Entonces tendríamos que poder construir el ángulo ÎAB de 40.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Entonces tendríamos que poder construir el ángulo ÎAB de 40.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Trazamos la perpendicular a la recta AB por I.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Trazamos la perpendicular a la recta AB por I.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Trazamos la perpendicular a la recta AB por I. Consideraciones trigonométricas dicen que la distancia entre A y J es igual a D = cos(40 ) y que esta cantidad satisface la ecuación
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Trazamos la perpendicular a la recta AB por I. Consideraciones trigonométricas dicen que la distancia entre A y J es igual a D = cos(40 ) y que esta cantidad satisface la ecuación 8X 3 3X 1 = 0
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Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo:
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación:
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: 8X 3 3X 1 = 0
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: 8X 3 3X 1 = 0 Sus coeficientes son enteros.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: 8X 3 3X 1 = 0 Sus coeficientes son enteros. Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que no tiene soluciones racionales (las únicas posibles son ±1, ± 1 2, ± 1 4 y ± 1 8 y ninguna sirve).
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: 8X 3 3X 1 = 0 Sus coeficientes son enteros. Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que no tiene soluciones racionales (las únicas posibles son ±1, ± 1 2, ± 1 4 y ± 1 8 y ninguna sirve). La distancia entre A y J (cos(40 )) es solución positiva de la ecuación.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: 8X 3 3X 1 = 0 Sus coeficientes son enteros. Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que no tiene soluciones racionales (las únicas posibles son ±1, ± 1 2, ± 1 4 y ± 1 8 y ninguna sirve). La distancia entre A y J (cos(40 )) es solución positiva de la ecuación. Corolario La distancia de A a J no es construible con regla y compás.
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Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo:
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo:
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Si la distancia de A a J no es construible, el punto J no es construible.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Y si el punto J no es construible, el punto I no es construible.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Luego:
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Luego: Corolario 1 El ángulo de 120 no se puede trisecar con regla y compás.
Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Luego: Corolario 1 El ángulo de 120 no se puede trisecar con regla y compás. Corolario 2 No se puede construir un eneágono regular con regla y compás.
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Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo:
Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo: Supongamos que queremos cuadrar el círculo del dibujo donde A = (0, 0) y B = (1, 0):
Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo: Supongamos que queremos cuadrar el círculo del dibujo donde A = (0, 0) y B = (1, 0):
Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo: Supongamos que queremos cuadrar el círculo del dibujo donde A = (0, 0) y B = (1, 0): La superficie del círculo es S = πr 2 = π.
Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo: Supongamos que queremos cuadrar el círculo del dibujo donde A = (0, 0) y B = (1, 0): La superficie del círculo es S = πr 2 = π. Entonces, la superficie del cuadrado debe ser π = l 2.
Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo: Supongamos que queremos cuadrar el círculo del dibujo donde A = (0, 0) y B = (1, 0): La superficie del círculo es S = πr 2 = π. Entonces, la superficie del cuadrado debe ser π = l 2. Y la distancia entre D y F debería ser l = π.
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Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo:
Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo: Es decir, para que el círculo se pudiese cuadrar, π debería ser un número construible.
Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo: Es decir, para que el círculo se pudiese cuadrar, π debería ser un número construible. Teorema (Lindemann, 1882) El número π no se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4,...), las operaciones +,,, y la raíz cuadrada (es decir, no es construible)
Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo: Es decir, para que el círculo se pudiese cuadrar, π debería ser un número construible. Teorema (Lindemann, 1882) El número π no se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4,...), las operaciones +,,, y la raíz cuadrada (es decir, no es construible) Corolario 1 El número π no es construible.
Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del círculo: Es decir, para que el círculo se pudiese cuadrar, π debería ser un número construible. Teorema (Lindemann, 1882) El número π no se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4,...), las operaciones +,,, y la raíz cuadrada (es decir, no es construible) Corolario 1 El número π no es construible. Corolario 2 El círculo no se puede cuadrar con regla y compás.
Poĺıgonos regulares: Respuestas
Poĺıgonos regulares: Respuestas Consideremos ahora al pentágono regular.
Poĺıgonos regulares: Respuestas Consideremos ahora al pentágono regular.
Poĺıgonos regulares: Respuestas Tracemos la paralela al eje y por el punto J.
Poĺıgonos regulares: Respuestas Tracemos la paralela al eje y por el punto J.
Poĺıgonos regulares: Respuestas Tracemos la paralela al eje y por el punto J. Se puede probar que la distancia de A a C es igual a un número construible. 5 1 4 que es
Poĺıgonos regulares: Respuestas Tracemos la paralela al eje y por el punto J. Se puede probar que la distancia de A a C es igual a un número construible. Resultado El poĺıgono regular de 5 lados (y el de 10, 20, 40,...) es construible con regla y compás. 5 1 4 que es
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Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p 1 es una potencia de 2.
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p 1 es una potencia de 2. Ejemplos:
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p 1 es una potencia de 2. Ejemplos: De 3 y 5 lados
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p 1 es una potencia de 2. Ejemplos: De 3 y 5 lados construibles.
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p 1 es una potencia de 2. Ejemplos: De 3 y 5 lados construibles. De 7, 11, 13 y 19 lados
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p 1 es una potencia de 2. Ejemplos: De 3 y 5 lados construibles. De 7, 11, 13 y 19 lados no construibles.
Poĺıgonos regulares: Respuestas
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos.
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos:
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 5 lados
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 5 lados construible
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 5 lados construible De 140 = 2 2 5 7 lados
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 5 lados construible De 140 = 2 2 5 7 lados no construible
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 5 lados construible De 140 = 2 2 5 7 lados no construible De 60 = 2 2 3 5 lados
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 5 lados construible De 140 = 2 2 5 7 lados no construible De 60 = 2 2 3 5 lados construible
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 5 lados construible De 140 = 2 2 5 7 lados no construible De 60 = 2 2 3 5 lados construible De 180 = 2 2 3 2 5 lados
Poĺıgonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un poĺıgono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 5 lados construible De 140 = 2 2 5 7 lados no construible De 60 = 2 2 3 5 lados construible De 180 = 2 2 3 2 5 lados no construible
Poĺıgonos regulares: 17 lados
Poĺıgonos regulares: 17 lados Si dibujamos un poĺıgono regular de 17 lados,
Poĺıgonos regulares: 17 lados Si dibujamos un poĺıgono regular de 17 lados,
Poĺıgonos regulares: 17 lados Si dibujamos un poĺıgono regular de 17 lados, se puede probar que la distancia de A a S es igual a
Poĺıgonos regulares: 17 lados
Poĺıgonos regulares: 17 lados d(a, S) = 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 2 17+ 17 + 3 17 34 2 17 2 34 + 2 17 + 1 8
Poĺıgonos regulares: 17 lados d(a, S) = 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 2 17+ 17 + 3 17 34 2 17 2 34 + 2 17 + 1 8 Luego, d(a, S) es un número construible!
Poĺıgonos regulares: 17 lados d(a, S) = 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 2 17+ 17 + 3 17 34 2 17 2 34 + 2 17 + 1 8 Luego, d(a, S) es un número construible! Resultado El poĺıgono regular de 17 lados (y el de 34, 68,...) es construible con regla y compás.
Poĺıgonos regulares: 17 lados d(a, S) = 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 2 17+ 17 + 3 17 34 2 17 2 34 + 2 17 + 1 8 Luego, d(a, S) es un número construible! Resultado El poĺıgono regular de 17 lados (y el de 34, 68,...) es construible con regla y compás. Pero esto ya lo sabíamos:
Poĺıgonos regulares: 17 lados d(a, S) = 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 2 17+ 17 + 3 17 34 2 17 2 34 + 2 17 + 1 8 Luego, d(a, S) es un número construible! Resultado El poĺıgono regular de 17 lados (y el de 34, 68,...) es construible con regla y compás. Pero esto ya lo sabíamos: 17 es un número primo, y 17 1 = 16 = 2 4.
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Último comentario Los únicos números primos que se conocen que al restarles 1 da una potencia de dos son:
Último comentario Los únicos números primos que se conocen que al restarles 1 da una potencia de dos son: 3 = 2 1 + 1 5 = 2 2 + 1 17 = 2 4 + 1 257 = 2 8 + 1 65537 = 2 16 + 1
Último comentario Los únicos números primos que se conocen que al restarles 1 da una potencia de dos son: 3 = 2 1 + 1 5 = 2 2 + 1 17 = 2 4 + 1 257 = 2 8 + 1 65537 = 2 16 + 1 Conjetura Hay infinitos números primos de esta forma.
jsabia@dm.uba.ar
jsabia@dm.uba.ar MUCHAS GRACIAS!