Funciones reales de variable real

Tema Funciones reales de variable real Introducción En este primer tema del Bloque de Cálculo tendremos como objetivo fundamental el recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición. Una función real de variable real f : A R es una correspondencia de A R en R que asigne a todo x A a lo más un número real y = f(x). En esta primera parte del curso estudiaremos únicamente funciones reales de variable real, de forma que escribiremos directamente funciones para referirnos a ellas. Definición. Llamaremos Dominio de f, Dom f, al conjunto de elementos de A para los cuales existe f(x). Habitualmente consideraremos A = Domf, en tal caso f será una aplicación. Otra definición elemental es la del conjunto Imagen de la función f, Imf: Imf = {y R/ x A, f(x) = y} Ejemplo : La función: f(x) = x está definida sobre todos los números reales, es decir Domf = R, pero su imagen la constituyen tan sólo los números reales no negativos: Im f = R +. Ejemplo : La raíz cuadrada, entendiendo por raíz cuadrada la función que hace corresponder a cada x R + los números reales y tales que y = x, no es, estrictamente hablando, una función, pues a cada x R + le asigna dos números reales: f(x) = ± x. En esta situación a veces se utiliza el término función bivaluada para hacer referencia al hecho de que cada x Domf tiene dos imágenes. En realidad, evidentemente, se trata de dos funciones diferentes: g(x) = x, h(x) = x

CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Tenemos entonces que: Dom g =Dom h =R + (ver figura. (izquierda)), mientras que Im g = R +, e Im h = R. Nota: utilizaremos siempre la notación x para referirnos la raíz cuadrada positiva del número real x R +. La raíz cuadrada negativa será denotada por tanto: x Forma analítica, gráfica y tabular de presentar una función. Se dice que una función y = f(x) está expresada en forma analítica si se define por la fórmula que indica las operaciones que debemos realizar con todo valor del dominio de f para obtener el correspondiente valor de la imagen. En general, si no está especificado, se sobreentiende que el dominio de la función es el conjunto de valores reales para los cuales la expresión analítica que define la función toma sólo valores reales y finitos. (Nota: la expresión o fórmula no tiene por qué ser única, la función puede estar definida a trozos ). Se denomina gráfica de una función y = f(x) al conjunto de puntos que se obtienen tomando los pares de valores (x, f(x)) como coordenadas de un punto del plano. Una función está expresada gráficamente si viene dada por su gráfica. graf(f) = {(x, y) R / y = f(x) } Una función se dice prefijada en forma tabular si se indican los valores numéricos de la función para algunos valores de la variable x. Los hechos experimentales suelen estar descritos por este tipo de expresión. Ejemplo: La función f(x) = { x si x > x + 3 si x está definida en forma analítica a trozos. Su representación gráfica es la siguiente:.0 8 0.5 0.5.0.5.0 0.5.0 3 3 Figura.: Izquierda: Gráficas de las funciones g(x) y h(x) del Ejemplo. Derecha: gráfica de f(x). Como curiosidad, podemos citar que no todas las funciones reales de variable real admiten representación gráfica, así por ejemplo la función de Dirichlet: D(x) = si x es un número racional, y D(x) = 0 si x es irracional, no puede ser representada.

CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 3 Ejemplo: La función f(x) dada por la tabla: x i x 0 x x x 3 x = 0. 0.5.0.5.0 f(x i ) f(x 0 ) f(x ) f(x ) f(x 3 ) f(x ) =.5.8..75.3 sólo es conocida para los valores especificados. En consecuencia sólo podemos representar de forma exacta un número finito de puntos de su gráfica: f x.0.5.0 0.5 0.5.0.5.0 x Figura.: Gráfica de f(x). En general las funciones reales de variable real se suelen dividir en dos grandes grupos, funciones algebraicas y funciones trascendentes. Una función f(x) es algebraica si es solución de una ecuación polinómica: a n (x)y n + a n (x)y n +... + a (x)y + a 0 (x) = 0 cuyos coeficientes: a 0 (x), a (x),..., a n (x) son a su vez polinomios. Obviamente no todas las funciones algebraicas son expresables con una fórmula algebraica sencilla, pero a menudo nos bastará con esa identificación, es decir, utilizaremos funciones algebraicas que se presentan por medio de una expresión que utiliza un número finito de operaciones aritméticas elementales (entendiendo por elementales la suma, la resta, la multiplicación, la división, las potencias y la extracción de raíces). Los polinomios, las funciones racionales y las irracionales son claramente algebraicas. Las funciones trascendentes son las no algebraicas, y por tanto nunca serán expresables por medio de un número finito de operaciones aritméticas (los ejemplos más conocidos son las funciones exponencial y logaritmo, las funciones trigonométricas circulares, etc.). Ejemplo: La función exponencial f(x) = e x es trascendente, de hecho su expresión en términos de operaciones aritméticas elementales es la siguiente: e x = + x + x + x3 3! + x! +...

CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA que claramente envuelve un número infinito de las mismas. Otros ejemplos muy conocidos son: sen x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... cos x = x! + x! x! +.... Propiedades. Crecimiento y decrecimiento. Sea f : A R (A=Domf) y sea B A. Entonces: f es creciente en B si x, x B tales que x < x se verifica f(x ) f(x ). f es estrictamente creciente en B si x, x B, x < x f(x ) < f(x ). f es decreciente y estrictamente decreciente en B de maneras análogas. Los puntos en los que una función pasa de ser creciente a ser decreciente (o vicecersa) son los máximos relativos (respectivamente mínimos relativos) de la función. Ejemplo: La función x si x 0 f(x) = 0 si 0 < x < x si x es creciente pero no estrictamente creciente en R. En las regiones A = (, 0] y A = [, ), la función es estrictamente creciente. 3 Figura.3: Gráfica de f(x).. Concavidad y convexidad. Los conceptos de concavidad y convexidad de una función pueden definirse de diferentes maneras, no siempre equivalentes, que se comentarán en temas sucesivos. Desde un punto de vista geométrico, para una función tal que su gráfica en el intervalo (a, b) sea una curva continua, diremos que f(x) es cóncava en (a, b) si dados dos puntos cualesquiera de la gráfica el segmento que los une queda por encima de la curva. Si dicho segmento queda por debajo entonces la función será convexa. Con frecuencia se define función cóncava y convexa con el criterio exactamente contrario, por

CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 ello es habitual también llamar función cóncava hacia arriba y función cóncava hacia abajo a las funciones cóncavas y convexas respectivamente. Los puntos en los que una función cambia su concavidad por convexidad (y recíprocamente) se denominan puntos de inflexión de la función. Veremos en los próximos temas que la concavidad y convexidad pueden caracterizarse por otros medios para el caso en el que la función sea derivable (una o dos veces) en todos los puntos del conjunto considerado. 0 8 3 5 3 5 Figura.: Función cóncava hacia abajo (izquierda) y cóncava hacia arriba (derecha). 3. Paridad e imparidad. Sea f : A R, con Domf =A y tal que si x A x A. Entonces se define: f es una función impar si x A se verifica f( x) = f(x). f es una función par si x A se verifica f( x) = f(x). La gráfica de una función par presenta una simetría con respecto al eje de ordenadas mientras que la de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas. Ejemplo: La función valor absoluto f(x) = x es un ejemplo sencillo de función par. función g(x) = x 3 3x es impar. La.0.5.0 0.5 Figura.5: Gráficas de f(x) = x y g(x) = x 3 3x. Ejemplo: La función exponencial f(x) = e x no es ni par ni impar. Sin embargo la función: e x + e x, sí que es par, mientras que e x e x es impar, como puede comprobarse fácilmente. Se

CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA definen las funciones coseno y seno hiperbólicos de la forma: cosh x = ( e x + e x), senh x = ( e x e x) 7 5 3 3 3 Figura.: Gráficas de f(x) = e x (izquierda) y de cosh x y sinh x (derecha).. Acotación. f es una función acotada (en cualquier sentido) si Imf es un conjunto acotado (en el sentido respectivo) en R. Ejemplo: La función antes representada: f(x) = x, está acotada inferiormente, pero no superiormente. 5. Periodicidad. f es una función periódica si existe h R, h > 0, tal que: f(x) = f(x + h), x, x + h Domf h recibe el nombre de periodo de la función f. Ejemplo: Las funciones periódicas más conocidas son, sin duda, las trigonométricas circulares, es decir, el seno, el coseno y la tangente de un ángulo. El periodo de las funciones seno y coseno es π radianes, mientras que el periodo de la tangente es π. sen(x + π) = sen x, cos(x + π) = cos x, x R { π } tan(x + π) = tan x, x R + kπ, k Z 3 5 3 Figura.7: Gráficas de las funciones seno (trazo discontinuo) y coseno. Es evidente a partir de la gráfica que ambas son funciones acotadas, además el seno es una función impar mientras que el coseno es par.

CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7 Ejemplo: La función f(x) = x E[x] es periódica de periodo. E[x] es la función parte entera, es decir la función que asigna a x el mayor número entero menor o igual a x (por ejemplo: E[.8] =, E[.78] =, E[ 0.3] =,... )..0 0.8 0. 0. 0. 0 3 Figura.8: Gráfica de la función f(x) = x E[x].. Composición de funciones. Dadas las funciones f : A R y g : B R, tales que A =Domf, B =Domg, Imf B, se define la función compuesta: de la forma g f(x) = g(f(x)), x A. g f : A R Ejemplo: Consideremos las funciones f(x) = x y g(x) = sen x, la composición de ambas será diferente de manera obvia según el orden considerado, así tendremos: f g(x) = f(g(x)) = (sen x) = sen x, g f(x) = g(f(x)) = sen x 8 3 3 Figura.9: Gráficas de las funciones f(x) = x composiciones f g y g f (abajo). y g(x) = sen x (arriba), y gráficas de las

8 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7. Función inversa. Sea f : A R, con Domf=A, una función inyectiva (es decir, tal que si f(x ) = f(x ), entonces x = x ), entonces existe y es única la función h :Imf R tal que h(f(x)) = x, x A, a la que llamaremos función inversa de f y denotaremos h = f. También es inyectiva y verifica f(h(x)) = x, x Domh=Imf. Ejemplo : La inversa de la función exponencial: f(x) = e x es la función logaritmo neperiano: h(x) = ln x, es decir: f(h(x)) = e ln x = x, h(f(x)) = ln e x = x 3 3 3 Figura.0: Gráficas de las funciones exponencial y logaritmo neperiano. Ejemplo : La función tangente no es inyectiva. Por ello su función inversa, el arcotangente, no está bien definida, pues se trata de una función multivaluada para cada x R. Si nos limitamos a considerar f(x) = tan x en intervalo ( π, ) π, entonces h(x) = arctan x sí que está bien definida como función real de variable real (y recibe el nombre de Determinación Principal del arcotangente). Ver figuras. Figura.: Gráficas de las funciones tangente y arcotangente.

CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 9 Figura.: Gráficas de la tangente y de la determinación principal del arcotangente..3 Apéndice A. Notación y conceptos básicos Definición. Se llama valor absoluto (o módulo) de un número real a al mismo número a si a es positivo, y al número a si a es negativo; el valor absoluto de cero es cero. Denotaremos al valor absoluto de a por el símbolo a (a veces se utiliza también la notación: Abs(a)). Si α es mayor que cero, es evidente que la inecuación: x α es equivalente a la relación: α x α. Propiedades: para cualesquiera números reales a y b se verifica: ) a.b = a. b ) a b = a, (b 0) b 3) a + b a + b, ) a b a b. Definición. El conjunto de todos los números reales x que satisfacen la condición: a x b, donde a < b, se denomina intervalo cerrado [a, b]. El conjunto de todos los números reales x que satisfacen la condición: a < x < b, donde a < b, se denomina intervalo abierto (a, b). Es trivial definir, a partir de los conceptos anteriores, intervalos de la forma: [a, b), o (a, b]. Por otro lado, los intervalos pueden no ser finitos, así por ejemplo: [a, ) = {x R / x a} y análogamente para (a, ), (, b] y (, b). Evidentemente toda la recta real se podrá representar como el intervalo: R = (, ). Definición. Se dice que un conjunto E de números reales está acotado superiormente (resp. inferiormente) cuando existe un número real b (resp. a) tal que para todo x E se verifica x b (resp. x a).

0 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Definición. Se dice que un conjunto de números reales E está acotado si lo está superior e inferiormente. Lógicamente, un conjunto acotado está contenido en un intervalo cerrado [a, b]. El número real b (resp. a) de la anterior definición recibe el nombre de cota superior (resp. inferior) del conjunto E. Definición. La menor de todas las cotas superiores de un conjunto de números reales E recibe el nombre de supremo de E. Respectivamente, la mayor de las inferiores es el ínfimo de E. Si el supremo (resp. ínfimo) de un conjunto de números reales pertenece a dicho conjunto, entonces se le llama máximo (resp. mínimo). Definición. Dado un número real x 0, llamaremos entorno de x 0, E(x 0 ) a todo intervalo abierto que contenga dicho punto. Se suelen utilizar entornos centrados en el punto x 0 y de radio ϵ, es decir, de la forma: E ϵ (x 0 ) = (x 0 ϵ, x 0 + ϵ). Se denomina entorno reducido E (x 0 ) del punto x 0 a un entorno de x 0, E(x 0 ) del cual se excluye al punto x 0. Definición. Un punto x 0, perteneciente o no a un conjunto de números reales E, se llama punto de acumulación de E si todo entorno reducido de x 0 contiene puntos de E. Definición. Un punto x 0, perteneciente a un conjunto de números reales E, se denomina punto interior de E si existe un entorno de x 0 contenido completamente en E. Definición. Un punto x 0, perteneciente a un conjunto de números reales E, se denomina punto aislado de E si existe un entorno reducido de x 0 que no contiene puntos de E.. Apéndice B. Números Complejos Aunque en esta asignatura se estudia el Cálculo para funciones reales de variable real, con frecuencia es necesario utilizar algunos conceptos básicos de los números complejos. Por ello incluiremos un breve apéndice sobre los mismos. Desde un punto de vista formal se puede definir el conjunto C de los números complejos como el conjunto de parejas de números reales: (x, y) R R, en el que se han definido las operaciones: Suma: Producto: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + x y) Sin embargo es más útil en la práctica utilizar la notación que se deriva de considerar el concepto de unidad imaginaria (introducido por Leonhard Euler en 777): Definiremos

CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA la unidad imaginaria i como un objeto matemático que verifica: i =. Obviamente no se trata de un número real. Llamaremos entonces números imaginarios (o números imaginarios puros) a los de la forma: a i, siendo a un número real cualquiera. Informalmente podemos entonces definir los números complejos como las sumas de números reales e imaginarios. Por ejemplo: z = + 3 i. Desde este punto de vista, la suma de dos números complejos: z = x + y i y z = x + y i, será: Mientras que el producto: z + z = (x + yi) + (x + y i) = x + x + (y + y ) i z z = (x + yi) (x + y i) = xx + xy i + yx i + yy i = xx yy + (xy + x y) i donde se ha tenido en cuenta que por definición: i =. La identificación de las dos definiciones es obvia: (x, y) x + y i, y entonces todas las operaciones coinciden trivialmente en ambas versiones, como podía esperarse. Para todo número complejo z = x + y i C se define su parte real: Re(z) = x y su parte imaginaria: Im(z) = y. Los números reales pueden verse entonces como números complejos de parte imaginaria nula, es decir: x = x + 0 i, mientras que los números imaginarios puros son los números complejos de parte real nula: y i = 0 + y i. Para todo número complejo z = x + y i se define su complejo conjugado como el número complejo z (o z ) tal que tiene la misma parte real pero parte imaginaria opuesta, es decir: z = x + y i, z = x y i Obviamente z = z. De igual manera que los números reales los representamos habitualmente por una recta ( la recta real ), los números complejos se representan en un plano: el plano complejo. Para ello basta con tomar unos ejes cartesianos en el plano e identificar la abscisa con la parte real del número complejo y la ordenada con la parte imaginaria. De esta forma a cada número complejo le corresponde un único punto del plano, que suele llamarse el afijo del número complejo. Si se introducen las coordenadas polares en el plano complejo (ver Figura.3): Módulo de un número complejo: r = distancia del afijo al origen de coordenadas. z = x + y i C z = r = x + y Argmento de un número complejo: φ = ángulo formado por el segmento que une el afijo y el origen con el eje de abscisas positivas. z = x + y i C Arg(z) = φ = arctan y x

CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA r φ 3 Figura.3: Afijo del número complejo: z = + i. tendremos la posibilidad de representar los números complejos en forma polar o trigonométrica: x = r cos φ, y = r sen φ z = x + y i = r (cos φ + i sen φ) Definiremos finalmente la exponencial imaginaria en la forma : e i φ = cos φ + i sen φ y así: z = x + y i = r (cos φ + i sen φ) = r e i φ Comentario: utilizando las definiciones anteriores es fácil comprobar la validez de la Fórmula: e i π + = 0 conocida como la Identidad de Euler. Esta identidad es de una simplicidad sorprendente y relaciona en una única expresión a cinco de los números más relevantes de la ciencia: 0,, e, π e i. Ha sido elegida varias veces a lo largo de la historia como la fórmula más bella de las Matemáticas. Evidentemente no se trata de una definición arbitraria. Nótese que si en la fórmula analítica de la exponencial antes introducida se sustituye x por i x se obtiene: e i x = + ix! + i x + i3 x 3 + i x +... = x! 3!!! + x! +... + i ) (x x3 3! + x5 5! +... donde reconocemos de manera inmediata las expresiones analíticas de las funciones seno y coseno, así por tanto: e i x = cos x + i sen x