Puntos y rectas en el triángulo En los triángulos hay un conjunto de rectas y puntos importantes. Las rectas son las bisectrices, las mediatrices, las alturas, las medianas y las bisectrices exteriores. Los puntos donde se cortan estas rectas son el incentro, el circuncentro, el ortocentro, el baricentro y los exincentros, respectivamente. Tal como hemos hecho previamente, dado un triángulo ABC, denotaremos por α, β y γ a los ángulos correspondientes a los vértices A, B y C, respectivamente, y por a, b y c a los lados opuestos a dichos vértices, respectivamente. En primer lugar definimos las bisectrices de un triángulo y el punto donde se cortan, llamado incentro. Definición. [Bisectrices de un triángulo] Las bisectrices de un triángulo ABC son las bisectrices de los ángulos α, β y γ, respectivamente denotadas por w a, w b y w c. Proposición. [Incentro de un triángulo] Las tres bisectrices de un triángulo ABC se cortan en un solo punto I, llamado el incentro de ABC, el cual es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demostración. Sea I el punto donde se cortan las rectas w a y w b. Es sencillo ver que I es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Como I w a, el punto está a la misma distancia del lado b y del lado c, ver figura de la derecha (los dos triángulos rectángulos son congruentes por el criterio ALA). Por otro lado, como también I w b, el punto está a la misma distancia del lado a y del lado c. Entonces está a la misma distancia de los tres lados. Esta distancia es el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. Esto implica directamente que la recta w c también pasa por I, de manera que la intersección de las tres rectas es el incentro. Figura 1: Bisectrices de un triángulo Figura 2:
matemática iii - ciu geometría 31 A continuación definimos las mediatrices de un triángulo y el punto donde se cortan, llamado circuncentro. Definición. [Mediatrices de un triángulo] Las mediatrices de un triángulo ABC son las mediatrices de los lados a, b y c, respectivamente denotadas por t a, t b y t c. Proposición. [Circuncentro de un triángulo] Las tres mediatrices de un triángulo ABC se cortan en un solo punto O, el cual se denomina el circuncentro de ABC, siendo el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Figura 3: Mediatrices y circuncentro Demostración. Sea O el punto de corte de las rectas t a y t b. Por la definición de mediatriz tenemos que OA = OC y OC = OB, de donde OA = OB y por lo tanto O tiene que estar en t c. Además la circunferencia de centro en O y radio r = OA pasa por los tres vértices. Observación. A diferencia del incentro, que tiene que estar dentro del triángulo, el circuncentro puede estar fuera del triángulo como en el caso mostrado en la figura anterior. Pero también puede estar dentro, como lo muestra la figura de la derecha. En tercer lugar definimos las alturas de un triángulo y el punto donde se cortan, conocido como ortocentro. Figura 4: Circuncentro dentro del triángulo Definición. [Alturas de un triángulo] Una áltura de un triángulo ABC es una recta perpendicular a un lado del triángulo que pasa por el vértice opuesto a dicho lado. Las tres alturas de ABC se denotarán por h a, h b y h c. Proposición. [Ortocentro de un triángulo] Las tres alturas de un triángulo ABC se cortan en un solo punto H, llamado el ortocentro de ABC. Figura 5: Alturas de un triángulo Demostración. Requerimos de una construcción auxiliar. Tracemos una paralela a cada lado de ABC por el vértice opuesto, como muestra la figura de la derecha. Se forma otro triángulo A B C. Observamos que se obtienen seis paralelogramos ACBC ABA C ACA B BCB A ABCB BCAC Figura 6: Triángulo auxiliar A B C
matemática iii - ciu geometría 32 En consecuencia, BC = AB = C A. Entonces A es el punto medio del lado C B. Por razonamientos similares se puede ver que B es el punto medio del lado C A y C es el punto medio del lado A B. De esta manera obtenemos que las alturas de ABC son las mediatrices de A B C y, por la proposición anterior, se cortan en un punto común que es el circuncentro de A B C. Ese punto es el que buscamos, lo llamamos H y se define como el ortocentro de ABC. Precisando lo dicho en la demostración anterior, destacamos el siguiente corolario. Corolario. El ortocentro del triángulo ABC es el circuncentro del triángulo A B C. Observación. Al igual que en el caso del circuncentro, el ortocentro puede estar fuera del triángulo, como lo muestra la figura de la derecha. Ahora consideramos las medianas de un triángulo y el punto donde se cortan, llamado baricentro o centro de gravedad. Figura 7: Ortocentro fuera del triángulo Definición. [Medianas de un triángulo] Una mediana de un triángulo ABC es una recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. Las tres medianas de ABC se denotarán por m a, m b y m c. Para un triángulo ABC, denotaremos por M a, M b y M c a los puntos medios de a, b y c, respectivamente. Figura 8: Medianas de un triángulo Proposición. [Baricentro o centro de gravedad de un triángulo] Las tres medianas de un triángulo ABC se cortan en un único punto G, llamado el baricentro o centro de gravedad de ABC. Además se cumple que la distancia de G al punto medio de un lado es 1/3 de la distancia de ese punto medio al vértice opuesto, es decir, GM a = 1 3 AM a, GM b = 1 3 BM b y GM c = 1 3 CM c Demostración. Comenzamos trazando el segmento M b M c. Como M b y M c son los puntos medios de los lados del triángulo, por el teorema de Thales, el segmento M b M c es paralelo al lado BC y, en consecuencia, los triángulos GM b M c y GBC son semejantes. En la figura de la derecha se destacan los correspondientes ángulos iguales. Ahora, como M b M c = 2 1 BC, la razón de la semejanza es 1/2. Luego GM b = 2 1 GB y GM c = 1 2 GC. Figura 9:
matemática iii - ciu geometría 33 Si consideramos la tercera mediana m a, ella debe cortar a la mediana m b en un punto G, tal que G M c = 1 2 G C. Entonces esto implica que G = G. Finalmente, como CM c = GC + GM c y como 2 GM c = GC, se concluye que CM c = 3 GM c, es decir GM c = 1 3 CM c. De manera análoga podemos comprobar las otras dos igualdades. El siguiente corolario es inmediato del resultado anterior. Corolario. La distancia de G a un vértice del triángulo es 2/3 de la distancia de ese vértice al punto medio del lado opuesto. Finalmente consideramos las bisectrices exteriores y puntos con una propiedad interesante, los ex-incentros. Definición. [Bisectrices exteriores de un triángulo] Vamos a llamar bisectrices exteriores de un triángulo ABC a las bisectrices de los ángulos suplementarios de α, β y γ. Las bisectrices exteriores respectivas se denotan por w a, w b y w c. La siguiente proposición es intuitivamente clara. Proposición. El ángulo que forma una bisectriz con la bisectriz exterior correspondiente mide π/2. Figura 10: Bisectriz exterior w a Demostración. Lo hacemos para la bisectriz y la exterior al ángulo α, los otros casos son idénticos. La bisectriz w a divide a α en dos ángulos iguales de medida α/2. La bisectriz exterior w a divide al ángulo suplementario α = π α en dos ángulos iguales de medida (π α) /2. Se concluye que el ángulo entre w a y w a es α 2 + π α = π 2 2 Proposición. [Ex-incentros de un triángulo] La bisectriz interna a un ángulo de un triángulo ABC y las dos bisectrices exteriores correspondientes a los otros dos ángulos del triángulo se cortan en un punto llamado un ex-incentro de ABC Demostración. En efecto, sea I b el punto de corte de w b y w a. Entonces I b está a la misma distancia de la recta AB que de la recta BC, porque I b w b. De igual manera, I b está a la misma distancia de la recta AB que de la recta AC, porque I b w a. En consecuencia, está a igual distancia de la recta AC que de la recta BC, lo cual implica que I b w c y se concluye que el punto es común a las tres rectas mencionadas. Figura 11: Ex-incentro I b
matemática iii - ciu geometría 34 Observación. Los ex-incentros del triángulo son los centros de las circunferencias ex-inscritas del triángulo, como se aprecia en la siguiente figura Figura 12: Circunferencias ex-inscritas