Guía de Ejercicios: Funciones exponenciales y logarítmicas Área Matemática Resultados de aprendizaje Aplicar la función exponencial y logarítmica en diversos contextos. Contenidos 1. Aplicación de la Función exponencial. 2. Aplicación de la Función logarítmica. Debo saber Antes de empezar a realizar estos ejercicios es importante que recordemos algunos conceptos: Logaritmo: El logaritmo de un número en base se define como el número al que hay que elevar para obtener el número. Propiedades de los Logaritmos 1. 2. 3. 4. 5. (Logaritmo natural) Función Logarítmica: Se llama función logarítmica de base, a la función, siendo y. Función Exponencial: Se llama función exponencial de base, a la función, siendo y. Ejercicio 1 La concentración de un medicamento en un órgano al instante (en segundos) está dada por: Donde son gramos/centímetros cúbicos. a) Cuál es la concentración pasado 1 minuto? b) Cuánto tiempo tardará en alcanzar 0,18 de medicamento en el órgano? Primera Edición - 2016 1
a) Como se solicita en 1 minuto, entonces será igual a 60 (porque está en segundos). Si, entonces: Reemplazando por 50 Resolviendo y aproximando a la centésima b) Como debe alcanzar 0,18 de medicamento, entonces será igual a 0,18, Si, entonces: Remplazando por 0,18 Despejando Dividiendo por 0,12 Aplicando logaritmo natural Calculando el logaritmo Dividiendo por (-0,02) Por lo tanto, tardará 9,1 segundos. Ejercicio 2 El crecimiento de una población de mosquito, en función del tiempo, medido en días, se modela según la función: Donde t es el tiempo medido en días. a) Cuántos mosquitos formarán esta población en 50 días? b) Si después de n días la población es de 233.524 mosquitos, Cuál es el valor de n? a) Como se busca la población de mosquitos al cabo de 50 días, entonces será igual a 50. Si, entonces: Reemplazando por 50 Primera Edición - 2016 2
Resolviendo y aproximando a la centésima Por lo tanto, al cabo de 50 días la población tendrá 2.709 mosquitos. b) Como la población es de 233.524 mosquitos, entonces será igual a 233.524. Si, entonces: Remplazando por 233.524 Despejando Multiplicando distributivamente Organizando la ecuación Organizando la ecuación Aplicando logaritmo natural Por propiedad de logaritmo Dividiendo por Dividiendo por Por lo tanto, el día 304 la población será de 233.524 mosquitos. Ejercicio 3. Distribución Normal Una función importante utilizada en economía y decisiones de negocios es la Función de Distribución Normal, que en forma estándar es: Evalúe. Redondee sus respuestas a tres decimales a) Reemplazando por 0 Primera Edición - 2016 3
Reemplazando por 1 Por lo tanto, es aproximadamente. b) Reemplazando por Ordenando y dejando el exponente positivo. El exponente es equivalente a la raíz cuadrada. Multiplicando las fracciones. Por lo tanto, es aproximadamente. Ejercicio 4. Ecuación de Costo Para una compañía, el costo para producir unidades de un producto está dado por la ecuación Evalúe el costo cuando (redondee su respuesta a dos decimales) Si el costo es, entonces: ( ) Reemplazando por 6. ( ) Calculando el logaritmo y ordenando. Por lo tanto, el costo para producir 6 unidades de un producto es de. Primera Edición - 2016 4
Ejercicio 5. Ecuación de Oferta La ecuación de oferta de un fabricante es: Donde es el número de unidades ofrecidas con el precio en pesos por unidad. A qué precio el fabricante ofrecerá 1.980 unidades? Se sabe que se ofrecerán 1.980 unidades, entonces es 1.980. Luego: Reemplazando por 1.980 Ordenando Calculando el logaritmo de base 10 Por lo tanto, el precio por unidad es de $3 por fabricar 1.980 unidades. Ejercicio 6. Venta Después de años el número de unidades de un producto vendido por año está por. Tal ecuación se llama ecuación de Gompertz, la cual describe el crecimiento natural en muchas áreas de estudio. Resuelva esta ecuación para y demuestre que: Considerando la ecuación del enunciado. Ordenando y aplicando logaritmo de base 10. Aplicando propiedad de logaritmo Calculando el Despejando Aplicando propiedad de logaritmo. Aplicando logaritmo de base 10. Calculando el Log 1, transformando a fracción el Primera Edición - 2016 5
decimal 0,8 y aplicando propiedad logaritmo. Ordenando y aplicando propiedad de logaritmo ( ) Ordenando y aplicando propiedad de logaritmo Ordenando y aplicando propiedad de logaritmo Ordenando y aplicando propiedad de logaritmo Primera Edición - 2016 6