Técnicas de conteo Permutaciones y combinaciones Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012
Técnicas de conteo En el enfoque clásico, el valor de probabilidad se basa en la razón del número de resultados igualmente probables favorables respecto del número total de resultados en el espacio muestral. Cuando los problemas son simples, el número de resultados pueden contarse directamente. Sin embargo, en problemas más complejos es necesario usar técnicas de conteo para determinar el número de resultados posibles Ejemplo: Definir el espacio muestral de lanzar 4 dados
Principio Fundamental del conteo Si un evento puede realizarse en n 1 formas diferentes y si por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse a cabo de n 2 formas diferentes, una tercera de n 3 formas, y así sucesivamente, entonces el número de maneras que se puede realizarse el experimento en el orden indicado es: n 1 n 2 n 3...
Principio Fundamental del conteo Si un evento puede realizarse en n 1 formas diferentes y si por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse a cabo de n 2 formas diferentes, una tercera de n 3 formas, y así sucesivamente, entonces el número de maneras que se puede realizarse el experimento en el orden indicado es: n 1 n 2 n 3... Ejemplo: Una estación de radio cuenta en su discografía 15 conciertos de heavy metal, 27 de rock alternativo y 9 de punk. Si el gerente de la estación determina que en cada noche sucesiva, se transmita un concierto de heavy metal, seguido de uno de rock alternativo y luego uno de punk, Durante cuánto tiempo podría continuar esta política antes de que se tenga que repetir el mismo programa?
Permutaciones Una permutación es una secuencia ordenada de n objetos distintos. Las permutaciones posibles son: S = {a, b, c} abc, acb, bac, bca, cab, cba El número de permutaciones de n objetos distintos es n!
Permutaciones En forma general una permutación es una secuencia ordenada de r objetos tomados de un conjunto de n objetos distintos. n (n 1) (n 2)... (n r + 1) npr = n! (n r)! Ejemplo: Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con 1, 2, 5, 6 y 7, si cada uno ellos puede utilizarse sólo una vez? Cuántos pares de tres dígitos? Cuántos son mayores a 530?
Permutaciones El número de permutaciones diferentes de n objetos de los cuales n 1 son de un tipo, n 2 de otro tipo,..., n k de un k-ésimo tipo, es: n! n 1!n 2... n k! Ejemplo: Cuántas señales diferentes, cada una con 8 banderas sin marcar colocadas en línea pueden formarse con un conjunto de 4 banderas rojas, 3 blancas y una azul?
Combinaciones Dado un conjunto de n objetiso distintos, cualquier subconjunto no ordenado de tamaño k de los objetos se llama combinación. En las combinaciones el orden de aparición de los objetos es irrelevante. Ejemplo: S= {a,b,c,d} Combinaciones: abc abd acd bcd Permutaciones: abc, acb, bac, bca, cab, cba abd, adb, bad, bda, dab, dba acd, adc, cad, cda, dac, dca bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb La diferencia entre una permutación y una combinación es que en la primera el interés se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los posibles arreglos entre éstas, mientras la segunda el interés es contar las selecciones diferentes
Combinaciones Dado un conjunto de n objetiso distintos, cualquier subconjunto no ordenado de tamaño k de los objetos se llama combinación. En las combinaciones el orden de aparición de los objetos es irrelevante. Ejemplo: S= {a,b,c,d} El número de combinaciones de n elementos distintos, tomando r a la vez es: ( ) n n! = r r!(n r)!
Ejemplo Si de una baraja de 52 cartas se eligen 5 al azar para jugar póquer, determinar la probabilidad de: Se tengan dos reyes. Todas las cartas sean del mismo palo. Se tengan tres cartas del mismo valor. Se tenga un full house (un trió y una pareja, es decir, combinación de tres cartas de un mismo valor y dos cartas del mismo valor, diferente al anterior)
ejercicios Una placa de automóvil consta de 3 letras diferentes seguidas de 3 números de los cuales el primero no es cero Cuántas placas diferentes pueden grabarse? Cuántas si la primera letra es consonante y el último número además es impar? Cuántas si todas las letras y números son diferentes? El juego del BALOTO consiste en acertar en cualquier orden 6 números en una matriz de números del 1 al 45 Cuál es la probabilidad de ganar el premio mayor? Si también se dan premios por acertar 5, 4 ó 3 números Cuál es la probabilidad de que gane algún premio?
ejercicios Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales solo una es correcta, de cuantas formas diferentes se puede resolver la prueba? de cuantas formas se puede escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas? Si la prueba se supera si 3 de las 5 respuestas fueron correctas Cuál es la probabilidad de superar la prueba (si las preguntas se contestaron de forma aleatoria)?
Bibliografía Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill, México, vol. 1 edition. Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition. Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadística aplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.