Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 76 Pág. 1 1 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34, un triánguo rectángulo mucho más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que obtienes, aproximadamente, los mismos valores. sen 34 = = 35 6 = 0,56 cos 34 = = 51 6 = 0,8 tg 34 = = 35 51 = 0,68 6 mm 35 mm 51 mm
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 77 Pág. 1 1 sen 37 = 0,6. alcula cos 37 y tg 37. sen 37 = 0,6 (cos 37 ) + (0,6) = 1 8 cos 37 = ± 1 0,36 = ±0,8 Solo tomamos el resultado positivo: cos 37 = 0,8 tg 37 = 0,6 0,8 = 0,75 tg 8 = 0,53. alcula sen 8 y cos 8. sen 8 cos 8 = 0,53 (sen 8 ) + (cos 8 ) = 1 sen 8 = 0,53 cos 8 (0,53 cos 8 ) + (cos 8 ) = 1 8 0,8(cos 8 ) + (cos 8 ) = 1 8 8 1,8(cos 8 ) = 1 8 8 cos 8 = ± 1 1,8 Solo tomamos el resultado positivo: cos 8 = 0,88 sen 8 = 0,53 0,88 8 sen 8 = 0,46 8 cos 8 = ±0,88
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 78 Pág. 1 3 Teniendo en cuenta que tg 45 = 1, deduce el valor de sen 45 y de cos 45 mediante las relaciones fundamentales. sen 45 = 1; sen 45 = cos 45 cos 45 (sen 45 ) + (cos 45 ) = 1 (cos 45 ) + (cos 45 ) = 1 8 cos 45 = ± 1 = ± Solo tomamos el resultado positivo: cos 45 = 8 sen 45 = 4 Teniendo en cuenta que sen 30 = 1/, halla el valor de cos 30 y de tg 30 mediante las relaciones fundamentales. sen 30 = 1 (sen 30 ) + (cos 30 ) = 1 8 Tomamos el resultado positivo: cos 30 = 3 tg 30 = 1/ 3/ = 1 3 = 3 3 5 ompleta en tu cuaderno la siguiente tabla: 1 4 + (cos 30 ) = 1 8 cos 30 = ± 3 sen a 0,94 4/5 cos a 0,8 3/ tg a 3,5 1 En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su expresión decimal. sen a 0,94 0,57 4/5 0,96 1/ / cos a 0,34 0,8 3/5 0,7 3/ / tg a,76 0,69 4/3 3,5 3/3 1 En todos los casos, solo tomaremos los resultados positivos. sen a = 0,94 cos a = 0,8 (cos a) + (0,94) = 1 8 cos a = 0,34 (sen a) + (0,8) = 1 8 sen a = 0,57 tg a = 0,94 0,34 sen a = 4 5 =,76 tg a = 0,57 0,8 = 0,69 ( 4 5) + (cos a) = 1 8 cos a = 3 5 tg a = 4/5 3/5 = 4 3 tg a = 3,5 = sen a cos a (sen a) + (cos a) = 1 8 sen a = 3,5 cos a (3,5 cos a) + (cos a) = 1 8 cos a = 0,7 sen a = 3,5 0,7 8 sen a = 0,96
Soluciones a las actividades de cada epígrafe cos a = 3 (sen a) + ( 3 ) = 1 8 sen a = 1 tg a = 1/ 3/ = 1 3 = 3 3 tg a = 1 sen a = 1; sen a = cos a cos a (sen a) + (cos a) = 1 (cos a) + (cos a) = 1 8 cos a = 1 sen a = = Pág. 6 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera, cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60. Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de metros, qué longitud deberá tener cada brazo? cos 30 = L 8 3 = L 8 L = 4,3 m 3 ada brazo deberá medir, aproximadamente,,3 m de longitud. 7 alcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo coseno vale 0,8. cos a = 0,8 (sen a) + (cos a) = 1 8 (0,8) + (sen a) = 1 8 sen a = ±0,6 Tomamos solo el valor positivo: sen a = 0,6 tg a = 0,6 0,8 = 0,75 8 alcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7. tg a = sen a = 0,7; sen a = 0,7 cos a cos a (sen a) + (cos a) = 1 (0,7 cos a) + (cos a) = 1 8 1,49(cos a) = 1 8 cos a = ±0,8 Solo tomamos el valor positivo: cos a = 0,8 sen a = 0,7 0,8 8 sen a = 0,57
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 79 Pág. 1 Entrénate Obtén las siguientes razones trigonométricas y escribe en tu cuaderno los resultados redondeando a las milésimas. a) sen 86 b) cos 59 c) tg d) sen 15 5' 43'' e) cos 59 7' f ) tg 86 5' g) sen 10 30'' (atención, 10 0' 30'') a) sen 86 = 0,998 b) cos 59 = 0,515 c) tg = 0,404 d) sen 15 5' 43'' = 0,66 e) cos 59 7' = 0,508 f ) tg 86 5' = 18,68 g) sen 10 30'' = 0,174
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 80 Pág. 1 1 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 7 y la hipotenusa 46 m. Halla los dos catetos. b es el cateto opuesto al ángulo de 7. Por tanto: 46 m b sen 7 = b 7 8 b = 46 sen 7 = 0,88 m 46 c nálogamente: cos 7 = c 8 c = 46 cos 7 = 40,99 m 46 uánto mide la apotema de un pentágono regular de lado l = 10 cm? a a l/ a 36 5 cm a = 360 : 10 = 36 tg 36 = 5 a 8 a = 5 tg 36 = 6,88 La apotema mide 6,9 cm. 3 Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71 cm. alcula, en grados y minutos, los dos ángulos agudos. 48 cm b 71 cm a tg a = 48 = 0,676 8 a = 34 3' 39,7'' 71 b = 90 34 3' 39,7'' = 55 86' 51,73'' 4 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 37, y el cateto opuesto, 87 m. Halla el otro cateto y la hipotenusa. 87 m c a 37 sen 37 = 87 a 8 a = 87 sen 37 = 144,56 m tg 37 = 87 c 8 c = 87 tg 37 = 115,45 m
PÁGIN 81 Pág. 1 Practica Razones trigonométricas de un ángulo agudo 1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángu- los: a) b) c) 7 m 5 m a 11,6 cm a 8 m a) sen a = 7 5 = 0,8; cos a = 5 7 5 b) sen a = 11,6 8 11,6 cos a = c) sen a = = 8,4 11,6 0,74 8 0,69; tg a = 8,4 11,6 8 = 1,05 3 = 3 3 + 60 68 = 8 17 0,47 3 m cos a = 60 68 = 15 0,88; tg a = 3 17 60 = 8 15 0,53 a 60 m = 4 5 = 0,96; tg a = 7 4 0,9 Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de ^ en cada caso: a) b) a) sen ^ =,8 3,4 0,8; cos ^ = 3,4 0,59; tg ^ =,8 = 1,4 b) sen ^ = 1,3 3,8 0,34; cos ^ = 3,6 3,8 0,95; tg ^ = 1,3 3,6 0,36 3 Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos (^ = 90 ): a) b = 56 cm; a = 6,3 cm b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm c) c = 16 cm; a = 36 cm
a) sen ^ = 56 6,3 0,90 7,3 cm 6,3 cm 56 cm cos ^ = 6,3 56 6,3 tg ^ = 56 7,3,051 sen ^ = 7,3 6,3 0,438; cos ^ = 56 6,3 0,90; tg ^ = 7,3 56 = 0,4875 = 7,3 6,3 0,438 Pág. b) sen ^ = 33,6 = 33,6 33,9 cm 4,5 + 33,6 33,9 0,991 4,5 cm 33,6 cm cos ^ = 4,5 33,9 0,133 tg ^ = 33,6 4,5 7,467 sen ^ = 4,5 33,9 0,133; cos ^ = 33,6 33,9 0,991; tg ^ = 4,5 33,6 9,955 c) sen ^ = 36 16 36 36 cm cos ^ = 16 36 = 0,) 4 16 cm 3,5 cm tg ^ = 3,5 16,016 3,5 36 sen ^ = 16 36 = 0,) 4; cos ^ = 3,5 36 0,896; tg ^ = 16 3,5 0,496 0,896 4 omprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos y H son rectángulos. 7 cm 6,7 cm H 1,96 cm 4 cm 3,04 cm Halla en cada uno las razones trigonométricas de ^ y compara los resultados. Qué observas? El triángulo es rectángulo en : 4 + 7 = 65 = (3,04 + 1,96) = 5 = 65 El triángulo H es rectángulo en H: 3,04 + 6,7 = 576 = 4 EN sen ^ cos ^ tg ^ 7 5 = 0,8 4 5 = 0,96 7 4 0,9 EN H 6,7 4 = 0,8 3,04 = 0,96 4 6,7 3,04 0,9
7 5 alcula las razones trigonométricas de los ángulos ^ y ^, D y D. Pág. 3 15 cm 1 cm D = 15 1 = 9 cm = 1 + 16 = 0 cm D 16 cm sen cos tg ^ ^ D D 1 15 = 0,8 1 0 = 0,6 9 15 = 0,6 16 0 = 0,8 9 15 = 0,6 16 0 = 0,8 1 15 = 0,8 1 0 = 0,6 1 9 = 1,) 3 1 16 = 0,75 9 1 = 0,75 16 1 = 1,) 3 Relaciones fundamentales 6 Si sen a = 0,8, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales (a < 90 ). cos a = 1 0,8 = 0,96; tg a = 0,8 0,96 0,9 7 Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a = /3 (a < 90 ). sen a = 1 ( 3) = 1 4 9 = 5 3 ; tg a = 5/3 /3 = 5 8 Si tg a = 5, calcula sen a y cos a (a < 90 ). sen a cos a = 5 sen a + cos a = 1 sen a = 5 6 6 = 30 6 s = 5 c ( 5 c) + c = 1 8 6c = 1 8 cos a = 1 6 = 6 6 9 alcula y completa esta tabla en tu cuaderno, con valores aproximados: sen a 0,9 cos a 0,1 tg a 0,75 tg a = 0,75 sen a = 0,75 8 sen a = 0,75 cos a cos a En todos los casos, solo tomaremos valores positivos. sen a = 0,9 8 cos a = 1 (0,9) = 0,39 tg a = 0,9 0,39 =,35
(sen a) + (cos a) = 1 8 (0,75 cos a) + (cos a) = 1 8 8 (cos a) = 0,64 8 cos a = 0,8 sen a = 0,75 0,8 = 0,6 cos a = 0,1 8 sen a = 1 (0,1) = 0,99 tg a = 0,99 0,1 = 8,7 sen a 0,9 0,6 0,99 cos a 0,39 0,8 0,1 tg a,35 0,75 8,7 Pág. 4 10 alcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90 ). Hazlo en tu cuaderno. omo a < 90 8 sen a > 0 cos a > 0 sen a = 3 8 cos a = 1 ( 3) = 5 9 = 5 3 tg a = /3 5/3 = 5 = 5 5 cos a = 3 8 sen a = 1 ( 3 ) = 7 9 = 7 3 tg a = 7/3 = 7 /3 tg a = 8 sen a = 8 sen a = cos a cos a (sen a) + (cos a) = 1 8 4(cos a) + (cos a) = 1 8 8 cos a = 1 5 alculadora = 5 ; sen a = 5 5 5 sen a /3 cos a /3 tg a sen a /3 7/3 5/5 cos a 5/3 /3 5/5 tg a 5/5 7/ 11 ompleta en tu cuaderno la tabla siguiente, utilizando la calculadora: a 15 55 0' 7 5' 40'' 85,5 sen a 0,6 0,8 0,95 0,997 cos a 0,97 0,57 0,30 0,078 tg a 0,7 1,45 3,16 1,71 1 Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos. a) sen a = 0,58 b) cos a = 0,75 c) tg a =,5 d) sen a = 5 3 e) cos a = 1 3 f ) tg a = 3 a) a = 35 7' '' b) a = 41 4' 35'' c) a = 68 11' 55'' d) a = 48 11' 3'' e) a = 54 44' 8'' f ) a = 76 44' 14''
13 Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de los casos siguientes: a) sen a = 0,3 b) cos a = 0,74 c) tg a = 1,75 d) sen a = 1 e) tg a = 3 f ) cos a = 3 a) cos a = 0,97; tg a = 0,4 b) sen a = 0,67; tg a = 0,91 c) sen a = 0,87; cos a = 0,5 d) cos a = 0,71; tg a = 1 e) sen a = 0,87; cos a = 0,5 f ) sen a = 0,5; tg a = 0,58 Pág. 5
PÁGIN 8 Pág. 1 plica lo aprendido 14 Halla la medida de los lados y los ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos (^ = 90 ): a) b = 7 cm c = 18 cm b) a = 5 cm b = 7 cm c) b = 18 cm ^ = 40 d) c = 1,7 cm ^ = 65 e) a = 35 cm ^ = 36 a) a = b + c = 7 + 18 19,31 cm tg ^ = b c = 7 18 = 0,3) 8 8 ^ 1 15' '' ^ = 90 1 15' '' = 68 44' 58'' b) c = a b = 5 7 = 4 cm sen ^ = b a = 7 5 = 0,8 8 ^ 16 15' 37'' ^ = 90 16 15' 37'' = 73 44' 3'' c) ^ = 90 40 = 50 sen ^ = b a 8 sen 40 = 18 a 8 a 8 cm tg ^ = b c 8 tg 40 = 18 c 8 c 1,45 cm d) ^ = 90 65 = 5 tg ^ = b 8 tg 65 = b 8 b 7,3 cm c 1,7 cos ^ = c 8 cos 65 = 1,7 8 a 30,05 cm a a e) ^ = 90 36 = 54 sen ^ = c a cos ^ = b a 8 sen 36 = c 35 8 cos 36 = b 35 8 c 0,57 cm 8 b 8,3 cm 15 uando los rayos del sol forman 40 con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. uál es su altura? 40 18 m tg 40 = x 18 8 x = 15,1 m mide el árbol.
16 En un triángulo isósceles, su lado desigual mide 18 m, y su altura, 10 m. al- cula sus ángulos. Pág. b tg a = 10 9 = 1,) 1 8 a = 48 46'' a 10 m a b = 180 a = 83 58' 8'' 18 m 17 alcula el perímetro y el área de un triángulo isósceles en el que el ángulo desigual mide 7 y la medida del lado opuesto a ese ángulo es de 16 m. 54 7 16 m 54 8 m Perímetro = 13,6 + 16 = 43, m ^ = 180 7 = 54 cos 54 = 8 8 = 8 cos 54 = 13,6 m ltura, h: tg 54 = h 8 8 h = 8 tg 54 = 11,01 m Área = 16 11,01 88,1 m 18 Los brazos de un compás, que miden 1 cm, forman un ángulo de 50. uál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura? sen 5 = x 1 8 x 5,07 cm 50 1 cm Radio de la circunferencia 10,14 cm x 19 alcula la altura, h, y el área de los siguientes triángulos: a) b) 18 cm h h 8 cm 65 D 35 3 cm D 13 cm a) sen 65 = h 18 8 h 16,3 cm b) sen 35 = h 18 8 h 16,1 cm = 3 16,3 = 60,8 cm = 13 16,1 = 104,61 cm
0 alcula la altura sobre el lado en los siguientes triángulos: a) b) Pág. 3 70 40 15 cm 3 cm a) b) 70 15 cm 40 3 cm h h sen 70 = h 15 8 h 14,1 cm sen 40 = h 3 8 h 14,8 cm 1 Para medir la altura de un árbol, nos situamos a 0 m de su base y observamos, desde el suelo, su parte más alta bajo un ángulo de 50. uánto mide el árbol? h tg 50 = h 0 8 h = 0 tg 50 = 3,8 m 50 0 m Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. alcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia E. 100 m sen 60 = 100 8 115,47 m tg 60 = 100 P sen 30 = 100 8 = 00 m tg 30 = 100 P cos 45 = 75 8 D 106,07 m tg 45 = Q D 75 cos 30 = 75 8 DE 86,6 m tg 30 = QE DE 75 E = 57,74 + 173,1 + 75 + 43,3 = 349,5 m 45 30 60 30 P Q E 8 P 57,74 m 8 P 173,1 m 8 Q = 75 m 8 QE 43,3 m 75 m D
3 Una escalera, por la que se accede a un túnel, tiene la forma y las dimensiones de la figura. alcula la profundidad del punto. x 5 m sen 30 = x 30 10 m sen 50 = y 30 8 y,98 m y 30 m 5 m 30 10 m 30 m 5 8 x = 1,5 m 50 50 Profundidad: 1,5 +,98 = 35,48 m Pág. 4
7 Soluciones a la utoevaluación PÁGIN 8 Dominas las razones trigonométricas de un ángulo agudo y sabes utilizarlas para calcu- lar lados y ángulos? onoces las relaciones entre ellas? Pág. 1 1 a) Si cos a = 0,5, calcula sen a y tg a. b) Si tg b = 1, calcula sen b y cos b. 5 a) sen a = 1 (cos a) = 1 0,5 = ±0,85; tg a = ±(0,85/0,5) = ±1,63 b)tg b = sen b cos b = 1 5 (sen b) + (cos b) = 1 sen b = (1/5) cos b 144 5 (cos b) + (cos b) = 1 8 169 5 (cos b) = 1 8 8 (cos b) = 5 169 8 cos b = ± 5 13 cos b = 5 13 8 sen b = 1 5 5 13 = 1 13 cos b = 5 8 sen b = 1 13 13 La calculadora científica es un instrumento básico en trigonometría. Sabes manejarla con eficacia? Si sen α = 0,35, cuánto mide α? Halla las otras razones trigonométricas de α con ayuda de la calculadora. α = 0 9' 14,33'' cos α = 0,94 tg α = 0,37 Sabes resolver triángulos rectángulos a partir de un lado y un ángulo o de dos lados? 3 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 50, y la hipotenusa, 16 cm. Resuelve el triángulo. ^ = 90 50 = 40 b 16 cm 50 c sen 50 = b 16 cos 50 = c 16 8 b 1,6 cm 8 c 10,8 cm 4 Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a 1, m de la pared? Llamamos α al ángulo pedido. cos α = 1, 3 8 α = 3 34' 41,44''
Soluciones a la utoevaluación 5 En un triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales mide 70 y su altura es de 1 cm. Halla la medida de los lados del triángulo. Pág. 1 cm 70º 70º 70º y x 1 cm sen 70 = 1 x cos 70 = y x 8 x = 1 = 1,77 cm sen 70 8 y = 1,77 cos 70 = 4,37 cm Los lados iguales del triángulo miden 1,77 cm, y el lado desigual, 8,74 cm.