TNNI. onceptos, popieddes y noms. Po un punto psn infinits cicunfeencis tngentes. L ect tngente ells po dicho punto es su eje dicl. Po dos puntos psn infinits cicunfeencis secntes fomndo un hz. L ect que une los dos puntos es su eje dicl. Po tes puntos no linedos sólo puede ps un cicunfeenci. Su cento coincide con el cicuncento del tiángulo. Rect y cicunfeenci tngentes. icunfeenci y ect tngentes sólo tienen un punto común. L ect tngente y el diámeto que ps po el punto de tngenci son siempe pependicules. icunfeencis tngentes. os cicunfeencis tngentes sólo tienen un punto en común. xisten dos posiciones ente ells: tngentes exteioes y tngentes inteioes. os cicunfeencis tngentes mntienen siempe sus centos y el punto de tngenci linedos. TNNTS XTRIORS L distnci ente sus centos es igul l sum de sus dios. TNNTS INTRIORS L distnci ente centos es igul l difeenci ente sus dios. L líne que une los extemos opuestos de dos diámetos plelos ps po el punto de tngenci. (Invesión) L líne que une los extemos del mismo ldo de dos diámetos plelos ps po el punto de tngenci. (Invesión) Puntos de tngenci y centos de cicunfeencis deben señlse en l esolución de ejecicios
TNNI. Tngenci ente ect y cicunfeenci. Rect tngente un cicunfeenci en un punto de ell. Tz un ect pependicul po el punto l dio que lo une l cento. Rect tngente un cicunfeenci y plel un diección. Tz un diámeto pependicul l diección dd y plels ést po los extemos de quel. d Rect tngente un co de cicunfeenci en un punto. Tz un cued medinte un co de cicunfeenci desde el punto ddo. Po dicho punto hll l pependicul l meditiz de l cued p detemin l tngente. Rect tngente un co de cicunfeenci en un punto. (1) Tz ls meditices de dos cueds del co p detemin el cento de l cicunfeenci l que petenece. onstui l ect pependicul po el punto l dio que lo une dicho cento. Rect tngente un cicunfeenci desde un punto exteio ell. (co cpz) L ect tngente y el dio tzdo po el punto de tngenci son pependicules ente sí. l co cpz de 90º, del segmento que une el punto exteio con el cento de l cicunfeenci, cot ést en dos puntos po los que psn ls ects tngentes. Rect tngente dos cicunfeencis. (omoteci) Uniendo los extemos de dos dios plelos obtenemos un punto, tnto en l homoteci diect como en l inves, desde el cul se pueden tz ects tngentes un cicunfeenci. l co cpz de 90º, del segmento que une el punto hlldo con el cento de l cicunfeenci, cot ést en dos puntos po los que psn ls ects tngentes. J J I I
TNNI. Tngenci ente ect y cicunfeenci. 1 icunfeenci, dio ddo, tngente un ect en un punto de ell. Levnt un pependicul po el punto de l ect y llev, pti de él, l longitud del dio p detemin el cento de l cicunfeenci. icunfeenci que ps po tes puntos no linedos. icunscit l tiángulo. Tz ls meditices de los segmentos que unen los puntos p detemin el cento en el punto de cote de tods ells. icunfeenci, dio ddo, tngente dos ects convegentes. Ángulo ecto. Tz un co, de cento el vétice y dio el ddo, que cote mbos ldos del ángulo obteniendo los puntos de tngenci. on idéntico dio y cento en los cotes nteioes tz otos dos cos que deteminn el cento de l cicunfeenci en su punto de cote. icunfeenci, dio ddo, tngente dos ects convegentes. Vétice popio. l cento de l cicunfeenci se encontá en l bisectiz. Tz, l distnci del dio ddo, un plel uno de los ldos del ángulo hst que cote l bisectiz y detemine el cento. icunfeenci, dio ddo, tngente dos ects convegente. Vétice inccesible. Ls plels tzds, l distnci del dio ddo, mbos ldos del ángulo se cotn en un punto que es el cento de l cicunfeenci tngente. icunfeenci tngente tes ects. Inscit y exinscits los ldos de un tiángulo. Tz ls bisectices de los ángulos inteioes p detemin el incento y ls bisectices de los ángulos exteioes p detemin los tes exincentos espectivmente. b c
TNNI. Tngenci ente cicunfeencis. icunfeenci, dio ddo, tngente exteio e inteio ot. Polong el dio que ps po el punto de tngenci y ñdi, pti de éste, el dio ddo p detemin el cento de l cicunfeenci tngente exteio; p l inteio est el dio, tmbién pti del punto de tngenci. icunfeenci, dio ddo, tngente ots dos: Tngente cicunfeenci y que pse po un punto(cicunfeenci dio 0) dento o fue de ell. ñdi o disminui, el dio ddo, l de l cicunfeenci y tz concéntics con los segmentos obtenidos. on cento en el punto y tmbién el dio ddo, descibi ot cicunfeenci que cote ls concéntics deteminndo los centos de ls soluciones posibles. n fom cóncv. Tngentes exteioes / n fom convex. Tngentes inteioes. l dio de ls dos cicunfeencis dds, ñdile el de l que v se tngente exteio ells y tz concéntics, espectivmente, con los segmentos obtenidos. Los puntos de cote de ésts son los centos de ls soluciones. P ls inteioes, epeti ls misms opeciones peo est el dio. n fom intecld. Tngente exteio con un e inteio con l ot. l dio de ls dos cicunfeencis dds, ñdile y estle el de l que v se tngente ells y tz concéntics con los segmentos obtenidos espectivmente. Los puntos de cote de ésts son los centos de ls soluciones.
TNNI. Tngencis ente cicunfeencis y ects. icunfeenci tngente un ect en un punto de ell y que ps po oto punto exteio. ll l meditiz del segmento (cued de l cicunfeenci) que une el punto ddo y el de l ect. Levnt, po este último, un pependicul l ect que cote l meditiz deteminndo el cento y dio de l cicunfeenci solución. icunfeenci, dio ddo, tngente ot y un ect: Tngente un ect y que pse po un punto (cicunfeenci dio = 0). Tz, l distnci del dio ddo, plels l ect. on cento en el punto descibi un cicunfeenci, de dio el ddo, que cote ls plels deteminndo los centos de ls soluciones. Tngente un ect y ot cicunfeenci. xteio e inteio. Tz, l distnci del dio ddo, plels l ect. ñdi o disminui l longitud del dio ddo l de l cicunfeenci y descibi concéntics con los segmentos sum y difeenci obtenidos. Los cotes de plels y concéntics son los centos de ls soluciones. icunfeenci tngente, inteio y exteio, ot y un ect en un punto de ell. Levnt un pependicul po el punto l ect y tz un diámeto plelo ell. Uni los extemos del diámeto con ects que coten l cicunfeenci p obtene los puntos de tngenci. Ls uniones de los puntos de cote con el cento de l cicunfeenci dn en l pependicul los centos de ls soluciones. icunfeenci tngente, inteio y exteio, ot en un punto y un ect. Tz l ect que une el cento con el punto de tngenci y un pependicul ell, po dicho punto, hst cot l ect dd obteniendo dos ángulos. Ls bisectices de estos ángulos cotn l ect que une cento y punto de tngenci deteminndo los centos y dios de ls cicunfeencis solución.
TNNI. Tngencis ente cicunfeencis y ects. 1 nlce de dos ects plels medinte dos cos de cicunfeenci: n fom de gol.cos igules. b ividi po l mitd el segmento que une los puntos de tngenci y tz ls meditices de los segmentos obtenidos. Ls pependicules ls ects plels po los puntos de tngenci deteminn los centos y dios l cot dichs meditices. b udntes de cicunfeenci. (ifeente dio) Tz un pependicules un ect po un punto de ell. Situ l pime cicunfeenci tngente y tz un ect plel po su cento ls dds. on dio, l distnci l ot plel desde el cento de l tzd, detemin los de ls cicunfeencis, inteio y exteio, pti de uno de los cotes de l plel y l cicunfeenci tzds nteiomente. cos de difeente dio. b Tz pependicules po los puntos de tngenci y situ l cicunfeenci dd. Uni los extemos del diámeto, de l cicunfeenci tzd, con el punto de tngenci de l ot plel p obtene los puntos de tngenci de ls cicunfeencis exteio e inteio. L unión del cento, de l pime cicunfeenci, con los puntos de tngenci detemin en ls pependicules los centos y dios de ls soluciones.
TNNI. icunfeencis tngentes inscits en polígonos y en l cicunfeenci. jemplos gáficos de cicunfeencis tngentes ente sí e inscits en polígonos.
TNNI. icunfeencis tngentes inscits en polígonos y en l cicunfeenci. 1 jemplos gáficos de cicunfeencis tngentes ente sí e inscits en polígonos. jemplos gáficos de cicunfeencis tngentes ente sí e inscits en ot.
ÓVLO. Óvlo. uv ced y pln, fomd po dos cos igules tngentes, en fom convex, otos dos, tmbién igules peo dio difeente l de los nteioes. Tiene dos ejes pependicules que se cotn en el cento, dividiéndolo siméticmente. Los centos de los cos están situdos en dichos ejes. Su specto de elipse pemite sustituilo po ell en l pespectiv isométic. onstucción del ÓVLO. Óvlo. je myo. 3 ptes. I J ividi el eje en tes ptes igules. esde los puntos hlldos y dio un tece pte del eje, tz dos cicunfeencis que contienen dos cos del óvlo. Los puntos de intesección ente sí de ésts son los otos dos centos de ls que cien el óvlo. I Óvlo. je meno. Tz un cicunfeenci de diámeto el eje meno. Los extemos del eje meno son dos de los centos de ls cicunfeencis que fomn el óvlo, l ect que contiene el eje myo cot l cicunfeenci nteio en dos puntos que son los centos de ls ots. J Óvlo. jes. icunscito un ombo. KL N L M I Situ los ejes pependicules ente sí y cotándose en el cento. esde éste y medinte un co, llev el semieje myo hst coincidi con el meno y hll su difeenci. esde el extemo del eje meno llev l difeenci ente semiejes hst l ect que une los extemos de éstos. ll l meditiz del segmento estnte p detemin los centos de ls cicunfeenci en su intesección con los ejes. Óvlo isomético. y Z x n pespectiv isométic el cuddo cicunscito un O O cicunfeenci es un ombo de ángulos 120 y 60 espectivmente. L cicunfeenci es tngente en los puntos medios de los ldos del cuddo, puntos de enlce de ls cicunfeencis tngentes que fomn el óvlo. stos puntos, unidos con los O vétices de los ángulos de 120 y centos de dos cicunfeencis, deteminn los centos de ls ots dos sobe el eje myo.
onstucción del ÓVLO. Óvlo. jes. 1. (esctes) onstui un tiángulo equiláteo de ldo el semieje myo. Llev igul longitud sobe el eje meno desde el cento del óvlo. Uni el punto hlldo con el vétice del tiángulo y tz un plel este segmento po el extemo del eje meno. Po el punto de cote obtenido en el ldo del tiángulo tz un plel l oto ldo y detemin los centos de los cos de cicunfeenci que fomn el óvlo. Óvlo. jes. 2 Llev un distnci culquie, infeio l semieje meno, pti de un extemo de los ejes. Uni los puntos obtenidos y hll su meditiz polongándol hst cot l eje meno deteminndo los centos de los cos que fomn el óvlo. Óvlo. je myo. 4 ptes. ividi el eje myo en cuto ptes igules. esde los puntos hlldos y dio un cut pte, tz tes cicunfeencis. Ls que psn po los extemos contienen dos cos del óvlo. Uni los puntos de intesección que poduce l cicunfeenci tzd desde el cento en ls ots con los centos de ésts medinte un ect y polongl po mbos extemos p detemin los centos y los puntos de tngenci. Óvlo. Inscito en un ombo. Tz ls meditices de los ldos del ombo. Ls intesecciones de ésts son los centos de los cos que fomn el óvlo, siendo los puntos medios de los ldos los de tngenci. o n el cso de que el ombo teng dos ángulos de 60 su constucción se coesponde con l del óvlo isomético. Óvlo óptimo. onstui un ectángulo de ldos los semiejes myo y meno y tz l digonl que une los extemos de los ejes. ll el incento del tiángulo ectángulo obtenido l tz l digonl. L pependicul tzd desde el incento l hipotenus del tiángulo ectángulo, detemin en los ejes los centos de los cos que fomn el óvlo.
OVOI. Ovoide. uv ced y pln, fomd po dos cos igules de cicunfeenci tngentes, en fom convex, otos dos de difeentes dios. Tiene dos ejes pependicules, el myo lo divide siméticmente. Su specto ecued l sección pln de un huevo po el eje myo. onstucción del OVOI. Ovoide. je meno. Tz el pime co del ovoide, de diámeto el eje meno, y l meditiz de éste que contiene l eje myo. Los extemos del eje meno son centos de los cos igules y el cuto es el punto de cote del eje myo con l cicunfeenci del pimeo. I J K Ovoide. je myo. ividi el eje myo en seis ptes igules. l cento del pime co, de dio dos divisiones, es l segund de ésts. esde el mismo punto y dio cuto divisiones, hll los centos de los cos igules en l pependicul l eje myo tzd po dicho punto. l cento del cuto co se encuent en el punto númeo cinco. Ovoide. jes. Tz un semicicunfeenci, pime co del ovoide, de diámeto el eje meno. ll l meditiz del eje meno y llev sobe ell l longitud del eje myo. n el oto extemo de este eje tom un longitud, meno que el dio del pimeo, p el segundo co y estl tmbién pti de los extemos del eje meno. Ls meditices de los segmentos que unen los puntos obtenidos cotn ls polongciones del eje meno deteminndo los centos de los cos igules.